第17讲 相似三角形常见模型之平行相似 (原卷版)

第17讲相似三角形常见模型之平行相似【知识点睛】A字图及其变型“斜A型”当DE∥BC当DE∥BC时△ADE∽△ABC性质：当∠ADE=∠ACB时△ADE∽△ACB性质：变型☆：斜A型在圆中的应用：如图可得：△PAB∽△PCD☆：“A字图”最值应用A字图中作动态矩形求最大面积时，通常当MN为△ABC中位线，☆：“A字图”最值应用A字图中作动态矩形求最大面积时，通常当MN为△ABC中位线，矩形面积达到最大值！当∠A=∠C当∠A=∠C时△AJB∽△CJD性质：当AB∥CD时△AOB∽△DOC性质：变型☆：“蝴蝶型”常见应用☆：“蝴蝶型”常见应用常出现在“圆”中，直接由相交弦得到，求角度相关此时注意“同弧所对圆周角相等”的应用出现在“手拉手模型”中，用于证明“两直线垂直”或者“两直线成一固定已知角度”☆☆：A字图与8字图相似模型均是由“平行”直接得到的，∴有“∥”，多想此两种模型常见“∥”的引入方式：直接给出平行的已知条件平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等几何图形中自带的平行由很多中点构造的“中位线”的平行根据线段成比例的条件或结论自己构造平行辅助线【类题训练】1．已知，在▱ABCD中，E是BC边上的点，AE与BD相交于点F．若BE：EC＝3：2，则△ABF的面积与△ADF的面积之比为（）A． B． C． D．2．如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝5，AB＝10，若内接矩形DEFG邻边DG：GF＝1：2，则△GFC与四边形ABFG的面积比为（）A． B． C． D．3．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（）A． B． C． D．4．如图来自清朝数学家梅文鼎的《勾股举隅》，该图由四个全等的直角三角形围成，延长BC分别交AG，HG于点M，N，梅文鼎就是利用这幅图证明了勾股定理．若图中记△MNG的面积为S，△GDF的面积为9S，则阴影部分的面积为（）A．20S B．21S C．22S D．24S5．如图，在▱ABCD中，AB＝9，AD＝8，E为AD延长线上一点，且DE＝4，连接BE交CD于点F，则CF＝．6．如图，将△ABC沿射线AC方向平移一定的距离，平移后的三角形记为△A′B′C′，边A′B′刚好经过边BC的中点D，已知△ABC的面积为16，则阴影部分△A′DC的面积为（）A．8 B．6 C．5 D．47．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD：DB＝1：3，那么S△DEC：S△DBC等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：48．如图，F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（）A． B． C． D．9．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，F是AD的中点，FG∥DE，若BC+FG＝15，则DE的长为．10．如图所示的网格是由边长为1的小正方形组成，△ABC和△DEF的顶点均在格点上，BC、EF交于点G，BC、DF交于点H．（1）请写出图中与△CFG相似的三角形：（2）GB的长是．11．如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，AN平分∠DAB，交DC于点E，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，G为MN的中点，GH⊥MN交CD于点H，且DM＝m，GH＝n．​（1）∠DCN＝．（2）线段CN的长为．（用含m，n的代数式表示）12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上．连结AD，将△ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，AE交BC边于点F．已知AC＝3，BC＝4，若△DEF为直角三角形，则△DEF的面积为．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝8，点E，F在BC上，点G是射线DC与射线AF的交点，若BE＝1，∠EAF＝45°，则AG的长为．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F，若⊙O的半径为4，AD＝3，则CF的长是．15．研究任务画出平分直角三角形面积的一条直线研究成果中线法分割法等积法BD是AC边上的中线若，则DE∥BF成果应用如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，直线EF平分△ABC的面积．①若EF⊥AC，，则AC的值为；②若BE＝CF，AE＝EF，则AC的值为．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC恰好是∠ABD的角平分线．（1）求证：△APC∽△DPB；（2）若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的长．17．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E，F分别在线段BD，AC上，连结AD，EF交于点G，∠CEF＝2∠CAD．（1）求证：△ABC∽△EFC．（2）若BE＝2DE，＝，求的值．18．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D均在格点上．（1）在图①中，的值为；（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3；②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．19．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，E，F分别是线段AB和AB的延长线上的一点，且BF＝BE，连接CE，DF交于点G，连接BG．设＝k（k＞0）．（1）当k＝1时，求CE的长；（2）在（1）的条件下，求BG的长；（3）求△DCG的面积（用含k的代数式表示）．20．如图，在△ABC中，点D是AC上的点，过点D作DE∥BC交AB于点E，AB＝3BE，过D作DF∥AB交BC于点F．（1）若BC＝15，求线段DE的长；（2）若△ADE的面积为16，求△CDF的面积．21．如图1，在矩形ABCD中，＝k，E为CD边的中点，连接AE，延长AE交BC的延长线于F点，在BC边上取一点G，连接AG，使AF为∠DAG的角平分线．（1）求证：GE⊥AF；（2）如图2，若k＝1，求的值；（3）若点G将BC边分成1：2的两部分，直接写出k的值．22．综合与实践莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片ABC，如图，AB＝AC＝5，BC＝6．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点B与点C重叠对折，得折痕AE，展开后，她把点B与点A重叠对折，得折痕DF，再展开后连接CD，交折痕AE于点O，则点O就是△ABC的重心．教材重现：如图4﹣15，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）．如图4﹣16，AE是△ABC的BC边上的中线．让我们先看看三角形的中线有什么特点．​​​​​（1）初步观察：连接AF，则AF与BF的数量关系是：