2023-2024学年江苏省南京市栖霞区伯乐中学九年级（上）期初数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省南京市栖霞区伯乐中学九年级（上）期初

数学试卷

一、选择题（本大题共6小题共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.以下调查中，最适合采用普查的是（）

A.了解全市中学生的睡眠时间B.了解某班同学的身高情况

C.了解一批灯泡的使用寿命D.了解长江的水质情况

2.当久=1时，下列分式无意义的是（）

A.—B.—C.高

XXX—1

3.已知四边形4BCD是平行四边形，下列结论不正确的是（

A.当4B=BC时，它是菱形

B.当乙4BC=90。时，它是矩形

C.当AC1BD时，它是菱形

D.当=时，它是正方形

4.无理数＞/10在（）

A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间

5.已知点4（Xi，yi）B（%2，y2）在反比例函数V=-1的图象上，且%1＜0＜不，则下列结论一定

正确的是（）

A.yx+y2<0B.+y2>0C.-y2<0D.yi-y2>0

6.如图，将矩形力BCD折叠，使点C和点4重合,折痕为EF,

EF与4c交于点。.若4E=5,BF=3,贝1]4。的长为（）

A.V-5

B.|<5

C.2y/~5

D.4c

二'填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7.今年我市有5万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数

学成绩进行统计分析，在这个调查中样本容量是.

8.若，在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

9.一个不透明的口袋中装有1个红球，2个黄球，3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸

出一球，摸到(填“红”、“黄”或“白”)球的可能性最小.

10.计算：-6京的结果是.

11.若反比例函数y=9的图象，在每个象限内y都随x的增大而增大，则k的值可以是

.(写出一个满足条件的即可)

12.以。4BCD对角线的交点。为原点，平行于BC边的直线为x轴，

建立如图所示的平面直角坐标系.若4点坐标为(-2,1),贝IJC点

坐标为.

13.如图，在AABC中，NABC=50。.将AABC绕点4逆时针旋转得至IJA4DE.若4D//BC,贝U

NBDE的度数为°.

14.已知反比例函数y=5的图象经过点(3,-1),若％<—2,则y的取值范围为.

15.如图，EI4BCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在4B的延长线上，G为CE的中点,

连接CG.若4D=3,AB=CF=2,贝UCG的长为.

16・若关于x的方程宣=3无解,则m的值为—

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.解分式方程：—=1.

四、解答题（本大题共8小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.（本小题10.0分）

（1）计算：（，石+2）（，石-2）+（/石一2）2；

（2）化简：（乂+1-『）+手

19.（本小题6.0分）

目前，我国的空气质量得到了大幅度的提高,现随机调查了某城市1个月的空气质量情况，并

将监测的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息，解答下面的问题:

（1）本次调查中，一共调查的天数为天.

（2）将条形图补充完整；

（3）估计该城市一年（以365天计算）中，空气质量达到优的天数.

20.（本小题6.0分）

在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里

面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，得到

如下的统计表：

摸球的次数n405060708090100200

摸到白球的

22263036404650100

频数

摸到白球的

0.550.520.500.510.500.510.500.50

频率

(1)请估计：当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近(结果精确到0.01)；

(2)估算盒子里有白球个；

(3)若要使摸到白球的概率为0.6,求需往盒子里再放入多少个白球？

21.(本小题8.0分)

如图，四边形4BCD是正方形，E,F是对角线AC上的两点，且AE=CF.

(1)求证：四边形BED尸是菱形；

(2)若4c=8,AE=2,求四边形BEDF的周长.

22.(本小题6.0分)

如图，在Q4BCD中，利用直尺和圆规在边4。上作点P,使点P分别满足以下要求(不写作法,

保留作图痕迹)：

(1)在图①中作出点P,使得BP=CP；

(2)在图②中作出点P,使得BP=AP+BC.

A,_________,DA,________,D

BB

①②

23.(本小题8.0分)

某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量V(m3")与排完水池中的水所

用的时间t(/i)之间的函数关系如图所示.

(1)求U与t的函数表达式;

(2)若每小时排水量不超过2000^3,则排完水池中的水至少需要h;

(3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2九排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量

增加25%,求原计划每小时的排水量是多少m3?

24.(本小题8.0分)

【阅读理解】对于任意正实数a、b,•••([H-，石)220，a-2Vab+b>0>•-a+b>

2Vab>(只有当a=b时1a+b-2Vah').

