2023年湖南省益阳市中考数学试卷（附答案详解）

2023年湖南省益阳市中考数学试卷

1.四个实数一50,2,「中，最大的数是（）

A.-gB.0C.2D.V3

2.下列计算正确的是（）

5.某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进两种劳动工具共145件，

A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元.设购买A,B两种劳动工具的件数分别为x,y,

那么下面列出的方程组中正确的是（）

fx+y=145口俨一y=145

（10x+12y=1580（10x+12y=1580

「（x+y=145n（x—y=145

[12x+lOy=1580（12%+lOy=1580

6.乡村医生李医生在对本村老年人进行年度免费体检时，发现张奶奶血压偏高，为了准确

诊断，随后7天，李医生每天定时为张奶奶测量血压，测得数据如下表:

测量时间第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天

收缩压（毫米汞柱）151148140139140136140

舒张压（毫米汞柱）90928888908088

对收缩压，舒张压两组数据分别进行统计分析，其中错误的是（）

A.收缩压的中位数为139B.舒张压的众数为88

C.收缩压的平均数为142D.舒张压的方差为:

7.如图，口A8C。的对角线AC,BD交于点O,下列结论一定成立的

是（）

A.OA=OB

B.OA1OB

C.OA=OC

D./-OBA=zOSC

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点4(0,1),C(5,6),则sin血C=()

9.下列因式分解正确的是()

A.2a2-4a+2=2(a-1)2B.a2+ab+a=a(a+b)

C.4a2—b2=(4a+()(4a—b)D.a3b—ab3—ab(a—b)2

10.关于一次函数y=x+l,下列说法正确的是()

A.图象经过第一、三、四象限B.图象与y轴交于点(0,1)

C.函数值y随自变量x的增大而减小D.当x>—1时，y<0

11.据报道，2023年我国新能源汽车发展优势不断巩固和扩大，一季度全国新能源汽车销量

为159万辆，同比增长27%,将1590000用科学记数法表示为

12.计算：V20xV_5=

13.从1〜10这10个整数中随机抽取1个数，抽到3的倍数的概率是

14.分式方程为=|的解是—

15.我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次

函数y=2x的图象向上平移1个单位得到y=2x+1的图象；将

二次函数y=必+1的图象向左平移2个单位得到y=(x+2/+

1的图象，若将反比例函数丁=:的图象向下平移3个单位，如图

所示，则得到的图象对应的函数表达式是.

16.如图，正六边形ABC。所中，^FAB=

17.如图，在正方形ABC。中，AB=4,E为AB的中点，连

接。E,将AZME绕点。按逆时针方向旋转90。得到ADCF,连

接EF,则EF的长为.

18.如图，在nABCZ)中，AB=f>,AD=4,以A为圆心，AO的长为半径画弧交AB于点E,

连接。E,分别以。，E为圆心，以大于gDE的长为半径画弧，两弧交于点尸，作射线AF,

交DE于点M,过点“作MN〃/1B交BC于点N.则MN的长为.

19.计算：—1|—(―A/~5)2—12X(―券

20.如图，AB//CD,直线MN与AB,C£>分别交于点E,F,8上有一点G且GE=GF,

41=122。，求42的度数.

112

21.先化简，再求值：一不)・记耳，其中》=一五一1.

22.我市教育局为深入贯彻落实立德树人根本任务,2022年在全市中小学部署开展“六个一”

德育行动.某校为了更好地开展此项活动，随机抽取部分学生对学校前段时间开展活动的情况

进行了满意度调查，满意度分为四个等级：4非常满意；B：满意；C：一般；D；不满意,

根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图表：

请你根据图表中的信息，解答下列问题：

(1)本次被调查的学生人数是多少？

(2)求图表中m,n的值及扇形统计图中A等级对应的圆心角度数；

(3)若该校共有学生1200人，估计满意度为A,8等级的学生共有多少人?

23.如图，线段与0。相切于点B,AO交。。于点M,其延长线交。。于点C,连接BC,

AABC=120°,。为。。上一点且属的中点为M,连接A。，CD.

⑴求乙4cB的度数；

(2)四边形ABC。是否是菱形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由：

(3)若4c=6,求的长.

