2023年浙江省宁波市高中数学竞赛试题含答案

2023年宁波市高中数学竞赛试题

2023年12月3日9:00-11:00

注意।

①本卷不得使用计算器；

②报考A组的考生作答A卷（所有试题），报考B组的考生作答B卷（前17题）；

③请考生按规定用笔，将所有试题的答案涂、写在答题纸上•

一、选择题I（本题共4小题，每小题6分，共24分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求

的，不选、多选、错选均不得分.）

1.已知a,b,c为实数，则a，>枚？是a>b的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D,既不充分也不必要条件

2.将一个袋子中所有的股子全部抛出，并去掉点数为偶数的股子，将点数为奇数的骰子再放回这个袋

子，称为一次操作.现袋子中有2个腹地均匀的股子，重复以上操作，直到去掉所有的骰子为止.则操

作次数多于两次的概率是

3.己知三棱锥P-四C,AB=AC=2,PA=叵,点尸在底面的射影为的外心，二面角P-BC-A

的大小为：，则三棱锥P-4BC外接球的表面积是

A.4冗B.8冗C.12nD.16x

4.如图，椭圆的中心在原点，长轴巧在X轴上,以44为焦点的双曲线交椭圆\[/

于C,D，A，G四点，且椭圆的一条弦4C交双曲线于E,设霸=4,

当时，双曲线的离心率的取值范围是

A.+⑨B.（2,14-55）c.（1+AV10）D.（1,5^0）第4题图

二、选择题II（本题共4小题，每小题8分，共32分.每小题列出的四个选项中至少有一个是符合题目

要求的，全部选对的得8分，选对但不全的得3分，不选、有选错的均不得分.）

5.已知样本数据和积为用,三用的平均数是5,方差是1,则新样本数据11,2x（+l,Zxj+l,2xj+l,

2乙+1,2与+1,2%+1的

C.方差是m

A.平均数是6B.平均数是11D.方差是4

2023年宁波市高中数学竞赛试题第1页（共4页）

6.铅酸电池作为电源被广泛用于工业、军事、日常生活中，研究得到铅酸电池的理论容量（仅与电池本身

有关）数值K，放电时间数值，和放电电流数值/之间满足经验公式：K=Pt，4为与电池结构有关的

常数（称为尸加蛇〃常数）.现有甲、乙两种不同的铅酸电池，它们的尸e武“，常数分别为乙4.对于甲种

铅酸电池，当放电电流数值为15时，放电时间数值为60；当放电电流数值为50时，放电时间数值为15.乙

种铅酸电池的理论容址数值为3078,当放电电流数值为27时，放电时间数值为38.下面说法正确的是

A.对于甲种铅酸电池，当放电电流数值为30时，放电时间数值不到30

B.对于乙种铅酸电池，只要放电电流数值不超过54,放电时间数值可达16以上

C.甲种铅酸电池的Peukert常数4小于乙种铅酸电池的Peukert常数为

D.甲种铅酸电池的理论容址数值大于乙种铅酸电池的理论容量数值

7.在△48C中，角48,C所对的边分别为a,ac.设点尸是△48C内一点，A

满足"AB=ZPBC=4PCA=9，称点尸为△/SC的布洛卡点，角6为A4BC/\

的布洛卡角（如图）.则//\

A.当△4BC是等边三角形时，布洛卡角。等于J

6B第7题图0

B.当△怂C是非等边的等腰三角形时，布洛卡点尸落在顶角的角平分线上

C.当△4SC是等腰Rt△时，布洛卡角。的正切值等于;

D.当是以4为直角顶点的等腰直角三角形时，△尸/C与△PBC的面积相等

8,定义在R上的函数“X）同时满足：®/（x+l）-/（x）=2x+2,xeR；②当xe[0,l]时，|/（x）|^l.

则

A./（O）=-lB./（*）为偶函数

C.存在“eN.，使得/（”）＞2023"D.任意xeR，|/3）K/+5|+3

三'填空题（本题共6小题，每小题8分，共48分,请把答案写在答题纸的相应位置上.）

9.10g3(log,x)=log9(logjX),则10g3”的值是.

