天津市大港区名校2024届九年级数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

天津市大港区名校2024届九年级数学第一学期期末学业水平测试试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1,

1.抛物线丁=一5（%一3）-+1的顶点坐标为（）

A.（3,1）B.（-3,1）C.（1,3）D.（1,-3）

2.如图，A为反比例函数y=A的图象上一点，AB垂直x轴于B,若SAAOB=2,则k的值为（）

3.如图，钓鱼竿AC长6m,露在水面上的鱼线BC长3亚m,某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC'

的位置，此时露在水面上的鱼线B，C'为3gm,则鱼竿转过的角度是（）

4.如图，下列条件不能判定△ADBs^ABC的是（）

A.ZABD=ZACBB.ZADB=ZABC

c.AB2=AD»ACD.——=—

ABBC

5.下列二次根式中，是最简二次根式的是()

A.上B.而C.V27D.77

k

6.如图，已知双曲线？=一(4<0)经过直角三角形。48斜边0A的中点且与直角边AB相交于点C.若点A的

x

坐标为(-6,4),则AAOC的面积为

A.12B.9C.6D.4

7.学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下:

姓名读听写

小莹928090

若把读、听、写的成绩按5：3：2的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为()

A.86B.87C.88D.89

8.如图，在△ABC中，NACB=90°,CDJ_AB于点D,若AC：AB=2：5,则SAADC：SABDC是()

C

4

ADR

A.3：19B.1:719(3.3:721D.4：21

9.抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标是()

A.(1,3)B.(-1,3)(2.(1,2)D.(-1,2)

10.抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是()

A.(-2,5)B.(-2,-5)((2,5)D.(2,-5)

二、填空题(每小题3分，共24分)

11.二次函数》=2d-以+4的图象如图所示，其对称轴与它的图象交于点尸，点N是其图象上异于点尸的一点，若

2一mMN

轴，MNJ_x轴，则——-=____.

PM2

12.已知一个几何体的主视图与俯视图如图所示，则该几何体可能是.

主衩BE辑视图

13.计算：2sin450—J^=.

Jr

14.如图，已知反比例函数y=」(k为常数，导0)的图象经过点A,过A点作AB_Lx轴，垂足为B,若AAOB的面积

15.m、n分别为的一元二次方程/一4%-1=()的两个不同实数根，则代数式//一4m+机〃的值为

16.如图，AABC与ADEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为.

17.在一个不透明的口袋中，装有1个红球若干个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概

率为则此口袋中白球的个数为.

4

18.如图，A3是。的直径，弦CO交A8于点尸，AP=2,BP=6,ZAPC=30°,则CD的长为・

D

三、解答题（共66分）

19.（10分）如图，在△A8C中，NR4c=90。，4。是8c边上的高，E是BC边上的一个动点（不与8,C重合）,

EFLAB,EGLAC,垂足分别为尸，G.

EGCG

（）求证:

1AD-CD

（2）尸。与OG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由;

AB

（3）当丁；的值为多少时，△FDG为等腰直角三角形？

AC

20.（6分）已知AABC,AB=AC,BD是NABC的角平分线，EF是BD的中垂线，且分别交BC于点E,交AB于点

F,交BD于点K,连接DE,DF.

（2）若CD=3,求四边形BEDF的周长.

21.（6分）如图①，在△ABC中，NBAC=90。，AB=AC,点E在AC上（且不与点A,C重合），在△ABC的外部

作ACED,使NCED=90。，DE=CE,连接AD,分别以AB,AD为邻边作平行四边形ABFD,连接AF.

（1）请直接写出线段AF,AE的数量关系一；

（2）将ACED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE,请判断线段AF,AE的数量关系，

并证明你的结论；

（3）在图②的基础上，将ACED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③

写出证明过程；若变化，请说明理由.

D

D

国①因②F图③

22.(8分)如图，。。为AABC的外接圆，NACB=90°,43=12,过点C的切线与AB的延长线交于点0,0E

交AC于点F,ZCAB=ZE.

(1)判断0E与8C的位置关系，并说明理由；

3

(2)若tan/BCO=及，求EF的长.

4

23.(8分)如图，AB是。的弦，。为半径。4的中点，过。作CDJ_Q4交弦于点£,交0于点F,且CE=CB.

(1)求证：8c是。。的切线；

(2)连接Ab、BF,求的度数：

(3)如果。。=15,BE=T0,sinA=—,求。，0的半径.

