高中数学同步讲义（人教A版选择性必修一）第23讲 2.5.2圆与圆的位置关系（学生版）

第10讲2.5.2圆与圆的位置关系课程标准学习目标①掌握两圆位置关系的判定的代数方法与几何方法。②会应用两圆的位置关系求与两圆有关的几何量问题。通过本节课的学习，会判断两圆的位置关系，会求与两圆位置有关的点的坐标、公共弦长及公共弦所在的直线方程，能求与两圆位置关系相关的综合问题.知识点01：圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.图象位置关系图象位置关系外离外切相交内切内含2、圆与圆的位置关系的判定2.1几何法设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.①当时，两圆相交；②当时，两圆外切；③当时，两圆外离；④当时，两圆内切；⑤当时，两圆内含.2.2代数法设::联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其①与设设相交②与设设相切（内切或外切）③与设设相离（内含或外离）【即学即练1】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O：与圆C:的位置关系是（

）A．相交 B．相离 C．外切 D．内切【答案】C【详解】圆是以为圆心，半径的圆，圆:改写成标准方程为，则圆是以为圆心，半径的圆，则，=3，所以两圆外切，故选：.知识点02：圆与圆的公共弦1、圆与圆的公共弦圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.2、公共弦所在直线的方程设::联立作差得到：即为两圆共线方程3、公共弦长的求法代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．【即学即练2】（2022秋·高二课时练习）已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】将两个圆的方程相减，得3x－4y＋6＝0.故选：D.知识点03：圆与圆的公切线1、公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线．2、公切线的方程核心技巧：利用圆心到切线的距离求解【即学即练3】（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）圆与圆的公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】圆的圆心坐标为，半径为5；圆的圆心坐标为，半径为3，所以两圆的圆心距为，因为，所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条.故选：B.知识点04：圆系方程(1)以为圆心的同心圆圆系方程：；(2)与圆同心圆的圆系方程为；(3)过直线与圆交点的圆系方程为4过两圆，圆：交点的圆系方程为（，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.【即学即练4】（2022秋·高二单元测试）求过两圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程.【答案】【详解】设圆的方程为，则，即，所以圆心坐标为，把圆心坐标代入得，解得，所以所求圆的方程为．题型01判断圆与圆的位置关系【典例1】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O：与圆C:的位置关系是（

）A．相交 B．相离 C．外切 D．内切【典例2】（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）圆与圆的位置关系是（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【典例3】（多选）（2023春·甘肃兰州·高二兰大附中校考阶段练习）已知圆和圆，则下列结论正确的是（

）A．圆与圆外切B．直线与圆相切C．直线被圆所截得的弦长为2D．若分别为圆和圆上一点，则的最大值为10【变式1】（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）圆与圆的位置关系为（

）．A．相交 B．内切 C．外切 D．外离【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，则与的位置关系是（

）A．外切 B．内切 C．相交 D．外离题型02求两圆交点坐标【典例1】（2022·高二课前预习）圆与圆的交点坐标为（

）A．和 B．和C．和 D．和【典例2】（2022秋·贵州遵义·高二遵义一中校考阶段练习）圆：和圆：交于，两点，则线段的垂直平分线的方程是______.【变式1】（2023秋·青海西宁·高二校考期末）圆与的交点坐标为______.【变式2】（2022·高二课时练习）圆与圆的交点坐标为___________.题型03由圆的位置关系确定参数【典例1】（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆：与圆：有公共点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）若圆和有且仅有一条公切线，则______；此公切线的方程为______【变式1】（2023秋·高二课时练习）若两圆和圆相交，则的取值范围是（

）A． B．或C． D．或【变式2】（2023秋·高一单元测试）已知圆与圆内切，则的最小值为_______题型04由圆与圆的位置关系确定圆的方程【典例1】（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知圆，圆过点且与圆相切于点，则圆的方程为__________.【典例2】（2023·河南焦作·统考模拟预测）已知圆，的圆心都在坐标原点，半径分别为与．若圆的圆心在轴正半轴上，且与圆，均内切，则圆C的标准方程为_________．【典例3】（2023春·江西宜春·高二统考阶段练习）已知圆(1)若直线过定点，且与圆相切，求直线的方程；(2)若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）经过点以及圆与交点的圆的方程为______．【变式2】（2023·高二课时练习）已知圆和圆，求过两圆交点，且面积最小的圆的方程．题型05相交圆的公共弦方程【典例1】（2023·河南·统考二模）若圆与圆的公共弦的长为1，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【典例2】（2023春·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知，直线为上的动点，过点作的切线，切点为，当最小时，直线的方程为__________.【变式1】（2023春·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为______.【变式2】（2023·天津和平·耀华中学校考二模）圆与圆的公共弦所在的直线方程为______．题型06两圆的公共弦长【典例1】（2023·天津滨海新·统考三模）已知圆：与圆：，若两圆相交于，两点，则______【典例2】（2023秋·湖南张家界·高二统考期末）已知两圆，．(1)取何值时两圆外切？(2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．【变式1】（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）已知圆与圆有两个公共点、，且，则实数（

