2021-2022高中数学人教版必修2作业2.3.4平面与平面垂直的性质（系列一）Word版含解析

第二章2.3基础巩固一、选择题1．平面α⊥平面β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则()A．m∥βB．m⊂βC．m⊥βD．m与β相交但不一定垂直[答案]C2．已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则()A．a⊂α B．a∥αC．a⊥α D．a⊂α或a∥α[答案]D3．(2015·合肥高一检测)空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不能确定[答案]B4．如下图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点[答案]D[解析]∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC．又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC．∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．5．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为eq\f(π,4)和eq\f(π,6).过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则ABA′B′等于()A．21 B．31C．32 D．43[答案]A[解析]由已知条件可知∠BAB′＝eq\f(π,4)，∠ABA′＝eq\f(π,6)，设AB＝2a，则BB′＝2asineq\f(π,4)＝eq\r(2)a，A′B＝2acoseq\f(π,6)＝eq\r(3)a，∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴ABA′B′＝21.6．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部[答案]A[解析]∵AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1，又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上，故选A．二、填空题7．平面α⊥平面β，直线l⊂α，直线m⊂β，则直线l，m的位置关系是________.[答案]相交、平行、异面8．三棱锥P－ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的________心．[答案]垂[解析]由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直，则有BC⊥PA，AB⊥PC，CA⊥PB，又由BC⊥PA，PH⊥BC，得BC⊥平面PAH，则BC⊥AH，同理有AB⊥CH，CA⊥BH，所以H为△ABC高线的交点，即垂心．三、解答题9．把一副三角板如图拼接，设BC＝6，∠A＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD⊥平面ACD．[证明]eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(平面ABC⊥平面BCD,CD⊥BC))⇒CD⊥平面ABC)),,,AB⊂平面ABC))⇒eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(CD⊥AB,AB⊥AC))⇒AB⊥平面ACD)),,,AB⊂平面ABD))⇒平面ABD⊥平面ACD．10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD．[解析](1)∵CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD．又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形．则BC＝DO，而AD＝3BC，∴AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．(2)证明：∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD．又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．又PA⊥PD，且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB．又PD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．能力提升一、选择题1．在空间中，下列命题正确的是()A．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αC．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βD．若直线a∥b，且直线l⊥a，则l⊥b[答案]D[解析]选项A中，若有3个交点，则确定一个平面，若三条直线交于一点，则不一定能确定一个平面，如正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1，AB，AD两两相交，但由AA12．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β[答案]C[解析]l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，A错；l∥α，α∥β⇒l∥β或l⊂β，B错；l⊥α，α∥β⇒l⊥β，C正确；若l∥α，α⊥β，则l与β位置关系不确定，D错．3．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则能够得出a⊥b的是()A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β[答案]C[解析]b⊥β，α∥β，∴b⊥α，又a⊂α，∴b⊥a.4.如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A′不与A，F重合)，则下列命题中正确的是()①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′－FED的体积有最大值．A．① B．①②C．①②③ D．②③[答案]C[解析]注意折叠前DE⊥AF，折叠后其位置关系没有改变．①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，∴点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．②BC∥DE，BC⊄平面A′DE，DE⊂平面A′DE，∴BC∥平面A′DE.③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′－FED的体积达到最大．二、填空题5.如右图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点，且∠DAB＝60°，边长为a.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成的角为θ，则θ＝________.[答案]45°[解析]如图所示，取AD的中点G，连接PG，BG，BD．∵△PAD是等边三角形，∴PG⊥AD，又平面PAD⊥平面AC，平面PAD∩平面AC＝AD，PG⊂平面PAD，∴PG⊥平面AC，∴∠PBG是PB与平面AC所成的角θ.在△PBG中，PG⊥BG，BG＝PG，∴∠PBG＝45°，即θ＝45°.6．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC．在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________.[答案](eq\f(1,2)，1)[解析]如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连接GK，∵平面ABD⊥平面ABC，又DK⊥AB，∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近AB的四等分点．所以t的取值范围是(eq\f(1,2)，1)．三、解答题7．(2015·甘肃兰州一中期末)如图，四棱锥A－BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝eq\r(2)，AB＝AC，CE与平面ABE所成的角为45°.(1)证明：AD⊥CE；(2)求二面角A－CE－B的正切值．[解析](1)证明：如图，取BC的中点H，连接HD，交CE于点P，连接AH，AP.∵AB＝AC，∴AH⊥BC．又∵平面ABC⊥平面BCDE，∴AH⊥平面BCDE，又CE⊂平面BCDE，∴AH⊥CE.又∵eq\f(HC,CD)＝eq\f(CD,DE)＝eq\f(1,\r(2))，∠BCD＝∠CDE＝90°，∴Rt△HCD∽Rt△CDE.∴∠CDH＝∠CED，∴HD⊥CE.又AH∩HD＝H，∴CE⊥平面AHD．∴AD⊥CE.(2)由(1)CE⊥平面AHD，得AP⊥CE，又HD⊥CE，∴∠APH就是二面角A－CE－B的平面角．过点C作CG⊥AB，垂足为G，连接EG.∵BE⊥BC，且BE⊥AH，AH∩BC＝H，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥CG，又BE∩AB＝B，∴CG⊥平面ABE，∴∠CEG就是CE与平面ABE所成的角，则∠CEG＝45°，又CE＝eq\r(22＋\r(2)2)＝eq\r(6)，∴CG＝EG＝eq\r(3).又BC＝2，∴∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝AC＝2，∴AH＝eq\r(3).又由△HCP∽△DEP得HP＝eq\f(\r(3),3)，∴tan∠APH＝eq\f(AH,HP)＝3.8．(2011·江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD