2024年河南省洛阳市涧西区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年河南省洛阳市涧西区中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2024的绝对值是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（3分）2024年春节假期（正月初一至正月初八）期间，洛阳地铁线网总客运量307.72万人次，较去年春节期间增长93.55%，最大单日客运量发生于正月初四（46.32万人次），位居全国第一．数据“307.72万”用科学记数法表示为（）A．3.0772×102 B．3.0772×104 C．307.72×104 D．3.0772×1063．（3分）河洛大鼓，俗称“说书”，是河南传统地方曲种之一，该立体图形的主视图是（）A． B． C． D．4．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝50°，则∠BOE的度数是（）A．40° B．75° C．50° D．65°5．（3分）下列运算正确的是（）A．a15÷a3＝a5 B．（3a2）3＝9a6 C．2a•3a＝6a2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b26．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．﹣25 B． C． D．257．（3分）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是某高铁线路在转弯处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，过点A，B的两条切线相交于点C，则这段曲线的长为（）A． B． C． D．8．（3分）2024年国家统计局公布《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》．如图为国家统计局发布的全国2019﹣2023年快递业务量及其增长速度的统计图．根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（）A．与2021年相比，2022年的快递业务量的年增长率虽然下降，但快递业务量仍然上升 B．从2019年至2023年快递业务量持续上升 C．从2020年至2023年快递业务量的年增长率持续下降 D．2023年的快递业务量比2022年增加了214.9亿件9．（3分）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．10．（3分）如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，A，C，N依次在同一直线上，且AM＝CN．现有两个机器人（看成点），N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，两个机器人之间距离为y．则y与x关系的图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）写出一个大于2且小于4的无理数：．12．（3分）化简：＝．13．（3分）甲、乙、丙三名选手参加赛跑，赛场共设1，2，3三条跑道（如图），则甲、丙两位选手抽中相邻跑道的概率为．14．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝24，点E，AD上的两个动点，连接AE，则AE+EF的最小值为．15．（3分）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在CB的延长线上，连接AE，过点A作AF⊥AE，连接EF，点H是EF的中点，则BH＝．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）计算：（1）；（2）先化简，再求值：（2x﹣3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中．17．（9分）生物活动课上，为更好利用树叶的特征对树木进行分类，老师带领同学们随机收集A，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm），分别计算长宽比，并整理、分析如下：a．计算树叶的长宽比：序号长宽比树叶种类12345678910A种树树叶3.53.43.83.83.74.03.64.03.64.0B种树树叶1.92.02.41.82.02.01.31.92.01.8b．分析数据如下：统计量数据树叶种类平均数中位数众数方差A种树树叶3.743.75n0.0424B种树树叶1.91m2.00.0669根据以上信息，回答下列问题：（1）上述表格中：m＝，n＝．（2）①甲同学说：“从树叶的长宽比的中位数和众数来看，我发现B种树树叶的长约为宽的两倍．”②乙同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为A种树树叶的形状差别大．”这两位同学的说法中（填序号）．（3）现有一片长17cm，宽4.5cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于A18．（9分）如图，点A和B在反比例函数的图象上，且△BOC的面积为2，点A的纵坐标为1（1）求反比例函数的解析式和点A的坐标；（2）请用无刻度的直尺和圆规作出∠AOB的平分线OM（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（3）过点A作DA⊥AO垂足为A，交∠AOB的平分线OM于点D，若∠AOD＝α19．（9分）如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，连接OD．（1）若∠C＝30°，求CD的长；（2）取BC的中点E，连接OE．①当∠A＝时，四边形ODCE为平行四边形；②在①的条件下，以B为圆心，以r为半径作圆，点E在⊙B内部，同时点D在⊙B外部．20．（9分）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC（高约3.27米），冬至正午日影长为BC，此时太阳高度角为∠ABC，此时太阳高度角为∠ADC．测得夏至正午日影长CD约为1米．