2023-2024学年宁夏回族自治区高一年级上册期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年宁夏回族自治区高一上册期末考试数学试题

一、单选题

1.已知集合知={(x,y)|y=x},N={y|y=x2,xeR},则集合McN中元素的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【正确答案】A

【分析】分析两个集合中的元素，得两个集合的交集.

【详解】集合M={(x,y)b=》}表示直线y=x上的点组成的集合,

集合N=[y\y=R}表示大于或等于0的实数组成的集合,

所以VcN=0,McN中元素个数为0个.

故选：A.

2.函数〃x)=sin()\(xeR)的最小正周期为()

4兀

A.2兀B.—C.3itD.兀

3

【正确答案】c

【分析】根据周期公式直接求解即可.

【详解】〃x)=sin(|x-方卜xeR)的最小正周期为

年=3兀

3

故选：C

3.已知命题p：mxoeR,x；-Xo+l<O,那么命题P的否定是()

A.2x0eR,-x0+1<0B.3x0eR,-x0+1>0

C.VxeR,x2-x+l>0D.VxeR,尤?1<()

【正确答案】C

【分析】根据存在量词命题的否定方法，结合已知中的原命题，可得答案.

【详解】“*oeR,片-x0+l<0”的否定是“VxeR,x2-x+l>0,\

故选：C

4.函数/(x)=log3X+x-3的零点所在的一个区间是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【正确答案】B

【分析】求出各区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得解.

【详解】解：函数/(x)=log3X+x-3在(0,+8)是连续不断的，

由/(1)=一2<0,/(2)=1。832-1<0,/(3)=1>0,/(4)=1。氏4+1>0,

/(5)-10^5+2>0,

所以函数/(力=陛3%+X-3的零点所在的一个区间是(2,3).

故选：B.

5.函数〃x)=tan(x+?]的单调递增区间为()

A.+eZ)B.(k兀，k兀+兀wZ)

C.卜力一手,+((keZ)D.卜冬一(,E+?(kcZ)

【正确答案】C

【分析】本题可根据正切函数性质得出-]+E<x+：<]+E(%?Z),然后通过计算即可得

出结果.

【详解】根据正切函数性质可知，

当-1+E<x+：<]+E(k?Z)时，函数〃x)=tan(x+?)单调递增，

3ir7T

即--+kji<x<—+kn^k?Z),

故选：C.

本题考查三角函数单调性的求法，主要考查正切函数的相关性质，正切函的单调

递增区间为•/，%乃+])(%€Z),考查计算能力，是简单题.

6.函数y=log2，-3x+2)的递减区间是

A.(Fl)B.(2,+8)

【正确答案】A

【详解】因为定义域为（TO,1）52,内）

所以函数y=log2（f-3x+2）的递减区间是（7,1）

故选：A

点睛：求函数单调区间的常用方法：（1）定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；（2）

图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：

二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“U”连接；（3）利用函数单

调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.

7.ilMsin40°（V3-tanl00）=（）

A.1B.2C.丛D.-3

【正确答案】A

【分析】利用同角的商数关系、辅助角公式、两角和的余弦公式及二倍角公式化简即可得答

案.

【详解】解：因为

包叱］=sin4。。（上工期竺］

sin40。（石-tan10。）=

cos10°Jcos10°,

_sin40。2cos（10。+30。）,2sin40。cos40。sin80。sin（900-10°）coslO。_1

cos100cos10°cos10°cos10°cos10°

故选：A.

8.已知实数MV满足/则下列关系式恒成立的是（）

11,

A.-^—>-5—B.ln（x2+l）>ln（/+l）

x'+1y+1

C.sinx>sinyD.x3>y3

【正确答案】D

【分析】由得x>>,根据基本初等函数单调性逐个判断即可，或举出反

例排除.

【详解】由优得x>y,

对A,丁;〉二匚oy2>x2oM>W，不恒成立，A错；

x+\y+1

对B,ln（x2+l）>ln（/+1）?x2y2?岗|y|,不恒成立,B错;

对C,三角函数有周期性，不恒成立，C错;

对D,x3>y3<=>x>y,D对.

故选：D.

二、多选题

9.下列计算中正确的是()

A.Isinl5°--cosl50=-—B.sin200cosl00-cosl60°sin10°=—

2222

r>-mco+'/2

C.sin---73cos—=->/2D.sin105°=-----------

12124

【正确答案】ABCD

【分析】结合诱导公式及正余弦的和差角公式分别进行化简，即可求解

【详解】解：对于A,

sin15°-cos15°=sin150cos60°-sin60°cos15°=sin(15°-60°)=sin(-45°)故正

确;

对于B,

sin20°cos100-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=-,正

2

确；

对于C,

.7TfT7rA(.兀TC.71.(7T7T]HZ一

sm--V3cos—=21sin—cosy-sinycos—l=2sinl--yl=2sml--l=-V2,正确；

对于D,

sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=-x+丄x=瓜+”,正确.