24.某企业准备对A,B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行

分析得知：投资A项目一年后的收益力(万元)与投入资金x(万元)的函数表达式为：以=|x,

2

投资B项目一年后的收益YB(万元)与投入资金穴万元)的函数表达式为：yB=-jx+2x.

(1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？

(2)若对A,8两个项目投入相同的资金m(m>0)万元，一年后两者获得的收益相等，则相

的值是多少？

(3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策.该企业将根据此政策获得的减免税款及其

他结余资金共计32万元，全部投入到A,B两个项目中，当A,B两个项目分别投入多少万

元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？

25.如图，在RtzxABC中，乙4cB=90。，AC>8C,点。在边AC上，将线段D4绕点。按

顺时针方向旋转90。得到DA,线段D4交AB于点E,作&F_L4B于点尸，与线段4c交于点

G,连接尸C,GB.

(1)求证：△4DE丝AADG；

(2)求证:AFGB=AG-FC；

(3)若AC=8,tam4=2，当&G平分四边形。CBE的面积时，求AO的长.

26.在平面直角坐标系xOy中，直线/：y=a(x+2)(a>0)与x轴交于点A,与抛物线E：

y=a/交于&C两点(B在C的左边).

(1)求4点的坐标；

(2)如图1,若8点关于x轴的对称点为B'点，当以点A,B',C为顶点的三角形是直角三角

形时，求实数。的值；

(3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如(-2,1),(2,0)等均

为格点.如图2,直线/与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分(不包含边界)中的格点数恰

好是26个，求a的取值范围.

图1图2

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：

・•・在实数一50,2,q中，最大的数是2,

故选：C.

根据正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小可

得答案.

本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数比较大小的法则.

2.【答案】D

【解析】解：Ax2-x3=x5,故4不符合题意；

B.(x3)2=x6,故B不符合题意；

C.(3X)2=9%2,故C不符合题意：

D.x3x=x2,故。符合题意；

故选：D.

根据同底数基的乘除法，暴的乘方与积的乘方逐项进行计算即可.

本题考查同底数塞的乘除法，哥的乘方与积的乘方，掌握同底数累的乘除法的计算方法，塞的乘

方与积的乘方的运算性质是解答的关键.

3.【答案】D

【解析】解：由轴对称图形定义可知。选项中的图形是轴对称图形，

故选：D.

根据轴对称图形的定义分别判断可得出结果.

此题主要是考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么

这样的图形就叫做轴对称图形.

4.【答案】B

【解析】解：由x=2WO得x42,又x>0,

则不等式组的解集为0<x42.

A项代表0Wx<2；

B项代表0<xW2；

C代表x<0且x>2；

D代表x>0.

故选：B.

先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数

轴上即可.

本题主要考查解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来，解题的关键是注意)，2向右

画；<,W向左画；同时还要注意“2”，“W”要用实心圆点表示；要用空心圆点

表示.

5.【答案】A

【解析】解：•.・购进4B两种劳动工具共145件，

x+y=145；

•••4B两种劳动工具每件分别为10元，12元.且购买这批劳动工具共花费1580元，

:.10x+12y=1580,

••・根据题意可列出方程组｛匕158。，

故选：A.

利用总价=单价x数量，结合学校用1580元购进A,B两种劳动工具共145件，可列出关于x,y

的二元一次方程组，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题

的关键.

6.【答案】A

【解析】解：把7天的收缩压从小到大排列，排在中间的数是140,故中位数是140,故选项A符

合题意；

在7天的舒张压中，88出现的次数最多，所以舒张压的众数为88,故选项B不符合题意；

收缩压的平均数为：x(151+148+140+139+140+136+140)=142,故选项C不符合题

悬；

舒张压的平均数为;x(90+92+88+88+90+80+88)=88,

舒张压的平均数为;x[2x(90-88)2+(92-88)2+(80-88)2+3x(88-88)2=:故选项D

不符合题意.

故选：A.

分别根据中位数、众数、算术平均数和方差的定义解答即可.