七

24.(8分)如图，已知一次函数y=ax+b(a,b为常数，a¥0)的图象与x轴，y轴分别交于点A,B,且与反比例函

数y=&(k为常数，k#0)的图象在第二象限内交于点C,作CDJLx轴于D,H3

若OA=OD=-OB=1.

X

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)观察图象直接写出不等式OVax+bV&的解集；

X

（1）在y轴上是否存在点P,使得aPBC是以BC为一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不

存在，请简要说明理由

25.（10分）如图，矩形A5CD的四个顶点在正三角形EFG的边上.已知△EFG的边长为2,设边长45为x,矩形

ABCD的面积为S.

求：（1）S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.

（2）S的最大值及此时x的值.

£

26.(10分)解方程：3x(x-1)=x-1.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、A

【分析】利用二次函数的顶点式是：y=a（x-h）2+k（a#0,且a,h,k是常数），顶点坐标是（h,k）进行解答.

【详解】Vy=-1（x-3）2+l,

抛物线的顶点坐标是（3,1）.

故选：A.

【点睛】

此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h.熟知二次函数的顶

点坐标式是解答本题的关键

2、A

【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即

【详解】由于点A是反比例函数图象上一点，则SAAOB=J|k|=2；

又由于函数图象位于一、三象限，则k=4.

故选A.

【点睛】

本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义.

3、C

【解析】试题解析：•••sinNCAB=gG=£l=Y2

AC62

AZCAB=45°.

...B'C3736

•sinZ.CAB=-----=------=—,

AC62

二NC，AB，=60。.

...NCAC'=60°-45°=15°,

鱼竿转过的角度是15°.

故选C.

考点：解直角三角形的应用.

4、D

【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得

出即可.

【详解】解：A、VZABD=ZACB,NA=NA,

.,.△ABC^AADB,故此选项不合题意；

B、VZADB=ZABC,ZA=ZA,

.,•△ABC^AADB,故此选项不合题意；

C、•；AB2=AD・AC,

ACAB

:.——=——，ZA=ZA,△ABC^AADB,故此选项不合题意；

ABAD

D、——=—不能判定AADBs/^ABC,故此选项符合题意.

ABBC

故选D.

【点睛】

点评：本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三

角形相似.

5、B

【分析】根据最简二次根式概念即可解题.

【详解】解：A.=正，错误，

V22

B.而是最简二次根式,正确，

C.后=36,错误，

D.=错误，

故选B.

【点睛】

本题考查了最简二次根式的概念，属于简单题，熟悉概念是解题关键.

6、B

【解析】•••点A(-6,4),。是。4中点

:.。点坐标(—3,2)

kk

•.•。(―3,2)在双曲线y=人(女＜0)上，代入可得2==

x-3

A：=—6

,点。在直角边上，而直线边AB与％轴垂直

.••点C的横坐标为-6

又•.•点C在双曲线丫=二9

X

，点C坐标为(-6,1)

:.AC=7(-6+6)2+(1-4)2=3

1

从而5AA"=gxACxO8=gx3x6=9,故选B

7、C

【分析】利用加权平均数按照比例进一步计算出个人总分即可.

【详解】根据题意得：

92x5+80x3+90x2。。/八、

=

OO(分)9

5+3+2

，小莹的个人总分为88分；

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了加权平均数的求取，熟练掌握相关公式是解题关键.

8、D

【分析】根据已知条件易证△ADCS/\ABC,再利用相似三角形的性质解答即可.

【详解】：在△ABC中，ZACB=90°,CDJLAB于点D,

.•.ZADC=ZACB=90°,NA=NA,

.'.△ADC^AABC,

.,.AC:AB=2：5,是相似比，

•"•SAADC:SAABC=4；25,

ASAADC：SABDC=4：(25-4)=4：21,

故选D.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△ADCsaABC是解决问题的关键.

9、C

【分析】把抛物线解析式化为顶点式可求得答案.

【详解】解：Vy=x2-2x+3=(x-1)2+2,

顶点坐标为(1,2),

故选：C.

【点睛】

本题考查了抛物线的顶点坐标的求解，解题的关键是熟悉配方法.

10、C

【分析】根据二次函数的性质y=a(x-hF+k的顶点坐标是(h,k)进行求解即可.

【详解】•••抛物线解析式为y=3(x-2)2+5,

二二次函数图象的顶点坐标是(2,5),

故选C.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增

减性等.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11、1.

