高中数学同步讲义（人教A版必修二）第24讲 8.1基本立体图形（第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征）（教师版）

第01讲8.1基本立体图形（第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征）课程标准学习目标①通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征。②.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系。③能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算。1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征；2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.学会用连续变化的观点，或者函数的思想找到他们之间的区别与联系；3.在熟悉基本知识的基础上，能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算，提升数学抽象和数学运算能力；知识点01：空间几何体的相关概念（1）空间几何体如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么这些由物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.（2）多面体由若干平面多边形围成的几何体叫做多面体,围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.（3）旋转体由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体.知识点02：棱柱（1）棱柱的定义定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点（2）棱柱的图形（3）棱柱的分类及表示①按棱柱底面边数分类:②按棱柱侧棱与底面位置关系分类:③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多边形的直棱柱平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱【即学即练1】（2023上·四川内江·高二四川省内江市第二中学校考阶段练习）观察下面的几何体，哪些是棱柱？（

）A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5）C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7）【答案】A【详解】根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体，所以，棱柱有（1）（3）（5）.故选：A知识点03：棱锥（1）棱锥的定义定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥底面：多边形面侧面：有公共顶点的各三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点（2）棱锥的图形（3）棱锥的分类及表示按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥……特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥【即学即练2】（2023下·高一课时练习）下列几何体中不是棱锥的为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】根据棱锥的定义，B、C、D中的几何体是棱锥，A中的几何体不是棱锥.故选：A.知识点04：棱台（1）棱台的定义定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：除上下底面以外的面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点（2）棱台的图形（3）棱台的分类及表示由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……用各顶点字母表示棱柱，如棱台【即学即练3】（2021·高一课时练习）下列空间图形中是棱台的为.(填序号)【答案】③【详解】由棱台的定义知，棱台的上底面必须与下底面平行，且侧棱延长后交于同一点.图①中侧棱延长后不能交于同一点，图②中上底面不平行于下底面，故图①和图②都不是棱台.图③符合棱台的定义与结构特征.故答案为：③题型01棱柱的结构特征【典例1】（2023下·高一课时练习）下列命题中为真命题的是（

）A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体B．棱柱的每个面都是平行四边形C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱D．正四棱柱是平行六面体【答案】D【详解】对于A，当底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，故A错误；对于B，棱柱的上、下底面可能不是平行四边形，比如三棱柱，五棱柱等，故B错误；对于C，可以是两对称面为矩形的平行六面体，故C错误；对于D，正四棱柱是平行六面体，故D正确.故选：D.【典例2】（多选）（2022下·新疆喀什·高一新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考期中）下列关于棱柱的说法正确的是(

)A．所有的棱柱两个底面都平行B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻两个面的公共边互相平行C．棱柱至少有五个面D．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱【答案】ABC【详解】根据棱柱的定义可知棱柱的两个底面平行且全等，故A正确；根据棱柱的定义可知棱柱的两个底面平行且全等，侧棱均平行，故B正确；棱柱底面至少为三角形，故棱柱至少有2个底面+3个侧面=5个面，故C正确；如图所示，该几何体满足有两个面互相平行且其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故D错误．故选：ABC．【变式1】（2022·高一课时练习）下列命题：①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正确命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【详解】①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，显然不是棱柱，故①错误；②如图2，满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，②错误；③如图3，四边形为矩形，即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，③错误；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，④错误．故选：A【变式2】（多选）（2023下·安徽·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）下列关于棱柱的说法正确的是（

）A．棱柱的两个底面一定平行B．棱柱至少有五个面C．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱D．正四棱柱一定是长方体【答案】ABD【详解】选项A：由棱柱定义可得棱柱的两个底面一定平行.判断正确；选项B：三棱柱是最简单的棱柱，三棱柱有五个面，则棱柱至少有五个面.判断正确；选项C：在正四棱柱上面放置一个与其底面相同的斜四棱柱，所得几何体是组合体，但是满足两个面互相平行，其余各面都是平行四边形.判断错误；选项D：正四棱柱底面是正方形，侧棱与底面垂直，则正四棱柱一定是长方体.判断正确.故选：ABD题型02棱锥、棱台的结构特征【典例1】（2024·全国·高一假期作业）下列描述中，不是棱锥几何结构特征的是（

）A．三棱锥有4个面是三角形 B．棱锥的侧面都是三角形C．棱锥都有两个互相平行的多边形面 D．棱锥的侧棱交于一点.【答案】C【详解】A中，根据棱锥的几何结构，可得三棱锥有4个面是三角形

，所以A正确；B中，根据棱锥的定义，可得棱锥的侧面都是三角形，所以B正确；C中，根据棱锥的定义，可得棱锥都没有两个互相平行的多边形面，所以C错误；D中，根据棱锥的定义，可得棱锥的侧棱交于一点，所以D正确.故选：C.【典例2】（2023下·安徽·高一安徽省太和中学校联考阶段练习）下列叙述正确的是（

）A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D．棱台的侧棱延长后必交于一点【答案】D【详解】对于A，当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，A错误；对于B，C，如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，B，C错误；

对于D，由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，D正确.故选：D.【变式1】（2023下·安徽合肥·高一合肥市第七中学校考阶段练习）下列命题中成立的是（

）A．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱B．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥D．各个侧面都是矩形的棱柱是长方体【答案】A【详解】对A，以三棱柱为例，如图，若侧面和侧面为矩形，则.又平面ABC，所以面，又棱柱侧棱互相平行，故其他侧棱也与底面垂直.所以此三棱柱为直三棱柱，故A正确；

对B，如图所示的八面体满足每个面都是三角形，但它不是棱锥，故B不正确；

对C，如图所示的三棱锥中有，满足侧面是全等的等腰三角形，但它不是正三棱锥，故C不正确；

对D，各个侧面都是矩形且上下底面也是矩形的棱柱才是长方体，故D不正确.故选：A【变式2】（2023·全国·高一专题练习）棱台不具备的特点是（

）A．两底面相似 B．侧面都是梯形C．侧棱长都相等 D．侧棱延长后都交于一点【答案】C【详解】根据棱台的定义知，棱台底面相似，侧面都是梯形，侧棱延长后都交于一点，但是侧棱长不一定相等，故选：C题型03棱柱展开图及最短距离问题【典例1】（2023上·四川南充·高二仪陇中学校考阶段练习）在直三棱柱中分别为的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意得直三棱柱底面为等腰直角三角形．①若把面和面展开在同一个平面内，则线段在直角三角形中，

由勾股定理得；②若把面和面展开在同一个平面内，则线段在直角三角形中，

此时.③若把面和面展开在同一个平面内，设的中点为，

在直角三角形中，由勾股定理得．④若把面和面展开在同一个面内，

过作与行的直线，过作与平行的直线，所作两直线交于点，则在直角三角形中，由勾股定理得．由于，可得从到两点的最短路径的长度为,故选：B【典例2】（多选）（2023下·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习）长方体的棱长，则从点沿长方体表面到达点的距离可以为（

）

A． B． C． D．【答案】ABC【详解】从点沿长方体表面到达有三种展开方式，若以为轴展开，

则；以为轴展开，

则，以为轴展开，

．故选：ABC．【典例3】（2023·全国·高三对口高考）如图，在直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则过三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为．

【答案】/【详解】由题意可知过三点的平面截该三棱柱所得截面的周长即的周长，因为直三棱柱，所以各侧面均为矩形，所以，直三棱柱的侧面部分展开图如图所示，

则在矩形中，所以过三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为，故答案为：【变式1】（2023上·江西南昌·高二校考期中）如图，在长方体中，若，且面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为.

【答案】【详解】把沿翻折，使矩形和在一个平面上，连接，则的最小值为，

在中，可知，由余弦定理得，所以的最小值为.故答案为：.【变式2】（2023上·云南大理·高一大理白族自治州民族中学校考开学考试）如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，，点为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到处，则小虫爬行的最短路程等于．

【答案】【详解】

如图1，将三棱柱的侧面和侧面沿展开在同一平面内，连接，是中点，和是等边三角形，，，在中，由勾股定理得：.如图2，把底面和侧面沿展开在同一平面内，连接，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，，在中，，，，，，在中，由勾股定理可得，.如图3，连接,交于点，则，，在中，，，.，小虫爬行的最短路程为.故答案为：.【变式3】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在所有棱长均为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路线长为．【答案】【详解】正三棱柱的侧面展开图如图所示的矩形，矩形的长为3，宽为1，则其对角线AA1的长为最短路程．因此蚂蚁爬行的最短路程为．故答案为：．题型04判断正方体中截面问题【典例1】（2023·高一课时练习）若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截面(

