数字逻辑基础

关于数字逻辑基础第8章数字逻辑基础第2页,共117页，2024年2月25日，星期天章节内容8.1数制与码制8.2逻辑代数及其运算8.3逻辑代数的基本公式和规则8.4逻辑函数的化简8.5基础逻辑门电路8.6Multisim门电路分析第3页,共117页，2024年2月25日，星期天概述

数字信号和数字电路

电子电路中的信号模拟信号数字信号随时间连续变化的信号如：温度、压力、速度，照度时间和幅度都是离散的信号第4页,共117页，2024年2月25日，星期天

数字量和模拟量

数字量是指离散变化的物理量，模拟量则是指连续变化的物理量。处理数字信号的电路称为数字电路，而处理模拟信号的电路称为模拟电路。同模拟信号相比，数字信号具有传输可靠、易于存储、抗干扰能力强、稳定性好等优点。因此，数字电路获得了愈来愈广泛的应用。第5页,共117页，2024年2月25日，星期天数字信号：产品数量的统计。数字表盘的读数。数字电路信号：tu第6页,共117页，2024年2月25日，星期天数字电路研究的问题基本电路元件基本数字电路逻辑门电路触发器

组合逻辑电路时序电路（寄存器、计数器、脉冲发生器、脉冲整形电路）

A/D转换器、D/A转换器第7页,共117页，2024年2月25日，星期天

数字电路的发展：从60年代末期出现标准通用片，70年代中后期出现现场片（PROM，PLA，PAL），80年代初期出现半用户片（门阵列片），80年代中后期出现通用阵列逻辑（GAL）和现场可更改的门阵列片（FPGA），90年代又出现在系统编程（ISP）的用户片。1.1.2

数字电路的分类集成电路按规模分：①SSI：10-100个基本单元/片；②MSI：100-1000个基本单元/片；③LSI：1000-1万个基本单元/片；④VLSI：1万以上基本单元/片。第8页,共117页，2024年2月25日，星期天8.1.1数制所谓“数制”，即各种进位计数制。8.1数制与编码1.特点：⑴10个有序的数字符号：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9一、十进制数

1243685945.67807其中：“十”为进位基数，简称基数⑶“逢十进一”的计数规则⑵小数点符号：“.”第9页,共117页，2024年2月25日，星期天

一种进位计数制包含着基数和权值两个基本的因素：

基数:一种数制中允许使用的数字符号个数。在基数为R计数制中，包含0、1、…、R-1共R个数字符号，进位规律是“逢R进一”。称为R进制。

权值:某个数位上数字符号为1时所表征的数值。不同数位有不同的权值，某一个数位的数值等于这一位的数字符号乘上与该位对应的位权。R进制数的权值是R的整数次幂，可表示成Ri的形式。例如，十进制数的位权是10的整数次幂，其个位的位权是100，十位的位权是101……。第10页,共117页，2024年2月25日，星期天

十进制数12345.67809小数点10410310210110010-110-210-310-410-5万千百十个位位位位位十百千万十万分分分分分位位位位位

将并列式按“权”展开为按权展开式，如下例：

处在不同位置的数字具有不同的“权”，并列计数法。12345.67809=1×104+2×103+3×102+4×101+5×100+6×10-1+7×10-2+8×10-3+0×10-4+9×10-

5第11页,共117页，2024年2月25日，星期天二、二进制：以二为基数的记数体制表示数的两个数码：0,1遵循逢二进一的规律（1001)B==(9)D第12页,共117页，2024年2月25日，星期天三、八进制和十六进制：十六进制记数码：1,2,3,4,5,6,7,8,9,A(10),B(11),C(12),D(13),E(14),F(15)(4E6)H=4162+14161+6160=(1254)D八进制记数码：1,2,3,4,5,6,7,8,(437.25)O=482+381+780+28-1+58-2=(287.328125)D第13页,共117页，2024年2月25日，星期天

因为二进制中只有0和1两个数字符号，可以用电子器件的两种不同状态来表示一位二进制数。例如，可以用晶体管的截止和导通表示1和0，或者用电平的高和低表示1和0等。所以，在数字系统中普遍采用二进制。

二进制的优点:

运算简单、物理实现容易、存储和传送方便、可靠。

二进制的缺点：数的位数太长且字符单调，使得书写、记忆和阅读不方便。

因此，人们在进行指令书写、程序输入和输出等工作时，通常采用八进制数和十六进制数作为二进制数的缩写。几种数制对照表见表8.1第14页,共117页，2024年2月25日，星期天2.