）A． B． C． D．【变式2】（2023·浙江·高三专题练习）已知圆与交于两点.若存在，使得，则的取值范围为___________.题型07圆的公切线条数【典例1】（2023·全国·高三专题练习）圆：与圆：公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【典例2】（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【典例3】（2023秋·河北保定·高二统考期末）若圆与圆恰有两条公共的切线，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【典例4】（2023春·四川眉山·高二四川省眉山第一中学校考开学考试）已知圆：与：恰好有4条公切线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若圆与圆有且仅有3条公切线，则=（

）A．14 B．28 C．9 D．【变式2】（2023秋·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）两个圆：与：恰有三条公切线，则的最大值为（

）A． B． C．6 D．－6【变式3】（2023·全国·模拟预测）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（

）A．4条 B．3条 C．2条 D．0条【变式4】（2023春·青海西宁·高二校考开学考试）圆与圆的公切线条数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3题型08圆的公切线方程【典例1】（多选）（2023·高二课时练习）已知圆，圆，则下列是，两圆公切线的直线方程为（

）A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆与圆恰有两条公切线，则满足题意的一个的取值为____；此时公切线的方程为__________.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程___________.【变式1】（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（

）A． B．C． D．【变式2】（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程___________.题型09圆的公切线长【典例1】（2022秋·广东云浮·高二校考期中）已知圆的方程为，圆的方程为.(1)判断圆与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由.(2)求两圆的公切线长.【变式1】（2022·高二课时练习）求圆与圆的内公切线所在直线方程及内公切线的长．A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023春·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）设圆，圆，则圆，的位置（

）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离2．（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆和交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．3．（2023秋·湖南郴州·高二统考期末）与两圆和都相切的直线有（

）条A．1 B．2 C．3 D．44．（2023秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期末）已知圆与圆有两个交点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（2023秋·高一单元测试）已知点是圆上的一点，过点作圆的切线，则切线长的最小值为（

）A． B． C． D．6．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（

）A．5 B．3 C．2 D．17．（2023·全国·高三专题练习）圆：与圆：公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2023秋·安徽滁州·高二校联考期末）已知圆：，为直线：上的一点，过点作圆的切线，切点分别为，，当最小时，直线的方程为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023秋·高一单元测试）点在圆：上，点在圆：上，则（

）A．的最小值为B．的最大值为C．两个圆心所在的直线斜率为D．两个圆公共弦所在直线的方程为10．（2023春·甘肃兰州·高二兰大附中校考阶段练习）已知圆和圆，则下列结论正确的是（

）A．圆与圆外切B．直线与圆相切C．直线被圆所截得的弦长为2D．若分别为圆和圆上一点，则的最大值为10三、填空题11．（2023秋·高一单元测试）已知圆与圆内切，则的最小值为_______12．（2023·天津·高三专题练习）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长为__________．四、解答题13．（2023秋·高二课时练习）如图，已知点A、B的坐标分别是，点C为线段AB上任一点，P、Q分别以AC和BC为直径的两圆的外公切线的切点，求线段PQ的中点的轨迹方程.

14．（2023秋·河北保定·高二统考期末）已知圆与圆(1)求证：圆与圆相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程；(3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．B能力提升1．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知圆和两点，，若圆C上至少存在一点P，使得，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知动直线与圆交于，两点，且．若与圆相交所得的弦长为，则的最大值与最小值之差为（

）A． B．1 C． D．23．（2023·北京通州·统考模拟预测）在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C满足，，A为线段中点，P为圆任意一点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）已知平面内的动点，直线：，当变化时点始终不在直线上，点为：上的动点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．C综合素养1．（2023春·上海黄浦·高二上海市敬业中学校考期中）已知直线，圆.(1)证明：直线与圆相交；(2)设直线与的两个交点分别为、，弦的中点为，求点的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，设圆在点处的切线为，在点处的切线为，与的交点为.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当变化时，点是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.2．（2023春