本题考查了方差、算术平均数，中位数以及众数，掌握相关统计量的定义以及计算方法是解答本

题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：•••四边形ABC。是平行四边形，

:.0A=0C,OB=0D,

故选：C.

由平行四边形的对角线互相平分可得。4=OC,OB=0D,即可求解.

本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键.

8.【答案】C

【解析】解：过C作C0_L4B交AB延长线于。，

•••71(0,1),B(4,l),C(5,6),

•••0(5,1)，

•••CD=6—1=5,AD=5,

:.AC=54，

.CD<2

smZ-BAC=—=—>

故选：C.

过C作CD交AB延长线于。，计算出CZXAC的长，

根据正弦计算方法计算即可.

本题主要考查了解直角三角形的应用，平面直角坐标系,关键是构造直角三角形.

9.【答案】A

【解析】解：4选项，2a2-4a+2=2缶-1)2,故该选项符合题意；

3选项，a2+ab+a=a(a+b+1),故该选项不符合题意；

C选项，4a2-b2=(2a+b)(2a-b),故该选项不符合题意；

。选项，a3b—ab3=ab(a.2—i2)=ab(a+i))(a—b),故该选项不符合题意.

故选：A.

利用提公因式法、公式法逐个分解得结论.

本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键.

10.【答案】B

【解析】解：,；一次函数y=x+1中，k>0,b>0,

•••图象经过第一、二、三象限，

故A不正确；

当x-00寸，y=1,

・•・图象与y轴交于点(0,1),

故8正确；

,•,一次函数y=x+l中，k>0,

.•・函数值y随自变量x的增大而增大，

故C不正确：

•.,当x=-l时，y=0,函数值y随自变量x的增大而增大，

二当x>—1时，y>0,

故。不正确；

故选：B.

根据一次函数的性质逐个进行分析判断即可做出选择.

本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解决问题的关键.

11.【答案】1.59x106

【解析】解：1590000=1.59x106,

故答案为：1.59x106

科学记数法的表现形式为ax10"的形式，其中lS|a|<10,"为整数，确定"的值时，要看把原

数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等

于10时，〃是正数，当原数绝对值小于1时〃是负数；由此进行求解即可得到答案.

本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义.

12.【答案】10

【解析】解：x门=V20x5=V^OO=10，

故答案为：10.

根据二次根式的乘法法则和性质进行运算即可.

本题主要考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法运算法则并能利用二次根式的性质化

简是解题的关键.

13.【答案】得

【解析】解：由题意可得：在1〜10中共有10个整数，

3的倍数只有3,6,9,共3个，

•••随机抽取一个数，抽到3的倍数的概率是磊.

故答案为：余

直接利用概率公式求解即可.

本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键.

14.【答案】x=-2

【解析】解：2=4

x-2x

方程两边同乘x(x-2),去分母得4x=2(x-2),

解这个整式方程得％=-2,

检验：把x=-2代入x(x-2)40,

•••x=-2是分式方程的解.

故答案为：x=—2.

根据解分式方程的步骤，方程两边同乘最简公分母，化为整式方程后再求解，然后进行检验，可

得结果.

此题主要是考查了解分式方程，能够熟练掌握解分式方程的方法是解答此题的关键，注意要检验.

15.【答案】y=9—3

JX

【解析】解：由题意，将反比例函数y=:的图象向下平移3个单位，得到的图象对应的函数表达

式为y=-3.

故答案为：y=2—3.

根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

本题考查的是一次函数、二次函数、反比例函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”

的原则是解答此题的关键.

16.【答案】120

【解析】解：•.•六边形ABCDEF是正六边形，

4FAB=(6-2)x180°+6=120",

故答案为：120.

根据多边形的内角和及正多边形的性质计算即可.

本题考查多边形的内角和及正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.

17.【答案】2/IU

【解析】解：•••四边形4BCQ为正方形，

:.AD=48=4,Z.A=90°,

••・E为AB的中点，

AE—2,

DE=VAE2+AD2=，22+42=2V-5)

ZME绕点D按逆时针方向旋转90。得到△DCF,

DE=DF=2c，4EDF=90°,

••.△DEF为等腰直角三角形，

EF=yJ~l.DE=Cx2c=2^T10.

