高中数学同步讲义（人教A版必修二）第32讲 8.5.2 直线与平面平行（教师版）

第09讲8.5.2直线与平面平行课程标准学习目标①掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题。②掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行。1.线面平行的判定定理中，包含要素:两线一面.两线一面的关系是:一线在面外一线在面内.结论是:线面平行.线面平行的性质定理中，包含要素:两线两面.两线两面的关系是:一线在一面内平行于另一面，一线是两面的交线，结论是:两线平行。2.熟记和理解直线和平面平行的判定定理和性质定理，就能灵活运用实现“线线”“线面”平行的转化知识点01：直线与平面平行(1)直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号表述：图形语言直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题)即线线平行线面平行【即学即练1】（2024·全国·高二专题练习）能保证直线a与平面α平行的条件是（

）A．b⊂α，abB．b⊂α，cb，acC．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BDD．a⊄α，b⊂α，ab【答案】D【详解】根据线面平行的判定定理知，选项A：条件缺少，所以不成立，故A错误；选项B：同上，条件缺少，所以不成立，故B错误；选项C：b⊂α，A、B∈a，C、D∈b，要加且ABCD，所以不成立，故C错误；选项D：根据线面平行的判定定理知结论成立，故D正确；故选：D．(2)直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号表述：，，简记：线线平行线面平行注意：①定理中三个条件缺一不可②简记：线面平行，则线线平行③定理的作用：判断直线与直线平行的重要依据④定理的关键：寻找平面与平面的交线【即学即练2】（多选）（湖南省衡阳市2023-2024学年高三上学期期末数学试题）若三个不同的平面两两相交，且，则交线的位置关系可能是（

）A．重合 B．相交于一点 C．两两平行 D．恰有两条交线平行【答案】ABC【详解】如图，作出一个长方体.对于A项，可把平面依次取为平面，它们两两相交于共同的交线,故A项正确；对于B项，可把平面依次取为平面，此时，,,,而易得三条交线交于同一点D，故B项正确；对于C项，可把平面依次取为平面,此时，,,,而易得三条交线两两平行，故C项正确；对于D项，可把平面依次取为平面,此时，,,,若只有,因平面，而平面，则平面,又平面,而平面平面=，则有,即交线的位置关系不可能是恰有两条交线平行，故D项错误.故选：ABC.题型01判断，证明线面平行【典例1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】对于选项B，如图1，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CDMQ，由于ABCD，所以ABMQ，因为平面，平面，所以AB平面MNQ，B选项不满足题意；对于选项C，如图2，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CDMQ，由于ABCD，所以ABMQ，因为平面，平面，所以AB平面MNQ，C选项不满足题意；对于选项D，如图3，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CDNQ，由于ABCD，所以ABNQ，因为平面，平面，所以AB平面MNQ，可知D不满足题意；如图4，取BC的中点D，连接QD，因为Q是AC的中点，所以QDAB，由于QD与平面MNQ相交，故AB与平面MNQ不平行，A正确.故选：A【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）在长方体中，点P，R分别为BC，上的动点，当点P，R满足什么条件时，平面？【答案】（答案不唯一）【详解】

如图，当时，平面.理由如下：因为，所以因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以，平面，平面，平面.【典例3】（2024上·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，平面，、分别为、的中点.(1)求三棱锥的体积；(2)证明：平面.【答案】(1)；(2)证明见解析.【详解】（1）证明：设与的交点为，因为底面是边长为的菱形，所以，且，因为，所以，在中，，故，所以.因为平面，所以为三棱锥的高，所以三棱锥的体积.（2）取的中点，连接、，因为为的中点，所以且，又因为为的中点，四边形为菱形，所以且.所以且.故四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.【变式1】（多选）（2024上·江西南昌·高三统考开学考试）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AB【详解】对于A，设为的中点，底面为平行四边形，连接，则，而，,故，即四边形为平行四边形，故，而平面，平面，故平面，A正确；对于B，设为的中点，底面为平行四边形，连接，

则，而，,故，即四边形为平行四边形，故，而平面，平面，故平面，B正确；对于C，设为的中点，底面为平行四边形，连接，

设交于，连接，则，而,故，即四边形为平行四边形，故，又平面，平面，平面平面，假设平面，则，即在平面内过点有两条直线和都平行，这是不可能的，故此时平面不成立，C错误；对于D，设底面为平行四边形，连接交于点，交于，

则为的中点，连接，由于为的中点，故；又平面，平面，平面平面，假设平面，则，即在平面内过点有两条直线和都平行，这是不可能的，故此时平面不成立，D错误；故选：AB【变式2】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是正方形，，，，点为的中点.求证：平面；【答案】证明见解析【详解】连接交于，连接，因为四边形是正方形，所以是的中点，又因为为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；【变式3】（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱锥的底面是菱形，，分别是，的中点．求证：平面.