（1）试计算该市夏至正午太阳高度角（即∠ADC）的度数；（2）已知夏至日正午太阳高度角∠ADC与冬至日正午太阳高度角∠ABC的差约为47°（注：正午太阳高度由当地纬度与当日太阳直射点的差决定，夏至日与冬至日对应的太阳直射点分别为北回归线和南回归线，其纬度差值为46°52′，取近似数约为47°）．请计算BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据tan73°≈3.27，tan17°≈0.31，tan26°≈0.49，tan64°≈2.05）21．（9分）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．低碳环保，绿色出行成为大家的生活理念，其中甲型自行车进货价格为每台650元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售4台甲型自行车和5台乙型自行车，销售1台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利950元．（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共30台，且资金不超过21000元22．（10分）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地面竖直高度为h＝1.2米．建立如图2所示的平面直角坐标系，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝1.8米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米．（1）求上边缘抛物线的函数解析式；（2）下边缘抛物线与x轴交点B的坐标为；（3）若d＝2.2米，则灌溉车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由．23．（10分）综合与实践【问题情境】：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠D，其中点B与点F重合（标记为点B）．当∠ABE＝∠A时，试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．【数学思考】：（1）请你解答老师提出的问题；【深入探究】：（2）老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE＝∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE＝∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，AC＝8，求AH的长．请你思考此问题

2024年河南省洛阳市涧西区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2024的绝对值是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：﹣2024的绝对值是2024．故选：A．2．（3分）2024年春节假期（正月初一至正月初八）期间，洛阳地铁线网总客运量307.72万人次，较去年春节期间增长93.55%，最大单日客运量发生于正月初四（46.32万人次），位居全国第一．数据“307.72万”用科学记数法表示为（）A．3.0772×102 B．3.0772×104 C．307.72×104 D．3.0772×106【解答】解：307.72万＝3077200＝3.0772×106．故选：D．3．（3分）河洛大鼓，俗称“说书”，是河南传统地方曲种之一，该立体图形的主视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从正面看，可得选项B的图形，故选：B．4．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝50°，则∠BOE的度数是（）A．40° B．75° C．50° D．65°【解答】解：∵∠BOC+∠AOC＝180°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝．故选：D．5．（3分）下列运算正确的是（）A．a15÷a3＝a5 B．（3a2）3＝9a6 C．2a•3a＝6a2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【解答】解：a15÷a3＝a12，故选项A错误，不符合题意；（3a4）3＝27a6，故选项B错误，不符合题意；7a•3a＝6a6，故选项C正确，符合题意；（a﹣b）2＝a2﹣5ab+b2，故选项D错误，不符合题意；故选：C．6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．﹣25 B． C． D．25【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝6有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝4，（﹣5）2﹣3×1×m＝0，25﹣2m＝0，4m＝25，，故选：C．7．（3分）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是某高铁线路在转弯处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，过点A，B的两条切线相交于点C，则这段曲线的长为（）A． B． C． D．【解答】解：∵过点A，B的两条切线相交于点C，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∴A、O、B、C四点共圆，∴∠AOB＝α＝60°，∴圆曲线的长为：＝．故选：B．8．（3分）2024年国家统计局公布《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》．如图为国家统计局发布的全国2019﹣2023年快递业务量及其增长速度的统计图．根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（）A．与2021年相比，2022年的快递业务量的年增长率虽然下降，但快递业务量仍然上升 B．从2019年至2023年快递业务量持续上升 C．从2020年至2023年快递业务量的年增长率持续下降 D．