2023-2024学年河北省辛集市高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年河北省辛集市高二上册期末数学

模拟试题

一、单选题

1.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直

线称为欧拉线.已知N8C的顶点”(2,0),8(0,4),若其欧拉线的方程为x-y+2=0,则顶

点C的坐标为()

A.(—4,0)B.(-2,-2)C.(-3,1)D.(T-2)

【正确答案】A

【分析】设计算出重心坐标后代入欧拉方程，再求出外心坐标，根据外心的性质

列出关于加，〃的方程，最后联立解方程即可.

【详解】设C。"/),由重心坐标公式得，

三角形力8c的重心为(亨，亨)，

代入欧拉线方程得：号-学+2=0,

整理得：加-〃+4=0①

的中点为(L2),kAB=^-=-2,

的中垂线方程为y-2=；(x-l),即x-2y+3=0.

fx-2y+3=0[x=-l

联立n，解得..

[x—y+2=0\^y=1

N8C的外心为(T,D.

则(zn+I)2+("1)2=32+l2=10,

整理得：+"2+2，〃-2”=8②

联立①②得：m=-4,〃=0或加=0,“=4.

当加=0,〃=4时8,C重合，舍去.

，顶点C的坐标是(-4,0).

故选：A.

关键点睛：解决本题的关键一是求出外心，二是根据外心的性质列方程.

2.已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(l,0)的直线1与线段AB有公共点，则直线1的斜率

k的取值范围是()

A.(-1,1)

C.[-1,1]D.(-<»,-l]u[1,+<»)

【正确答案】D

【详解】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围.

详解：•.,点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线L与线段AB有公共点，

直线1的斜率k»PB或kWkpA，

•••PA的斜率为与2=7,PB的斜率为W=l，

-3-13-1

，直线1的斜率kNl或kW-1,

点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础.直线

的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k，一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，

是要画出正切的函数图像，再分析.

3.等比数列｛《,｝的前〃项和为明,已知邑。=30,则$4。=()

A.270B.150C.80D.70

【正确答案】B

【分析】根据题意等比数列｛q｝的公比42-1,由等比数列的性质有品=10,

%--20,……成等比数列,可得答案.

【详解】根据题意等比数列｛g｝的公比4N-1.

由等比数列的性质有几=10,s20-sw,s30-s2(),……成等比数列

所以有％=10,邑广有=20，则邑O-S20=4O,540-S30=80

所以$30=40+52。=70,S40=80+S30=150

故选：B

本题考查等比数列的前〃项和的性质的应用，属于中档题.

22

4.已知双曲线C:'-1=l(a>0,b>0)的右焦点为F,关于原点对称的两点A8分别在

双曲线的左、右两支上，万.丽=0，3而=斤且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为

()

A.&B.叵C.73D.2

2

【正确答案】B

由点48关于原点对称，设3(x,y),则Z(-x,-y),利用3旃=定，得C(4c-3x,-3y),

再利用万・丽=0得到关系式/=x2+y2,再用点C、8在双曲线上，三个式子联立求解得

到小+"=3"，21?-/，化简得到2/-7e2+5=0,即可求得双曲线的离心率.

【详解】由点/、8关于原点对称，设8(xj),则

uumuum

vF(c,0),设C(冽，〃)，.•.5尸=(<?_%,-y),FC=^m-c,n)

umuum[3(C-xy=m-C[/7?=4c-3xrrc/,crX

Q35F=FC1V/n,，即C4c-3x，-3y)

[-3y=n[n=-3y

UUUUULUUUULU

Q4F•FB=0，AF=(c+x9y)9BF=(c-x9-y)

利用向量数量积公式得：(c+x,y)-(c-x,-y)=0,^c2=x2+y2@

又点C、8均在双曲线上，

.­-4-^=1®,Nip③

ba2b2

由①②③可得：a2+2c2=3a，2Q-a2

两边同时除以/可得：1+2/=3以2一1

两边同时平方得；0+2e2y=9（2e2-l）,BP2e4-7e2+5=0=>（2?-5）（e2-1）=0

又双曲线的离心率e>l,则即0=《=当

故选：B.

