2023-2024学年山东省威海市高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年山东省威海市高二上册期末数学模拟试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.经过"(-I3),'(2，6)两点的直线的倾斜角为()

A.30°B,60°C.120°D.150°

【正确答案】B

【分析】先利用斜率公式求出斜率，进而可得倾斜角.

【详解】由斜率公式可得左二=二2百少=G,

福-1-2

故经过4(-网2,码两点的直线的倾斜角为60°.

故选：B.

2.在空间直角坐标系中，点P。,-2,3)关于y。平面的对称点是()

A.(-1,-2,3)B.(1,2-3)C.(-1,2,3)D.(-1,2,-3)

【正确答案】A

【分析】关于yOz平面的对称点纵坐标和竖坐标均不变可得答案.

【详解】点。(1,-2,3)关于yOz平面的对称点是(一1,一2,3).

故选：A.

3.已知实数》，P满足(2+。》=4+M，则«+同=()

A.2B.4C.20D.8

【正确答案】C

【分析】先通过条件求出片丁，再代入|x+W|求模即可.

【详解】由(2+i)x=4+yi得2x-4+(x-y)i=0,

]2x—4=0[x=2

[x-y=0卜=2

.,.k+yi|=|2+2i|=V?彷二20.

故选：C.

4.若S〃是等差数列｛。〃｝的前〃项和，q+2%+%=8,则Sg=()

A.10B.18C.20D.24

【正确答案】B

【分析】先利用等差数列的下角标性质求出4+&，再利用等差数列求和公式求S,即可.

【详解】由等差数列的下角标性质得％+24+4“=2&+2g,=8,

%+%=4，

9(%+qJ9(4+4)

.,.S9~i—T~18.

故选：B.

5.在平行六面体N3CD—44Goi中，点E满足/E=—，则()

A.3B[E=BgB.3B[E=2B£C.B[E=3B£D.2B]E=35,C,

【正确答案】A

【分析】利用向量的线性运算全部转化为用片作为起点的向量来表示，然后整理即可.

【详解】由四=一3四+阴+/2得BE=w（耳4一6/）-叼+3（片。「8/）

整理得3B[E=BR-BM=4〃=B£.

故选：A.

6.已知椭圆机/+己=1的焦距为2,则实数阳=（）

2

11J11一

A.—B.—C.—或〈D.—或1

3661233

【正确答案】D

【分析】分焦点在x上和焦点在了上讨论，利用/_〃=。2列方程求加.

【详解】焦距为2,即c=l.

—>2

当焦点在x上时，｛:,得〃?=；；

——2=1

」n

0<—<2

当焦点在y上时，，，得加=i；

2——=1

.m

综合得用=；或加=1.

故选：D.

7.经济学家凯恩斯在解释政府财政政策时指出，如果政府的支出增加，那么会产生“乘数”效应.如果

政府增加某项支出。亿元，那么这笔费用会使部分居民收入增加，假设受惠居民将收入增加量的「％

用于国内消费，那么国内消费的金额将会产生第2轮影响，其也会使部分居民收入增加，收入增加的

居民又会将收入增加量的p%用于国内消费，因此又会产生新的一轮影响……假设每位受影响的居民

消费理念都一样，那么经过30轮影响之后，最后的国内消费总额是(最初政府支出也算是国内消费)

()

叩-(p%尸］

A.q.(p%)29B.a.(p%)3。C.“口—5%)]

1-/7%--1一-％-

【正确答案】D

【分析】根据题意写出30轮影响后，国内消费总额，利用等比数列求和公式求出答案.

