2023届山东省枣庄三中等33校高三年级下册开学（第一次模拟）考试数学试题

2023届山东省枣庄三中等33校高三下学期开学（第一次模拟）考试数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.i是虚数单位，2=二则|2|=（）

1-Z

A.1B.2C.V2D.272

2.已知向量a与8的夹角为定义axb为a与b的“向量积”,且是一个向量，它的长度,、0=恸卜卜皿夕，

若"=（2,0）,=贝山＞＜（〃+丫）卜（）

A.473B.73

C.6D.2G

3.已知集合A={M-l<x<2},B={x|x>l},贝!|AUZJ=

A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+oo)D.(1,+oo)

4.A3c中，点。在边AB上，CO平分/4CB,若CB=a，CA=b忖=2,忖=1,贝!]C£>=()

12,C."力D.'+%

A.B.-a+—b

33335555

5.若函数/（x）=3cosx+4sinx在时取得最小值，贝！jcos（9=（）

33

A.D.

55

6.已知双曲线C:二-与=13＞0力＞0）的一个焦点为尸，点A5是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以A3

a'b'

为直径的圆过E且交C的左支于两点，若|MN|=2,A43尸的面积为8,则。的渐近线方程为（）

A.y=±\/3xB.y=±—

3

C.y=±2xD.y=±^x

1+z

7.在复平面内，复数7rFT对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.已知三棱锥P—ABC的四个顶点都在球。的球面上,PA，平面ABC,AABC是边长为的等边三角形，若球0

的表面积为207r，则直线PC与平面Q钻所成角的正切值为（）

3_R币D.且

A.B.-----C.尹

434

〃一4=5,则a-匕的最小值为（

9.已知平面向量a，/?,c满足:a•b=0,卜|=1,卜-|

A.5C.7D.8

10.函数/（x）=；-+sinx的图象的大致形状是（)

ci,b,且2Q+〃=g(Q>0,/?>0),

11.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三视图的长、宽、高分别为2,

则此三棱锥外接球表面积的最小值为（)

21

A.—71一7tC.44D.5万

44

12.已知集合A={xeZ，

则集合A真子集的个数为（)

A.3B.4C.7D.8

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某次足球比赛中，A，B,C,。四支球队进入了半决赛.半决赛中，A对阵C，8对阵。，获胜的两队进入决

赛争夺冠军，失利的两队争夺季军.已知他们之间相互获胜的概率如下表所示.

ABCD

A获胜概率—0.40.30.8

3获胜概率0.6—0.70.5

C获胜概率0.70.3—0.3

。获胜概率0.20.50.7—

则A队获得冠军的概率为.

14.已知f(x)=sin[|(x+1)-x/3cos[|(x+1)],贝!]/■⑴+/(2)+/⑶+...+/(2020)=

15.已知函数/'(尤)=In±L为奇函数，则。=.

\-ax

16.已知复数z=(i—2)2(i为虚数单位)，贝!|z的共扼复数是,回=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数分(X)=X|X+T|MWR.

(1)若/(l)+/(-1)>1,求a的取值范围；

⑵若4<0,对Vx,y,不等式/'(x)Wy+3+y+|CL•恒成立，求a的取值范围.

2

18.(12分)△钻C的内角A，B,C的对边分别为“，b,c,已知AA3C的面积为」一.

4sinA

(1)求sinBsinC；

(2)若10cos8cosC=—l,a=&，求A4BC的周长.

19.(12分)为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”

活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取50名学生，统计他们的竞赛成绩，已知这50名

学生的竞赛成绩均在[50,100]内，并得到如下的频数分布表：

分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人数51515123

(1)将竞赛成绩在170,100]内定义为“合格”，竞赛成绩在[50,70)内定义为，，不合格”.请将下面的2x2列联表补充完

整，并判断是否有95%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？

合格不合格合计

高一新生12

非高一新生6

合计

（2）在（1）的前提下，按“竞赛成绩合格与否”进行分层抽样，从这50名学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随

机抽取2名学生，求这2名学生竞赛成绩都合格的概率.

参考公式及数据：K2=------叱@~~---------,其中〃=a+/?+c+d.

（a+Z?）（c+d）（a+c）（b+d）

PgNk。)O.KM)0.0500.0100.001

k。2.7063.8416.63510.828

20.（12分）某调查机构为了了解某产品年产量x（吨）对价格y（千克/吨）和利润z的影响，对近五年该产品的年产量和

价格统计如下表：

Xi2345

y17.016.515.513.812.2

（1）求y关于x的线性回归方程y=晟+必

（2）若每吨该产品的成本为12千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润w取到最大值？

2苦»一〃•亍.y£（七一亍）（＞，一.）

参考公式：b=^-----------=『-------------,a=y-bx

就2£（%-元『

1=11=1

21.（12分）如图，在四棱锥。一458中，PD_L平面ABCD,底面ABCD是矩形，AD=PD,E,尸分别是

CD,P3的中点.

p

B

（I）求证：所_L平面A4B；

（H）设AB=G3C=3，求三棱锥P—AER的体积.