MN

【分析】根据题目中的函数解析式可得到点尸的坐标，然后设出点M、点N的坐标，然后计算丽y即可解答本题.

【详解】解：•.•二次函数y=lx-4x+4=l(x-1)41,

点尸的坐标为(1,1),

设点Af的坐标为(a,1),则点N的坐标为(a,la'-4a+4),

...MN_(2/-4。+4)-2=2a2-44+2_2(〃-2a+l)=1

PM?(a-I)2a2-2a+lcz2-2a+1

故答案为：L

【点睛】

MN

本题考查了二次函数与几何的问题，解题的关键是求出点P左边，设出点M、点N的坐标，表达出-

PM2

12、三棱柱

【分析】根据主视图和俯视图的特征判断即可.

【详解】解：根据主视图可知：此几何体前表面应为长方形

根据俯视图可知，此几何体的上表面为三角形

二该几何体可能是三棱柱.

故答案为：三棱柱.

【点睛】

此题考查的是根据主视图和俯视图判断几何体的形状，掌握常见几何体的三视图是解决此题的关键.

13、_72

【分析】根据特殊角三角函数值和二次根式化简整理，合并同类二次根式即可求解.

【详解】解：2sin45。一指=2x^--2&2&=-&.

2

故答案为：一也

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的计算，熟知特殊角的三角函数值是解题关键.

14、-1

【解析】试题解析：设点A的坐标为(m,n),因为点A在y=二的图象上，所以，有mn=k,△ABO的面积为-

x2

=1,|=1,/.k=±l,由函数图象位于第二、四象限知k<0,.,.k=-l.

考点：反比例外函数k的几何意义.

15>1

【分析】由一元二次方程的解的定义可得m2.4m-l=l,则m2.4m=L再由根于系数的关系可得mn=-l,最后整体代入即

可解答.

【详解】解：:!!!、n分别为的一元二次方程4x—l=0

m+n=4,mn=-l,m2-4m-l=l,

:.m2-4m=l

nv-4m+mn=1-1=1

故答案为1.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，其中正确运用根与系数的关系是解答本题的关键.

16、£

【详解】连接OA、OD,

••,△ABC与ADEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，

AAOIBC,DO±EF,ZEDO=30°,ZBAO=30°,

AOD：OE=OA：OB=6：1,

VZDOE+ZEOA=ZBOA+ZEOA,即NDOA=NEOB,

.,.△DOA^AEOB,

AOD：OE=OA：OB=AD：BE=百：1=百，

故答案为G

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.等边三角形的性质

17、3

【分析】根据概率公式即可得出总数，再根据总数算出白球个数即可.

【详解】•.•摸到红球的概率为且袋中只有1个红球，

4

...袋中共有4个球，

••・白球个数=4-1=3.

故答案为3

【点睛】

本题考查概率相关的计算，关键在于通过概率求出总数即可算出白球.

18、2厉

【分析】作于“，连结0C,由得HC=HD,由AP=2,BP=6,得OP=2,进而得04=1,

根据勾股定理得CH=店,即可得到答案.

【详解】作于〃，连结0C,如图，

VOHYCD,

...HC=HD,

"：AP=2,BP=6,

AB=8,

,*•OA-4,

OP=OA—AP=2,

,:在Rf_OPH中,NOPH=30。,

:.NPOH=60。,

：.OH=-OP=\,

2

:在RtAOHC中,OC=4,O”=1,

-CH=4OC2-OH2=V15>

ACD=2CH=2715.

故答案为：2厉

【点睛】

本题主要考查垂径定理和勾股定理的综合，添加辅助线，构造直角三角形和弦心距，是解题的关键.

三、解答题（共66分）

AB

19、（1）见解析；（2）尸。与ZJG垂直，理由见解析；（3）当——=1时，△尸OG为等腰直角三角形，理由见解析.

AC

【分析】（D由比例线段可知，我们需要证明AADCS2\EGC,由两个角对应相等即可证得；

（2）由矩形的判定定理可知，四边形APEG为矩形，根据矩形的性质及相似三角形的判定可得到△AfOsacG。，从

而不难得到结论；

（3）先判断出再利用同角的余角相等判断出ZBAD=ZC,得出AAO尸父△COG,即可

得出结论.

【详解】⑴证明：在“OC和AEGC中，

•：ZADC=ZEGC,NC=NC,

.,.△ADC^AEGC.

.EGCG

"7J5~'CD'

（2）解：尸。与。G垂直.