【详解】1轮影响后，国内消费总额为

2轮影响后，国内消费总额为•(/?%『，

30轮影响后，国内消费总额为Q+Q.p%+Q.(p%)2++Q.(p%产=—L----—~=L

1—P%

故选：D

8.已知抛物线。：/=2川(P〉0)的焦点为产，准线为/,过尸的直线与C交于48两点(点A在

第一象限),与/交于点若加二35.，|⑷1=6,则忸目=()

3

A.-B.3C.6D.12

2

【正确答案】B

【分析】利用抛物线的定义，以及几何关系可知cosNE44=g,再利用数形结合表示区厂|的值，

进而得p=4,再根据焦半径公式得猫=4,/(4,4啦)，进而求解直线/尸的方程并与抛物线联

立得4=1,再用焦半径公式求解即可.

【详解】如图，设准线与X轴的交点为K,作工4，/,BBJI,垂足分别为4，B},

所以，BBJ/FK//AA、.

八，1

又DB=3BF，所以忸闵=忸可=d。8|,

网1

=-

设NDBB、=6,则cos003

0

因为8月〃/4,

所以NE44=NDBBi=e,所以cos/E44=—，

1113

所以区目=|44卜孑//|=6-2=4,即p=4.

所以，抛物线为V=8x,焦点为尸（2,0）,准线为/：x=—2,

由|/可=6得解得X/=4,

所以，/（4,4立），

所以七尸=誓=2及，直线//的方程为丁=2拒卜一2）

所以，联立方程，'，）得/—5x+4=0,解得占=1,》2=4,

y2=8x

所以，xB=1,

所以，忸尸|=XB+5=1+2=3

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9.已知复数4=2i,z2=l+i,则()

A.2仔2=2逐2B.若|z-Z]|=l,则目的最大值为3

C.7eRD.2仔2在复平面内对应的点在第四象限

【正确答案】AB

【分析】对于A：分别求出空2，斗2来判断：对于B：设2=。+虻。€1<力61<,通过条件求出a,b

z

关系，代入|z|中求最值；对于C:求出,来判断；对于D:求出ZR2来判断；

【详解】对于A：复数4=2i,Z2=l+i,

z,z2=2i(l+i)=-2+2i,~-2—2i，

又2逐2=_2i(l_i)=_2_2i,ZjZ2=zyz2,A正确；

对于B：设z=a+匕i,Q£R,b£R,

则|z-卬=1+(6-2川=荷+9一2)2=1，即/+(b—2)2=l,且146W3,

二|z|=yla2+b2=y][-[b-2^+b2=d4b-3<,4x3-3=3，

即|z|的最大值为3,B正确；

z.2i2i(l—i)

Z

对于C：----7~.^l+igR,故C错误；

z21+1(l+i)(l-i)

对于D：z/2=2i(l+i)=-2+2i,其在复平面对应的点为(—2,2),在第二象限，D错误.

故选：AB.

10.已知直线/:ar-y-a+3=0(。eR),贝1]()

A./恒过定点(0,3)B.当时，/不经过第二象限

C./与直线》+即+1=0垂直D.当。=3时，点(3,2)到/的距离最大

【正确答案】BC

3

[分析]根据点斜式方程判断A；结合当。》3时，直线/与x轴的交点横坐标为1e(0,1]判断B；

根据直线一般式的垂直判断公式判断C；根据直线/与过点Q(3,2)和尸(1,3)的直线垂直时，点(3,2)

到/的距离最大求解判断D.

【详解】解：将直线/:ax-y-a+3=0（aeR）整理变形得/:y-3=a（x—l）（aeR）,

对于A选项，由点斜式方程得直线/：ox-y-a+3=0（aeR）过定点?（1,3）,故A错误；

对于B选项，当时，直线/与x轴的交点横坐标为又直线/过定点（1,3）,所以直

线/不经过第二象限，故B选项正确；

对于C选项，由于axl+（-l）xa=0恒成立，所以/与直线x+ay+l=0垂直，故C选项正确；

对于D选项，当直线/与过点0（3,2）和P（l,3）的直线垂直时，点（3,2）到/的距离最大，此时

kpQ=—；,又因为直线/的斜率为勺=。，故当。=2时，点（3,2）至心的距离最大，故错误；.