10若函数y=丝上妇£Qa,b,c,d,eeR）的图象如图所示，则a+b+c+d+e的值是

''x1+dx+e

第10题图

2023年宁波市高中数学竞赛试题第2页（共4页）

11.已知Xj,z均为正实数，xy+yz=l,则一--+」一+’的最小值是_____..

x+y+zx+zy

12.关于x的方程sin/u=g在X{小兀)上恰有2023个解，则正整数”的值是•

13.用a(⑷表示集合/中的元素个数，定义Z*B=|a(/)-a(3)|.已知aeR,函数/(x)=x2+a，集合

4={xwR|/(/(x))=x}.若集合8=0,2},且4*8=2,则实数。的取值范围是

14.若复数4多满足|Z|+Z2|=1O,|Z；+Z；|=4,则|2；-2尼+2；|的最大值是

四、解答题I(本题共3小题，第15、16题每题15分，第17题16分，共46分.)

D、

15.如图，直四棱柱/88-4跳怜|的底面是菱形，必=4,/5=2,/84)=60。.

4

(I)求异面直线/片与BG所成角的余弦值;

(n)已知P,Q分别在直线上运动，求p,。两点间距离的最小值.

A0

第15题图

16.如图，两射线44均与直线/垂直，垂足分别为AE且。E=l.

点4在直线/上，点B,C分别在射线人人上.

(I)若尸为线段8C的中点，求万＜7万的最小值；

(H)ZiHSC为等边三角形，求△/BC面积的取值范围―

第16题图

17.已知双曲线(7:必-/=4,点4(2百,4),直线y=*x+l与双曲线C的上，下两支分别交于〃,N(异

于4点)，直线府,3分别交x轴于尸，。两点・

(I)设直线的斜率分别为匕,与，求十+看的值；

(H)若M,N,P,。四点共圆，求直线/的方程.

2023年宁波市高中数学竞赛试题第3页(共4页)

五、解答题n（A卷试题，B卷考生不答.本题共2小题，每小题25分'共如分•）,

18.求最小的正整数"，使得存在正整数…，4（可以相同），满足《…'=2°23

19.下图是由21个边长为1的正方形组成的图形.将此图划分为若干个面积两两不同的矩形，矩形无重

叠且面积之和为21.

（I）最少可以划分为多少个矩形，此时这些矩形的面积分别为多少？

（H）这样的划分方法有多少种？

2023年宁波市高中数学竞赛试题第4页（共4页）

2023年宁波市高中数学竞赛试题

2023年12月3日9:00-11:00

注意：

①本卷不得使用计算器；

②报考A组的考生作答A卷(所有试题)，报考B组的考生作答B卷(前17题)；

③请考生按规定用笔，将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

一'选择题1(本题共4小题，每小题6分，共24分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求

的，不选、多选、错选均不得分.)

1.已知为实数，则知?＞尻是的

A.充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案：A.

2.将一个袋子中所有的骰子全部抛出，并去掉点数为偶数的骰子，将点数为奇数的骰子再放回这个袋

子，称为一次操作.现袋子中有2个质地均匀的骰子，重复以上操作，直到去掉所有的骰子.则操作次

数多于两次的概率是

A.1B.2C.AD.2

16161313

答案：A.

解：投掷2次骰子，0代表点数为奇数，1代表点数为偶数,a,be{0,l},则有序数对("力)表示两颗骰子的

奇偶性的情况，投掷一次有(0,0),(01),(1,0),(1,1),4种情况，投掷两次骰子则有16种情况，枚举可得投掷

9

一次或两次结束操作的情况共有9种，所以不多于两次结束的概率为;7,所以操作次数多于两次的概率

16

为营

3.已知三棱锥尸-A8C,AB=AC=2.PA=0\点2在底面的射影为AA8c的外心，二面角P-8C-A

的大小为则三棱维P-ABC外接球的表面积是

A.47rB.87rC.12兀D.16汽

答案：B.