)A．一定通过正方体的中心 B．一定通过正方体一个表面的中心C．一定通过正方体的一个顶点 D．一定构成正多边形【答案】A【详解】根据题意，恰好截正方体为等体积的两部分的截面，可能为中截面、对角面、也可能是倾斜的平面，不管哪种截面都过正方体的中心．故选：A．【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图，取BC的中点，连接EF，AF，,、分别为棱、的中点，则，正方体中，则有，所以平面为所求截面，因为正方体的棱长为2，所以，，，所以四边形的周长为.故选：A.【典例3】（多选）（2023下·全国·高一专题练习）用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是（

）A．直角三角形 B．等腰梯形 C．正五边形 D．正六边形【答案】AC【详解】截面为六边形时，可能出现正六边形，当截面为五边形时，假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形；截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；故选：AC．【变式1】（2024上·河南三门峡·高三校联考期末）已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图所示，最大面积的截面四边形为等腰梯形，其中，高为，故面积为.故选:D．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】D【详解】分别取、、的中点、、，连接、、，在正方体中，，，分别是，，的中点，，，，六边形是过，，这三点的截面图，过这三点的截面图的形状是六边形．故选：D【变式3】（2023下·江苏镇江·高一统考阶段练习）在边长为2的正方体中，是的中点，那么过点、、的截面图形为（在“三角形、矩形、正方形、菱形”中选择一个）；截面图形的面积为.【答案】菱形【详解】

如图，取的中点为，连接,因为且,所以四边形为菱形，所以过点、、的截面图形为菱形；连接,则,所以截面图形的面积为，故答案为:菱形；.题型05棱锥的展开图【典例1】（2023下·福建漳州·高一统考期末）《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.在阳马中，平面，点分别在棱上，则空间四边形的周长的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由于为定值，故只需求折线段的最小值，将侧面翻折到和底面重合，得到的形状如下，于是转化成平面问题，折线段的最值可通过作对称点的方式处理，作关于的对称点，连接和交于，交于，由于，显然为的中位线，则，由和相似可得，说明这样的符合题意，故，于是空间四边形的周长的最小值为.故选：C【典例2】（2023下·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，，，，，，分别为棱，上一点，则的最小值为．

【答案】【详解】由题意可知：，则，所以，将翻折至一个平面，过点A作，垂直为点，则的最小值为点A到边的距离，因为，所以，即的最小值为.故答案为：.

【变式1】（2023下·河北张家口·高一统考期末）在三棱锥中，，，一只蜗牛从点出发，绕三棱锥三个侧面爬行一周后，到棱的中点，则蜗牛爬行的最短距离是（）．A． B． C． D．【答案】D【详解】如图所示，将三棱锥的侧面展开，则线段为所求，

由题意得，，由余弦定理可得，则，即蜗牛爬行的最短距离是.故选：D.【变式2】（2023上·四川内江·高二校考期中）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为.

【答案】【详解】如图，

沿着侧棱把正三棱锥展开在同一个平面内，原来的点被分到两处，则线段的长度即为周长的最小值.在中，，，故，所以.故答案为：.题型06棱锥中截面有关问题【典例1】（2023下·河南·高一长葛市第二高级中学校联考阶段练习）刍（chú）甍（méng）是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为矩形，平面，和是全等的正三角形，，，，为的重心，则过点，，的平面截该刍甍所得的截面周长为（

）

A．11 B． C．9 D．【答案】A【详解】如图，延长交于点，取的中点，连接，，易得为的中点，∴，∵，∴，即过点，，的平面截该刍甍所得的截面为四边形，∵，，∴过点，，的平面截该刍甍所得的截面周长为．

故选：A【典例2】（2023·全国·高一专题练习）如图，空间四边形的边，成的角，且，，平行于与的截面分别交，，，于，则截面面积的最大值为.【答案】【详解】∵∥平面，平面，平面平面，∴，同理，∴，同理，∴四边形是平行四边形.∵与所成的角为，∴（或），设，∵，∴，由，，得，∴，当且仅当，即时等号成立，即为的中点时，截面的面积最大，为.故答案为：.【变式1】（2023下·全国·高一专题练习）一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】解：根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据对称性和截面性质作图如下：观察可知截面不可能出现直角三角形.故选：C【变式2】（2023下·山东泰安·高一新泰市第一中学校考阶段练习）在三棱锥中，，G为的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为.【答案】8【详解】解：如图所示，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F