故选：BC

11.费马数是以数学家费马命名的一组自然数，具有形式：£=22"+1,〃eN*.1732年，数学家

欧拉算出£=641x6700417不是质数，从而宣告费马数都是质数的猜想不成立.现设

3Q-1

a„=噫（工-1）+1,bn=（-Ifj—,Sn为数列也｝的前〃项和，则（）

anan+\

A.£+「1=（月-1）2B.%=2%+1

c.5,=上工一1D.s”的最大值为—2

"2叫139

【正确答案】ACD

【分析】由题知£=2乃+1,an=2"+\,进而讨论AB即可得判断：再根据

^=（-l）n|-A-+—J—-j求和，并讨论其最大值即判断CD.

\IAXtfIJLJ

【详解】对A,由题知月=2.+1，〃eN*，。,=噫优-1）+1=2"+1,

所以，工.「I=2*,（£—1）2=（2*了=2*,即4用—1=（工—Ip,故A选项正确;

对B,%=2叫1,2%+1=2（2"+1）+1=2叫3,即氏+1#2勺+1,故B选项错误;

3a-132'+2（1,2n+1+lJ，

所以,"=（—1）"口一=（一1）"（2d+l）（2n+l+l））（2"+1

—

对C,

Q+l+2I+1+1J+Q+l+22+1+lJ+1111

s〃=(一1产-----i--------1------------------------1-------;------

2"-'+12"+12"+12"+'+1

(-1)"1

故C选项正确;

2,1+l+l3

对D,当〃为奇数时，5〃=上?一--111

2"+|+1-3<-3"

"2川+13

(-1)"1111

当〃为偶数时，S,=2,,+|+13-2叫1一厂一屋

111112”+i_2〃+3

■<0

2,,+3+1-32N+12n+3+l2n+l+l-(2,(+l+l)(2n+34-l)

所以,当〃为偶数时，｛S,,｝为单调递减数列,

112

所以,S”的最大值为S,=1------=--，故D选项正确.

23+139

故选:ACD

12.在三棱锥P—中，PA=PC=—AC底面Z3C是等边三角形，设二面角尸―ZC—8

2

的大小为6,则()

A.当6=90°时.，直线尸8与平面/8C所成角的大小为30。

B.当。=30°时，直线PB与平面N8C所成角的大小为30。

3

C.当NP8Z的余弦值为一时，。=30°

4

D.当直线尸8与平面Z8C所成角最大时，tanB=也

【正确答案】ABD

【分析】取ZC中点。，连接。尸,。3,由题知/尸。8二面角尸—ZC-8的平面角，即NPOB=6,

再令ZC=2,结合线面角，余弦定理，二面角等依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：因为尸N=PC=»ZC，

2

所以P/+PC2=ZC2,即尸4,PC,

所以△NPC为等腰直角三角形，

取4C中点。，连接。尸,。6,

因为底面是等边三角形，

所以OP_LZC,O8_LNC,

所以NPO8二面角P—力C-8的平面角，即NP08=。，

设/C=2,则。尸=1,06=6，AP=PC=C，

对于A选项，当。=90°时，此时。尸_LO6,OP_LNC,/COB=O,AC,OBu平面4BC,所以

OP,平面力8C,故/尸80为直线尸8与平面Z3C所成角，tan/P80="=立，所以

OB3

NPBO=31，即直线P8与平面Z8C所成角的大小为30”，故A选项正确;

当。=30。时，即/尸08=30/，所以，在△<?尸8中，由余弦定理得：

BP2=OP2+OB2-2OPOBcosZPOB^4-2y[3x—=l>即6尸=1,

2

所以BP=OP=1,即△OPB为等腰三角形，

所以NPBO=NPOB=30"

