2023届云南省大姚一中高三第八次月考（四模）数学试题试卷

2023届云南省大姚一中高三第八次月考（四模）数学试题试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何

体的表面积是（）

正视图侧视图

俯视图

A.160+16%

B.16a+8乃

C.8&+16万

D.80+8万

2.给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排

木工工作，则不同的安排方法共有（）

A.12种B.18种C.24种D.64种

YYIX-4-1

3.已知函数〉=。*一2（。＞0且awl的图象恒过定点P,则函数y=-----图象以点P为对称中心的充要条件是（）

x+n

A.m=l,n=—2B.m=-1,匕=2

C.m=l,n=2D.m=—l,rz=—2

4.已知〃是两条不同的直线，,"_L平面a,则“///a"是“LL/n”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

171

5.“cos2a=——”是=——,ZEZ”的()

23

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

6.已知函数/(x)=Gsin2x-2cos2x+l,将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的;，纵坐标保持不变;

再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，若g(x)g(%)=9,则村-引的值可能为()

5%3兀7171

B.—

427

7.将函数/(x)=cos2x图象上所有点向左平移:个单位长度后得到函数g(x)的图象，如果g(x)在区间［0,可上单

调递减，那么实数。的最大值为()

万兀》3

A.—B.—C.—D.—71

8424

8.若函数/(幻。恰有3个零点，则实数。的取值范围是()

44

A.(―,+oo)B.(0,—)C.(0,4e2)D.(0,+oo)

22

9.设片，K分别为双曲线=-2=1(。＞0/＞0)的左、右焦点，过点片作圆+="的切线，与双曲线的左、右

ab

两支分别交于点P,。，若|Q6|=|PQI，则双曲线渐近线的斜率为()

A.±1B.士伊-1)C.±(V3+1)D.±75

22

10.已知椭圆c：鼻+与=1(。＞人＞o)的左，右焦点分别为耳，过耳的直线交椭圆于两点,若

F2,CA,B

ZABF2=90°,且."鸟的三边长忸周，|AB|,段成等差数列，则C的离心率为（）

A.-B.—C.—D.—

2322

11.已知三棱锥P—ABC,AC=五,BC=1,AC,3c且PA=2PB,PB,平面AB。，其外接球体积为（）

47r324

A.-----B.47rC.-------D.4Jr37r

33

12.已知等差数列(«„｝的公差为2前〃项和为S„，若%，%，应为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为120。,

则Sn的最大值为()

A.5B.11C.20D.25

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知尸为抛物线C：*2=8y的焦点，尸为C上一点，M(-4,3),则APM尸周长的最小值是.

14.“北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点、远地点离地面的距离大约分

2

别是§R,4R，则“北斗三号''卫星运行轨道的离心率为.

2x+y>2

15.若x，)，满足约束条件卜-2<0,则z=x+.y的最大值为.

2x-y<2

16.“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平

局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头.甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)设函数二二二s:：.二一，+,：二二+二二七二.

(/)求二二的最小正周期；

(〃)若二三©，二且二$=求s◎二十勺的值.

分)已知〉设函数

18.(12a0,b>0,c>0f(x)=|x-b|+|x+c|+a,XeR.

(1)若a="=c=l,求不等式/(x)>5的解集；

(2)若函数/(%)的最小值为1,证明：£+丘：+后>18(。+6+。).

19.(12分)一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本》(万元)与该月产量x(万件)之间有如下一组数据:

X1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.87

y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26

(1)通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合)'与x的关系，请用相关系数〃加以说明；

(2)①建立月总成本y与月产量X之间的回归方程；②通过建立的)'关于X的回归方程，估计某月产量为1.98万件

时，产品的总成本为多少万元？(均精确到0.001)

ioioHoHo

附注：①参考数据：=1445,»=2731,£^-10工2°0850,2；一10歹2°1,042,^=1,223.

i=I$

•一西、>，・％_呵

②参考公式：相关系数「=下==-、(,------------=T,b=^---------,a=y-bx.

^^2-^21ZX2-«72J&2--2

20.(12分)《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高

考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为

A、B+、B、C+、C、。+、D、E共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、

16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依

照等比例转换法则，分别转换到［91,100］、［81,90］、［71,80］,［61,70］,［51,60］,［41,50］、［31,40］、［21,30］八个

分数区间，得到考生的等级成绩.某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测

试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(6(M69).

(1)求物理原始成绩在区间(47,86)的人数；

(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间［61,80］的人数，求X的

分布列和数学期望.