故选：ABCD

10.下列结论正确的是（）

r2+4

A.函数/（幻=7^的最小值为2

厶2+3

4

B.若x>0,则x+—24

x

C.若贝哈号

若而>0,a+b=\,则丄+,24

D.

ab

【正确答案】BD

【分析】由已知结合基本不等式及应用条件分别检验个选项即可判断，对C选项使用不等

式性质判断.

【详解】令则合6，

),=。±=5与+^==，+1在石，+8)上单调递增，故”短，A错误；

J/+3Jd+3t-3

当x>0时，x+->2.x--=4,当且仅当x=2时取等号，B正确；

xVx

当。=2,力=-1时，C显然不成立；

若々〃>0,a+b=lf则。>0,b>0,

则丄+丄=i+*=2+2+322+2、/^=4,当且仅当“=〃=工时取等号，D正确.

ababah\ba2

故选：BD.

11.已知函数/5)=4$皿。工+0)(4>0,0>0,|*|<|^的部分图象如图所示，则()

A.F(x)的最小正周期为万

B./卜+1)为偶函数

C.7(x)在区间0,f内的最小值为1

_4_

D.f(x)的图象关于直线*=-2m7r对称

【正确答案】AC

【分析】由图知，的最小正周期为7=开，结论A正确;

求出/(x)=2sin(2x+m，从而小+力=2sin(2x+g)不是偶函数，结论B错误；

因为/(())=石，/0=1，则在区间0,(内的最小值为1,结论C正确；

因为x=-会为/(x)的零点，不是最值点，结论D错误.

【详解】解：由图知，f(x)的最小正周期为7=4x(£-。)=〃，结论A正确；

因为0=半=2,A=2,则/(x)=2sin(2x+e).因为x=g为/(x)在(0,+oo)内的最小零点，

则2x5+e=",得"=所以/(x)=2sin(2x+(),从而

小+£|=2sin21+专”=2sin12x+5)不是偶函数，结论B错误；

因为/(0)=2si吟=6，/f^=2sin^|+yj=2cosy=l,结合图像可得f(x)在区间

0，£内的最小值为1,结论C正确；

因为f(-V)=2sin]—?+?)=2sin(-m=0,则》=-符为/⑴的零点，不是最值点，结

论D错误.

故选：AC.

12.若函数/(x)对Va,bwR,同时满足：(1)当a+b=0时有司(a)+f(b)=0；(2)当a+b>0

时有.f(a)+/e)>0,则称/(x)为C函数.下列函数中是。函数的为()

A.f(x)=x3B./(x)=x|x|

0,x=0

C.f(x)=x+-D./(%)=]1

x——，x*0

.x

【正确答案】AB

【分析】根据题意可知，。函数是定义在R上单调递增的奇函数，即可判断求出.

【详解】由条件(1)可知，对VaeR,都有/(。)+/(-。)=0,故是奇函数，

由条件⑵可知，当时，f(a-)>-f(b)=f(-b),故/(x)是增函数,

对于A,/(x)=r是奇函数也是增函数，故A符合;

对于B,f(-x)=~x\x\=-fM,

又f(x)=xN=<-是奇函数也是增函数’故B符合;

对于C,/（X）=x+—,f（—%）=—x—=—J（x）是奇函数，

fg）=2+g=|,=1+1=但不是增函数，故C不符合：

对于D,当x<0时，/«>0,而当x>0时，/（x）<0,故f（x）在定义域上不是增函数,

不满足条件（2）,故D不符合;.

故选：AB.

三、填空题

12

13.（6；）+（2&）+乃°-logs25=---------'

【正确答案】2

【分析】根据指对运算计算得出答案.

【详解】（（

6^-?+2^p+^°-log525>

5--

=-+83-1,

2

31

——I—,

22

=2

故2.

14.函数/（x）=优（a>0,且a*1）在区间卩,2］上的最大值比最小值大,则“的值为

【正确答案】g或g

【分析】讨论或根据指数函数的单调性求岀最值即可求解.

【详解】当时，则函数〃x）在区间［1,2］上单调递增，

由题意可得：/（2）-/（l）=a2-«=p解得a=|或a=0（舍去）；

当0<”1时，则函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,

由题意可得：/⑴-〃2)="巒=£,解得或。=。(舍去)；

31

综上所述：或〃=

22

故海.

15.设一元二次不等式52+以+1>0的解集为{x|-l<x<2},则姉的值为

【正确答案】一

4

根据一元二次不等式如2+法+1>0的解集为{X[T<X<2},可得方程⑪?+法+1=0的解为

-1,2,利用韦达定理即可解答本题.

【详解】解：一元二次不等式収2+bx+l>0的解集为{x[T<x<2},

二方程融2+法+1=0的解为-1，2

-1+2=--,(-1)x2=-^

1,1

a=—,b=一,

22

/.ab,=——1.

4

亠1

故一:•

4

本题重点考查一元二次不等式的解集，明确一元二次不等式的解集与方程解之间的关系是解

题的关键，属于基础题.