关键点点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于。,仇。的等量关系.本题中利

用3脐=定得到点C坐标，利用点C、8均在双曲线上，得到关系式，再利用万・丽=0得

到关系式，三个式子联立得到所要求的等量关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能

力.属于中档题.

5.已知圆C的方程为=直线/：（3-2f）x+（f—l）y+2f—1=0恒过定点4

若一条光线从点/射出，经直线x-N-5=0上一点”反射后到达圆C上的一点N,则

»M|+pWN|的最小值为（）

A.6B.5C.4D.3

【正确答案】A

【分析】先求得定点力的坐标，再去求点A关于直线x-y-5=0的对称点B的坐标，再去

求点8到圆C上一点N距离的最小值即为+的最小值.

【详解】圆（x-iy+（y-l）2=l的圆心C。/），半径/'=1

直线/可化为3》一夕-1-《2》->-2）=0,

（3x—y—1=0[x=—1，,/、

令。,c八，解得一所以定点力的坐标为7,-4.

[2x-y-2=0[y=-4

设点4（T-4）关于直线x-尸5=0的对称点为以白⑼，

-+4_1

zj-L1f47=1/、

由A/,解得八人，所以点B坐标为1,-6.

a-1b-4«八\b=-6

-----------5=0i

22

由线段垂直平分线的性质可知，\AM\=\BM\,

所以|4Mj+|MV|=|BM+|MV闫即|之忸C|—r=7-1=6

（当且仅当8,M,N,C四点共线时等号成立），

所以+的最小值为6.

故选：A

6.已知直线4X+"一1=0（。＞0,6＞0）平分圆C：X2+/-2x-4y-2017=0,则0-的最

a+b

大值为（）

A.3+25/2B.3—2V2C.^-―D.*-

O6

【正确答案】B

【分析】由题意知直线过圆C的圆心得到a+2b=1,求'件的最大值可转化为牛?

a+babab

的最小值的倒数，利用基本不等式“1”的妙用求最值即可.

【详解】••,圆C：X2+/-2X-4J-2017=0,二圆心CQ2）,

直线QX+勿-1=0(。>0/>0)平分圆C：X2+/-2x-4y-2017=0,

/.直线4X+勿一1=0（。＞0力＞0）过圆心。。,2）,即。+28=1（。＞0力＞。）,

i+h114I、，“、2ha〜7c

---=—i—=(—I—)(〃+2b)=---1---F3>25/2+3

ahahahahf

ab<1(3-20)

=3-272

a+lT2五+3-(2五+3)(3-2近)

当且仅当竺=3,即b="①,a=67,2•的最大值为3-20.

ab2Q+b

故选：B

7.设P-Z8C是正三棱锥，G是48C的重心，。是PG上的一点，且丽=而，若

^D=xPA+yPB+zPC,则（、//）为（）

A•（篇目B・层3）。•舄（ID.（JO

【正确答案】B

【分析】G是等边N8C的重心，可得前=；1后+；就=g（A万-万）+；（正-沙），再由

PD^DG＞可得而=；的，而丽=强+就，从而可以将巧用力，方，正表示出，进

而可求出（x,y,z）

【详解】因为三棱锥P-/8C是正三棱锥，G是/8C的重心,

—1—■1—•1——.1——1一1—.9一

所以/G=548+§ZC=1(P5_PZ)+5(PC_P/)=§P8+§PC_§P/,

因为。是PG上的一点，且方=丽,

—►1—►

所以尸。=不尸G,

2

因为的=9+而，

—1—1—1——

所以尸Z)=-PG=-/M+-/G

222

1—►1(1—1一2―

=-PA+-\-PB+-PC一一PA

22(333J

1—1—1—1—

=-PA+-PB+-PC一一PA

2663

1—1—►1―►

=-PA+-PB+-PC,

666

S^JPD=xPA+yPB+zPC,

所以x=y=z=^9

6

所以(x,%z)为

\Ooo)