【获得结论】在a+b22G(a、b均为正实数)中，若ab为定值p,则a+b22。，只有

当a=b时，a+b有最小值2/万.

【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：

(1)若m>0,只有当m=时;m+\有最小值；

(2)已知点Q(-4,-5)是双曲线y=[上点，过Q作QALx轴于点4,作QB_Ly轴于点B.点P为双

曲线y=：(x>0)上任意一点，连接PA,PB,求四边形ZQBP的面积的最小值.

25.(本小题10.0分)

如图，P是正方形4BCD的边CD右侧一点，CP=CD,NPCC为锐角，连接PB,

(1)如图①，若PD=PC,求ZBPD的度数;

(2)如图②，作CE平分NPCC交PB于E.

①NBEC的度数是°;

②探究PD,BE,CE之间的数量关系，并证明.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4了解全市中学生的睡眠时间，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意；

区了解某班同学的身高情况，适合普查，故本选项符合题意；

C.了解一批灯泡的使用寿命，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意：

。.了解长江的水质情况，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意.

故选：B.

由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比

较近似.

本题考查了抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，

一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，

对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.

2.【答案】C

【解析】解：4、当x=l时，分式有意义，不符合题意；

B,当x=l时，分式有意义，不符合题意；

C、当x=l时，x-1=0,分式无意义，符合题意；

D、当x=l时，x+10,分式有意义，不符合题意，

故选：C.

【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键.

直接利用分式有意义的条件分析得出答案.

3.【答案】D

【解析】解：4、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC

时，它是菱形，故A选项正确；

B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B选项正确；

C、,•・四边形ABC。是平行四边形，BO=OD,"AC1BD,.-.AB2=BO2+AO2,AD2=DO2+AO2,

AB=AD,.•.四边形ABC。是菱形，故C选项正确；

D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=8。时，它是矩形，不是正方形，故。选项

错误；

综上所述，符合题意是。选项；

故选：D.

根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平

行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形.

此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，

此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错.

4.【答案】B

【解析】【分析】

此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的方法是解本题的关键.

由C<Q区可以得到答案.

【解答】

解：•••3<<10<4.

故选8.

5.【答案】D

【解析】解：•••反比例函数y=—：的图象在二、四象限，而/<0<必，

.••点在第二象限反比例函数y=-:的图象上，8(%%)在第四象限反比例函数y=-:的

图象上，

-71>0>y2>

•••yi-yz>0，

故选：D.

根据反比例函数的图象和性质，由/<0<x2,可判断yi>0>y2,进而得出答案.

本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象上点的坐标特征是正确解答

的前提.

6.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查矩形的性质、折叠轴对称的性质，勾股定理等知识.由矩形的性质，折叠轴对称的性质，

可求出4F=FC=4E=5,由勾股定理求出4B,AC,进而求出。4即可.

【解答】

解：•••四边形48CD是矩形，

AD//BC,AD=BC,AB=CD,

:.Z.EFC=Z.AEF,

由折叠可得乙4FE=4EFC,

:.Z.AEF=Z.AFE,

AE—AF-5,

由折叠得，FC=AF,OA=OC,

•1•BC=3+5=8,

在Rt△ABF中，AB=V52_32=4>

在Rt△48c中，AC=V42+82=4仁，

AOA=OC=2门，

故选：C.

7.【答案】1000

【解析】解：今年我市有5万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考

生的数学成绩进行统计分析，在这个调查中样本容量是1000.

故答案为：1000.

总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分

个体，而样本容量则是指样本中个体的数目.我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个

概念时，首先找出考查的对象.从而找出总体、个体.再根据被收集数据的这一部分对象找出样

本，最后再根据样本确定出样本容量.

本题考查总体、个体、样本、样本容量，理解样本容量的定义是正确判断的关键.

8.【答案】x>1

【解析】【分析】

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键.

直接利用二次根式有意义的条件得出答案.

【解答】

解：若Cm在实数范围内有意义，

则x—120,

解得：x>1.

故答案为：%>1.

9.【答案】红

【解析】解：摸到红球的可能性为：总怎=£

■L十/十3O

摸到黄球的可能性为：石为=9，

摸到白球的可能性为：潟话=4，

632

；.摸到红球的可能性最小，

故答案为：红.

分别求出摸到红球、摸到黄球、摸到白球的可能性大小，再比较即可确定摸到什么颜色球的可能

性最小.

本题考查可能性大小，理解可能性大小的意义是解题的关键.