取。8中点。，则PZ5_L08

因为。P_L/C,08_L4C,OPOB=O,0尸,08<=平面0尸8,

所以ZCL平面OPS,

因为P£>u平面008,所以4C,尸。

因为PDOP=P,PD,OPu平面OPB,

所以PD_L平面。叫，

所以，/尸60是直线PB与平面48c所成角，

所以NPBD=NPBO=NPOB=30"，故B选项正确;

222

对于C选项，当NPBA的余弦值为士3时，有cosNPBA=BP'+B—A—-~A竺P-=BP+4-2=-3,解

42BPAB4BP4

得BP=1或BP=2

所以，当即=1时，由B选项的讨论过程可知6=30°；

当8P=2时，由OP?+OB?=PB?得OP上OB,故NPO8=90"，即。=90°,

3

所以，当NP8N的余弦值为一时.，6=30°或。=90°,故错误；

4

对于D选项，当直线尸B与平面48C所成角最大时，则OP_LP8,此时尸8=JOB2—OP2=&,

故tan。=£&=0，故D正确.

OP

故选：ABD.

关键点点睛：本题解题的关键在于根据二面角的概念，结合等边三角形，等腰直角三角形的性质，寻

找出二面角。一4。一8的平面角/尸。8（NC中点为。）.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.1+4+7++（3/?-2）=.

【正确答案】（现7）〃

2

【分析】直接用等差数列求和公式计算即可.

【详解】明显数列｛3〃-2｝为等差数列，

.-.1+4+7++（3«-2）=^——-~~

故答案为.CD”

2

14.在长方体力中，P为棱CG上一点，直线尸8与。2所成角的大小为60。，若

\AXA\=\AB\=\PB\=2,贝.

【正确答案】28

【分析】设ZD=a，CP=b,利用空间向量法即可求解.

【详解】在长方体Z5CD-44Goi中，以A为原点，居,小。,必为x,N,z轴建立如图所示坐标系,

设4D=a,CP=b,则8(2,0,0),P(2,a,b),D(0,a,0),0,(0,a,2),

所以尸8=(0,-a,—b),DDX=(0,0,2),

所以p,=J(—〃)+(—bl=2,解得a=百，即尸

又4(0,0,2),所叫前=,22+(6.+(—1)2=26，

故20

15.已知双曲线C：1=l(a>0,6>0)的右顶点为A,左焦点为尸，以A为圆心，|。耳为半

a2b2

径的圆与双曲线。的一条渐近线交于P,。两点(点。为坐标原点)，若NPAQ,,则双曲线C的

离心率为.

【正确答案】V2

【分析】由=g结合图象可得点A到渐近线的距离等于殍1,利用点到直线的距离公式和

双曲线a,b,c的关系以及渐近线、离心率公式求解即可.

【详解】如图所示，由于双曲线和圆的对称性，不妨取直线尸。为歹=2%,即"一以=0,

a

'c2^a2+b2

又因为双曲线中｛c，解得e=J5，

e=­

、a

故e

16.已知点4（3,0）,若圆（x—2）2+（y—4）2=/（/>o）上存在点M满足21Moi=|K4|（点。为坐

标原点），则厂的取值范围为.

【正确答案】[3,7]

【分析】设M（x,y）,由21Mol=|M4|得，点/在圆f+^+Zx—3=0上，进而结合题意圆

（x—2）2+（y—4）2=r2（r>0）与圆f+/+2%一3=0有公共点，再根据圆与圆的位置关系求解即

可.

【详解】解：设”（xj）,

因为点M满足21Moi=|肱,

所以，2次+/=J（x-3）2+y2,整理得/+丁2+2》一3=0，

所以，点M在圆'2+/+2*-3=0上，

因为，点〃也在圆（x—2）2+（y—4）2=r2（r>0）±

所以，圆（8一2）2+3-4）2=r2（/>0）与圆/+>;2+2；（;-3=0有公共点，

因为圆（工一2）2+（歹一4）2=厂23〉0）的圆心为8（2,4）,半径为，

圆/+/+2%—3=0的圆心为C（—1,0）,半径为R=2,

所以，|2-厂区忸C|=5«2+r,解得3WY7,

所以，厂的取值范围为[3,7]

故[3,7]

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.如图，正方体一同4的棱长为1.