2023年的快递业务量比2022年增加了214.9亿件【解答】解：由统计图可知：与2021年相比，2022年的快递业务量的年增长率虽然下降，故选项A说法正确；从2019年至2023年快递业务量持续上升，故选项B说法正确；从2020年至2022年快递业务量的年增长率持续下降，从2022年至2023年快递业务量的年增长率有所上升，符合题意；1320.7﹣1105.8＝214.4（亿件），即2023年的快递业务量比2022年增加了214.9亿件，不符合题意．故选：C．9．（3分）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：解得或．故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上或点（3，a+b）．故选：C．10．（3分）如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，A，C，N依次在同一直线上，且AM＝CN．现有两个机器人（看成点），N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，两个机器人之间距离为y．则y与x关系的图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，∴两个机器人最初的距离是AM+CN+2R，∵两个机器人速度相同，∴同时到达点A，C，∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A、C；当两个机器人分别沿A→D→C和C→B→A移动时，此时两个机器人之间的距离是2R，当机器人分别沿C→N和A→M移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大；故选：D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）写出一个大于2且小于4的无理数：（答案不唯一）．【解答】解：∵大于2且小于4的无理数为：＜x＜，∴x可以为：x＝（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．12．（3分）化简：＝．【解答】解：＝•+＝+＝，故答案为：．13．（3分）甲、乙、丙三名选手参加赛跑，赛场共设1，2，3三条跑道（如图），则甲、丙两位选手抽中相邻跑道的概率为．【解答】解：列表如下：1271（1，8）（1，3）5（2，1）（8，3）3（7，1）（3，7）共有6种等可能的结果，其中甲，2），3），3），2），∴甲、丙两位选手抽中相邻跑道的概率为＝．故答案为：．14．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝24，点E，AD上的两个动点，连接AE，则AE+EF的最小值为．【解答】解：在DC上取一点F'，使DF'＝DF，EF'，∵四边形ABCD是菱形，∴点F'与点F关于直线BD对称，∴EF'＝EF，∴AE+EF＝AE+EF'≥AF'≥AH，∴AE+EF的最小值为AH的长，∵四边形ABCD是菱形，AC＝10，∴AC⊥BD，OC＝，OD＝，由勾股定理，得CD＝＝，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝CD•AH，∴＝13AH，解得AH＝，故答案为：．15．（3分）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在CB的延长线上，连接AE，过点A作AF⊥AE，连接EF，点H是EF的中点，则BH＝2．【解答】解：设EF交AB于G，过H作HK⊥BC于点K∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ADC＝∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠ABE＝90°＝∠ADF，∵AE⊥AF，∴∠EAF＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF，∵AB＝6，BE＝2，∴AE＝＝2，∴EF＝＝4，∵点H是EF的中点，∴EH＝EF＝2，∵CD＝6，DF＝BE＝8，∴CF＝CD﹣DF＝4，∵H点EF的中点，HK∥CF，∴HK是△ECF的中位线，∴HK＝CF＝2，∴EK＝＝＝4，∴BK＝EK﹣BE＝4﹣2＝8，∴BH＝＝＝2；故答案为：4．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）计算：（1）；（2）先化简，再求值：（2x﹣3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中．【解答】解：（1）＝1﹣6+2+2＝2；（2）（2x﹣3y）2﹣（8x+y）（2x﹣y）＝4x5﹣12xy+9y2﹣4x2+y2＝﹣12xy+10y3，当时，原式＝﹣12×）+10×（﹣）2＝．17．（9分）生物活动课上，为更好利用树叶的特征对树木进行分类，老师带领同学们随机收集A，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm），分别计算长宽比，并整理、分析如下：a．计算树叶的长宽比：序号长宽比树叶种类12345678910A种树树叶3.53.43.83.83.74.03.64.03.64.0B种树树叶1.92.02.41.82.02.01.31.92.01.8b．分析数据如下：统计量数据树叶种类平均数中位数众数方差A种树树叶3.743.75n0.0424B种树树叶1.91m2.00.0669根据以上信息，回答下列问题：（1）上述表格中：m＝1.95，n＝4.0．（2）①甲同学说：“从树叶的长宽比的中位数和众数来看，我发现B种树树叶的长约为宽的两倍．”②乙同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为A种树树叶的形状差别大．”这两位同学的说法中①（填序号）．（3）现有一片长17cm，宽4.5cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于A【解答】解：（1）A种树树叶的众数n＝4.0，B种树叶的长宽比重新排列为2.3、1.8、1.9、6.0、2.4，所以B种树叶的中位数m＝＝6.95，故答案为：1.95、4.2；（2）∵B种树叶的长宽比的平均数1.91，中位数是1.95，∴甲同学说法合理，∵7.0424＜0.0669，∴A种树叶的形状差别小，故乙同学说法不合理，故答案为：①；（3）这片树叶更可能来自A种树，∵一片长17cm，宽4.8cm的树叶，∴这片树叶更可能来自A种树．