8.3 实际问题与二元一次方程组 初中数学人教版七年级下册大单元教学设计

8.3实际问题与二元一次方程组（单元教学设计）一、【单元目标】通过一道古算题，将其转化为现代文，让学生感受语言的魅力，同时对我国古人的数学智慧有深刻的体会；加深对二元一次方程组应用题的理解，同时学会如何设未知数，列二元一次方程组，检验二元一次方程组的答案等等，形成对知识点的全面认识，并促进学生思维的发展；（1）利用古算题，开启我们这一章节的学习，学会根据题意列出符合的二元一次方程组，再用前一节学习的解法求出二元一次方程组的解，并会将求出的结果代入进行检查，看是否符合题意，不符合的要舍去；具体的二元一次方程组应用题，本教学设计安排了和差倍分问题、变化率问题、行程问题、几何问题、图表信息问题和方案问题等，通过不同的题型加强学生对应用题的理解，做到：“见题有数”，灵活运用知识点解决实际问题；通过小组合作探究，让学生参与教学过程，加深对应用题型的理解；（3）通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑推理素养；（4）在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转化的数学思想，同时提升了学生的数学抽象素养，并发展了学生的逻辑推理素养；二、【单元知识结构框架】实际问题与二元一次方程组根据题意列二元一次方程组三、【学情分析】1．认知基础二元一次方程组的应用题是数学中常见的应用题型，这里我们要学会设两个未知数，通过二元一次方程组的解法求出答案，求出的结果要进行验算；通过不同类型的应用题型，加强我们对应用题型的理解，为我们之后解决函数类的应用题打下基础；2.认知障碍学生在找等量关系时，往往会混淆概念，导致列不出二元一次方程组；另外就是解二元一次方程组会出现失误，导致计算错误；最后就是不检验答案，导致算出的结果不符合要求；四、【教学设计思路/过程】课时安排：约3课时教学重点：和差倍分问题、变化率问题、行程问题、几何问题；教学难点：图表信息问题和方案问题等；五、【教学问题诊断分析】【情境引入】古算题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问有几客几房中？”题目大意：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房住7人，就会有7人没地方住；若每间房住9人，就会空一间房．问有多少间房？多少客人？你能解答这个问题吗？5.1.1利用二元一次方程组解决实际问题问题1：（和差倍分问题）某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？【破解方法】已知量：(1)甲种货物每吨体积为6立方米；(2)乙种货物每吨体积为2立方米；(3)船的载重量为300吨；(4)船的容积为1200立方米．未知量：甲、乙两种货物应装的质量各为多少吨．若以x、y表示它们的吨数，则甲种货物的体积为6x立方米，乙种货物的体积为2y立方米．相等关系：“充分利用这艘船的载重量和容积”的意思是“货物的总质量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”．即甲种货物质量,↓,x))＋,)乙种货物质量,↓,y))＝,)船的总载重量,↓,300))甲种货物体积,↓,6x))＋,)乙种货物体积,↓,2y))＝,)船的总容积,↓,1200))【解析】设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨．由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝300，,6x＋2y＝1200，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝150，,y＝150.))答：甲、乙两种货物各装150吨．问题2：（变化率问题）为了解决民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，去年秋季有5000名民工子女进入主城区中小学学习，预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样今年秋季将新增1160名民工子女在主城区中小学学习．(1)如果按小学每年收“借读费”500元、中学每年收“借读费”1000元计算，求今年秋季新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”；(2)如果小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，按今年秋季入学后，民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需配备多少名中小学教师？【破解方法】解决此题的关键是求出今年秋季入学的学生中，小学和初中各有民工子女多少人．欲求解这个问题，先要求出去年秋季入学的学生中，小学和初中各有民工子女多少人．【解析】解：(1)设去年秋季在主城区小学学习的民工子女有x人，在主城区中学学习的民工子女有y人．则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5000，,20%x＋30%y＝1160，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3400，,y＝1600.))20%x＝680，30%y＝480，500×680＋1000×480＝820000(元)＝82(万元)．答：今年秋季新增的1160名中小学生共免收82万元“借读费”；(2)今年秋季入学后，在小学就读的民工子女有3400×(1＋20%)＝4080(人)，在中学就读的民工子女有1600×(1＋30%)＝2080(人)，需要配备的中小学教师(4080÷40)×2＋(2080÷40)×3＝360(名)．答：一共需配备360名中小学教师．问题3：（行程问题）A、B两码头相距140km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7h，逆水航行用了10h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度．【破解方法】本题关键是找到各速度之间的关系，顺速＝静速＋水速，逆速＝静速－水速；再结合公式“路程＝速度×时间”列方程组．【解析】设这艘轮船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h.由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7（x＋y）＝140，,10（x－y）＝140.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝17，,y＝3.))答：这艘轮船在静水中的速度为17km/h，水流速度为3km/h.问题4：（几何问题）小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图①所示．小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图②所示的正方形，不过中间留下一个边长恰好为2cm的小正方形空白，你能算出每个小长方形的长和宽各是多少吗？【破解方法】在图①中大长方形的长有两种表现形式，一种是5个小长方形的宽的和，另一种是3个小长方形的长的和；在图②中，大正方形的边长也有两种表现形式，一种是1个小长方形的长和2个小长方形的宽的和，另一种从中间看为2个小长方形的长与小正方形的边长的和，由此可设未知数列出方程组求解．【解析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm.由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＝5y，,2x＋2＝x＋2y.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝6.))答：每个小长方形的长为10cm，宽为6cm.5.1.2用二元一次方程组解决复杂的实际问题问题5：（图表信息题）餐馆里把塑料凳整齐地叠放在一起(如图)，根据图中的信息计算有20张同样塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是________cm.【破解方法】在利用方程或方程组解决实际问题时，有时根据需要间接设出未知数，再利用中间量求出结果．含图表问题中，要擅长观察图形或表格，利用图表中的信息．【解析】设塑料凳凳面的厚度为xcm，腿高hcm，根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋h＝29，,5x＋h＝35，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,h＝20.))则20张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是20＋3×20＝80(cm)．故答案是80.问题6：（方案问题）某商场计划用40000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部1200元，乙型号手机每部400元，丙型号手机每部800元．(1)若全部资金只用来购进其中两种不同型号的手机共40部，请你研究一下商场的进货方案；(2)商场每销售一部甲型号手机可获利120元，每销售一部乙型号手机可获利80元，每销售一部丙型号手机可获利120元，那么在同时购进两种不同型号手机的几种方案中，哪种进货方案获利最多？【破解方法】根据题意有三种购买方案：①甲、乙；②甲、丙；③乙、丙．然后根据所含等量关系求出每种方案的进货数．【解析】解：(1)①若购甲、乙两种型号．设购进甲型号手机x1部，乙型号手机y1部．根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋y1＝40，,1200x1＋400y1＝40000.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝30，,y1＝10.))所以购进甲型号手机30部，乙型号手机10部；②若购甲、丙两种型号．设购进甲型号手机x2部，丙型号手机y2部．根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝40，,1200x2＋800y2＝40000.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝20，,y2＝20.))所以购进甲型号手机20部，丙型号手机20部；③若购乙、丙两种型号．设购进乙型号手机x3部，丙型号手机y3部．根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3＋y3＝40，,400x3＋800y3＝40000.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3＝－20，,y3＝60.))因为x3表示手机部数，只能为正整数，所以这种情况不合题意，应舍去．综上所述，商场共有两种进货方案．方案1：购甲型号手机30部，乙型号手机10部；方案2：购甲型号手机20部，丙型号手机20部；(2)方案1获利：120×30＋80×10＝4400(元)；方案2获利：120×20＋120×20＝4800(元)．所以，第二种进货方案获利最多．六、【教学成果自我检测】1．课前预习设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.1．为守住国家耕地底线，确保粮食安全，某地区积极相应国家“退林还耕”号召，将该地区一部分林地改为耕地，改变后，耕地面积和林地面积共有2000亩，林地面积是耕地面积的．