故答案为：2CU.

先根据正方形的性质得到4。=4B=4,乙4=90°,4E=2,则利用勾股定理可计算出DE=2<5,

再根据旋转的性质得到OE=0尸=2/亏，/EDF=90。，然后利用△DEF为等腰直角三角形得到

EF=yp2.DE.

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于

旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了正方形的性质.

18.【答案】4

【解析】解：延长MW交AQ于点Q,

由作图得：AD=AE=4,AF平分N84D,

ADM=ME,

MN//AB,

DQ=AQ,CN=BN,

•••QM=2,

在□ABC。中，AD/IBC,CD=AB=6,

四边形C£»QN是平行四边形，

•••QN=CD=AB=6,

MN=NQ-MQ=6-2=4.

故答案为：4.

延长NM交AC于点Q,再判定四边形C£>QN是平行四边

形，最后根据三角形的中位线的性质求解.

本题考查了基本作图，掌握平行四边形的性质和三角形

的中位线的性质是解题的关键.

19.（答案】解：原式=3—1—3+4

=V-3"

【解析】先根据绝对值、乘方和有理数的乘法对原式进行化简，然后合并即可.

本题主要考查了实数的运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算.

20.【答案】解：-AB//CD,

・•・乙MFD=Z.1=122°,乙MFD=/.AEF,Z2=乙AEG,

vGE=GF,

:.乙

GFE=Z.GEFf

・•・4MFD=42+LGEF=2Z2=122°,

:.z2=61°.

【解析】由平行线的性质可得/MFD的度数，再根据三角形外角性质及等腰三角形的性质可得答

案.

此题考查的是等腰三角形的性质、平行线的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键.

112

21.【答案】解：(口■一二

x+1—x+1(x—I)2

(%+1)(%—1)2

x—1

一％+1'

当x=，l—1时，原式=萼|==1一

>T2-1+1

【解析】先将括号内通分，同时把除法变成乘法，再约分化简，把X的值代入可得结果.

此题主要是考查了分式的化简求值，二次根式的运算，能够熟练掌握运算法则是解题的关键.

22.【答案】解：(1)根据条形图可知：C的人数是48人，所以本次被调查的学生人数是48・20%=

240人;

(2)m=240-72-108-48=12,n=108+240=45%,

扇形统计图中A等级对应的圆心角度数=qx360=108°；

(3)•••该校共有学生1200人，

估计满意度为A,8等级的学生共有笔警x1200=900人.

240

【解析】(1)首先根据c的人数和所占总数的比例，求出总人数；

(2)再根据图中获取信息求出m,n的值及扇形统计图中A等级对应的圆心角度数；

(3)最后根据A,8等级的学生所占比例，可得A,8等级的学生共有多少人.

本题考查扇形统计图及相关计算.解题关键是抓住每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的

扇形圆心角的度数与360。的比.

23.【答案】解：（1）如图，连接。8,

,・•线段A8与。0相切于点反

・•・OB1AB,

・・・Z,ABO=90°,

••Z-ABC=120°9

・•・Z.OBC=Z.ABC-LABO=30°,

vOB=OC,

・•・乙ACB=乙OBC=30°；

(2)四边形ABC。是菱形，理由如下;

连接8M,DM,

•・・施的中点为M,

・・・乙DCM=乙BCM=30°,DM=BM,

・・•Z.CAB+Z.ABC4-乙ACB=180°,

乙CAB=30°=乙ACB=乙DCM,

AB=BC,AB//CD,

•・・”。为0。的直径，

・•・Z.CDM=乙CBM=90°,

在Rt△CDM^Rt△CBM中，

(CM=CM

5M=BM'