故选：B

8.正方体NBCO-44GD的棱长为1，点E,F,G分别为8C,CC、、8片中点，现有下

列4个命题：①直线。。与直线幺尸垂直；②直线4G与平面4E尸平行：③点C与点G到

平面/E尸的距离相等；④平面/E尸截正方体所得的截面面积为5.其中正确的是()

8

A.①③B.②③C.②④D.①④

【正确答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法判断①③的正确性；画出平面NEF截正方体所

得的截面，由此判断②④的正确性.

【详解】建立如图所示空间直角坐标系，

西=(0,0,1),4(1,0,0),尸10,1,；),万=1-1,1,；),

函.万=[*0,所以①错误.

叫，1，0)，荏=,；，可，

设平面的法向量为3=(苍乂Z),

二——1

h•AF=-x+yH-一z=0

则_I2,故可设3=(2,1,2).

h-AE=——x+y=0

nFG2

FG=CB=(1,0,0),所以G到平面月环的距离为

3

n-CF1

CF=0,0,-,所以C到平面ZEE的距离为所以③错误.

根据正方体的性质可知EFHBGHAD、,4民尸,R四点共面,

EF=与畋=y/2,D}F=AE=^~,

所以平面AEF截正方体所得的截面为等腰梯形AEFDt,

根据正方体的性质可知A\GHD、F,由于4G<t平面AEF,DtFu平面AEF,

所以4G〃平面4EF,所以②正确.

等腰梯形的高为3

-272

所以等腰梯形“后尸。的面积为39,④正确.

2

所以正确的为②④.

故选：C

B

二、多选题

9.已知圆。一丁+丁2=5和圆口：(x-4>+；?=13相交于/,B两点,且点力在x轴上方,

则()

A.|明=4

B.过■作圆Q的切线，切线长为2&T

C.过点/且与圆仪相切的直线方程为3x-2y+l=0

7

D.圆。1的弦ZC交圆。2于点。，。为ZC的中点，则4c的斜率为］

【正确答案】ACD

【分析】根据给定条件，求出点4,8的坐标，再结合圆的性质逐项分析、计算判断作答.

।=5jx=］

【详解】依题意，由，八2一20解得一心，则4(1,2)1(1,-2),

(x-4)~=13［尸±2

圆。1的圆心。1(0,0),半径(=逐，圆。2的圆心。2(4,0),半径弓=JF,

M5|=4,A正确；

过。2作圆。1的切线，切线长为J|0«12Tl2=旧,B不正确：

直线/Q的斜率为氏=三=-3,过点N且与圆。2相切的直线斜率为:，该切线方程为

1—432

y-2=|u-i),

即3x-2y+l=0,C正确；

因。为圆Q的弦zc的中点，则于是得点。在以线段。/为直径的圆

x(x-l)+y(y-2)=0上，

fx(x-l)+v(y-2)=07

而点D在圆Q上，则由13得直线AD的方程7'-2^—3=0,其斜率为］,

D正确.

故选：ACD

10.已知数列｛《,｝满足《=1,。向=lg(10",+9)+l,其前〃项和为S“，则下列结论中正确的

有()

A.｛q｝是递增数列B.｛。“+10｝是等比数列

“S,一

C.2a„+l>an+an+1

【正确答案】ACD

【分析】将递推公式两边同时取指数，变形得到10"'"T=10"，+9,构造等比数列可证

｛10%+10｝为等比数列，求解出｛凡｝通项公式则可判断A选项：根据

(%+10)(%+10)#(g+10)2判断B选项：根据｛q｝的通项公式以及对数的运算法则计算

2%—(勺+限)的正负并判断C选项；将应｝的通项公式放缩得到a„<lg(2xl0")<n+l,

由此进行求和并判断D选项.