(附：若随机变量J~N(〃,b2),则P(〃-b<&<〃+b)=0.682,P(〃-2b<&<〃+2b)=0.954,

P(〃—3b<"〃+3cr)=0.997)

21.(12分)如图，四棱锥P-ABC。中，底面ABC。是菱形，对角线交于点O,M为棱的中点，

MA^MC.求证：

P

(1)P3//平面AMC；

(2)平面PB£>_L平面AMC.

x=cosa

22.（10分）在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为.「以。为极点，不轴正半轴为极轴建立极坐标系,

y-sm0.

TT

设点A在曲线Q：0sin8=l上，点3在曲线。3：。=一一（P＞。）上，且AQB为正三角形.

6

（D求点A,8的极坐标；

（2）若点P为曲线G上的动点，M为线段AP的中点，求的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为

万22+,乃26=80+8万澈选口.

222

2、C

【解析】

根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆,

将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】

解：根据题意，分2步进行分析：

①，将4人分成3组，有C：=6种分法；

②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，

将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有用=2种情况，

此时有2x2=4种情况，

则有6x4=24种不同的安排方法；

故选：C.

【点睛】

本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

3、A

【解析】

由题可得出P的坐标为(2,1),再利用点对称的性质，即可求出加和〃.

【详解】

根据题意，｛,,所以点尸的坐标为(2,1),

9=1

_mx+\m(x++\-mn

又y=-------=---------------------=m+----,

x+nx+nx+n

所以m=l,〃=-2.

故选：A.

【点睛】

本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题.

4、A

【解析】

根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.

【详解】

当”」平面a时，若/〃a”则"L"”成立，即充分性成立，

若lA-in,则l//a或fca,即必要性不成立，

则“/〃a”是“LLm”充分不必要条件，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题

5、B

【解析】

先求出满足cos2a=—!■的。值，然后根据充分必要条件的定义判断.

2

【详解】

由cos2a=-,得2a=24»±女，即。=k乃士工，keZ,因此“cos2a=—l”是=Z万+工，左eZ”的必要

23323

不充分条件.

故选：B.

【点睛】

本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础.解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断.

6、C

【解析】

利用二倍角公式与辅助角公式将函数v=/(x)的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数V=g(x)的解析式为

g(龙)=2sin(4x-^)+l,可得函数y=g(x)的值域为[一1,3],结合条件g(玉).g(w)=9,可得出g(%)、g(w)

均为函数y=g(x)的最大值，于是得出后一司为函数)'=g(x)最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项.

【详解】

函数/(x)=V^sin2x-2cos2x+1=Gsin2x-cos2x=2sin2x-—,

I6；

1(jr\

将函数y=/(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的彳倍，得y=2sin4x-^的图象；

再把所得图象向上平移1个单位，得函数y=g(x)=2sin(4xq)+1的图象，易知函数y=g(x)的值域为[-1,3].

若g(x)g⑸=9,则g(玉)=3且g(w)=3,均为函数y=g(x)的最大值,

由41一工=工+24"(左EZ),解得1=工+”(女£Z)；

6262

其中王、z是三角函数y=g(x)最高点的横坐标，

••・厄一天|的值为函数y=g3的最小正周期T的整数倍，且7=子=1.故选C.

【点睛】

本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定g(%)、g(9)均为

函数y=g(x)的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

7、B

【解析】

根据条件先求出g(X)的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可.

【详解】

将函数/(X)=COS2X图象上所有点向左平移:个单位长度后得到函数g(x)的图象，

71

则g(x)=cos2X+一=cosf+I,

4

7C

设e=2x+—,

2

JCTC

则当Ovx<〃时，0<2x<2cl9—<2xH—<2。H—,

222

即一<6V2〃+—，

22

要使g(X)在区间［0,句上单调递减，

47171

则2。+一<乃得2。<一，得。<一，

224

TT

即实数。的最大值为一，

4

故选：B.

【点睛】

本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题.

8、B

【解析】

求导函数，求出函数的极值，利用函数=恰有三个零点，即可求实数”的取值范围.

【详解】

x

函数y=Ve*的导数为y'=2xe+f/=xe\x+2),

令y'=0,贝!lx=O或一2,

一2<%<0上单调递减，(-8,-2),(0,+8)上单调递增，

所以0或-2是函数y的极值点，

函数的极值为：/(0)=0,/-(-2)=4e-2=—,

e

4

函数/(©=/短-。恰有三个零点，则实数的取值范围是：(0，r).

e~

故选B.