理由如下：

在四边形AFEG中，

VZE4G=ZAFE=NAGE=90。，

二四边形APEG为矩形.

：.AF=EG.

..EGCG

"茄一而‘

.AFCG

"AD-CD,

又•••△ABC为直角三角形，ADLBC,

：.NFAD=ZC=90°-ZDAC,

:AAFDsXCGD.

:.NADF=NCDG.

'：ZCDG+ZADG=9d°,

：.ZADF+ZADG=9Q°.

即/尸DG=90°.

：.FDA-DG.

A

(3)解：当f的值为1时，△尸DG为等腰直角三角形，理由如下：

由(2)知，ZFDG=90°,

VADFG为等腰直角三角形，

:・DF=DG,

•・,AD是3C边上的高，

:.NADC=90。，

:.ZADG+ZCDG=90°,

■:ZFDG=90°,

:.NAOG+NADF=90。，

:.NAO尸=NCDG,

VZCAD+ZBAD=90°,ZC+ZCAD=90°,

/.ZBAD=ZC,

AADF^ACDG(AAS),

：.AD=CD,

■:ZADC=90°,

/.ZC=45°=ZB,

・・・4B=AC,

即：当k的值为1时，△五OG为等腰直角三角形.

AC

【点睛】

此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，同

角的余角相等，判断出AADFgZkCDG是解本题的关键.

20、(1)见详解；(2)12

【分析】(1)由角平分线性质，得到NABD=NCBD,由EF是BD的中垂线，则BE=DE,则NCBD=NEDB,则

ZABD=ZEDB,即可得到答案；

(2)先证明四边形BEDF是菱形，由DE〃AB,得至ljDE=CD=3,即可求出周长；

【详解】(1)证明：・・・BD是NABC的角平分线，

AZABD=ZCBD,

・・・EF是BD的中垂线，

ABE=DE,BF=DF,

AZCBD=ZEDB,

AZABD=ZEDB,

ADE/7AB；

（2）解：与（1）同理，可证DF〃BC,

・•・四边形BEDF是平行四边形，

VBE=DE,

J四边形BEDF是菱形，

VAB=BC,DE/7AB,

AZC=ZABC=ZDEC,

ADE=CD=3,

，菱形BEDF的周长为：3x4=12.

【点睛】

本题考查了菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质，以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌

握所学的性质，从而正确的进行推导.

21、（1）AF=V2AE；（2）AF=6AE,证明详见解析；（3）结论不变，AF=V2AE,理由详见解析.

【分析】（D如图①中，结论：AF=V2AE,只要证明^AEF是等腰直角三角形即可.（2）如图②中，结论：AF=0AE,

连接EF,DF交BC于K,先证明AEKF^^EDA再证明△AEF是等腰直角三角形即可.（3）如图③中，结论不变,

AF=V2AE,连接EF,延长FD交AC于K,先证明△EDFgZXECA,再证明△AEF是等腰直角三角形即可.

【详解】解：（1）如图①中，结论：AF=V2AE.

理由：•・•四边形ABFD是平行四边形，

AAB=DF,

VAB=AC,

AAC=DF,

VDE=EC,

AAE=EF,

VZDEC=ZAEF=90°,

・・・△AEF是等腰直角三角形，

.,.AF=V2AE.

(2)如图②中，结论：AF=V2AE.

理由：连接EF,DF交BC于K.

■:四边形ABFD是平行四边形，

，AB〃DF,

.•.ZDKE=ZABC=45°,

.,.EKF=180°-ZDKE=135°,

■:ZADE=180°-ZEDC=180°-45°=135°,

:.NEKF=NADE,

VZDKC=ZC,

.,.DK=DC,

VDF=AB=AC,

，KF=AD,

在△EKF和AEDA中，

EK=DK

{NEKF=ZADE,

KF=AD

/.△EKF^AEDA,

，EF=EA,NKEF=NAED,

.,.ZFEA=ZBED=90°,

...△AEF是等腰直角三角形，

.\AF=V2AE.

(3)如图③中，结论不变，AF=V2AE.

理由：连接EF,延长FD交AC于K.

,:ZEDF=180°-ZKDC-ZEDC=135°-NKDC,

ZACE=(90°-ZKDC)+ZDCE=135°-ZKDC,

.*.ZEDF=ZACE,

VDF=AB,AB=AC,

:.DF=AC

在AEDF^DAECA中,

DF=AC

<NEDF=NACE,

DE=CE

.,.△EDF^AECA,

；.EF=EA,NFED=NAEC,

.,.ZFEA=ZDEC=90°,

.•.△AEF是等腰直角三角形，

.,.AF=V2AE.