【详解】因为一=lg(10%+9)+l,所以*-1=lg(10%+9),

从而=10%+9,g=10x10%+90,所以I。"",+10=10x(10*'-+10),

所以;;：又10"，+10=20,｛10"”+1。｝是首项为20,公比为10的等比数列，

所以10""+10=20xl0"T=2x10",所以10"”=2xl0"-10,即％=lg(2xl0"-10),

又因为y=2xl0”-10在〃«1,”),〃€"*时单调递增，y=lgx在定义域内单调递增，

所以｛为｝是递增数列，故A正确；

因为q+10=11,々+10=馆190+10=1gl9+ll,%+10=1gl990+10=lgl99+l,

所以(4+10)2-(4+10)(4+1°)=(吆19+11)2-11(增199+11)=植219+22炮19-11炒199,

所以3+10)2-(6+10)(2+1°)=媛19+11馆192-11收199=靖19+11檐鬻>0,

所以(q+10)(4+10)工(4+10广，所以｛。“+叫不是等比数列，故B错误.

因为2%-(。“+。“+2)=2囿2、10用-1()_1§(2x10—1。一1«2x10+2

,(2xl0,,+1-10)2一(2xl0n-lj

-lg(2xl0,,tl-10)(2xl0,,+2-10)-18gxlO"T_［柞)'

W(2xl0,,-l)2-(2xl0n-l-l)(2xl0,,+1-l)=4xl02,,-4xI0,,+l-4xl02,,+2xl0,,+l+2xl0,"'-l

=20x10"+0.2x10"-4x10"=16.2x10">0,从而(2x10"-1丫>(2xlOn-1-l)-(2xlO,,+I-1),

于是，2a„+l>an+a,l+2,故C正确.

因为a“=lg（2xl0"-10）<lg（2xl0"）=lg2+〃<〃+l,所以S“<（2+'；1"="（；'）,故0

正确.

故选：ACD.

思路点睛：数列｛%｝单调性的一般判断步骤：

（1）先计算”的结果，然后与0比较大小（也可以计算筌的值，然后与1比较大小,

但要注意项的符号）；

（2）下结论：若％_%>0,则为递增数列；若4+「%<0,则为递减数列;若见+「牝=0,

则为常数列.

11.在棱长为2的正方体/BCD-44GA中，E,尸分别为棱4A，工4的中点，G为线段

8。上一个动点，则（）

A.三棱锥4-EFG的体积为定值

B.存在点G,使平面EFG平面5£>G

C.当瓦4=3沅时，直线EG与弟2所成角的余弦值为噜

D.三棱锥4-EFG的外接球体积的最大值为9应兀

【正确答案】AD

【分析】选项A求三棱锥体积判断：选项B用反证法判断：选项C建立空间坐标系，用向

量法求直线与直线所成角的余弦值来断；选项D求外接球心，用方程求解判断.

【详解】解：对于A,七-EFG=，G-"F=3SAEF'44=gxgxixix2=T，所以A正确：

对于B,若存在Ge线段qC,使平面EFG//平面BDGGe线段8C，因为平面44co交平

面EFG与平面BDC1分别为NG与DM,

于是NGUDM,G应在OB,的延长线上，所以B错误；

对于C,以在为原点建立如图所示的空间直角坐标系，当耳石=3沅时，则M函，

则G(；,2,；),E(l,0,2)

C(0,2,0),B,(2,2,2),所以的=(-g,2,-1),麻=(-2,0,-2),

布_EGB^C42_2V13

所以cos＜的，1"网闹-返"2上一而F,

2

所以直线EG与BC、所成角的余弦值为竺1,所以C错误；

13

对于D,当G在C点时，三棱锥4-EFG外接球半径最大，连接耳。交E尸于点N,则N为

E尸的中点，因为三角形4EF为直角三角形，所以外接球的球心在过点N且垂直于面4口

的直线N“上，NH与B、C交于H,设球心为O,

如平面展开图,

"1Bi

NH

D

设半径OC=O4=R,因为4N=；EF=等，A}D=2yl2,所以Ca=ZW=孚，

所以ON={04：-A、N2=卜-（争，OH=yl0C2-CH2=旧-（邛;，

由ON+CW=2,可得加一（5+收一（当?=2,解得H=孚，

4L

故体积的最大值为卜=gzR'=9缶，所以D正确，

故选：AD.