22.（10分）如图，已知椭圆二三+二；二一,二为其右焦点，直线二二（匚二<0与椭圆交于二（二>3）,二（I二;.二;）

二二1.（点二二，二二从上到下依次排列）

⑺试用二表示二二：

（〃）证明：原点到直线/的距离为定值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

由复数除法的运算法则求出z,再由模长公式，即可求解.

【详解】

由z=2；1?）=-1+j,|Z|=&.

1—1

故选:C.

【点睛】

本题考查复数的除法和模，属于基础题.

2、D

【解析】

先根据向量坐标运算求出，，+v=（3,V3）和cos（w,〃+»,进而求出sin〃+v）,代入题中给的定义即可求解.

【详解】

手，得sinG，“+u）=3，由定义知

由题意u==,则〃+U=(3,G),cos“+1)=

J"x(〃+v)卜M•|w+v|sinw+=2xx；=2A/3,

故选:D.

【点睛】

此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目.

3、C

【解析】

根据并集的求法直接求出结果.

【详解】

TA={x|-l<x<2},B={x|>l},

AA5=(-1,+oo),

故选C.

【点睛】

考查并集的求法，属于基础题.

4、B

【解析】

由CO平分ZACB,根据三角形内角平分线定理可得空=笑，再根据平面向量的加减法运算即得答案.

【详解】

CQ平分ZACB,根据三角形内角平分线定理可得空=笑，

DACA

又CB=a，CA=b9=2,”=1,

or\

...——=2,：.BD=2DA.

DA

O)1Q

:.CD=CB+BD=CB+-BA=a+-(b-a]=-a+-b.

33、,33

故选：B.

【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.

5、D

【解析】

利用辅助角公式化简f(x)的解析式，再根据正弦函数的最值，求得/(X)在X=8函数取得最小值时cos。的值.

【详解】

4

解：/(无)=3cos龙+4sinx=5|—cosx+—sinx|=5sin(x+a),其中，sina=—,cosa--

5

故当。+c=2%r—g(ZeZ),即6=2版■-四—c(&eZ)时，函数取最小值/(。)=—5,

冗43

所以cos0=cos(2Z%----a)=cos(----a)=-sincu=——,

225

故选：D

【点睛】

本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题.

6、B

【解析】

由双曲线的对称性可得=即儿、=8,又|MN|=Z=2,从而可得C的渐近线方程.

【详解】

设双曲线的另一个焦点为尸‘，由双曲线的对称性，四边形AF8U是矩形，所以2M/=5,群一即从'=8,由

x2+y2c2

♦尤2y2,得：y=±£_,所以|MN|=Z=2,所以Z?2=c,所以b=2,c=4,所以〃=2百，C的渐近

.滔丁=1ee

线方程为y=土S~x・

3

故选B

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想与计算能力，属于中档题.

7、B

【解析】

化简复数为a+6的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案.

【详解】

l+i_l+i_(l+i)Z

(1-z)2-2i-i

一l+i11.

=---=--1—I

222

对应的点的坐标为I在第二象限

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.

8、C

【解析】

设。为AB中点,先证明CD_L平面PAB,得出NCPD为所求角，利用勾股定理计算胡,阳,。),得出结论.

【详解】

设。,E分别是A8,BC的中点CD=F

Q41.平面ABCPAA.CD

AA3C是等边三角形：.CD±AB

又PAAB=A

\CC)A平面.•.NCP。为PC与平面Q43所成的角

AABC是边长为的等边三角形

2

:.CD=AE=3,AF=§AE=2且尸为AABC所在截面圆的圆心

球。的表面积为20〃..•球。的半径04=5

：.OF=JOA2-AF2=1

241.平面ABC:.PA=2OF=2

PD=VPA2+AD2=V7

CD33#i

tan/CPD

本题正确选项：c

【点睛】

本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解

出线段长，属于中档题.

9、B

【解析】

建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将，-彳的最小值转化为用该关系式表达的算式,

利用基本不等式求得最小值.