不同数制间的转换

（1）二进制数转换为十进制数

将二进制数表示成按权展开式，并按十进制运算法则进行计算，所得结果即为该数对应的十进制数。

例如，（1101.101）2=（？）10

(1101.101)2=1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3=8+4+1+0.5+0.125=(13.625)10

数制转换是指将一个数从一种进位制转换成另一种进位制。从实际应用出发，要求掌握二进制数与十进制数、八进制数和十六进制数之间的相互转换。第15页,共117页，2024年2月25日，星期天

十进制数转换成二进制数时，应对整数和小数分别进行处理。

整数转换——采用“除2取余”的方法；

小数转换——采用“乘2取整”的方法。整数转换

“除2取余”法：将十进制整数N除以2，取余数计为a0；再将所得商除以2，取余数记为a1；……。依此类推，直至商为0，取余数计为an-1为止。即可得到与N对应的n位二进制整数an-1…a1a0。（2）十进制数转换为二进制数

第16页,共117页，2024年2月25日，星期天

例如，（57）10=（？）2

257余数228………

1

（a0）低位214………

0（a1）27………

0

（a2）23………

1

（a3）21………

1（a4）0………

1

（a5）高位即(57)10=(111001)2

第17页,共117页，2024年2月25日，星期天

例如，（0.725）10=（？）2

小数转换

“乘2取整”法：将十进制小数N

乘以2，取积的整数记为a–1；再将积的小数乘以2，取整数记为a–2；……。依此类推，直至其小数为0或达到规定精度要求，取整数记作a–m为止。即可得到与

N

对应的m位二进制小数0.a-1a-2…a-m。

即:(0.725)10≈

(0.101110)2…………a-1=1…………a-2=0…………a-3=1…………a-4=1…………a-5=1…………a-6=00.725×2=1.450.9×2=1.80.8×2=1.60.6×2=1.20.45×2=0.90.2×2=0.4取整数…………a-2=0…………a-3=1…………a-4=1…………a-5=1…………a-6=00.725×2=1.450.9×2=1.80.8×2=1.60.6×2=1.20.2×2=0.4取整数0.45×2=0.9…………a-2=0…………a-3=1…………a-4=1…………a-5=1…………a-6=00.725×2=1.450.9×2=1.80.8×2=1.60.6×2=1.20.2×2=0.4取整数第18页,共117页，2024年2月25日，星期天(3)二进制数与八进制数之间的转换

二进制数转换成八进制数：以小数点为界，分别往高、往低每3位为一组，最后不足3位时用0补充，然后写出每组对应的八进制字符，即为相应八进制数。

例如，（10111101.00111

）2=（？）8

即

(10111101.00111)2=(275.16)8

010111101.001110275.16第19页,共117页，2024年2月25日，星期天

即：

(451.36

)8

=(100101001.011110)2

例如，（451.36

）8

=（？）2

八进制数转换成二进制数时，只需将每位八进制数用3位二进制数表示,小数点位置保持不变。100101001.011110451.36第20页,共117页，2024年2月25日，星期天(4)二进制数与十六进制数之间的转换

二进制数转换成十六进制数：以小数点为界，分别往高、往低每4位为一组，最后不足4位时用0补充，然后写出每组对应的十六进制字符即可。

例如，（001010111101.00011000

）2=（？）16

即:(001010111101.00011000)2=(2BD.38)１６

001010111101.000110002BD.38第21页,共117页，2024年2月25日，星期天

十六进制数转换成二进制数时，只需将每位十六进制数用4位二进制数表示，小数点位置保持不变。

例如，（4AF.E2

）16=（？）2

即：

(4AF.E2

)１６=(1011010.1011)2

010010101111.111000104AF.E2第22页,共117页，2024年2月25日，星期天8.1.2编码1.十进制数的编码表示:8421码和余3码

在数字电路中，具有两种状态的电子元件只能表示0和1两种数码，这就要求在以数字电路为基础的计算机中处理的文字、数字、图形、声音等信息都要用一组二进制代码来表示。用n位二进制数组成2n个不同的代码，可用来表示2n个不同的数据或信息。将一组二进制代码按某种规律排列起来表示给定信息的过程称为编码。