【答案】证明见解析【详解】取中点，连接，因为分别是的中点，、所以，又因为底面是菱形，是的中点，所以，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．

题型02补全线面平行的条件【典例1】（2023上·北京·高二北师大二附中校考期中）已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，设点为的中点，取的中点，连接，，

则，又平面，平面，∴平面，易知，故平面与平面是同一个平面，∴平面，此时，故选：B【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱台中，，E，F分别是的中点，点M在上，，若点N在平面内，且平面，则点N的位置是．（写出一种即可）【答案】N是线段上靠近点的三等分点（答案不唯一）【详解】当时，连接，因为，所以，因为E，F分别为的中点，所以，从而，又平面平面，所以平面．故答案为：N是线段上靠近点的三等分点（答案不唯一）.【典例3】（2023·高一课时练习）如图，在五面体中，，底面ABC是正三角形，．四边形是矩形，问：D在AC上运动，当D在何处时，有平面，并说明理由．【答案】D为AC中点时，理由见解析【详解】解：当D为AC中点时，平面．理由：连接与交于点O，当D为AC中点时，，且OD是平面上的直线，而是平面外的直线，根据直线与平面平行的判定定理可知，平面．【变式1】（2024·全国·高一假期作业）在空间中，直线平面的一个充要条件是（

）A．内有一条直线与平行 B．内有无数条直线与平行C．任意一条与垂直的直线都垂直于 D．存在一个与平行的平面经过【答案】D【详解】对于A，B，C，直线都可能在内，故选:D．【变式2】（多选）（2023下·全国·高一专题练习）已知、是两条互相平行的直线，是一个平面．若要使得，则需添加下列哪些条件（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】由，所以需添加，.故选：AC.【变式3】（2023下·全国·高一专题练习）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件时，A1P平面BCD(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可)【答案】P是CC1中点【详解】取CC1中点P，连结A1P，∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1PCD，∵A1P⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P平面BCD故答案为：P是CC1中点.题型03线面平行的性质【典例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，且，点为棱上一点（不与重合），平面交棱于点．求证：.【答案】证明见解析【详解】证明：∵平面平面，∴平面，又平面，平面平面，∴.【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）木工小罗在处理如图所示的一块木料时，发现该木料表面内有一裂纹，已知平行于平面AC．他打算经过点M和棱将木料锯开，却不知如何画线，你能帮助他解决这个问题吗？

【答案】就是所要画的线【详解】

由于//平面平面，平面平面，所以，如图，过平面上一点作，所以，所以四点共面，连接和，则就是所要画的线.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，为线段的中点，平面与棱相交于点.求证：.【答案】证明见解析【详解】因为为线段的中点，所以．又因为，所以．在梯形中，，所以四边形为平行四边形．所以．又因为平面，且平面，所以平面．因为平面，平面平面，所以．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点，点是线段上的点（不包括两个端点）．设平面与平面相交于直线，求证：.【答案】证明见解析【详解】因为点，分别为棱、的中点，则，在三棱柱中，四边形为平行四边形，所以，，则，因为平面，平面，所以，平面，因为平面，平面平面，所以，，故．【变式2】（2023·全国·高一课堂例题）如图，点A，B分别位于异面直线a，b上，过AB中点O的平面与a，b都平行，M，N分别是a，b上异于A，B的另外两点，MN与交于点P．求证：P是MN的中点．

【答案】证明见解析.【详解】连接AN，设它与平面交于点Q，连接OQ，PQ，因为OQ是平面与的交线，平面，，于是，同理，在中，O是AB的中点，，则Q是AN的中点，又因为，所以点P是MN的中点．【变式3】（2023下·全国·高一专题练习）空间四边形中，点为边上的点，且，求证：.