10.（答案】V-6

［解析］解：原式=2-\/~6—6=V-6-

故答案为：V-6.

先化简二次根式，再利用二次根式的加减法则计算即可.

此题考查二次根式的混合运算，掌握计算公式和计算方法是解决问题的关键.

11.【答案】1（答案不唯一）

【解析】解：•.•反比例函数y=?的图象，在每个象限内y都随x的增大而增大，

k-2<0,

解得k<2,

k可以等于1.

故答案为：1（答案不唯一）.

先根据反比例函数的增减性得出％-2<0,进而可得出结论.

本题考查的是反比例函数的性质和图象，先根据题意求出k的取值范围是解题的关键.

12.【答案】（2,-1）

【解析】解：•.•四边形4BCD为平行四边形，

•••点4和C关于对角线的交点。对称，

又。为原点，

.••点4和C关于原点对称，

•••点4（—2,1）,

.••点C的坐标为(2,-1),

故答案为(2,—1).

本题考查平行四边形的性质、坐标与图形性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行四边形的

性质解答.

根据平行四边形是中心对称图形，再结合对角线的交点。为原点和点A的坐标，即可得到点

C的坐标.

13.【答案】15

【解析】解：••・将A4BC绕点4逆时针旋转得到△40E,

•••Z.ADE=Z.ABC=50°,AB=AD,

Z.ADB—UBD,

•:AD]IBC,

/.ABC=乙DAB=50°,

4BDE=ZLBDA-乙ADE=65°-50°=15°,

故答案为：15.

根据旋转的性质得出41DE=^ABC=50°,AB^AD,再根据平行线的性质得出乙48c=^DAB=

50。，再由三角形内角和定理即可求解.

本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

14.【答案】o<y<|

【解析】解：由题意，••・丫=5的图象经过点(3,—1),

••・k=3x(-1)=-3.

•••函数解析式y=-j.

二当％=-2时，y=|.

又％<—2,

3

0<y<-.

依据题意先求出匕再根据若工〈-2,即可判断可以得解.

本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解题时要熟练掌握并理解是关键.

15.【答案】|

【解析】【分析】

本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的

关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以

得到BF和BE的长，然后可以证明ADCG和全等，然后即可得到CG的长.

解：•••四边形力BCD是平行四边形，

AD=BC,CD=AB,DC//AB,

"AD=3,AB=CF=2,

ACD=2,BC=3,

・・・BF=BC+CF=5,

・・・△BEF是等边三角形，G为DE的中点,

BF=BE=5,DG=EG,

延长CG交BE于点H,

DC11AB.

・・・Z.CDG=乙HEG,

ZCDG=乙HEG

在ADCG和AEHG中，＜DG=EG

ZDGC=Z-EGH

・••△Z)CGmAE〃GG4S4),

:.DC=EH,CG=HG,

vCD=2,BE=5,

/.HE=2,BH=5-2=3,

vZ-CBH=60°,BC=BH=3,

・•.△CB”是等边三角形，

・・・CH=BC=3,

13

-cH=

CG2-2-

故答案为：|.

16.【答案】1或3

【解析】解：分式方程去分母得：mx—1=3x-3,

•••该方程无解，

•••x--当是增根或m-3=0,

m-3

••・%=1是该方程的增根，

•••m=1或3.

故答案为：1或3.

先假设方程有解，利用含有m的代数式表示方程的解，再根据解可判断出该方程无解符合根为增

根的情况，将方程中的分母等于0,算出增根，得到m的方程即可求解.

本题主要考查分式方程无解，无解包含两种情况：一种是解为增根，一种是在解方程的过程中未

知数被消掉的情况，根据两种情况分析得到包含m的方程即可求解.

17.【答案】解：---1=1,

xx—2

两边同乘x(x-2),得

x2-4x+4-3x=%2-2x,

解得：x=',

经检验：当刀=/时，x(x-2)^0,所以x=/是原分式方程的解.

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方

程的解.

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

18.(答案】解：(1)原式=(V-5)2—22+5—4V-5+4

=10-4V-5;

X2+X-7X+9x

(2)原式=----------------X

x(x+3)(x-3)

_Q-3)2x

-%(%+3)(x-3)

_x-3

x+3,

【解析】(1)利用乘法公式计算即可；

(2)先计算括号，再计算乘除.

本题考查二次根式的混合运算，分式的混合运算等知识，解题的关键是掌握平方差公式，完全平

方公式.