第23页,共117页，2024年2月25日，星期天1.十进制数的编码表示

为了避免输入、输出时二进制数和十进制数之间进行的复杂转换，可以采用一种用二进制数表示十进制数的编码方法，即用4位二进制代码对十进制数字符号进行编码，简称为二–十进制代码，或称BCD(BinaryCodedDecimal)码。

BCD码既有二进制的形式，又有十进制的特点。十进制数编码的方法有多种，常用的BCD码有8421码和余3码。

第24页,共117页，2024年2月25日，星期天（1）8421码

8421码：是用4位二进制码表示一位十进制字符的一种有权码，4位二进制码从高位至低位的权依次为23、22、21、20，即为8、4、2、1,故称为8421码。

按8421码编码的0～9与用4位二进制数表示的0～9完全一样。所以，8421码是一种人机联系时广泛使用的中间形式。

第25页,共117页，2024年2月25日，星期天

十进制数字符号0~9与8421码的对应关系如下表所示。第26页,共117页，2024年2月25日，星期天8421码

(1)8421码中不允许出现1010～1111六种组合(因为没有十进制数字符号与其对应)。

(2)8421码编码简单、直观、表示容易，十进制数的8421码与相应ASCII码的低四位相同，这一特点有利于简化输入输出过程中BCD码与字符代码的转换。

注意：

第27页,共117页，2024年2月25日，星期天8421码与十进制数之间的转换是按位进行的，即十进制数的每一位与4位二进制编码对应。例如，8421码与十进制数之间的转换

(1987.35)10

=(0001100110000111.00110101

)8421码

(0001001000001000)8421码=(1208)10

例如，

(28）10=（11100）2=（00101000）8421

注意：8421码与二进制的区别第28页,共117页，2024年2月25日，星期天第一章基本知识2.可靠性编码

作用:

提高系统的可靠性。

为了减少或者发现代码在形成和传送过程中都可能发生的错误。形成了各种编码方法。下面，介绍两种常用的可靠性编码。（1)循环码也叫格雷(Gray)码

特点：任意两个相邻的数所对应的代码之间只有一位不同，其余位都相同。

作用：循环码的这个特点，使它在代码的形成与传输时引起的误差比较小。第29页,共117页，2024年2月25日，星期天表8.3四位循环码十进制数二进制数循环码十进制数二进制数循环码000000000810001100100010001910011101200100011101010111130011001011101111104010001101211001010501010111131101101160110010114111010017011101001511111000第30页,共117页，2024年2月25日，星期天（2）奇偶检验码

奇偶检验码是一种用来检验代码在传送过程中是否产生错误的代码。

b．编码方式：有两种编码方式.

奇检验:使信息位和检验位中“1”的个数共计为奇数；

偶检验:使信息位和检验位中“1”的个数共计为偶数。信息位(7位)

采用奇检验的检验位

(1位)

采用偶检验的检验位

(1位)

100110001a．组成：

信息位——位数不限的一组二进制代码

两部分组成

奇偶检验位——仅有一位。

例如,第31页,共117页，2024年2月25日，星期天（2）奇偶检验码第32页,共117页，2024年2月25日，星期天

c．检验码的工作原理

奇偶检验码的工作原理如下图所示。检

测器编码器

x1

x2

x3

x4

11111100001FP(奇)发送端接收端0第33页,共117页，2024年2月25日，星期天

d．特点

(1)编码简单、容易实现；

(2)奇偶检验码只有检错能力，没有纠错能力；

(3)只能发现单错，不能发现双错。

第34页,共117页，2024年2月25日，星期天3.ASCII码

数字系统中处理的数据除了数字之外，还有字母、运算符号、标点符号以及其他特殊符号,人们将这些符号统称为字符。所有字符在数字系统中必须用二进制编码表示，通常将其称为字符编码。

最常用的字符编码是美国信息交换标准码，简称ASCII码(AmericanStandardCodeforInformationInterchange)。是当前计算机中使用最广泛的一种字符编码，主要用来为英文字符编码。

7位二进制数表示字符，可以表示27=128个字符。第35页,共117页，2024年2月25日，星期天3.ASCII码

表8.5给出了标准的7位ASCII码字符表。从表中可看出ASCII码分为两类。一类是字符编码，这类编码代表的字符可以显示打印。另一类编码是控制字符编码，每个都有特定的含义，起控制功能。第36页,共117页，2024年2月25日，星期天在数字电路中，研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑代数（布尔代数）。在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个值（二值变量），即0和1，中间值没有意义，这里的0和1只表示两个对立的逻辑状态，如电位的低高（0表示低电位，1表示高电位）、开关的开合等。注意逻辑代数中的1和0不表示数量大小，仅表示两种相反的状态。