【详解】

建立平面直角坐标系如下图所示，设c=(cose,sine),0A=a,OB=b,且A(〃2,0),8(0,〃)，由于

,一4=|一。|=5,所以

<7-c=(m-cos6,-sin6),〃一c=(-cos6,〃一sin，).所以

m2-2mcos^+cos26+sin29=25

即nr+/=48+2mcos6+2〃sin8.

rr-2nsin^+sin2^4-cos20=25

_2(Q_(?)•(/?_c)+仅-c)=V48+27ncos0+2/tsin0

=Jw+九2>J市.当且仅当m二〃时取得最小值，此时由加2+〃2=48+2mcos8+2〃sin。得

2"??=48+2"2(sine+cos6)=48+2亚机sin[e+?J,当，二芋时，2m?有最小值为48-2血相，即

2/?r=48-272/71，m2+>/2m-24=0»解得m=38・所以当且仅当加=〃=3)2,。==时。一〃有最小值为

/邓用=6.

故选：B

本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.

10、B

【解析】

根据函数奇偶性，可排除D；求得尸(x)及/(x),由导函数符号可判断〃力在R上单调递增，即可排除AC选项.

【详解】

V3

函数"X)=——Fsinx

易知为奇函数，故排除D.

尤271

又/'")=匕+COSX,易知当xw0,—时，ra)>o；

71

又当时，=--sinx>l-sinx>0,

综上，X£[0,4W)时，/(力>0,即单调递增.

又了(%)为奇函数，所以/(%)在R上单调递增，故排除A,C.

故选：B

【点睛】

本题考查了根据函数解析式判断函数图象，导函数性质与函数图象关系，属于中档题.

11、B

【解析】

根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而

得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值.

【详解】

由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点，即为三棱锥A-C片。「且

长方体ABC。-AqGA的长、宽、高分别为2,。1,

...此三棱锥的外接球即为长方体的外接球，

且球半径为R=&+/+〃="+/+」,

22

...三棱锥外接球表面积为4万"+"+”=^(4+a2+/>2)=5^-(«-l)2+—,

\7

121

.•.当且仅当4=1,匕=二时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为二万.

24

故选B.

【点睛】

(1)解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆

面起衬托作用.

(2)长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通

过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题.

12、C

【解析】

解出集合A,再由含有〃个元素的集合，其真子集的个数为2"-1个可得答案.

【详解】

解：由A={X€Z|*〈O],得4={%62|_3<彳40}={-2,_1,0}

所以集合A的真子集个数为2,-1=7个.

故选：c

【点睛】

此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有〃个元素的集合，其真子集的个数为2"-1个，属于基础

题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、0.18

【解析】

根据表中信息，可得A胜C的概率；分类讨论B或D进入决赛，再计算A胜B或A胜C的概率即可求解.

【详解】

由表中信息可知，A胜C的概率为0.3;

若B进入决赛，B胜D的概率为0.5,则A胜B的概率为0.5x04=0.2；

若D进入决赛，D胜B的概率为0.5,则A胜D的概率为05x0.8=0.4；

由相应的概率公式知，则A获得冠军的概率为P=0.3x(0.5x0.4+0.5x0.8)=0.18.

故答案为：().18

【点睛】

本题考查了独立事件的概率应用，互斥事件的概率求法，属于基础题.

14、G

【解析】

1T

化简得/(x)=2sin§x,利用周期即可求出答案.

【详解】

解：fU)=sin[—(x+1)]-V3cos[y(x+l)]=2sin—x,

...函数/(x)的最小正周期为6,

A/(I)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

/(D+/(2)+/(3)+...+/(2020)=/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=.,

故答案为：百.

【点睛】

本题主要考查三角函数的性质的应用，属于基础题.

15、-1

【解析】

利用奇函数的定义得出/(-^)=-/(x),结合对数的运算性质可求得实数a的值.

【详解】

由于函数f(x)=ln二为奇函数，贝=即ln=l=—ln==lnE，

\-ax1+ax\-axx-1

一x—11—nx

——=-整理得1—炉=1_4%2,解得a=±L

\+axx-1

X—1

当々=1时，真数-=-1,不合乎题意；

1-x

y_1X—]

当。=一1时，/(x)=ln—j-,解不等式(石>0,解得x<7或x>l,此时函数y=/(x)的定义域为

(f,—l)U(l,+x)),定义域关于原点对称，合乎题意.

综上所述，a=—L

故答案为：一1.

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性求参数，考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.

16、3+4/5

【解析】

直接利用复数的乘法运算化简，从而得到复数'的共匏复数和z的模.

【详解】

22

..-Z=(Z-2)=Z-4/+4=3-4Z,则复数2的共甄复数为3+43且忖=巧不了=5.

故答案为：3+4z；5.

【点睛】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1),+ooj.(2)[—3,0).

【解析】

(1)分类讨论aW—1,a>\,即可得出结果；

(2)先由题意，将问题转化为了。),皿4(即可，再求出/(无)“心，y+[+y+5的最小值，解

不等式即可得出结果.