过点F作FM∥PB交BC于点M，过点E作EN∥PB交AB于点N.由作图可知：EN∥FM，∴四点EFMN共面可得MN∥AC∥EF，EN∥PB∥FM.∴可得EF=MN=2.同理可得：EN=FM=2.∴截面的周长为8.故答案为：8.题型07棱台展开图问题【典例1】（2023·高一课时练习）一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字和“你”字相对的分别是（

）A．前，程 B．你，前 C．似，棉 D．程，锦【答案】A【详解】因为“祝”字面和“前”字面中间隔着“你”字面，所以“祝”字面和“前”字面相对，同理“你”字面和“程”字面中间隔着“前”字面，所以“你”字面和“程”字面相对，故选：A.【典例2】（2022·高一课时练习）下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱锥的为（

）A．B．C． D．【答案】B【详解】对于A选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱柱，故A选项不正确；对于B选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱锥，故B选项正确；对于C选项，图形沿着折线翻折起来是一个三棱台，故C选项不正确；对于D选项，图形沿着折线翻折起来是一个四棱柱，故D选项不正确；故选：B.【变式1】（2023·全国·高一随堂练习）在一张硬卡纸上，将图中给出的图形放大，然后按实线剪纸，再按虚线折痕折起并黏合，说出得到的几何体的名称．【答案】三棱台【详解】上底面和下底面是大小不同的三角形，故粘合后上底面与下底面平行，侧面与底面不垂直，所以该几何体为三棱台.题型08棱台中的截面问题【典例1】（2024·江西·校联考模拟预测）光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：）（

）A．9.1m B．10.9m C．11.2m D．12.1m【答案】A【详解】如图所示，设该正四棱台为，上下底面中心分别为，分别取的中点，连接，在平面内，作交于，则，，，显然四边形是矩形，则，，所以，在直角中，，即该墩台的斜高约为9.1m.故选：A【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点分别在上，且.过点的平面与此四棱台的下底面会相交，则平面与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为A． B． C． D．【答案】B【详解】当斜面α经过点时与四棱台的面的交线围成的图形的面积最大，此时α为等腰梯形，上底为MN=4，下底为BC=8此时作正四棱台俯视图如下：则MN中点在底面的投影到BC的距离为8-2-1=5因为正四棱台的高为5，所以截面等腰梯形的高为所以截面面积的最大值为所以选B【变式1】（多选）（2022下·浙江温州·高一统考期末）用一个平面去截一个几何体，所得截面的形状是正方形，则原来的几何体可能是（

）A．长方体 B．圆台 C．四棱台 D．正四面体【答案】ACD【详解】解：对于A：若长方体的底面为正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故A正确；对于B：圆台的截面均不可能是正方形，故B错误；对于C：若四棱台的底面是正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故C正确；对于D：如图所示正四面体，将其放到正方体中，取的中点，的中点，取的中点，的中点，依次连接、、、，由正方体的性质可知截面为正方形，故D正确；故选：ACDA夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2024·黑龙江伊春·高二伊春二中校考学业考试）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，，则BD1=（）A．6 B．7 C．10 D．11【答案】A【详解】故选：A2．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（

）

A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体【答案】B【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．故选：B3．（2024·全国·高一假期作业）下列命题正确的是（

）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台【答案】C【详解】对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误；对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故B错误；对于C，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故C正确；对于D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故D错误.故选：C.4．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在正三棱柱中，，，由顶点沿棱柱侧面(经过棱)到达顶点，与的交点记为，则从点经点到的最短路线长为（

）A． B． C．4 D．【答案】B【详解】如图，沿侧棱将正三棱柱的侧面展开由侧面展开图可知，当，，三点共线时，从点经点到的路线最短．所以最短路线长为.故选：B.5．（2024·全国·高一假期作业）所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】

如图，根据题意可得所得棱台为正三棱台，该棱台的高等于大正三棱锥的高的.设大正三棱锥的高为DH，则：因为大正三棱锥的高为:，所以该棱台的高为.故选：A6．（2024·全国·高一假期作业）下列说法正确的是（