8.2逻辑代数及其运算第37页,共117页，2024年2月25日，星期天8.2.1基本逻辑运算

在逻辑代数中，有三种最基本的运算，这就是逻辑与、逻辑或、逻辑非运算，其运算规则是按照“逻辑”规则来定义的。使用这三种基本的逻辑运算可以完成任何复杂的逻辑运算功能。

1．逻辑与运算

只有当决定一个事件结果的所有条件同时具备时，结果才能发生，则这种因果关系称之为“与”逻辑。在逻辑代数中，“与”逻辑关系用“与”运算描述。两变量“与”运算关系可表示为F=A·B

或者F=A∧B即：若A、B均为1，则F为1；否则，F为0。

第38页,共117页，2024年2月25日，星期天例：串连开关电路（图a)设：1表示开关闭合或灯亮；

0表示开关不闭合或灯灭则得真值表(图b、图c）。

第39页,共117页，2024年2月25日，星期天

逻辑函数可以用逻辑表达式、真值表、逻辑电路、卡诺图等方法表示。

A0110000BF01011

“与”运算真值表

所谓真值表，就是将自变量的各种可能的取值组合与其因变量的值一一列出来的表格。真值表在以后的逻辑电路分析和设计中是十分有用的。

和普通代数类似，逻辑变量A和B称为自变量，F称为因变量，描述因变量和自变量之间的关系称为逻辑函数。第40页,共117页，2024年2月25日，星期天例：串连开关电路（图a)设：1表示开关闭合或灯亮；

0表示开关不闭合或灯灭则得真值表(图b、图c）。

若用逻辑表达式来描述，则可写为逻辑符号如图第41页,共117页，2024年2月25日，星期天

数字电路的输入和输出一般用高电平和低电平来表示，正好对应逻辑代数中的0和1。由于数字电路的输入和输出之间存在着逻辑关系，所以可以用逻辑函数来描述，并称为逻辑电路。能实现基本逻辑运算的电路称为门电路，用基本的门电路可以构成复杂的逻辑电路，完成任何逻辑运算功能，这些逻辑电路是构成计算机及其他数字系统的重要基础。实现“与”运算关系的逻辑电路称为“与”门。（a）我国常用传统符号（b）国际流行符号（c）国家标准符号图8.2与门的逻辑符号第42页,共117页，2024年2月25日，星期天2．逻辑或运算

决定一个事件结果的所有条件中只要有一个具备，则结果就能发生，则这种因果关系称之为“或”逻辑。逻辑符号+或∨表示。F=A+B或F=A∨B第43页,共117页，2024年2月25日，星期天例：并联开关电路（图a）

若用逻辑表达式来描述，则可写为：L＝A+B

逻辑符号“或”运算的运算法则：0+0=0

1+0=10+1=1

1+1=1第44页,共117页，2024年2月25日，星期天实现“或”运算关系的逻辑电路称为“或”门。

（a）我国常用传统符号（b）国际流行符号（c）国家标准符号图8.4或门的逻辑符号第45页,共117页，2024年2月25日，星期天三、非逻辑：取反运算

某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。例：开关与灯并联电路（图a）

若用逻辑表达式来描述，则可写为：

L=

第46页,共117页，2024年2月25日，星期天逻辑式逻辑非逻辑反真值表AF0110第47页,共117页，2024年2月25日，星期天

数字系统中实现“非”运算功能的逻辑电路称为“非”门，有时又称为“反相器”。（a）我国常用传统符号（b）国际流行符号（c）国家标准符号

图8.6非门的逻辑符号第48页,共117页，2024年2月25日，星期天8.2.2复合逻辑

“与”、“或”、“非”三种基本逻辑运算按不同的方式组合，还可以构成“与非”、“或非”、“与或非”、“同或”、“异或”等逻辑运算，构成复合逻辑运算。对应的复合门电路有与非门、或非门、与或非门、异或门和同或门电路。1、与非门电路

与非门电路的功能相当于一个与门和一个非门的组合，可完成以下逻辑运算

逻辑功能：只要输入A、B中有一个为低电平，则输出F为高电平；仅当输入A、B全部为高电平时，输出F才为低电平。第49页,共117页，2024年2月25日，星期天（a）我国常用传统符号（b）国际流行符号（c）国家标准符号图8.7与非门的逻辑符号第50页,共117页，2024年2月25日，星期天2、或非门电路逻辑功能：只要变量A、B中有一个为1，则函数F为0；仅当变量A、B全部为0时，函数F为1。

或非门电路的功能相当于一个或门和一个非门的组合，可完成以下逻辑运算第51页,共117页，2024年2月25日，星期天（a）我国常用传统符号（b）国际流行符号（c）国家标准符号图8.8或非门的逻辑符号第52页,共117页，2024年2月25日，星期天3、与或非逻辑逻辑功能：仅当每一个“与项”均为0时，才能使F为1，否则F为0。

与或非门电路也可以由多个与门和一个或门、一个非门组合而成，从而具有更强的逻辑运算功能。

与或非门电路的功能相当于两个与门、一个或门和一个非门的组合，可完成以下逻辑表达式的运算

第53页,共117页，2024年2月25日，星期天（a）我国常用传统符号（b）国际流行符号（c）国家标准符号图8.9与或非门的逻辑符号第54页,共117页，2024年2月25日，星期天4、异或门电路

逻辑功能：变量A、B取值相同，F为0；变量A、B取值相异，F为1。

当多个变量进行异或运算时，可用两两运算的结果再运算，也可两两依次运算。

异或逻辑是一种两变量逻辑关系，可用逻辑函数表示为

异或运算的规则如下：

0⊕0=0

0⊕1=1

1⊕0=1

1⊕1=0第55页,共117页，2024年2月25日，星期天注意：在进行异或运算的多个变量中，当变量中1的个数为偶数时，运算结果为0；1的个数为奇数时，运算结果为1。例如，

F=A⊕B⊕C⊕D

=(A⊕B)⊕(C⊕D)

(两两运算的结果再运算)

=［(A⊕B)⊕C］⊕D

(两两依次运算)从异或运算的基本规则还可推出下列一组常用公式：第56页,共117页，2024年2月25日，星期天

实现异或运算的逻辑门称为“异或门”。

（a）我国常用传统符号（b）国际流行符号（c）国家标准符号图8.10异或门的逻辑符号

用异或门电路可实现奇偶校验码以及补码加减运算的溢出判断。第57页,共117页，2024年2月25日，星期天2．同或逻辑

同或逻辑也是一种两变量逻辑关系，其逻辑函数表达式为

功能逻辑：变量A、B取值相同，F为1；变量A、B取值相异，F为0。实现同或运算的逻辑门称为“同或门”

。运算规则：相同为1，不同为0；

F=A⊙B

式中，“⊙”为同或运算的运算符。

第58页,共117页，2024年2月25日，星期天

同或逻辑与异或逻辑的关系既互为相反，又互为对偶。即有：由于同或实际上是异或之非，所以实际应用中通常用异或门加非门实现同或运算。

注意：当多个变量进行同或运算时，若有奇数个变量的值为0，则运算结果为0；反之，若有偶数个变量的值为0，则运算结果为1。

第59页,共117页，2024年2月25日，星期天8.2.3正逻辑和负逻辑

在设计逻辑电路时，通常规定高电平代表1，低电平代表0，是正逻辑。如果规定高电平代表0，低电平代表1，则称为负逻辑。

在正逻辑的情况下，F＝AB,在负逻辑的情况下，F＝A＋B。表8.10正逻辑与和负逻辑或关系表ABF电平正逻辑负逻辑电平正逻辑负逻辑电平正逻辑负逻辑低01低01低01低01高10低01高10低01低01高10高10高10第60页,共117页，2024年2月25日，星期天交换律结合律分配律A+B=B+AA•B=B•AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA•(B•C)=(A•B)•CA(B+C)=A•B+A•CA+B•C=(A+B)(A+C)普通代数不适用!