解：由P在底面的射影为△ABC的外心，得PA=PB=PC=&，

从而AP1P8.AP_LPC,所以API面PBC.

取8c中点M,连尸M.AP,得APJ.PM.

又NPMA为二面角P-BC-A的平面角，得

作PHJ.AM于H,易知H为P在底面的射影.

在^APM中，可计算得尸H=a、AH=

22

又”为△A8C的外心，得BH=CH=AH=叵

2

记三棱锥P-ABC的外接球球心为。，则。在直线PH上.

设PO=R,R2=(PH-R)2+AH2

因此，S&=4nR2=8几

4.如图，椭圆的中心在原点，长轴A4在x轴上.以A4为焦点的双曲线交椭圆

1AC

于CQPC四点，且|8|=引明|.椭圆的一条弦AC交双曲线于E,设等=3

2EC

当时，双曲线的离心率的取值范围是

A.(1,1+两B.(2,1+73)C.(1+6,加)D.(l,Vio)

答案：B.

解答：设双曲线方程为£-£=1,|AAI=2C,

设C(4，%X%>0,%>0),则|CO|=2.%=c,

由点C在双曲线上，则二-蹲.=1①

4。-b

_AE4rM4-22

又---=2,则品=------c、y=----y,

EC2(2+1)Z£F1+A00,

-2)2C2Z2V2

又点、E在双曲线上了2,(：、2--—^-2=1②

4a2(2+1产(1+A)V

由①@消去先得，/=1="^(410),从而2<e<M.

aI-A

另外，点C在以AA为长轴的椭圆上，必有|OC|<c,

J-乌=1,得到4=一^〃>0,有e>2.

4。-b~4"

、、r2r2-4r?、

所以|OC『=£+y：=二十从<c2.

44a,

得J一国'go.

所以4-26<J<4+2JJ，由01得+l.

综上，2<e<1+G-

,112a\AE\X

法一：因为|AE1|ACrF'|4。广?77'

田rKt4XI1K\

所以;<e2+2<1'得2<e<V10•

另一方面，:-学=1,所以凡又因为|OCKc,所以<+与兰从<c?

4a-b4a44a*

所以l<e<l+G，综上2<e<l+6，选B.

二.选择题II（本题共4小题，每小题8分，共32分.每小题列出的四个选项中至少有一个是符合题目要

求的，全部选对的得8分，选对但不全的得3分，不选、有选错的均不得分.）

5.已知样本数据8，X2，X»X4,号,％的平均数是5,方差是1,则新样本数据11,2A,+1,2X2+\,2巧+1,

2x4+1,2为+1,2%+1的

A.平均数是6B.平均数是11C.方差是三24D.方差是4

答案：BC.

解：$+s+巧+5+&+/=30,。（*）=氏片-（£8）2=1.

Gj=l，=lGi=l

所以之X；=156,所求平均数-_"+2（犷）+6,

y==1]

方差。（丫）=1（1-+4丈X；+4之士+6）-1产=4.

法二：利用分层抽样的平均数与方差的计算公式：

22

-=lxll+6x（2x5^l）=11>D（y）=l{lx[0+（ll-ll）+6（4+（l!-ll）]}=^.

14-677

6.铅酸电池作为电源被广泛用于工业、军事、日常生活中，研究得到铅酸电池的理论容量（仅与电池本身

有关）数值K,放电时间数值，和放电电流数值/之间满足经验公式：K=〃1，/为与电池结构有关的

常数（称为Peukeri常数）.现有甲、乙两种不同的铅酸电池，它们的Pe“Ae〃常数分别为4，友.对于甲种

铅酸电池，当放电电流数值为15时，放电时间数值为60：当放电电流数值为50时，放电时间数值为15.乙

种铅酸电池的理论容量数值为3078,当放电电流数值为27时，放电时间数值为38.卜面说法正确的是

A.对于甲种铅酸电池，当放电电流数值为30时，放电时间数值不到30

B.对于乙种铅酸电池，只要放电电流数值不超过54,放电时间数值可达16以上

C.甲种铅酸电池的Peukert常数4小于乙种铅酸电池的Peukert常数冬

D.甲种铅酸电池的理论容量数值大于乙种铅酸电池的理论容量数值

答案：AC.