设改变后耕地面积为x亩，林地面积为y亩，则下列方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设改变后耕地面积为x亩，林地面积为y亩，根据题意列出二元一次方程组即可．【详解】解：设改变后耕地面积为x亩，林地面积为y亩，则列方程为．故选：D．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．2．如图，将7张相同的长方形纸片不重叠的放在长方形内，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且，若未被覆盖的两个长方形周长相等，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图所示，结合已知分别表示出与的周长，依据周长相等可得结果．【详解】解：依题意，小长方形纸片的长为a，宽为b，如图所示，的周长为：，的周长为：，的周长与的周长相等，，，，故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用；解题的关键是正确表示出与的周长．3．某商店卖出一件上衣和一双皮鞋，共收款240元，其中上衣盈利20%，皮鞋亏本20%，该商店卖出这两件商品，下列判断正确的是（

）A．赚10元 B．赔10元 C．不赔不赚 D．无法确定【答案】D【分析】设上衣的进价为x元，皮鞋的进价为y元，根据“共收款240元，其中上衣盈利20%，皮鞋亏本20%”，即可得出关于x（y）的二元一次方程，解之即可得出上衣与皮鞋的进价关系，用其相加−两件商品的售价和，即可找出结论．【详解】设上衣的进价为x元，皮鞋的进价为y元，根据题意得：（1＋20%）x+（1−20%）y＝240，解得：1.2x+0.8y＝240，∴利润为240-（x+y）=1.2x+0.8y-（x+y）=0.2x-0.2y=0.2（x-y）∵进价x,y的大小关系不确定，故利润大小不确定，故选D.【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．4．《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，许多问题浅显有趣，其中下卷第31题“雉兔同笼”流传尤为广泛，漂洋过海流传到了日本等国．“雉兔同笼”题为：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”设雉（鸡）有x只，兔有y只，则可列方程组为______．【答案】【分析】根据鸡头数+兔头数=35，鸡腿数+兔腿数=94列二元一次方程组即可．【详解】解：根据题意，得，故答案为：．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程组是解答的关键．5．小明在文化用品超市购买单价为2元的签字笔和单价为3元的笔记本，一共花了元，则购买方案有___________种．【答案】【分析】设购买签字笔只，笔记本本，根据题意列出二元一次方程，故可求解．【详解】设购买签字笔只，笔记本本，根据题意可得正整数解为或或故购买方案有3种，故答案为：【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程求解．6．某商场销售甲、乙两种商品，其中甲种商品进价为20元/件，售价为30元/件；乙种商品进价为50元/件，售价为80元/件．现商场用13000元购进这两种商品并全部售出，两种商品的总利润为7500元，问该商场购进甲、乙两种商品各多少件？【答案】该商场购进甲种商品150件，乙种商品200件【分析】设购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据现商场用13000元购进这两种商品，销售完后获得总利润7500元，列二元一次方程组，求解即可．【详解】解：设购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据题意，得，解得，答：该商场购进甲种商品150件，乙种商品200件．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．2．课堂检测设计意图：例题变式练.【变式1】学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球元，一个B品牌足球元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】C【分析】设购买品牌足球个，购买品牌足球个，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数即可求出结论．【详解】解：设购买品牌足球个，购买品牌足球个，依题意，得：，．，均为正整数，，，，，该学校共有种购买方案．故选C．【点睛】本题主要考查二元一次方程的解的问题，这类题往往涉及到方案的种类，是常考点.【变式2】足球比赛的记分办法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了（）A．3场 B．4场 C．5场 D．6场【答案】C【分析】设这个队胜了x场，则这个队平了场，再根据胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，总积分为19列出方程求解即可．【详解】解：设这个队胜了x场，由题意得，解得，∴这个队胜了5场，故选C．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求解是解题的关键．【变式3】将8个一样大小的小长方形进行拼图，可以拼成如图1所示的一个大的长方形，或拼成如图2所示的大正方形，中间留下了一个边长为的小正方形，求小长方形的长和宽，若设小长方形的长为，宽为，则下列所列方程组正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据长方形的对边相等及正方形的邻边相等，即可得出关于的二元一次方程组，此题得解．【详解】依题意，得：．整理得：故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式4】甲乙两人同时解方程组，甲正确解得；乙因抄错了c，解得；则=___________，=___________，c=___________．【答案】