12.已知双曲线C:《-匚=1的左、右焦点分别为耳、F2,过坐标原点。的直线与双曲线C

交于48两点，点P为双曲线C上异于48的一动点，则下列结论正确的有（）

A.可•哥的最大值为9

B.若以为直径的圆经过双曲线的右焦点工，则^^乃=16

C.若I尸耳1=7,则有1PBi=1或13

D.设"，P8的斜率分别为勺、乂，则77+77的最小值为:

k、k24

【正确答案】BD

【分析】求得不的最大值判断选项A；求得以价判断选项B；求得|叫|的值判断选

14

项C；求得不■+记的最小值判断选项D.

【详解】双曲线C:二-匕=1中6（-5,0）、鸟（5,0）,焦距2c=10,实轴长2a=6

916

不妨设图片,乂）、8（—4一乂）（石>0,乂>0）,P（x2,y2）

选项A：F2A=（xf-5,yt）,F2B=（-xt-5,-^）

则行•用=（%一5,乂）•（-x,-5,-乂）=25-X；一必2=0,

又4=［（x；-9）,贝！］可.后=41-富婷

yv

25______

由冈23,可知x，29,BP41-yx,2<16,则目•用的最大值为16.判断错误;

选项B：以Z8为直径的圆经过双曲线的右焦点名，则有64,玛B

______25

贝（j64・鸟6=（须一5,凹）・（一芭-5,_必）=25一片—乂=41~~^~x\=（,

解之得X：=41x=,则城=胃4支4-9）=筌，则乂弋

则与核=；x由段X|M|=；X10X£=16.判断正确；

选项C：若阀|=7,由|附|一|「耳||=|7-陀卜6,

可得|「用=13或|P周=1（因为户鸟|=l<2=c-a,舍去）.判断错误；

K2

乂

9一

可得（三一%）（三+司）_（乃-必）（%+必）=

选项D：由《K126=10

%=1

一916

9

16

即，-）匡一（-*）］_（%—%）|>2-（-必）］=0,贝|J匕“3

9169

14124994

故石+二22厂•厂=厂厂=4x^=7,（当且仅当&=2勺=±-72时等号成立）

k；k；k、k2k\h1643

149

即不+7T的最小值为:判断正确.

k}k24

故选：BD

三、填空题

13.已知空间向量2=（4,-1,勾，6=（2,1,1）,"=（1,2,1）,若£,%,£共面，则实数

2=.

【正确答案】1

111

【分析】根据向量共面，可设xb+yc=a,先求解出'J的值，则2的值可求.

【详解】因为£,b,1共面且1,b不共线，所以可设我+G=）,

2x+y=4

所以(2x+%x+2居x+y)=(4,-1,A),所以,x+2y=-l,

x+y=A

(x=3

所以c，所以八x+y=3-2=l,

[y=_2

故i.

14.过抛物线夕=x?上的点且与抛物线只有一个公共点的直线的方程为.

【正确答案】2x-y-l=0或1=1

【分析】分别讨论直线斜率存在与不存在两种情况，当斜率存在时，设直线方程为

y-l=k(x-l)与抛物线方程联立，满足△=(),即可求解.

【详解】由题，当直线斜率存在时，设直线为=联立y=一,

可得幺--=0，

因为直线与抛物线只有一个公共点，所以A=k2-4(A-1)=0,所以k=2,

则直线为y=2x-l,即2x_y_]=0；

当直线斜率不存在时，直线x=l与抛物线也只有一个公共点，

故2x-y-l=0或x=l

15.已知数列｛/｝满足q=1,a„=a„_｝+2"~'(»>2,eN),则《=•

【正确答案】63

【分析】由题设可得4,-4,T=2"T(〃22,〃eN),应用累加法，结合已知即可求

【详解】由题设，a,-a,^=T-'(«>2,«€N),

所以“6-牝+牝-+。4-。3+%-4，+。2-。尸。1=2'+2，+2?+2-+21—62，又q=1，

所以4=63.