【详解】

(1)由/(1)+/(_1)>1得|。+1|一|。_1|〉1,

若。<-1,则一1一。+〃一1>1,显然不成立；

若一贝!］1+。+。一1>1,a>—,即1V。<1；

22

若。之1,则1+〃一〃+1>1,即2>1,显然成立，

综上所述，a的取值范围是(g，+8)

3

(2)由题意知，要使得不等式恒成立，只需/(x),3<(，+］+y+］),,而,

当xe(9,-a］时，/(x)=-x(x+a),所以/(幻…=/(一：］=］；

3a3a

因为y+:+y+->

4242

2&

所以幺4士一巴，解得—3KaWl,结合a<0,

442

所以。的取值范围是［一3,0).

【点睛】

本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记分类讨论的思想、以及绝对值不等式

的性质即可，属于常考题型.

18、(1)；(2)V2+V7

【解析】

(1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案；(2)根据两角余弦公式可得cosA,即可求出sinA,再根据正弦定

理可得历，根据余弦定理即可求出8+C,问题得以解决.

【详解】

(1)由三角形的面积公式可得=Lacsin8=」一，

24sinA

.\2csinBsinA=a,

由正弦定理可得2sinCsin3sinA=sinA,

・.,sinAw0,

sin5sinC=—；

2

(2)10cosBcosC=—1,

,cos3cosc=---,

10

3

cos(B+C)=cosBcosC-sinBsinC=--,

43.4

...cosA=—,sinAA=—,

55

।225

贝！1由V〃csinA=",可得：hc=—,由从+/—〃=2feccosA，

24sinA16

可得：b2+c2=^-,

o

3175

.•.S+C)2=?+==7,可得：b+c=不，经检验符合题意，

oo

•••三角形的周长a+Z?+c=&+77.

(实际上可解得引=28一逝,符合三边关系).

44

【点睛】

本题考查了三角形的面积公式、两角和的余弦公式、诱导公式，考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用,

考查了学生的运算能力，考查了转化思想，属于中档题.

3

19、(1)见解析；(2)P=—

10

【解析】

(1)补充完整的2x2列联表如下:

合格不合格合计

高一新生121426

非高一新生18624

合计302050

则K2的观测值人携筌鬻J等川27>3刈,

所以有95%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关.

(2)抽取的5名学生中竞赛成绩合格的有30x4=3名学生，记为a,b,c,

竞赛成绩不合格的有20x点=2名学生，记为机巴

从这5名学生中随机抽取2名学生的基本事件有：ab,ac,be,am,an,bin,bn,cm,cn,mn,共10种,

这2名学生竞赛成绩都合格的基本事件有：ab,ac,bc,共3种,

3

所以这2名学生竞赛成绩都合格的概率为P=历.

20、(1)y=18.69-1.23x(2)当x=2.72时，年利润z最大.

【解析】

(1)方法一：令2=丁-10,先求得z关于x的回归直线方程，由此求得y关于x的回归直线方程.方法二：根据回归

直线方程计算公式，计算出回归直线方程.方法一的好处在计算的数值较小.

(2)求得w的表达式，根据二次函数的性质作出预测.

【详解】

(1)方法一：取2=丁一10,则得X与Z的数据关系如下

X12345

Z7.06.55.53.82.2

x=-(l+2+3+4+5)=3,

z(7.0+6.5+5.5+3.8+2.2)=5,

Zxizi=1x7.0+2x6.5+3x5.5+4x3.8+5x2.2=62.7,

i=\

5

=l2+22+32+42+52=55.

,=i

卒4-5.62.7.5x3x5

b=-..................=---------------------=-1.23,

^X,2-5X255—5X32

a=z-^x=5-<-1.23)x3=8.69,

z关于x的线性回归方程是z=8.69-1.23%即9-10=z=8.69-1.23x,

故)'关于x的线性回归方程是y=18.69-1.23%.

方法二：因为亍=；(1+2+3+4+5)=3,

y=1(17.0+16.5+15.5+13.8+12.2)=15,

5

=1x17.0+2x16.5+3x15.5+4x13.8+5x12.2=212.7,

/=1

5

=I2+22+32+42+52=55,

i=l

5

自光/—5“_2]2.7—5x3xl5_

••cz-7-——1♦乙、•

自2c-255-5x32

二西-5九

i=l

所以&=]-尻=15-(-1.23)x3=18.69,

故),关于1的线性回归方程是y=18.69-1.23%,

(2)年利润卬=x(l8.69-1.23x)-l2x=-1.23x2+6.69x,根据二次函数的性质可知:当x=2.72时，年利润二最大.

【点睛】

本小题主要考查回归直线方程的求法，考查利用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于中档