）A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C．多面体至少有5个面D．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形【答案】D【详解】A选项：各侧面都是正方形的四棱柱，可以是底面为菱形的直棱柱，不一定是正方体，故A错；B选项：有2个面平行，其余各面都是梯形，但若是各侧棱的延长线不能交于一点，则该几何体不是棱台，故B错；C选项：多面体是指四个或四个以上多边形所围成的立体，故C错；D选项：根据棱柱的定义可知六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形，故D正确.故选：D.7．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（

）A．底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影一定是底面正多边形的中心B．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥C．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥【答案】B【详解】对于A：底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影不一定是底面正多边形的中心,比如：有一条侧棱和底面垂直的棱锥.故A错误；对于B：当棱锥的各个侧面的顶角之和是360度时,各侧面构成平面图形,构不成棱锥,由此推导出如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥不可能为六棱锥,故B正确；对于C：把两个相同的棱台底面重合在一起,就不是棱台,故C错误；对于D：由棱锥的定义，如果一个多面体的一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,才是棱锥.故D错误.故选：B8．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在长方体中，鳖臑的个数为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】在正方体中，当顶点为时，三棱锥、、、、、均为鳖臑．所以个顶点为个．但每个鳖臑都重复一次，所以，鳖臑的个数为个.故选：B．

二、多选题9．（2023下·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习）在正方体中，点是线段上的动点，若过三点的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状可能为（

）A．等边三角形 B．矩形C．菱形 D．等腰梯形【答案】ABD【详解】当点与重合时，过三点的截面是等边三角形，A正确；当点与重合时，过三点的截面为矩形，B正确；若截面为菱形，则必有，此时点与重合，故C错误；当点与中点重合时，记的中点为F，连接，易知，由正方体性质可知，且，所以四边形为平行四边形，所以，所以且，设正方体棱长为2，则，所以过三点的截面为等腰梯形，D正确.故选：ABD

10．（2023·江苏·高一专题练习）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何图形的4个顶点，这些几何图形可以是（

）A．矩形B．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体C．每个面都是等边三角形的四面体D．每个面都是直角三角形的四面体【答案】ABCD【详解】A：如下图，四边形为矩形，正确；B：如下图，四面体三个面为等腰直角三角形，一个面为等边三角形，正确；C：如下图，四面体每个面都是等边三角形，正确；D：如下图，四面体每个面都是直角三角形，正确；故选：ABCD11．（2023下·广东·高一校联考阶段练习）如图在四棱台中，点，分别为四边形，的对角线交点，则下列结论正确的是（

）

A．若四棱台是正四棱台，则棱锥是正四棱锥B．几何体是三棱柱C．几何体是三棱台D．三棱锥的高与四棱锥的高相等【答案】ACD【详解】由正棱台的定义知四边形是正方形，是高，则由正棱锥的定义知是正四棱锥，选项A正确；几何体中，没在任何两个平面平行，选项B错误；将四棱台沿轴截面分成两部分，其中之一是三棱台，选项C正确；三棱锥的高和四棱锥的高都是四棱台的高，所以相等，选项D正确.故选：ACD.三、填空题12．（2023上·上海普陀·高二校考期中）如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，则由点确定的平面截正方体所得的截面多边形的周长等于.【答案】6【详解】作（实际上）交于，延长交延长线于．连接交于点，可证分别是的中点，同理取中点，连接，六边形即为截面，该六边形为正六边形，由正方体棱长为易得正六边形边长为1，周长为6.故答案为：6.13．（2023下·广东广州·高一校考期中）如图，在长方体中，，点M在棱上，当取得最小值时，的长为.

【答案】【详解】连接，则，如图，将长方形沿展开到长方形所在平面，连接，当三点在同一直线上时，取得最小值，

此时，,则.故答案为:.14．（2023下·高一课时练习）如图，在三棱锥中，，，如图，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的侧面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬过的最短路程为．

【答案】【详解】如图所示，沿着三棱锥的侧棱剪开展在一个平面上，得到三棱锥的侧面展开图，连接，因为，，所以，在直角中，可得，即蚂蚁爬过的最短路程为.故答案为：.

15．（2023下·天津和平·高一耀华中学校考期中）给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②在四棱柱中，若底面为正方形，则该四棱柱为正四棱柱；③存在每个面都是直角三角形的四面体；④棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是．【答案】③④【详解】①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②不正确，若底面为正方形的直四棱柱为正四棱柱；③正确，如图，正方体中的三棱锥，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知.故答案为：③④B能力提升