(1)求直线cq与平面所成角的正弦值；

(2)求平面48。与平面481GA所成角的正弦值.

【正确答案】(1)也

3

⑵逅

3

【分析】(1)建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法求直线CG与平面480所成角的正弦值;

(2)利用空间向量法求平面43。与平面4片G2所成角的正弦值.

【小问i详解】

建立如图所示的空间直角坐标系4-孙Z,

则c(i,i,o),q(1,1,1),4(0,0,1),5(1,o,o),z)(o,1,0)

cct=(o,o,1),4B=(i,0,-1),40=(0,1,-1),

设面48。的法向量为i=(x/,z),

x…八

n-A.B=x-z=0

<x，取x=l,得y=l,z=l,

n-AXD=y-z-0

即面A}BD的一个法向量为；:(1,1,1),

设直线CC,与平面A、BD所成角为。，

sin。=

即直线CG与平面AXBD所成角的正弦值正:

3

【小问2详解】

由(1)知面48。的一个法向量为“=(1,1,1),

又平面4AGA的一个法向量明显为加=(o,o,i),

/兀

设平面/田。与平面44CD所成角为ee0,,

即平面A\BD与平面481GA所成角的正弦值为逅.

3

18.已知等比数列｛4｝的各项均为正数，a.,10,%成等差数列，且q=L

(I)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设4=〃•%,求数列也｝的前"项和S”.

【正确答案】(1)an=2"~'

(2)S„=(»-l)-2n+l

【分析】(1)设等比数列｛对｝的公比为夕，根据等比数列的通项公式列方程求解即可;

(2)由⑴得6“=止2"，利用错位相减法可求数列也｝的前”项和S”.

【小问1详解】

设等比数列｛%｝的公比为心且4>0,

由已知得的+牝=2°，4=1，即相+/=20,

解得4=2,负值舍去，

，数列｛2｝的通项公式4=2"T；

【小问2详解】

由(1)得£=小2—

2n

：.Sn=1x2°+2x2'+3X2++n-2-',

2S„=1X2'+2X22+3X23++(〃-1>2>1+〃-2",

两式相减得—S“=2°+2\22++2"T-〃.2〃=二=—,

"1-2'7

.•.S“=(〃-1>2"+1.

19.如图，在正四棱锥P—N8CQ中，PA=AB=36，点、M,N分别在PA,BD上，且型~=处=L.

(1)求证：MN1AD,

(2)求证：A/N//平面P8C,并求直线MN到平面P8C的距离.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵空

3

【分析】(1)连接4N并延长交BC于E,连接PE,先通过比例得到MN//PE,再通过证明PE1BC

可得MNJ.AD；

(2)通过肠V//PE可得4W//平面P8C,将求直线MN到平面PBC的距离转化为点N到平面PBC

的距离，利用等体积法gxS'[XS可得距离.

【小问1详解】

连接/N并延长交8c于E,连接PE,

BN1BN1

---=-,即Bll----=—

BD3ND2

AD//BC,%=L,

ND2

NEBE\NE\

---==-,即a=-

ANAD2AE3

PMNE\

~PA~~EA~3'

MN!/PE,

BE1

又.\=—,BC=AD,故E为BC中点,

AD2

又在正四棱锥中以=48,则PC=P8,

PE±BC,即尸EL/D,

由（1）得MN//PE,且面P2C,PEu面PBC,

二"乂//平面尸8（7,

故直线MN到平面PBC的距离即为点N到平面PBC的距离，设为h

S,,SR=1X-BC-Z)C=-X-!-X3V2X3V2=3,

NBC3232

点P到面Z8CQ的距离为=（与-=贬;—=3,

由Vp_NBC=V—PBC，得］XSNBCX=—XS尸8cXh,

』3X3」X2

332

得呼

20.已知抛物线C：j2=x,过点（1,0）的直线/与抛物线C交于N两点，圆/为的外接

圆（点。为坐标原点）.