【点睛】

该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象

的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.

9、C

【解析】

如图所示：切点为M,连接作PNLx轴于N,计算归用=2。，归居|=4"，|PN|=^，恒N|=迦,

cc

根据勾股定理计算得到答案.

【详解】

如图所示：切点为连接Q0,作PNJ_x轴于N,

\QF\-\QF^\QF\+\PF\-\QF^\PF\^2a,故|尸闯=4a,

在放△团（»；中，sin/M片0=色，故cos/*0=2,故|PN|=幺匚，恒叫=必,

【点睛】

本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

10、C

【解析】

根据等差数列的性质设出怛用，|A3|,|A£|,利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得怛用=a=|切秣再利

用勾股定理建立a，c的关系式，化简后求得离心率.

【详解】

由已知忸周，|A6|,|A闾成等差数列，设忸玛|=x,|AB|=x+d,|M|=x+2d.

由于乙钻6=90。，据勾股定理有忸/咪+1A砰=|A用2,即x2+(x+d『=(x+2d)2,化简得x=3d；

由椭圆定义知.AB居的周长为x+x+d+x+"=3x+3d=12d=4a,有a=3d,所以x=%所以

忸闯=a=|班|；

在直角BF,片中，由勾股定理，2a2=402,.•.离心率e=4.

2

故选：C

【点睛】

本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.

【解析】

由AC_L8C,PBJ_平面ABC,可将三棱锥尸-ABC还原成长方体，则三棱锥P-ABC的外接球即为长方体的外接球,

进而求解.

【详解】

由题，因为AC=后，BC=1,4。，6。,所以钻=，4。2+3。2=6,

设P6=/?,则由=2PB,可得73+/Z2=2〃，解得力=1，

可将三棱锥P-ABC还原成如图所示的长方体.

则三棱锥P—ABC的外接球即为长方体的外接球，设外接球的半径为R，则2R=712+(V2)2+12=2,所以R=1,

4TT314万

所以外接球的体积V=—R=—.

33

故选:A

【点睛】

本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.

12、D

【解析】

由公差d=-2可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前n项和，从而得到最值.

【详解】

等差数列｛4｝的公差为-2,可知数列单调递减，则外,生，%中生最大，%最小，

又4,%,应为三角形的三边长，且最大内角为120。，

由余弦定理得W设首项为4,

即(4_2)2=但1—4)2+出一6)2+出一4)区—6)=0得(4_4)(01_9)=0,

所以q=4或4=9,又%=a1—6>0,即a1>6,q=4舍去，故“=9,d=-2

前几项和S“=9n+^^x(—2)=—(〃—5)2+25.

故S“的最大值为S$=25.

故选：D

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查求前n项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、5+V17

【解析】

△PMF的周长最小，即求|9|+|「口|最小，过P做抛物线准线的垂线，垂足为。，转化为求IPMI+IPQI最小,

数形结合即可求解.

【详解】

如图，尸为抛物线C：，=8y的焦点，尸为C上一点，M(-4,3),

抛物线C：好=8了的焦点为F(0,2),准线方程为y=-2.

过尸作准线的垂线，垂足为。，则有IPRRPQI

\PM\+\PF\=\PM\+\PQ\>\MQ\=5,

当且仅当A/,P,Q三点共线时，等号成立，

所以△PMF的周长最小值为5+正4)2+(3-2)2=5+历.

故答案为：5+V17.

【点睛】

本题考查抛物线定义的应用，考查数形结合与数学转化思想方法，属于中档题.

1

14、-

2

【解析】

画出图形，结合椭圆的定义和题设条件，求得。的值，即可求得椭圆的离心率，得到答案.

【详解】

如图所示，设椭圆的长半轴为半焦距为。，

2

因为地球半径为M若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是］尺，4R,

Q+C=4R+R

可得12cc，解得。=曰/?,。=3/?,

a—c=—R+R33

3

-R

c2I

所以椭圆的离心率为6=—=芬=

a&2

3

故答案为：—

2

本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，列出方程组，求得“，c的值是解答的关键,

着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

15、4

【解析】

作出可行域如图所示：

目标函数2=工+九即为＞=-x+z,平移斜率为的直线，经过点4(2,2)时，Z,,*=2+2=4.

2

16、-

3

【解析】

用树状图法列举出所有情况，得出甲不输的结果数，再计算即得.