16.若sin(a+^j=；,则sin(2a+^)=.

7

【正确答案】-

【分析】由sin(2a+V)=sin-+2(a+^\\,结合诱导公式，倍角公式求解即可.

(

【详解】sin2a+^y+2la+^-I=cos2la+^-l=l-2sin2l«+^-l=l-2x---

吗

本题主要考查了诱导公式和倍角公式化简求值，属于中档题.

四、解答题

17.已知tana=；,tan〃=g.求：

(l)tan2a的值；

TT

⑵若a,6e(0,]),求角a+夕.

4

【正确答案】(1)]

吗

【分析】(1)直接根据二倍角的正切公式即可得解；

(2)利用两角和的正切公式求出tan(a+£),结合范围即可得结果.

2x1

【详解】(1)因为tana=:，所以tan2a=,=

21-tan'a।_13

4

1丄

(2)因为tanc=4,tan/?=!，所以tan(a+p)=:亜a+血与=Z”：],

231-tantztany?1x1

~23

又因为a,4€(0,今，所以a+/e(O,7r),

故a+/?=[.

4

18.已知y=/(x)是定义在R上的奇函数，当xZO时，f(x)=-x2+2x.

⑴求函数的解析式；

(2)求函数f(x)在[-上单调递增，求实数a的取值范围.

“宀."、-x2+2x,x>0

【正确答案】⑴/x)={,\八

X2+2X,X<0

⑵(1,3]

【分析】(1)设x<0,计算/(-x),再根据奇函数的性质，得〃X)=-/(T),即可得解;

(2)作函数/*)的图像，若/(x)在区间上单调递增，结合函数图像，列出关于。的

不等式组求解.

【详解】(1)因为当xNO时，/(X)=-X2+2X,

所以当x<0时，-x>0,/(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.

又/(x)为奇函数，所以〃x)=—/(—)=d+2x(x<0).

-x2+2x,x>0

x2+2x,x<0

（2）作出函数的图象如图所示:

a—2>~1

要使“X）在［Ta-2］上单调递增，结合图象可知'解得

所以。的取值范围为（1,3］.

sin[T+%)cos(54-x)tan("+x)

19.已知/(x)=

COS-Xjsin(7r+x)

(1)化简/(“);

(2)若f(a)=g,ae(0,兀

,求sina,cosa的值.

【正确答案】(1)〃力=丄

tanx

34

(2)sin^=—,cos^=—

3

【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简即可；（2）由条件得到tana==,再由

4

cos2a+sin2a=1,tana=,结合角的范围可得到最终结果.

cosa

sin—+xcos(5^-x)tan(4+x)

【详解】(1)fM=

cosxcos(^--x)tan(x)_-cosxcos(x)tan(x)_1

—cos(%-jsin(x)--sinxsin(x)-tanx

4143

⑵若/(a)=；,则----=z=tana=：

3tana34

.2,sina

cos2a+sina=1,tana=-------,

cosa

a£0,—/.sincr=-,cosa=—

I2丿55

20.已知函数f(x)=2sin(2x-”)，xeR.

6

⑴若"x0)=6,求X。的值；

(2)当时，求/(x)的最大值和最小值.

O12

【正确答案】(1)%=?+%"或%=葛+£乃，kwZ

(2)/(x)的最大值为2,最小值为1

【分析】(1)由整体法列式求解；

(2)由整体法求函数单调区间，即可判断最值.

【详解】(1)•'f(-*'())=73,2sin(2jc--^)=V3,BPsin(2^-—)=—,

0o62

2x—=—F2k冗或2x—=----F24乃,kGZ,

063063

...用=?+左万或工=卷+厶万，kwZ；

(2)VxeL-,—],玛，

612663

则当撻。証x。刍，f(x)单调递增；当2x<??，”]口川邑当，/(X)单

66263623312

调递减.

•■•/Wmax=/(|)=2sin|=2.

飞)=1,/喈)=6,

21.已知函数｛x)="一止JxGR).

(1)用定义证明：不论〃为何实数，/(X)在R上为增函数:

(2)若大x)为奇函数，求a的值；

(3)在(2)的条件下，求兀0在区间［I,5］上的最小值.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵a=3

【分析】(1)利用定义证明即可；

(2)由/(0)=。求出“，再用定义验证即可；

(3)根据指数函数的单调性证明y(x)为增函数，再求值域.

【详解】(1)证明：的定义域为R,任取X/<X2,则兀⑺一/(X2)=a—cJ,—a+〜J二

21+122+1

2』-2应

一(2再+1)(2g+1).

*/X1<X2,2x1—2X2<0,(1+2x/)(l+2X2)>0,，沢制)一人工2)<0,即f(.Xl)<fiX2),

...不论。为何实数，兀0在R上为增函数.

(2)•./x)在xWR上为奇函数，二貝0)=0,即a—"■；=(),解得a=；.

2+1乙

/(-x)=F