（1）求证：线段MN为圆4的直径；

（2）若圆力过点白），求圆/的方程.

【正确答案】（1）证明过程见详解

【分析】（1）依题意可设直线/的方程为》=殁+1,加（网,必），"（々,巴），联立抛物线C的方

程整理可得必一,肛,_]=。，进而可得到必+为，yfy2,Xi+X2,X,X2,代入求得@y.ON=0,

即可得到结论；

/2\

（2）结合⑴先设圆/的圆心为“—+1,-,再求得恒比，|MN「，根据阿叫2=4|/6「，

即可求得加，进而可求得圆心和半径的平方，即可得到圆4的方程.

【小问1详解】

依题意可设直线/的方程为x=my+l,M（x，yJ,A^（x2,y2）,

x-my+\_

2,消X整理得J?—吵一1=0,

{y=x

贝Uy+y2=w>yty2=-i>再+x2=（机必+1）+（加为+1）=〃/+2,xtx2=（优必+1）（〃?8+i）=1,

则OA/-ON=X]X2+yj2=1-1=0，即OM_LON，

所以线段MN为圆N的直径；

【小问2详解】

（2\

结合（1）可设圆4的圆心为Z—+1,-

〈乙2乙2）

m42124

则»靖=----F—m~2+一加+一，

1542055

M2

1M2=（%-再丫+（%-%）2=（加2+1）（必一%）2=（疗+1）[（必+%）-]=tn4+5加2+4

又|同「=4|/8/，解得加=1,

953j_

所以圆半径的平方为|/却~=-圆心为A

2,2

1s-1

21.设S,,为数列｛%｝的前〃项和，7；为数列｛S,,｝的前〃项积，已知豆

(1)求d,S2；

(2)求证：数列|」一|为等差数列；

1^-1/

(3)求数列｛4｝的通项公式.

_3

【正确答案】⑴H=2；S

2~2

-2,M=1

(2)证明见解析(3)%=,_

(n22

1S-1

【分析】(1)直接令7="中的〃=1,〃=2可得答案；

1S-11S〃1T1]

(2)通过-得到-="1，两式相除整理后可证明数列—为等差数列;

4，4-1玉-11Sa-1

(3)当〃22时，通过/=S.-S,I可得数列｛%｝的通项公式，注意验证〃=1时是否符合.

【小问1详解】

1S-1

由7=%，S,产。且S,H1,

1n%

1&一11

当“=]时，--,得1=2,

1\55

1s2—113

得S2、；

当〃=2时，广邑=S、S

【小问2详解】

1S-1

对于7="①，

15,-1

当“22时•，=②

4-13〃-]

Ls,‘

TnSn%-

即5「1=汨匚1Ei1

+1,

S「1\_,-1

又力”

1

数列〈卜是以1为首项，1为公差的等差数列;

【小问3详解】

由（2）得+，

、〃一1

当〃时，a=：+"占11

1

又〃=1时，q=S1=2,不符合与=一

-1)

2,77=1

,〃立

I-"〃A(〃rTx)

22.已知椭圆反£■+/■=1,>6>0）过点力（0,2）,离心率为当.

（1）求椭圆E的方程;

（2）过点（0,1）的直线/与椭圆E交于3,C两点，直线/8,/C分别与直线歹交于M,N两点,

若|脑计=40，求直线/的方程.

22

【正确答案】（1）二+二=1

84

17

(2)y=——x+1或y=—x+1

26

4

i

F

C_y/2

【分析】（i）由题知，进而解方程即可得答案;

a2

b2=a2-c2

（2）由题知，直线/斜率存在，设方程为丁=依+1,8（%,乂）,。（乙,8），故直线N6方程为

y,—2