18．（9分）如图，点A和B在反比例函数的图象上，且△BOC的面积为2，点A的纵坐标为1（1）求反比例函数的解析式和点A的坐标；（2）请用无刻度的直尺和圆规作出∠AOB的平分线OM（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（3）过点A作DA⊥AO垂足为A，交∠AOB的平分线OM于点D，若∠AOD＝α【解答】解：（1）∵△BOC的面积为2，∴|k|＝2×2＝4，∴k＝±4，∵双曲线在第二象限，∴k＜2，∴k＝﹣4，∴反比例函数的解析式为y＝﹣，∵点A的纵坐标为6，点A在双曲线上，∴1＝﹣，∴x＝﹣7，∴点A的坐标为（﹣4，1）；（2）如图所示：则OM为所求图形；（3）如图，延长DA交x轴于N，∴AH＝3，OH＝4，∴AO＝＝，∵∠AON＝α＝∠AOD，∠DAO＝∠AHO＝90°，∴△AHO∽△DAO，∴，∴＝，∴DO＝，∵∠AON＝α＝∠AOD，AO＝AO，∴△ADO≌△ANO（ASA），∴AN＝AD，DO＝NO＝，∴点N（﹣，0），∴AD＝AN＝＝．19．（9分）如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，连接OD．（1）若∠C＝30°，求CD的长；（2）取BC的中点E，连接OE．①当∠A＝45°时，四边形ODCE为平行四边形；②在①的条件下，以B为圆心，以r为半径作圆，点E在⊙B内部，同时点D在⊙B外部2＜r＜2．【解答】解：（1）∵⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，∴AB⊥BC，∵∠C＝30°，∴AC＝2AB＝2，∴BC＝＝6．连接BD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∵∠C＝30°，∴BD＝BC＝2．∴CD＝＝6．（2）①当∠A＝45°时，四边形ODCE为平行四边形∵OA＝OB，BE＝EC，∴OE为△BAC的中位线，∴OE∥AC．若四边形ODCE为平行四边形，则OD∥BC．∴OD＝OB，BE＝EC，∴OB＝BE．∵∠ABC＝90°，∴△OBE为等腰直角三角形，∴∠BOE＝∠BEO＝45°，∵OE∥AC，∴∠A＝∠BOE＝45°．∴当∠A＝45°时，四边形ODCE为平行四边形．故答案为：45°；②由（2）①知：∠A＝45°，∠ABC＝90°，∴AB＝BC＝2，∵OA＝OB，BE＝EC，∴OB＝BE＝2．∵以B为圆心，以r为半径作圆，点E在⊙B内部，∴r＞2．∵四边形ODCE为平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ODCE是正方形，∴BD＝OB＝2．∵以B为圆心，以r为半径作圆，∴r＜3．综上，以B为圆心，使得点O，同时点D在⊙B外部．故答案为：3＜r＜2．20．（9分）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC（高约3.27米），冬至正午日影长为BC，此时太阳高度角为∠ABC，此时太阳高度角为∠ADC．测得夏至正午日影长CD约为1米．（1）试计算该市夏至正午太阳高度角（即∠ADC）的度数；（2）已知夏至日正午太阳高度角∠ADC与冬至日正午太阳高度角∠ABC的差约为47°（注：正午太阳高度由当地纬度与当日太阳直射点的差决定，夏至日与冬至日对应的太阳直射点分别为北回归线和南回归线，其纬度差值为46°52′，取近似数约为47°）．请计算BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据tan73°≈3.27，tan17°≈0.31，tan26°≈0.49，tan64°≈2.05）【解答】解：（1）∵AC⊥BC，∴∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，AC＝3.27米，∴tan∠ADC＝＝3.27，∴∠ADC≈73°，∴该市夏至正午太阳高度角（即∠ADC）的度数约为73°；（2）由题意得：∠ABC＝∠ADC﹣47°＝26°，在Rt△ABC中，AC＝6.27米，∴BC＝≈≈3.67（米），∵CD＝1米，∴BD＝BC﹣CD＝6.67﹣8≈5.7（米），∴BD的长约为6.7米．21．（9分）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．低碳环保，绿色出行成为大家的生活理念，其中甲型自行车进货价格为每台650元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售4台甲型自行车和5台乙型自行车，销售1台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利950元．（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共30台，且资金不超过21000元【解答】解：（1）设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y元，根据题意得：，解得：．答：该公司销售一台甲型自行车的利润是100元，一台乙型自行车的利润是170元；（2）设该公司加购m台甲型自行车，则加购（30﹣m）台乙型自行车，根据题意得：650m+800（30﹣m）≤21000，解得：m≥20．设加购的这30台自行车全部售出后总利润为w元，则w＝100m+170（30﹣m），即w＝﹣70m+5100，∵﹣70＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝20时，w取得最大值．答：该公司加购20台甲型自行车，10台乙型自行车时．22．（10分）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地面竖直高度为h＝1.2米．建立如图2所示的平面直角坐标系，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝1.8米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米．（1）求上边缘抛物线的函数解析式；（2）下边缘抛物线与x轴交点B的坐标为（3﹣2，0）；（3）若d＝2.2米，则灌溉车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由．【解答】解：（1）由题意得：A（2，1.2）是上边缘抛物线的顶点，设y＝a（x﹣2）2+8.6，又∵抛物线