2

0

1【分析】先把把代入求得c，把代入可得，把代入可得，最后解关于a、b的二元一次方程组即可解答．【详解】解：把代入，解得：再把代入可得：把代入可得：联立，解得．故答案为：2，0，1．【点睛】本题主要考查学生对二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识点，理解二元一次方程组的解是解答本题的关键．【变式5】据记载，“幻方”于我国古代的“洛书”，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等，则m的值为______________．59813【答案】6【分析】根据幻方中，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母之和均相等列方程解答．【详解】解：∵幻方中，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等，∴，解得：，∴．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母之和均相等列得方程组是解题的关键．【变式6】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．(1)若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售利润最多，你选择哪一种进货方案？【答案】(1)购甲种电视机25台，乙种电视机25台；或购甲种电视机35台，丙种电视机15台(2)购买甲种电视机35台，丙种电视机15台获利最多【分析】（1）根据题意分3种情况，分别列出一元一次方程求解即可；（2）根据（1）所得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后判断出获利最多的方案．【详解】（1）解：分三种情况计算：①设购甲种电视机台，乙种电视机台．列方程得，解得，，∴购甲种电视机25台，乙种电视机25台；②设购甲种电视机y台，丙种电视机台．则，解得：，∴购甲种电视机35台，丙种电视机15台；③设购乙种电视机z台，丙种电视机台．则解得：，（不合题意，舍去）；综上所述，进货方案有两种：购甲种电视机25台，乙种电视机25台；或购甲种电视机35台，丙种电视机15台；（2）方案一：．方案二：元．∵，∴购买甲种电视机35台，丙种电视机15台获利最多．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．3．课后作业设计意图：巩固提升.1．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒现在仓库里有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【答案】C【分析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，然后根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再根据x、y的系数表示出并判断为5的倍数，然后选择答案即可．【详解】解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，根据题意得：，两式相加得，，∵x、y都是正整数，∴是5的倍数，∵2023、2024、2025、2026四个数中只有2025是5的倍数，∴的值可能是2025．故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据未知数系数的特点，观察出所需两种纸板的张数的和正好是5的倍数是解题的关键．2．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木还剩余1尺，问长木多少尺？如果设长木长尺、绳长尺，则可以列方程组是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设长木长尺、绳长尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木还剩余1尺，”列出方程组，即可求解．【详解】解：设长木长尺、绳长尺，根据题意得：．故选：D【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．3．小华带着妈妈给的现金去蛋糕店买蛋糕，他若买5个巧克力蛋糕和3个桂圆蛋糕，则妈妈给的钱不够，还缺16元；若买3个巧克力蛋糕和5个桂圆蛋糕，则妈妈给的钱还有剩余，还多10元，若他只买8个桂圆蛋糕，则剩余的钱为元．（）A．26 B．49 C．32 D．51【答案】B【分析】根据题意列出二元一次方程即可求解．【详解】解：设巧克力蛋糕和桂圆蛋糕的单价分别为每个x元和y元，∴,∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是理解题意，列出方程并求解．4．已知方程组与的解相同，那么________．【答案】【分析】重新组合方程组，解得x，y的值，再代入，求出a，b的值，进而即可求解【详解】∵方程组与的解相同，∴方程组与的解相同，由①②得：，代入，得，解得：∴故答案是：【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的加减消元法，是解题的关键．5．某厂有甲、乙两个车间，若从乙车间调12人到甲车间，则甲车间人数是乙车间人数的3倍；若从甲车间调10人到乙车间