【详解】

由题得，甲、乙两人玩一次该游戏，共有9种情况，其中甲不输有6种可能，故概率为：=].

3

【点睛】

本题考查随机事件的概率，是基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(/)_；(II)一•—

【解析】

⑺化简得到二二1=n［二+与，得到周期.

（〃）二®=、2（二+"）=4故而（二+初==，根据范围判断心」二-三=代入计算得到答案.

【详解】

(I)D(D)s立(2口一习++：)=♦(30-：)+cB»(2n-力

=口血（二二卜-二I,故二===二.

（1/）Z.（r）=、］而'（二+=：»Sfcsn（二+p1=y»co?.!I.不卜=~-T'

nw&E故二-一弓笔），|cos（二+利>|而（二+目|,

版A好件二），故C8（二+总=-当

皿?二+：）=:血（口+舒.（口+野=

【点睛】

本题考查了三角函数的周期，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

18、(1)(-w,-2)l(2,4^)；(2)证明见解析

【解析】

(1)利用零点分段法，求出各段的取值范围然后取并集可得结果.

(2)利用绝对值三角不等式可得“+b+c=l,然后使用柯西不等式可得结果.

【详解】

(1)由a=b=c=l,所以/(x)=|x-"+|x+l|+1

由/(x)>5

当时，贝！］/(x)=l-x-l-x+l>5=>x<-2

所以X<-2

则/(^)=l-x+l+x+l>5=>XG0

当xNl时，贝]lf(x)=x-l+l+x+l>5=>x>2

综上所述：XG(T»,—2)D(2,+OO)

(2)由卜一4+|x+c|之+c)1诽+c|

当且仅当(x-6)(x+c)V。时取等号

所以/(x)=|x_q+|x+d+a2|b+d+a

由。>0,匕>0,c>0,/11bl(力=1，

所以a+Z?+c=l

ki、1&+人b+cc+a3

所以二一+=-+二一=1

222

AT(149](a+bb+cc+a\

令7=------+------+------------+1

\a+bb+cc+a222J

—+―『+]一/»+c[[Vc+a)

a+hh+cc+a\\Ja+hJ3

警H需'

a+2b1b+2c।c+2a〔夜+J+[>

根据柯西不等式，则一

12312

当且仅当一-=——，即〃=O,a=；,c=；取等

a+bb+cc+a33

由。>0,Z?>0,c>0

=18,又a+b+c=l

i4o

贝!J---+----+---->18(o+/7+c)

a+hb+cc+a

【点睛】

本题考查使用零点分段法求解绝对值不等式以及柯西不等式的应用，属基础题.

19、(1)见解析；(2)®y=\.223X+0.964(2)3.386(万元)

【解析】

-10x2

(1)利用/•=代入数值,求出「后即可得解;

10

£v,2-ior

(2)①计算出了、»后，利用a=y-加求出6后即可得解;

②把x=1.98代入线性回归方程，计算即可得解.

【详解】

(1)由已知条件得,

Ar=1.2230.998,

1.042

说明y与X正相关，且相关性很强.

1010

(2)①由已知求得—二七_［另£=9一放=2.731—1.223x1.445“0.964

x=——=1.445y=——=2.731'

1010

所以，所求回归直线方程为S=L223x+0.964.

②当x=L98时，y=1.223x1.98+0.964»3.386(万元),

此时产品的总成本约为3.386万元.

【点睛】

本题考查了相关系数厂的应用以及线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于中档题.

20、(I)1636人；(II)见解析.

【解析】

(I)根据正态曲线的对称性，可将区间(47,86)分为(47,60)和(60,86)两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出

2

成绩在区间(47,86)内的概率，进而可求出相应的人数；(II)由题意得成绩在区间［61,80］的概率为,，且

X〜8(3,|),由此可得X的分布列和数学期望.

【详解】

(I)因为物理原始成绩为~潮(60,132),

所以P(47<自<86)=P(47〈&<60)+P(60港<86)

=1P(60-13<^<60+13)+1P(60-2X13<^<60+2x13)

0.6820.954

=-----+------

22

=0.818.

所以物理原始成绩在(47,86)的人数为2000x0.818=1636(人).

2

(II)由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间［61,80］内的概率为二.

所以随机抽取三人，则X的所有可能取值为0,1,2,3,且X~,

f3、327

所以尸(X=0)=

57125

p（x=i）=c；.|.3

2丫336

P（X=2）=C]—I•一=---

55125