故答案为.63

16.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称

为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的

第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层

比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)块.

【正确答案】3402

【分析】设每层环数为〃，结合已知有9/=729求〃，进而应用等差数列前〃项和公式求三

层共有扇面形石板数.

【详解】设每层环数为〃，则上层最后一环有9〃块，

中层第一环有9（〃+1）块，最后一环有18〃块，

下层第一环有9（2〃+1）块，最后一环有27〃块，

所以下层比中层多91=729，可得"=9,

则三层共有扇面形石板27xW=3402块

故3402

四、解答题

17.在等差数列｛〃“｝中，a/o=23,a2S=-22.

（1）数列｛。”｝前多少项和最大？

（2）求｛|。川｝的前〃项和

3103

——n2+-----凡nwN*

22

【正确答案】（1）前17项；（2）

32103

—n-------w+884,＞18,A7€N*

22

【分析】（1）利用通项公式表示已知条件，得到关于首项和公差的方程组，求解后得到通项

公式，探究项的正负，进而得到答案；

（2）根据（1）中的正负项的研究结论，对于前面的正项取绝对值后不变，直接用原等差数

列的求和公式计算；对于后面有负数项的情况，利用凑配法转化为原等差数列的和的组合的

问题进行运算可得结论.

%+9d=23,Jq=50,

【详解】（1）由1+241=-22,何[]=-3,

••an=ai~\-(n-\)d=-3〃+53.

53

令劭＞0,得〃＜丁，

・・・当〃S17,时，an>0；

当行18,时，an<0,

・・・｛m｝的前17项和最大.

(2)当於17,时,

|a，|+|a2|+…+|a〃|=a/+a?+…+a〃="a/+。d=——n2-\——n.

当行18,时,

=。/+。2+…+。〃一。/8一。/9一.・・一。〃

=2(。/+。2+…+。〃)一(a/+a2+...+an)

(3「2103「32103、

=2\——xl7+——xl7一nH-----n

(2222)

=|/-*+884.

321037*

——+----n,n<17,nwN。

22

:・Sn=<

3/_12^〃+884,n>18,/?GTV*,

122

本题考查等差数列的通项公式，求和公式，考查等差数列的绝对值数列的求和问题，属中档

题，关键是根据绝对值的性质，分类讨论，并适当配凑转化为可利用等差数列的求和公式计

算的形式.

18.已知：在四棱锥P-/8C。中，底面力88为正方形，侧棱尸41平面4BCD,点、M为PD

中点，PA=AD=\.

(1)求证：平面M4CL平面PC。；

(2)求直线PB与平面PC。所成角大小;

【正确答案】(1)证明见解析

【分析1(1)先证明CZ)_L平面尸/。，则有在证明2"人平面PCZ),再根据面

面垂直的判定定理即可得证；

(2)以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】(1)因为P4_L平面Z8C£),CDu平面/8CD,

所以尸/_LCD,

又ZO_LCD,/De/「=/,/£),力尸u平面HQ,

所以C0_L平面P4C,

又/Mu平面尸/£),所以4WJ.CD,

因为点M为尸。中点，PA=AD=l,

所以4W1PO,

又PDcCD=D,PD,CDu平面PCD,

所以1平面尸C£),

因为u平面M4C,

所以平面M4CJ_平面PCD；

(2)以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知可得4(0,0,0),5(1,0,0),P(0,0,1),

因为1平面PCD,

所以万7=为平面尸8的一条法向量，

丽=(1,0,7),

设直线PB与平面尸8所成角为。，

AM-PB1

则sin。=卜0$〈/河,尸8

AM^PB2

又0,兀-,所以。=7fT,

L2j6

jr

即直线PB与平面PCD所成角的大小为V.

