高中数学同步讲义（人教A版必修二）第16讲 第六章 平面向量及其应用 章末重点题型大总结（学生版）

第16讲第六章平面向量及其应用章末题型大总结题型01平面向量的线性运算及坐标运算【典例1】（2023·湖南·湖南师大附中校联考一模）在中，点满足为重心，设，则可表示为（

）A． B．C． D．【典例2】（2023上·安徽·高三固镇县第一中学校联考期中）如图，已知两个单位向量和向量与的夹角为，且与的夹角为，若，则（

）

A． B． C．1 D．【典例3】（2023下·甘肃临夏·高一统考期末）已知点及平面向量，，．(1)当点P在x轴上时，求实数m的值；(2)当时，求实数k的值．【变式1】（2023上·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（

）

A． B．3 C． D．【变式2】2023上·新疆克孜勒苏·高三统考期中）已知向量，，，若，则等于【变式3】（2023下·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，．则的取值范围为．

题型02平面向量的共线及其推论【典例1】（2023上·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期中）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．【典例2】（2023上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考阶段练习）的三内角所对边的长分别是，设向量，若向量与向量共线，则角.【典例3】（2023·全国·模拟预测）已知向量，，若，方向相反，则．【变式1】（2023上·重庆·高三校联考阶段练习）已知向量，，若，则（

）A．-6 B．0 C． D．【变式2】（2023下·广东东莞·高一校考阶段练习）已知向量，，若，则的值为.【变式3】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）在中，是边上一点，且，是的中点，过点的直线与两边分别交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为.题型03平面向量的数量积（定值，最值，范围）方法一：定义法【典例1】（2023下·北京西城·高一统考期末）已知点，点，点都在单位圆上，且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．

【典例2】（2023下·四川巴中·高一统考期末）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，，点E，F分别在，上，且，则的取值范围是（

）

A． B．C． D．【变式1】（2023下·湖北武汉·高一校联考阶段练习）在边长为2的菱形中，为的中点，，点在线段上运动，则的取值范围是（

）A． B． C． D．

方法二：坐标法【典例1】（2023上·江苏连云港·高三统考阶段练习）已知向量，，则.【典例2】（2023上·江苏淮安·高二淮阴中学校考开学考试）已知平面向量，，均为单位向量，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1】（2023上·上海松江·高三统考期末）已知向量，，则【变式2】（2023上·北京·高三中关村中学校考阶段练习）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2方法三：极化恒等式法【典例1】（2023下·江苏徐州·高一徐州高级中学校考期中）已知正方形的边长为，为正方形内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（

）A． B． C． D．

【变式1】（2023下·河南商丘·高一商丘市实验中学校联考阶段练习）已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为（

）A． B．C． D．

方法四：几何意义法【典例1】（2023上·北京海淀·高二校考阶段练习）如图，在圆中，已知弦，弦，那么的值为（

）

A． B． C． D．【典例2】（2023下·上海虹口·高一上外附中校考期中）在边长为的正六边形中，点为其内部或边界上一点，则的取值范围是．

【变式1】（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，已知是平面四边形内一点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．方法五：自主建系法【典例1】（2023下·四川成都·高一四川省成都市第四十九中学校校考期中）已知是边长为1的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知菱形的边长为2，，点是边上的一点，设在上的投影向量为，且满足，则等于；延长线段至点，使得，若点在线段上，则的最小值为．【变式1】（2023下·江苏南通·高二海门中学校考阶段练习）点P是正八边形ABCDEFGH内一点(包括边界)，且＝1，则的最大值为（

）

A．1 B． C． D．题型04平面向量的夹角（锐角，钝角，直角）【典例1】（2023上·江苏·高三江苏省白蒲高级中学校联考阶段练习）已知平面向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【典例2】（2020下·甘肃张掖·高一山丹县第一中学校考期中）已知向量（1，2），（1，1），若与的夹角为直角，则实数λ＝，若与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是.【典例3】（2023下·高一单元测试）已知，分别确定实数的值或取值范围，使得：(1)与的夹角为直角；(2)与的夹角为钝角；(3)与的夹角为锐角.【典例4】（2023上·山东·高二济南市历城第二中学校联考开学考试）已知且与的夹角为锐角，则的取值范围是.【变式1】（2023上·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2】（2023上·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）因为，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是．【变式3】（2023下·内蒙古呼和浩特·高一内蒙古师大附中校考阶段练习）已知向量，，则与的夹角为钝角时，的取值范围为.【变式4】（2023下·吉林长春·高一长春外国语学校校考阶段练习）已知向量，.(1)若，求的值；(2)若，与的夹角为锐角，求实数m的取值范围.题型05求向量的夹角（定值，最值，范围）【典例1】（2023·四川内江·统考一模）设，向量，，且，则（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全国·模拟预测）在直角梯形ABCD中，，，，，M是CD的中点，N在BC上，且，则（

）A． B． C． D．【典例3】（2023下·重庆酉阳·高一重庆市酉阳第二中学校校考阶段练习）已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（

）.A． B． C． D．【典例4】（2023下·江苏徐州·高一统考期中）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为．【变式1】（2023下·广西河池·高一统考期末）已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式2】（2022·高一课时练习）设均是非零向量，且，若关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围为（）A． B． C． D．【变式3】（2023下·黑龙江双鸭山·高一双鸭山一中校考期末）若，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角的余弦值为．【变式4】（2023下·河北保定·高一统考期末）已知为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（

）A． B． C． D．0题型06向量的模与距离（定值，最值，范围）【典例1】（2023上·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知，为单位向量，且与的夹角为，则＝（