2023年宁波市高中数学竞赛参考答案第3页（共11页）

解：对于甲，由15360=50315,得偿=4,从而4=噢3

对A,当1=30时，"60增〈竺=30,所以A正确.

。3（rA2

2

4

对于乙，由27*x38=3078，得27&=81，从而4=唳2781=§.

307830783819打

对B,当1=54时，'二万:=7—=—=—<16»所以B错误.

23x81VV

£42£

对C,比较脸4与：的大小.因为2=iog/郸=k）g偿丫=晦（竽T>1,所以

33log^433I3JI3J\9J

T>log1（）4,所以C正确.

3T

441、

对D,由z得50&xl5<50；xl5=50lx50xl5<4x50xl5=3000<3078，所以D错误•

故选AC.

7.在△ABC中，角ABC所对的边分别为"力,c.设点P是△ABC内一点,

满足NPAB=NPBC=NPCA=0,称点尸为△ABC的布洛卡点，角。为△ABC

的布洛卡角(如图).则

A.当AABC是等边三角形时，布洛卡角。等于三

B.当AABC是非等边的等腰三角形时，布洛卡点P落在顶角的角平分线上

C.当△A8C是等腰Rt△时，布洛卡角6的正切值等于;

D.当△A8C是以A为直角顶点的等腰直角二角形时，△PAC与aPBC的面积相等

答案：ACD.

解：A显然正确.

对B,若尸在顶角的角平分线上，则仄而PB=PC,

可得NPBC=ZPCB=ZPCA=4PBA=NPAB=ZPAC,

进而有413C为正三角形，矛盾•.所以B错误.

对C,建立直角坐标系，设8(1⑼,C(0,l),记tan6=k(A>0),有

直线/P方程：y=kx,直线“方程：y=-5x+l,

k

k2

联立APCP可得p(备£),从而3守=".

+1

„,,(3A-1+&„k2-1+k

又原r=tan彳£+8卜-所以H1，，=「~

<4)1+Ak-k-\1+A

得24-2+21=0,即("f(公+1)=0,

因此，&=；,所以C正确.

对D,由选项C知，tan6»=g.

-CACPsmd

2____________CA-s\n0_sin。

gcBCRsin(；-。)CB・sin(：—夕)&sin(；_e

sin。_1

=i

cosO-sin。1।

嬴

所以S“Ac=S"«c，所以D正确.故选ACD.

（注：利用布洛卡角的•般结论cot0=cotA+cot8+cotC可直接得到选项C正确）

8.定义在R上的函数〃x)同时满足：©r(x+l)-/(x)=2x+2,xeR;②当xe在1]时,|/(x)|Sl.

则

A./(0)=-lB.f(x)为偶函数

C.存在〃eN，，使得/5)>2023"D.任意xeR,|/(x)Kf+|x|+3

答案：ACD.

解：对A,令x=0,可得〃1)-/(0)=2,因为xw[0』,|/(x)|Sl,所以

/(1)-/(0)=2^|/(1)|+|/(0)|^2

当且仅当〃1)=1，/(0)=7时取等号，所以A正确：

对B,由〃1)=1J(O)=-1,在①中令x=-l,得f(0)-/(-l)=0,所以〃-1)=7"⑴,故"X)

不可能为偶函数，所以B错误：

对C,/(2)-/(I)=4,/(3)-/(2)=6,/(4)-/(3)=8,•••,/(»)-/(n-l)=2/>

叠加可得/(«)-/(l)=4+6+"-4-2n=M*+n-2,J?flU/(n)=/r+n-2+/(l)=n2+n-l

当"22023时，必有/(")>/22023”，所以C正确：

对D,由①可得/(x+l)_(x+l)2_(x+l)=/(x)_x2—X.令0(x)=/(x)-x2-x,则则x+l)=奴x)对

xeR恒成立.因为xe[0J时,|6x)|=f/(x)-W-x|S/(x)|+|W+x|£3.由网x+l)=次x)可得

[奴x)区3,xeR.所以|f(x)|=|奴x)+x?+x|^^x)|+|x2+x|<x2+|x|+3,所以D正确：

十ja”问丁切十兀次犷0a术RJ火IK*«火/

故选ACD.