19.已知数列｛4｝的前〃项和为，，且4=1,=5邑（"=1,2,3…）.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

1YI

（2）当"=log^（3a向）时，求证：数列的前〃项和7；=--

2bnb“u1+〃

1/=1

【正确答案】⑴4=1,3、,_2「

2X（2）'n-2

（2）证明见解析

【分析】（1）利用递推式，等比数列的定义及其通项公式即可得出答案.

（2）〃=logs（3]=〃,可得大:一=」一一二，再利用“裂项求和”即可得出.

b“b,enH+1

3

【详解】（1）解:,(«>2),得勺+1=5勺（心2）,

1,w=1

9(|尸42

(2)证明4=%(3%+|)=够=n

111__1

她+i心+1)nn+i*

=-L+-L+-L+…+，聿」〕+值」〕+化一口+…+上一-L)

她她她bnbn+lU2)123)(34)[nn+\)

1_n

1+〃1+〃

20.已知圆C:x2+y2+4x-2y-4=0.

⑴过点"(1,5)作圆C的切线/,求切线/的方程；

(2)设过点的直线机与圆C交于两点，若点4、8分圆周得两段弧长之比为1：2,

求直线m得方程.

【正确答案】(l)7x-24y+113=0或x=l；

⑵6x-8y+5=0或6x+8y-ll=0

【分析】(1)根据圆心到直线的距离等于半径求解，注意分斜率存在与不存在两种情况；

(2)利用条件可分析出弦所对圆心角，据此求出圆心到直线的距离，即可求解.

【详解】(1)由C:x2+/+4x-2y-4=0可得(x+2)2+(y-l>=9,

即圆心为C(-2,l),半径/*=3,

显然当直线斜率不存在时，x=l是圆的切线，

当直线斜率存在时，设直线为V-5=©x-l),即Ax-y+5-〃=0,

由圆心到直线的距离dJ")""".,解得人=三，

故切线为7》-24了+113=0或、=1.

(2)因为点48分圆周得两段弧长之比为1：2,故4C8=120。，

r3

所以NC48=30。，故圆心到直线的距离"=二=彳，

22

13

直线斜率不存在时，由彳-(-2)知，不符合题意，

22

当直线斜率存在时，设直线方程为y-I=A(x-；),

则圆心到直线的距离白旬_3,解得”=±3，

行一54

故直线方程为6x-8y+5=0或6x+8y-ll=0.

21.已知抛物线C:/=2px(p>0)的焦点为尸，点P(4,%)是抛物线C上一点，点。是PF

的中点，且。到抛物线c的准线的距离为:7.

(1)求抛物线C的方程；

(2)己知圆M:(x-2)2+/=4,圆M的一条切线/与抛物线C交于8两点，。为坐标原

点，求证：04。8的斜率之差的绝对值为定值.

【正确答案】⑴V=4x：

(2)2.

【分析】(1)根据题意即可列出等式。+5+4=7,即可求出答案：

(2)当直线N8的斜率不存在时，％，-坛1=2,当直线N8的斜率存在时，设出直线Z5的

方程为6即点48的坐标，把直线/B与抛物线进行联立，写出韦达定理，利用到直

线48的距离等于半径2,找到人与6之间的关系式，在计算04,。8的斜率之差的绝对值,

化简即可求出答案.

【详解】(1)根据题意可列P+5+4=7np=2

故抛物线。的方程为/=4x.

(2)①当直线Z8的斜率不存在时，直线48的方程为x=4,4(4,-4),8(4,4),

%=-1,koB=Li%-无(»|=2.

②当直线的斜率存在且不为0时，故设直线的方程为》=h+占，

圆M的一条切线/与抛物线C交于从8两点，故"=隼粤=2n协=1-1

“2+14

设/区B(xB,yB)

\y=kx