19.【答案】30

【解析】解：(1)调查的总天数为：15+50%=30(天)，

故答案为：30；

(3)根据题意得：

养X365=146(天)，

答：估计该城市一年(以365天计算)中，空气质量达到优的天数为146天.

(1)用“良”的天数除以其所占百分比可得总天数；

(2)总天数减去良和轻度污染的天数求得优的天数，据此补全图形即可得；

(3)用365天乘以空气质量未达到优的天数所占的百分比即可得出答案.

本题考查的是条形统计图的综合运用.读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.

20.【答案】0.5120

【解析】解：(I)、•摸到白球的频率为0.51,

・・・当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.51.

故答案为：0.51；

(2)、•摸到白球的频率为0.51,黑、白两种球共40个,

二估算盒子里有白球40x0.51x20(个).

故答案为：20；

(3)设需往盒子里再放入x个白球,

根据题意得警=0.6,

40

解得x=4,

答：需往盒子里再放入4个白球.

⑴由表格信息计算出摸到白球频率的平均值，即可得到当n很大时，摸到白球的概率；

(2)根据摸到白球的频率为0.51,黑、白两种球共40个，即可求出答案；

(3)根设需往盒子里再放入x个白球，根据摸到白球的频率为0.6,黑、白两种球共40个，即可求出

答案.

本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：部分的具体

数目=总体数目x相应频率.

21.【答案】(1)证明：连接BD交AC于点0,如图所示:

在正方形ABC。中，AC1BD,且。A=OC=。8=。0,

AE=CF,

OE=OF,

OD=OB,

四边形BEOF是平行四边形,

BD1EF,

••・四边形BEDF是菱形;

(2)解：•••4C=8,

：■OA=OB=4,

-AE=2,

OF=4-2=2,

在AEOB中，根据勾股定理，得BE=2C，

••・四边形BED尸是菱形，

.•・四边形8EDF的周长为2cX4=8y/~5.

【解析】（1）连接BD交4c于点。，根据正方形的性质，可得BDLAC,OA=OB=OC=OD,根

据4E=CF,可得。E=OF,即可得证；

（2）根据已知条件，可得0E=2,0B=4,根据勾股定理可得BE的值，即可求出菱形BOEF的周

长.

本题考查了正方形的性质，涉及菱形的判定，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关

键.

22.【答案】解：（1）如图①，点P即为所求；

（2）如图②，点P即为所求.

【解析】（1）作线段BC的垂直平分线交4。于点P即可：

（2）延长D4到E,使得4E=4D,连接BE,作线段BE的垂直平分线交4。于点P,连接8P即可.

本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法.

23.【答案】t?9

【解析】解：（1）根据题意得每小时的排水量/似与排完水池中的水所用的时间tg）之间成反

比例函数关系，

设函数表达式为V=3把（6,3000）代入厂="

得3000=7.

6

解得：k=18000,所以U与t之间的函数表达式为：1/=-；

把V=2000代入1/=得t=9,

V随t的增大而减小，

每小时排水量不超过2000巾3,那么排完水池中的水所用的时间t(九)满足的条件是t>9.

故答案为：£29；

(2)设原计划每小时的排水量为则实际每小时的排水量为(1+25%)xm3,

1800018000。

--------------------------=Z,

x(l+0.25)x'

解得x=1800,

经检验得：x=1800是原方程的根，

答：原计划每小时的排水量是1800巾3.

(1)直接利用待定系数法求出反比例函数解析式，把1^=2000代入V=粤，得t=9,由了随t的

增大而减小，即可求出t的范围；

(2)设原计划每小时的排水量为x/n3,则实际每小时的排水量为(1+25%)无瓶3,根据题意列方程

即可求出答案.

此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数关系式是解题关键.

24.【答案】24

【解析】解：(1)根据题意得当m=£时，m=2,此时6+色=4.

mm

故答案为：2,4；

(2)连接PQ,

点<2（—4,一5）是双曲线y=g上的点,

•1.k=-4x（-5）=20,即y-弓，

设P（吟,

­,-S四边形4QBP=SAAPQ+SABPQ=2X5(Y+4)+2x4(—+5)

=|x+—+20>2IIxx—+20=40.

2xY2%

••・四边形AQBP的面积最小值为40.

(1)根据阅材料可得，当m=±时，m+士取得最大值，据此即可求解；

(2)连接PQ,设P