【答案】证明见解析【详解】∵点为空间四边形边上的点，∴直线平面，直线平面,又，∴直线平面,又∵平面且平面平面，∴.题型04由线面平行的性质判断线段比例或点所在位置【典例1】（2023下·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】C【详解】如图，连接CD，交PE于点G，连接FG，

因为平面PEF，平面ADC，平面平面，所以，因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是的重心，所以.故选：C.【典例2】（2023上·河南·高三安阳县高级中学校联考阶段练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为棱上的点，，且平面，则.【答案】【详解】设，连接，由于平面，平面，平面平面，则，由于,,所以，所以．故答案为：．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．当平面时，求实数的值.【答案】【详解】如图，连接，交于点，连接，为的中点，且平面平面，平面，平面，，为的中点，即实数的值为．【变式1】（2023上·上海浦东新·高三校考期中）如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，为上一点，若平面，则．

【答案】【详解】连接交于点，连接，因为四边形是平行四边形，所以为的中点，因为平面，平面平面，平面，所以，所以为的中点，所以.故答案为：.【变式2】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为线段，上的点，，若平面，则.【答案】/【详解】设，连接交于，连接，，由于平面，平面，平面平面，则，由于是的中点，所以，过作，交于，则，由于，所以，所以.故答案为：

【变式3】（2023下·全国·高一随堂练习）A是所在平面外一点，M是的重心，N是的中线AF上的点，并且平面BCD，当时，．

【答案】4【详解】因为平面，平面，平面平面.所以，M是的重心，N是的中线AF上的点，所以E，F分别是BC，CD的中点，N是的重心,所以，又因为M，N分别是和的重心，所以且,所以.故答案为：4.题型05由线面平行求线段长度【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知直三棱柱的侧棱和底面边长均为分别是棱上的点，且，当平面时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】过作交于，连接，因为，∴，故共面,因为平面，平面平面，平面，所以，又,∴四边形为平行四边形，又，∴，所以.故选：B．【典例2】（2023下·全国·高一专题练习）正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为2，点，分别在和上，并且，平面，则线段的长为．【答案】/【详解】如图所示：连接并延长与交于点，连接，为中点，连接，，故，，平面，平面平面，平面，故，故，，故，，，故.故答案为：【典例3】（2023下·高一课时练习）如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，求EF的长.

【答案】【详解】因为长方体的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，所以，，如图所示，连接与交于点，连接，在棱上取，连接，，则，且，因为平面PBD，且平面，平面平面，所以，所以，又因为，所以四边形QEFC是平行四边形，所以，在直角中，，，所以，所以.

【变式1】（2023·全国·高一专题练习）已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】连接，，则过点.如图所示∵平面，平面平面，平面，∴，∵，∴.故选：B.【变式2】（2023下·全国·高一专题练习）在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是上底面内一点（含边界），若平面，则点的轨迹长为.【答案】【详解】如图，取中点，中点，可知，，故平面平面，故点的轨迹为线段故答案为：【变式3】（2023下·全国·高一专题练习）如图，是棱长为正方体的棱上的一点，且平面，求线段的长．【答案】【详解】连接，交于点，连接，则为的中点．平面，平面，平面平面，，又为中点，为中点，，则在中，.A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2024·全国·高一假期作业）若直线平面，，且直线与点位于的两侧，，，，分别交平面于点，，若，，，则的长为（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根据线面平行可得线线平行，从而可求.【详解】∵，平面，平面，∴，∴，即，∴.故选：B.2．（2023·全国·高一专题练习）如图，四边形是梯形，，且平面，M是AC的中点，与平面交于点N，，，则等于（

）A．4.5 B．5 C．5.4 D．5.5【答案】B【分析】利用线面平行的性质得到，利用中位线的性质得到答案.【详解】因为平面，平面，平面平面，所以.又M是的中点，所以是梯形的中位线，故.故选：B3．（2023下·全国·高一专题练习）已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（）①，；②，；③，；④，；⑤，，．A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤【答案】A【分析】分析各直线，平面的关系即可得出结论.【详解】由题意，①，，故，故正确；②，，则与有可能平行、相交、异面，故错误；③，则或，故错误；④，；则与可能平行或相交，故错误；⑤，，，由线面平行的判定定理可得，故正确.故选：A.4．（2023下·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）已知四棱柱，则下面四条直线中与平面平行的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出四棱柱，结合线面平行的判定定理，即可得出结果.【详解】对于A，因为平面，故A错误；对于B，假设平面，因为在四棱柱中，，又平面，所以平面，显然不成立，故B错误；对于C，与选项B同理可证不满足题意，故C错误；对于D，在四棱柱中，且，

所以四边形是平行四边形，则，又平面，平面，所以平面，故D正确.故选：D.5．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为1，E，F是线段上的两个动点，平面，则的长度为（

）

A． B． C． D．2【答案】B【分析】根据线面平行的性质定理得出结果.【详解】正方体，连接交于点O，连接，如图所示，

∴平面，平面平面，平面，∴，又，∴为平行四边形，则.故选：B.6．（2024·全国·高一假期作业）已知三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，有以下四个结论：①直线平面；

②直线平面；③直线平面；

④直线平面CDE.其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据题意，由线面平行的判定定理，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于①：如图1，连接，交于点F，连接DF，则点F是的中点，又D是AB的中点，所以，因为平面，平面，所以直线平面，所以①正确.对于②：如图2，取BC的中点F，连接DF，，因为D是AB的中点，所以，且，又，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以直线平面，故②正确.对于③：如图3，取BC的中点F，连接DF，因为D是AB的中点，所以，且，又，，所以，，连接EF，所以四边形是平行四边形，所以，显然EF与平面相交，则与平面相交，故③错误.对于④：如图4，连接，交EC于点F，连接DF，则平面平面，若直线平面CDE，则，由于D是AB的中点，所以点F是的中点，而显然点F不是的中点，矛盾，故④错误.故选：B.7．（2024·全国·高一假期作业）如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】连接CD，交PE于点G，连接FG，由线面平行性质证明，再利用重心性质求解即可.【详解】如图，连接CD，交PE于点G，连接FG，

因为平面PEF，平面ADC，平面平面，所以，因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是的重心，所以.故选：C.8．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接交于点，连接，根据线面平行得性质证明，再根据可得，进而可得出答案.【详解】连接交于点，连接，则平面即为平面，

因为，平面，平面，所以，因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，所以，，所以且，所以，又，所以，所以.故选：B.二、多选题9．（2024上·江西南昌·高三统考开学考试）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AB【分析】根据线面平行的判定定理可判断A，B选项；假设平面面，利用线面平行的性质定理结合平面内过一点有且仅有一条直线和已知直线平行可判断C，D选项.【详解】对于A，设为的中点，底面为平行四边形，连接，则，而，,故，即四边形为平行四边形，故，而平面，平面，故平面，A正确；对于B，设为的中点，底面为平行四边形，连接，

则，而，,故，即四边形为平行四边形，故，而平面，平面，故平面，B正确；对于C，设为的中点，底面为平行四边形，连接，

设交于，连接，则，而,故，即四边形为平行四边形，故，又平面，平面，平面平面，假设平面，则，即在平面内过点有两条直线和都平行，这是不可能的，故此时平面不成立，C错误；对于D，设底面为平行四边形，连接交于点，交于，

则为的中点，连接，由于为的中点，故；又平面，平面，平面平面，假设平面，则，即在平面内过点有两条直线和都平行，这是不可能的，故此时平面不成立，D错误；故选：AB10．（2023下·贵州黔东南·高一校考阶段练习）若直线平面，且直线不平行于平面.给出下列结论正确的是（

）A．内的所有直线与异面 B．内存在直线与相交C．内存在唯一的直线与平行 D．内不存在与平行的直线【答案】BD【分析】由题意可判断直线与平面相交，即可判断内的直线与a的位置关系，即得答案.【详解】由直线平面，且直线不平行于平面，可知直线与平面相交，设交点为O，则平面内必存在过点O的直线，这些直线与a相交，故A错误，B正确；假设内存在直线与平行，由于直线平面，则直线平行于平面，与题意矛盾，则内不存在与平行的直线，C错误，D正确，故选：BD三、填空题11．（2024上·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则.【答案】【分析】根据线面平行的性质定理，可得到，即可求的长.【详解】根据题意，因为平面，平面，且平面平面所以.又是的中点，所以是的中点.因为在中，，故.故答案为：12．（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）如图，为平行四边形所在平面外一点，分别为上一点，且，当平面时，.

【答案】/【分析】根据线面平行的性质定理，结合平行线的性质进行求解即可.【详解】如图，连结交于点，连结.

因为，所以，因为平面，平面平面平面，所以，所以.故答案为：四、解答题13．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是正方形，，，，点为的中点.求证：平面；【答案】证明见解析【分析】连接交于，连接，利用中位线先证明，然后根据线面平行的判定定理完成证明.【详解】连接交于，连接，因为四边形是正方形，所以是的中点，又因为为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；14．（2024上·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中底面是正方形，