逻辑代数有和普通逻辑类似的规则，也有自己特殊的运算规则。依据逻辑与、逻辑或、逻辑非这三种最基本的逻辑运算规则，可得出在逻辑运算中使用的基本公式和三个重要的运算规则。8.3逻辑代数及其运算第61页,共117页，2024年2月25日，星期天二、吸收律1.原变量的吸收：A+AB=A证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A利用运算规则可以对逻辑式进行化简。例如：被吸收第62页,共117页，2024年2月25日，星期天2.反变量的吸收：证明：例如：DCBCADCBCAA++=++被吸收第63页,共117页，2024年2月25日，星期天3.混合变量的吸收：证明：例如：1吸收吸收第64页,共117页，2024年2月25日，星期天三、摩根定律（反演定理）：

可以用列真值表的方法证明：第65页,共117页，2024年2月25日，星期天重叠律

A+A=A；A·A=A

A=A

包含律AB+AC+BC=AB+AC；(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)还原律

第66页,共117页，2024年2月25日，星期天可以看出，除还原律外所有公式都是成对出现的，有的公式和普通代数中的公式完全一样，如结合律、交换律，但大部分公式是不一样的。这些公式对逻辑表达式化简和进行逻辑变换，都是十分有用的。

第67页,共117页，2024年2月25日，星期天8.3.2重要规则

逻辑代数有三个重要的运算规则，它们在逻辑函数的化简和变换中是十分有用的。例8.3已知等式A(B+C)=AB+AC,试证用逻辑函数F＝D＋E代替等式中的变量B

，等式仍然成立.证：左=A(B+C)=

A((D+E)

+C)=A(D+E+C)=

AD+AE+AC

右=AB+AC=A(D+E)+AC=AD+AE+AC代入规则的正确性是显然的，因为任何逻辑函数都和逻辑变量一样，只有0和1两种可能的取值。

将逻辑等式中的一个逻辑变量用一个逻辑函数代替，则逻辑等式仍然成立。这个规则称为代入规则。

1、代入规则

第68页,共117页，2024年2月25日，星期天例

A+B=A·B，试求用F=B+C代替等式中的B代入规则的意义：

利用代入规则可以将逻辑代数定理中的变量用任意函数代替，从而推导出更多的等式。这些等式可直接当作公使用，无需另加证明。注意：使用代入规则时,必须将等式中所有出现同一变量的地方均以同一函数代替，否则代入后的等式将不成立。

三个变量反演律成立，进一步可推广到多变量的反演律也成立。第69页,共117页，2024年2月25日，星期天2、反演规则例如，已知函数，根据反演规则可得到

若将逻辑函数表达式F中所有的“·”变成“+”，“+”变成“·”,“0”变成“1”,“1”变成“0”,原变量变成反变量，反变量变成原变量，并保持原函数中的运算顺序不变，则所得到的新的函数为原函数F的反函数。即:“·”“+”,“0”“1”,原变量反变量利用反演规则可以很方便求出一个逻辑函数的反函数第70页,共117页，2024年2月25日，星期天

在利用反演规则时，注意:

(1)不能破坏原表达式的运算顺序，先括号里的，后括号外的，非运算的优先级最高，其次是与运算，优先级最低的是或运算。（2）不属于单变量上的非运算符号应当保留不变。例8.5已知函数，根据反演规则得到的反函数应该是

而不应该是×！错误

的反函数。例8.6求逻辑函数解：根据反演规则有：第71页,共117页，2024年2月25日，星期天

3、对偶规则如果将逻辑函数表达式F中所有的“·”变成“+”,“+”变成“·”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，变量保持不变，则所得到的新的逻辑表达式称为函数F的对偶式，并记作F’。即:“·”“+”,“0”“1”,变量保持不变

例8.8求逻辑函数的对偶式解：根据对偶规则有：解：根据对偶规则有：例8.7求逻辑函数的对偶式

例8.7求逻辑函数的对偶式

第72页,共117页，2024年2月25日，星期天注意:求逻辑表达式的对偶式时，同样要保持原函数的运算顺序不变。

显然，利用对偶规则可以使定理、公式的证明减少一半。

若两个逻辑函数表达式F和G相等，则其对偶式F’和G’也相等。

根据对偶规则，当已证明某两个逻辑表达式相等时，即可知道它们的对偶式也相等。例如，已知AB+C+BC=AB+C，根据对偶规则对等式两端的表达式取对偶式，即可得到等式

(A+B)(+C)(B+C)=(A+B)(+C)第73页,共117页，2024年2月25日，星期天

逻辑函数表达式和逻辑电路是一一对应的，表达式越简单，用逻辑电路去实现也越简单。8.4逻辑函数的化简

一个逻辑函数可以有多种表达形式，而最基本的是与或表达式。如果有了最简与或表达式，通过逻辑代数的基本公式进行变换，就可以得到其他形式的最简表达式。因此，将重点放在“与-或”表达式的化简上。