三、填空题（本题共6小题，每小题8分，共48分.请把答案写在答题纸的相应位置上.）

9.ELfel>og3(log,x)=log,(log,x),则logj.r的值是

答案：4.

解:由题可得噫（；噫x）=logj板［7,所以；k>g,x=JlogjX,解得log/=4或log,x=0（舍），所以

log3x=4.

10.若函数y=至二处土£（a,"c,d,eeR）的图象如图所示，则a+8+c+d+e的值是______.

x2+dr+e

第10题图

答案：-2.

解析：由图象知*=0/=2为/*）的渐近线，所以d=-2,e=0.

有因为y=i为渐近线，所以。=1,所以/（x）

A*-IX

又因为f（D=0,所以b+c=-l,所以a+b+c+d+e=-2.

11.已知均为正实数，外+户=1,则一--+」一+上的最小值是______

x+y+zx+zy

答案：2百・

解：因为町—yz=l,所以（x+z）y=l,令x+z=，，则。=1.

所以---+-^—+-=-^—+(y+t)^2>/5,

x+y+zx+zyt+y

布+1

y=­

等号当且仅当时取到，显然，这样的xy，z存在.

4s-\

t=-----

2

所以一2一+U一+'的最小值是2遥.

x+y+zx+zy

12.关于x的方程sin〃x=；在上恰有2023个解，则正整数”的值是

答案：4045.

2023年宁波市高中数学竞赛参考答案第6页（共”页）

解：令，=小，小(学,所)，则原问题等价于sinr=g在(学.,m)上有2023个解.

由图象可知，只有〃=必+1时，原方程才可能是奇数个解，否则为偶数个解.

所以,w(T+2E.n+4kK)时，$皿=；有2023个解.

又因为fe(2fat+/2E+x)时，方程有1个解，所以rw(2E+n,4依+n)时有2022个解，所有区间长度为

1011个周期,所以&=1011,所以"=4045.

13.用。(4)表示集合A中的元素个数，定义A*8=|a(A)-Q(B)].已知aeR,函数集合

A={.teR|/(/(x))=x},若集合B={1,2},且4*8=2,则实数。的取值范围是.

答案：(f司

解：/(/(-t))-x=(x2+«)2+a-x=(x2+a)2-x2+x2-x+a=(x2-x+a)(x2+x+a+l)=0

若A*B=2,则Q(8)=0或4.

①若明=。，则r(A.==1-4a<0解得]

-IA.=1-4a>03—

②若。(8)=4,则[=1_4(“+1)>0,解得下面说明四个根必不相同.

若方程x2_乂+°=0,X?+x+a+1=0存在相同根，则两式相减可得了=-；.

而方程/+乂+a+1=0的两根的对称轴为x=-；,这与两根不同矛盾，所以方程

(x2-x+a)ix2+x+a+l)=0有四个根.

综上，aG^-oo,-^U^|,-H»y

14.若复数4,22满足IZ1+Z21=101Z；+Z；1=4,则|3-2-+2力的最大值是

答案：56.

解：因为IZ；-ZR2+ZjH|(：|2+Z：)-1(z)+Z,)2|<11Z?+Z；|+||2,+z,|2=56.

当Z1=-36+5ig=3>/J+5i时取到等号，所以|z；-z&+z；|的最大值是56.

四、解答题I(本题共3小题，第15、16题每题15分，第17题16分，共46分.)

15.如图，直四棱柱ABC。-A81GA的底面是菱形，他=448=2,NBA。=60。.