・•・Rt△CDM三Rt△CBM(HL),

：・CD=CB,

ACD=AB>

又AB"CD,

・•・四边形ABC。是平行四边形,

-AB=BC,

，四边形ABCQ是菱形；

(3)如图，连接。D,

・・,四边形A3CQ是菱形，

••・AD=CD,

:.Z.DAC=Z.DCA=30°,

:./.ADC=180°-Z,DAC-Z.DCA=120°,

vOD=OC,

・・・Z.ODC=Z.OCD=30°,

・・・^ADO=/.ADC-乙ODC=90°,乙COD=180°-乙OCD-乙ODC=120°,

・•・OA=2OD=2OC,

AC=OA+OC=6,

:.OC=2,

1的长=管=如

【解析】(1)根据切线的性质及角的和差求出NOBC=30。，再根据等腰三角形的性质求解即可；

(2)根据圆的有关性质得出NDCM=4BCM=30°,DM=BM,根据三角形内角和定理求出4sB=

30°=乙4cB=乙DCM,进而推出48=BC,4B〃CD,根据圆周角定理得出“DM=乙CBM=90°,

利用HL证明RtACDM三RtACBM,根据全等三角形的性质推出CD=4B,结合4B〃CD,推出

四边形A8CQ是平行四边形，再结合4B=BC,进而判定四边形ABC。是菱形；

(3)根据菱形的性质及等腰三角形的性质推出4OAC=30。，/。。。=30。，根据三角形内角和定理

及角的和差推出乙4DC=120。,44)0=90。，/.COD=120°,根据含30。角的直角三角形的性质

求出OC=2,再根据弧长计算公式求解即可.

此题是圆的综合题，考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的

判定与性质、菱形的判定与性质、弧长计算公式等知识，熟练运用切线的性质、圆周角定理、等

腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、弧长计算公式并作出合

理的辅助线是解题的关键.

24.【答案】解：(1)当x=10时，%=5x10=4(万元)，

答：将10万元资金投入4项目，一年后获得的收益是4万元；

(2)由题意得：当x=?n时，yA=yBy

21

m=一57n7+2m

**,7nl=8,7712=0(舍去)，

.・,m=8；

(3)设投入3项目的资金是，万元，投入A项目的资金(32—£),一年后获利为W万元，

由题意得，

W=-,产+21+,(32—t)=-.(£-4)?+16,

・•・当t=4时，W最大=16,

32T=28,

・•・投入A项目的资金是28万元，投入8项目的资金4万元时，一年后获利最大.最大值是16万元.

【解析】⑴把x=10代入为=|x,从而求得结果；

2

(2)当％时，yA=yB,|m=-1ni+2m,从而求得结果；

(3)设投入8项目的资金是f万元，投入A项目的资金(32-。，一年后获利为W万元，列出关系

122

--t-t)=-l(-4)2+16,进一步得出结果.

55t

本题考查了二次函数及其图象性质，一元二次方程的解法等知识，解决问题的关键是根据题意列

出函数关系式.

25.【答案】(1)证明：N力+4AGA=90°,+"64=90°,

Z.A=Z.A',

"AD=A'D,/.ADE=Z.A'DG=90°,

•••△/WEg"DG(4SA)；

(2)证明：v^AFG=/.ACB=90。，Z.FAG=乙CAB,

•••△AFGSAACB,

AGAF

:.—=—,

ABAC

ACAF

--=--f

ABAG

,:Z.FAC=Z-GAB,

••・△凡4cs△GAB,

.竺_生

••前一而’

/.AF-GB=AG-FC；

(3)解：小必=器=器=：,AC=8,

・・・BC=4,

•••S〉ACB=16，

设。E=DG=x,则/。=A'D=2x,AE=A'G=废x，

r

:.AE=A'D—DE=2x—x=xf

^AADE=S〉A，DG=久2，

•••△A'FEs^ADG,

'A^G-V-5x5

**,SCAIFE：SQABG=1：5，

S四边^DGFE=sShA，DG=K，

S〉ACB=S-OE+S四边形DCBE，A'G平分四边形OC8E的面积，

；•^AACB=S2ADE+2s四边形DGFE，

・•・16=x24-|x2,

4\T65

'X=~L3~f

8^^65

••.AD=M

【解析】(1)利用ASA证明；

(2)要证4F・GB=4G-FC,也就是证明△FACs^GAB,但“两个角对应相等”的条件不够，所

以想到“夹角相等，对应边成比例”，只要证明△AFGSAACB即可.

(3)设。E=DG=x,利用SMCB=S^ADE+2s四边影DGFE建立方程求解.

本题