逻辑函数的化简方法有多种，最常用的方法是逻辑代数化简法和卡诺图化简法。

为了降低系统成本、减小复杂度、提高可靠性，必须对逻辑函数进行化简。

第74页,共117页，2024年2月25日，星期天8.4.1代数化简法

代数化简法就是运用逻辑代数的基本公式和规则对逻辑函数进行化简的方法。

“与-或”表达式的化简

最简“与-或”表达式应满足两个条件：

1．表达式中的“与”项个数最少；

2．在满足上述条件的前提下，每个“与”项中的变量个数最少。

满足上述两个条件可以使相应逻辑电路中所需门的数量以及门的输入端个数均为最少，从而使电路最经济。特点：不受逻辑变量个数的限制，但要求能熟练掌握逻辑代数的公式和规则，具有较强的化简技巧。第75页,共117页，2024年2月25日，星期天

几种常用方法如下：

1．并项法

2．吸收法利用公式A+AB=A

，吸收多余的与项。例如，利用公式，将两个“与”项合并成一个“与”项，合并后消去一个变量。例如，第76页,共117页，2024年2月25日，星期天3．消去法

利用公式消去多余变量。例如，4．配项法利用公式A+A=1，先从函数式中适当选择某些“与”项，并配上其所缺的一个合适的变量，然后再利用并项、吸收和消去等方法进行化简。例如，第77页,共117页，2024年2月25日，星期天例8.9

化简

解

实际应用中遇到的逻辑函数往往比较复杂，化简时应灵活使用所学的公理、定理及规则，综合运用各种方法。第78页,共117页，2024年2月25日，星期天例8.10

化简

解

第79页,共117页，2024年2月25日，星期天归纳：

代数化简法的优点是：不受变量数目的约束；当对公理、定理和规则十分熟练时，化简比较方便。缺点是：没有一定的规律和步骤，技巧性很强，而且在很多情况下难以判断化简结果是否最简。第80页,共117页，2024年2月25日，星期天8.4.2卡诺图化简法第81页,共117页，2024年2月25日，星期天8.4.2卡诺图化简法第82页,共117页，2024年2月25日，星期天第83页,共117页，2024年2月25日，星期天第84页,共117页，2024年2月25日，星期天

性质4：对n个变量的最小项，每个最小项有n个相邻项。

相邻项：是指除一个变量互为相反外，其余部分均相同的最小项。例如，最小项ABC的相邻项是第85页,共117页，2024年2月25日，星期天第86页,共117页，2024年2月25日，星期天1）真值表转换法求最小项表达式

具体：真值表上使函数值为1的变量取值组合对应的最小项相“或”,即可构成一个函数的标准“与-或”式。

假定函数F的真值表中有k组变量取值使F的值为1，其他变量取值下F的值为0，那么，函数F的最小项表达式由这k组变量取值对应的k个最小项相或组成。

怎样将逻辑函数用最小项表达式表示？例：函数F＝AB＋BC＋AC第87页,共117页，2024年2月25日，星期天

函数F＝AB＋BC＋AC

的真值表

解:

首先，列出F的真值表如下表所示，然后，根据真值表可直接写出F的最小项表达式1000

1011

0111

ABCF

11011111

0000

0100

0010

例8.11已知三变量逻辑函数F＝AB＋BC＋AC，写出F的最小项表达式第88页,共117页，2024年2月25日，星期天2）配项法怎样将逻辑函数用最小项表达式表示？例：函数F＝AB＋BC＋AC例：写出函数的标准与或表达式。解:或或

第89页,共117页，2024年2月25日，星期天第90页,共117页，2024年2月25日，星期天0m5m4m7m6m3

m1

m2m0

100011110ABC(b)第91页,共117页，2024年2月25日，星期天

2变量、3变量、4变量卡诺图如图(a)、(b)、(c)所示。m3

m1

m2m0

AB0110(a)0m5m4m7m6m3

m1

m2m0

100011110ABC(b)m10m14m6m2m11m15m7m3m9m8m13m12m5

m1

m4m0

00011110ABCD00011110(c)第92页,共117页，2024年2月25日，星期天

卡诺图中最小项相邻的几种情况第93页,共117页，2024年2月25日，星期天例如，四变量卡诺图中，如m5的4个相邻最小项分别是和m5相连的m1，m4，m7，m13。（相接相邻）

m2的4个相邻最小项除了与之几何相邻的m3和m6之外，另外两个是处在“相对”位置的m0(同一列的两端)和m10(同一行的两端)。这种相邻称为相对相邻。

m10m14m6m2m11m15m7m3m9m8m13m12m5

m1

m4

m0

00011110ABCD00011110从各卡诺图可以看出，在n个变量的卡诺图中，能从图形上直观、方便地找到每个最小项的n个相邻最小项。第94页,共117页，2024年2月25日，星期天3、逻辑函数的卡诺图表示