(I)求异面直线AM与BQ所成角的余弦值：

(II)已知P,Q分别在直线4片,8G上运动，求RQ两点间距离的最小值.第15题图

2023年宁波市高中数学竞赛参考答案第7页(共11页)

解：(I)连接。G，显然有A8J/OG,所以A8,与BG所成角即

BC,2+DC,2-BD29

易得DC\=BC\=2石,8。=2,所以cosN0GB=

2BC.DC,10

9

所以异面直线A4与BC,所成角的余弦值为正：

(ID由45〃£>G可得A4〃平面BC,D,只。两点间距圄的最小值即直线AB,到平面BC、D的距离，可化为

点A到平面BQ。的距离.

由(1)可得sinNDC;B=再，所以SWQ=M.

易得$=也,%_丽=4,

由匕-叫"=^C,-Ail>可得^A-KCfD,SxBCQ=AHI>>

,乙-"M，S.4S045/345/57

解得忆3=-S”=乖=下•.

所以尸，。两点间距离的最小值是也.

19

16.如图，两射线乙4均与直线/垂直，垂足分别为"E且。E=1.

点4在直线/上，点B.C分别在射线44上.

(I)若F为线段BC的中点，求其广A方的最小值：

(H)△ABC为等边三角形，求aASC面积的取值范围.

解：⑴

AFAD=1(AB+AC)AD=1(ABAD+ACAD)=||AD2+荏.回

2：

=l[xb+(AD+DE)Ab^=AD+hb-方=(而+；诙J-5请

>--DE2=--.当族」反时取等.

16164

所以A户45的最小值为

Io

(11)解法1:

Z.DAB=a.Z.EAC=AB=a.

(i)当A在线段上时，a+B==，aw

3|_62」

则DE=AD+AE=acosa+acos0=1,

2023年宁波市高中数学竞赛参考答案第8页(共”页)

二1二1I2行

所以“cosa+cos夕(吟'3:

Lcosla-yILJ

(ii)当A不在线段DE上时，不妨设A在。E的延长线上，如图

则夕一a=三，ae0,外.

3L61

则DE=AD-AE=acosa-acos/?=1,

所以"cosa-cosy?sin^a+—3

综上，os[1,2],故S"€亭/.

解法2：

建立坐标系如图，ZXO,O),£(O,I)A(O,aXB(fe,O),C(c,l)

则由题可得/+从=(/>-c)2+l=c2+(a-l)2,

所以c=.-/+2a,

2b

HI2222

Z,..f,b-a+2aY(^+a-2a)22

rHkA(b-C)~+1=b------------------+1=--------------z--------+1=・

'"I2b)4h2

令r="+b2,所以('二2：)-+|=r,即--4n+4d2+4y=4用，

4〃

可得，2-4〃+4/=4"一"2",解得3r=4片-4〃+4.

又3从=3r-3a2=a2-4fi+4=(fli-2)2>0.

b~-a22at—2a"+2a—+2ci+4__..

---------------=------------------->0,可r得j5E一1工〃42.

2b

所以3/二4/-4a+4«3,12],所以rw[l,4].

所以SMM耳栏,#

17.已知双曲线C:/-X2=4,点A(2G,4),直线y=h+l与双曲线C的上，下两支分别交于M,N(异于

A点)，直线AM,AN分别交x轴于P,。两点.

(I)设直线AM.AN的斜率分别为4区,求;+；的值：

(11)若”.MP,Q四点共圆，求直线/的方程.

解:⑴设“(x”yj,N(x2,y2),设7(0,1),

2023年宁波市高中数学竞赛参考答案第9页(共11页)

将直线尸质+1与双曲线C联立〈，,.得伏2-1*+2履-3=0.

[y2-x2=4

韦达定理得占+均=£^,为%=记=]•则

11X1-2-73.q-2G2心|三-(264+3)(X1+x?)+12VJ\6y/3k2-12-7344

—+—=-------+-------=------；---------------