）A．49 B．19 C．7 D．【典例2】（多选）（2023·全国·模拟预测）已知三个平面向量两两的夹角相等，且，则（

）A．2 B．4 C． D．【典例3】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知向量，，，，与的夹角为，则的值最小时，实数x的值为．【典例4】（2023·上海崇明·统考一模）已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于．【变式1】（2023·贵州铜仁·校联考模拟预测）已知向量，，满足，，，则的最大值是.【变式2】（2020上·浙江绍兴·高二统考竞赛）已知向量满足，则的取值范围是．【变式3】（2023上·重庆·高三西南大学附中校考期中）已知向量，，，，与的夹角为，则的值最小时，实数的值为.【变式4】（2023上·上海松江·高三校考期中）已知单位向量的夹角为.若，则的取值范围是.题型07平面向量与其它知识的交汇题【典例1】（2023上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）在等腰中，的外接圆圆心为，点在优弧上运动，则的最小值为（

）A．4 B．2 C． D．【典例2】（2023上·上海闵行·高三校考期中）平面上有一组互不相等的单位向量，，…，，若存在单位向量满足，则称是向量组，，…，的平衡向量．已知，向量是向量组，，的平衡向量，当取得最大值时，的值为．【典例3】（2022上·山西忻州·高三校考期末）已知锐角中，三个内角为A、B、C，两向量，．若与是共线向量．(1)求的大小；(2)若恒成立，求的最小值．【变式1】（2023上·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意x，，（，），则（

）A． B． C． D．3【变式2】（2023上·上海虹口·高三统考期末）设，，，，，是平面上两两不相等的向量，若，且对任意的i，，均有，则．【变式3】（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知向量，函数．(1)求的解析式与单调递增区间；(2)若当时，恒成立，求实数m的取值范围．题型08利用正（余）弦定理解三角形【典例1】（2023·四川内江·统考一模）在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（

）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【典例2】（多选）（2023下·辽宁铁岭·高一西丰县高级中学校考期中）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（

）A．B．若，且，则为等边三角形C．若，则是等腰三角形D．在中，，则使有两解的的范围是【典例3】（2023·河北衡水·河北枣强中学校考模拟预测）如图，在中，点D在BC边上，BD的垂直平分线过点A，且满足，，则的大小为．

【典例4】（多选）（2021下·湖北·高一校联考期中）在中，角所对的边分别为，那么在下列给出的各组条件中，能确定三角形有唯一解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【变式1】（多选）（2019下·福建厦门·高一厦门市湖滨中学校考期中）对于，有如下判断，其中正确的判断是（

）A．若，则为等腰三角形B．若，则C．若，则符合条件的有两个D．若，则是钝角三角形【变式2】（多选）（2023下·山西大同·高一校考阶段练习）中，角，，所对的边分别为，，，则如下命题中，正确的是（

）A．若，则B．若，则是等腰三角形C．若为锐角三角形，则D．若是直角三角形，则【变式3】（2022下·福建福州·高一校联考期末）如图，在平面四边形ABCD中，，，，CD=4，AB=2，则AC=.题型09三角形中周长（边）的定值，最值，范围问题【典例1】（2023上·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）在锐角三角形中，、、的对边分别为、、，且满足，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【典例2】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若，点是线段上的一点，，求的周长．【典例3】（2023上·山西吕梁·高三校联考阶段练习）从①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：______．(1)求角C的大小；(2)若，的内心为I，求周长的取值范围．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【典例4】（2023·全国·高三专题练习）已知锐角内角的对边分别为.若.(1)求；(2)若，求的范围.【典例5】（2023上·广东广州·高二广东广雅中学校考期中）如图，在平面四边形中，点与点分别在的两侧，对角线与交于点，.

(1)若中三个内角、、分别对应的边长为、、，的面积，，求和；(2)若，且，设，求对角线的最大值和此时的值.【变式1】（2023上·四川内江·高三四川省内江市第二中学校考阶段练习）在中，角的对边分别为，且，的面积为，则的值为.【变式2】（2023上·江苏·高三江苏省白蒲高级中学校联考阶段练习）锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)证明：.(2)求的取值范围.【变式3】（2023·全国·高三专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．(1)求角C；(2)若，求的取值范围．【变式4】（2023上·湖北·高二湖北省罗田县第一中学校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且．(1)求外接圆半径.(2)求周长的最大值．题型10三角形(四边形）中面积的定值，最值，范围问题【典例1】（2023上·江苏·高三海安高级中学校联考阶段练习）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．(1)求；(2)若D是边上一点，，且，求的面积，【典例2】（2023上·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知中，在线段上，．(1)若，求的长；(2)求面积的最大值．【典例3】（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）在中，内角的对边分别为，且.

(1)求B；(2)如图，在AC的两侧，且，求四边形面积的最大值．【典例4】（2023下·江苏南京·高一南京市江宁高级中学校联考期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求A；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.【变式1】（2023上·广东·高三校联考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，设，(1)求角；(2)若，且，求面积的最大值.【变式2】（2023上·全国·高三校联考开学考试）已知函数，的内角所对的边分别为，，且的外接圆的半径为.(1)求角的大小；(2)求面积的最大值.【变式3】（2023下·内蒙古·高二校联考期末）如图，在圆的内接四边形ABCD中，，，的面积为．

(1)求的周长；(2)求面积的最大值．【变式4】（2023下·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中学校考期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.(1)求角A；(2)若，求△ABC的面积的最大值.题型11三角形中的中线问题方法一：中线向量化【典例1】（2023·河南·统考三模）在中，角的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若边上的中线，求三角形面积的最大值．【典例2】（2023上·江苏南京·高三期末）锐角三角形中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，为的中点，求中线长的最大值.【变式1】（2023上·湖南岳阳·高二湖南省平江县第一中学校考阶