当逻辑函数为标准“与-或”表达式时，只需在卡诺图上找出和表达式中最小项对应的小方格填上1，其余小方格填上0，即可得到该函数的卡诺图。

（1）利用最小项表达式画出卡诺图例如，4变量函数的卡诺图如下图所示。

1000011000101

001

00011110ABCD00011110第95页,共117页，2024年2月25日，星期天为了叙述的方便，通常将卡诺图上填1的小方格称为1方格，填0的小方格称为0方格。0方格有时用空格表示。

（2）通过一般“与-或”式画卡诺图

当逻辑函数为一般“与-或”表达式时，可根据“与”的公共性和“或”的叠加性作出相应卡诺图。01110001

1100011110ABC例如，3变量函数

的卡诺图如右图所示。

第96页,共117页，2024年2月25日，星期天4、用卡诺图化简逻辑函数的过程

（1）找出1方格之间的相邻关系

用卡诺图化简逻辑函数，关键是要找出每个1方格之间的相邻关系。

由于卡诺图的构成特点，在卡诺图中的相邻关系有三种情况：相接、相对、相重

（2）合并具有相邻关系1方格

在卡诺图上将具有相邻关系的1方格用一个称为卡诺圈的圈圈起来，卡诺圈中1方格应是2的整次幂，即2，4，8，…。

对2n个小方格的卡诺圈，可将2n个小方格代表的最小项合并成一项，消去n个变量。

第97页,共117页，2024年2月25日，星期天m15m7m13m5

00011110ABCD00011110BD

用卡诺图化简逻辑函数的基本原理：把卡诺图上表征相邻最小项的相邻小方格“圈”在一起进行合并，达到用一个简单“与”项代替若干最小项的目的。

性质：可以从图形上直观地找出相邻最小项合并。合并的理论依据是并项定理：。第98页,共117页，2024年2月25日，星期天用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则）

（1）尽量画大圈，但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3……）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。（2）先找面积尽量大的组合进行化简，可以减少更多的因子，同时要求圈的个数尽量少。（3）卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。（4）在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。

第99页,共117页，2024年2月25日，星期天第100页,共117页，2024年2月25日，星期天第101页,共117页，2024年2月25日，星期天第102页,共117页，2024年2月25日，星期天用卡诺图化简逻辑函数的步骤：（1）画出逻辑函数的卡诺图。（2）合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。（3）写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为l的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与—或表达式。

注：画圈时，应保证卡诺圈的个数最少，每个卡诺圈中1方格最多，由于卡诺圈的画法不是唯一的，因此写出的最简表达式也不是唯一的。第103页,共117页，2024年2月25日，星期天解

用卡诺图化简给定函数的过程如下图所示。

例8.12

用卡诺图化简逻辑函数

0111

1

100011110ABCACBC根据卡诺图可写出最简与或表达式：

第104页,共117页，2024年2月25日，星期天解

用卡诺图化简给定函数，如下图所示。

例8.13

用卡诺图化简逻辑函数函数F的最简“与-或”表达式为AB1111111

1

00011110CD00011110ACBCDBC第105页,共117页，2024年2月25日，星期天解

用卡诺图化简给定函数的过程如下图所示。

例

用卡诺图化简逻辑函数

该题中，5个卡诺圈已将函数的全部最小项覆盖，故将各卡诺圈对应的与项相或即可得到函数F的最简“与-或”表达式为第106页,共117页，2024年2月25日，星期天解

用卡诺图化简给定函数的过程如下图所示。

例

用卡诺图化简逻辑函数即或者这里，两个“与-或”式的复杂程度相同。由此可见，一个函数的最简“与-或”表达式不一定是唯一的。第107页,共117页，2024年2月25日，星期天解

用卡诺图化简给定函数，如下图所