【点睛】

本题考查四边形综合题，综合性较强.

12

22、(1)OE〃BC.理由见解析；(2)y

【分析】(1)连接OC,根据已知条件可推出NE=NACO,进一步得出/AFO=NEFC=90°=/ACB结论得

以证明；

(2)根据(1)的结论可得出NE=NBCZ),对应的正切值相等，可得出CE的值，进一步计算出OE的值，在R3A尸O

中，设。尸=3x,贝U4尸=4x,解出x的值，继而得出OF的值，从而可得出答案.

【详解】解：(D.理由如下：

连接OC,

是。。的切线，

：.OCLCD,

...NOCE=90。，

：.Z.OCA+ZECF=9Q°,

"：OC=OA,

：.ZOCA=ZCAB.

又,：NCAB=NE,

：.ZOCA=ZE,

：.NE+NECF=90°,

ZEFC=180°-(ZE+ZECF)=90°.

：.ZEFC=ZACB=9Q°,

：.OE//BC.

(2)由(1)知，OE"BC,

：.NE=NBCD.

在RtAOCE中，•；A8=12,

：.OC=6,

OC

tanE=tanZBC£>=-----,

：.OE2=OC1+CE1=f^+^,

：.OE=1Q

又由(1)知NEPC=90。，

：.ZAFO=90°.

3

在Rt^AFO中，VtanA=tanE=—,

.,.设。尸=3x,则AF=4x.

•：OA2=OF2+AF2,即62=(3x)2+(4x)2,

解得：x=(

iQq?

EF=OE-OF^iO--=—

55

【点睛】

本题是一道关于圆的综合题目，涉及到的知识点有切线的性质，平行线的判定定理，三角形内角和定理，正切的定义,

勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解此题的关键.

23、(1)证明见解析；(2)30°；(3)y.

【分析】(1)连接OB,由圆的半径相等和已知条件证明NOBC=90°,即可证明BC是。O的切线；

(2)连接OF,AF,BF,首先证明4OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一

半即可求出NABF的度数；

(3)作CG_LBE于G,如图，利用等腰三角形的性质得BG=5,再证明NOAB=NECG,则sinNECG=sinNOAB

SADDF24

==，于是可计算出CE=13,从而得到DE=2,由AAOESACGE,得一=—,4。=一，即可求出的

CGGE

半径.

【详解】(1)连接08.

OB=OA,CE=CB,

：.ZA=ZOBA,ZCEB=ZABC,

又CDLOA.

.-.ZA+ZAED=ZA+NCEB=90°,

：.ZOBA+ZABC=90°,

:.OB±BC,

:.BC是。的切线；

(2)连接OF,AF,BF,

DA=DO,CDLOA,

AF=OF,

又.OA=OF,

尸是等边三角形，

:.ZAOF=60°,

：.ZABF=-ZAOF^30\

2

(3)过点C作。G_L6£于G,

CE=CB

:.EG=~BE=5

2

ZADE=NCGE=90°»ZAED=NGEC,

NGCE=NOAB,

：.^ADEskCGE,

在mAECG中，

EG5

sinZ.ECG------,sinNECG=sinNOAB=—，

CE13

...CE=13,CG=12,

又CO=15,CE=13,

DE—2.

ADDE

由得:

AAOEsACGE,~CG~~GE

DECG24

：.AD=

GET

。的半径为。4=2AO=，48

【点睛】

此题考查了切线的判定，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.

24

24、(1)y=——；(2)-l<x<0；(1)存在满足条件的点P,其坐标为(0,-1)或(0,9)或(0,12)

【分析】(1)根据平行线分线段成比例性质可得孚=半=?=求出A(1,0),B(0,4),C(-1,8),再用

CDAD62

待定系数法求解：(2)由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应

424

的自变量的取值范围：0V-彳x+4W—；(1)APBC是以BC为一腰的等腰三角形，有BC=BP或BC=PC两种情况.

3X

【详解】解：(1)VCD±OA,

.♦.DC〃OB,

.OB_OA3

••------————,

CDAD62

.,.CD=2OB=8,

3

VOA=OD=-OB=1,

A(1,0),B(0,4),C(-L

3a+b=0

把A、B两点的坐标分别代入