1第六章数列（基础卷）（解析版）

第六章数列（基础卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2022·福建·莆田一中高二期末）已知数列的通项公式为，则这个数列第5项是（

）A．9 B．17 C．33 D．65【答案】C.故选：C.2．（2022·新疆·三模（理））设为等差数列的前n项和，已知，，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C由已知可得，，解可得，故选：C.3．（2022·山东师范大学附中模拟预测）如图，在杨辉三角形中，斜线的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前项和为，则（

）A．361 B．374 C．385 D．395【答案】B根据杨辉三角的特征可以将数列继续写出到第22项：1，3，3，4，6，5，10，6，15，7，21，8，28，9，36，10，45，11，55，12，66，13，所以故选：B4．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B由等差中项的性质可得，由等比中项的性质可得，因此，.故选：B.5．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知数列为等比数列，若，为函数的两个零点，则（

）A．10 B．12 C．32 D．33【答案】B解：因为，为函数的两个零点，所以，所以或所以，当时，，，当时，，，所以，.故选：B6．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知为等差数列，，则使数列的前n项和成立的最大正整数n是（

）A．2021 B．4044 C．4043 D．4042【答案】D因为，所以和异号，因为，所以，，因为，所以，所以，所以，，所以使数列的前n项和成立的最大正整数n是4042，故选：D7．（2022·上海黄浦·二模）记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③有两个不相等的实根的是（

）．A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根【答案】C解：若方程③有不相等的两实根，则，即，故“方程③有不相等的两实根”的充要条件为：，又因为，，成等比数列，所以，即，A项：因为方程①有实根，且②有实根，所以，，即，，，无法证得，故A不正确；B项：因为方程①有实根，且②无实根，所以，，即，，，故B不正确；C项：因为方程①无实根，且②有实根，所以，，即，，，故C正确；D项：因为方程①无实根，且②无实根，所以，，即，，，无法证得，故D不正确，故选：C.8．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知数列是等差数列，且．若是和的等差中项，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】A解：因为数列是等差数列，所以是正项等比数列，又，所以，解得或-1（舍），又因为是和的等差中项，所以，则，即．所以，令，则，所以，当且仅当时，即时取等号．故选：A．二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2022·广东北江实验学校模拟预测）已知数列的通项公式为，则（

）A． B． C． D．【答案】BC由题，，故A错；，故B对；，故C对；，故D错.故选：BC10．（2022·湖南永州·三模）已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（

）A． B．C． D．、均为的最大值【答案】BD因为等差数列是递减数列，所以，，所以，，故A错误；因为，所以，故B正确；因为，故C错误；因为由题意得，，所以，，故D正确；故选：BD11．（2022·福建·莆田二中模拟预测）数列{}中，设.若存在最大值，则可以是（

）A． B．C． D．【答案】BD对于A，，当n趋于无穷大时，也趋于无穷大，故不存在最大值；对于B，，当为偶数时，，当为奇数时，，故的最大值为1；对于C，，当时，，∴

时是递增的数列，不存在最大值；对于D，即当时，，，即时，，所以是递减的数列，最大值为；故选：BD.12．（2022·江苏泰州·模拟预测）若正整数m．n只有1为公约数，则称m，n互质，对于正整数k，（k）是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数（k）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，．已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么，例如：，则（

）A．B．数列是等比数列C．数列不是递增数列D．数列的前n项和小于【答案】ABD，A对；∵2为质数，∴在不超过的正整数中，所有偶数的个数为，∴为等比数列，B对；∵与互质的数为共有个，∴又∵=，∴一定是单调增数列，C错；，的前n项和为，D对.故选：ABD．三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2022·四川广安·模拟预测（理））数列的通项公式为，若该数列的前项之和等于，则_______.【答案】设数列的前项和为，因为，所以，，解得.故答案为：.14．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知数列满足：①先单调递减后单调递增：②当时取得最小值．写出一个满足条件的数列的通项公式_________．【答案】设，则，，当，数列单调递减，当，数列单调递增，即，可得当时数列取得最小值，故答案为：15．（2022·四川成都·模拟预测（理））杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形.帕斯卡（1623-1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年.这是我国数学史上的又一个伟大成就.其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位.中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页.下图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了.该表中，从上到下，第次出现某行所有数都是奇数的行号记为，比如，则数列的前10项和为___________.第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行

1

5

10

10

5

1第6行

1

6

15

20

15

6

1【答案】2036容易发现，,归纳可得，故的前10项和为.故答案为：2036.16．（2022·江苏无锡·模拟预测）“刺绣”是一门传统手工艺术，我国已有多种刺绣列入世界非遗文化遗产名录．有一种刺绣的图案由一笔画构成，很像汉字“回”，称为“回纹图”（如图）．某刺绣工在方格形布料上用单线针法绣回纹图，共进行了次操作，每次操作在前一次基础上向外多绣一圈(前三次操作之后的图案分别如下图)．若第次操作之后图案所占面积为（即最外围不封口的矩形面积，如），则至少操作_______次，不少于；若每横向或纵向一个单位长度绣一针，称为“走一针”，如图①共走了针，如图②共走了针，如图③共走了针，则其第次操作之后的回纹图共走了______________针（用表示）．【答案】

由题意得：，令，解得：或（舍去），故至少操作5次；由图形可以看出，第1次操作之后的回纹图共走的针数为，第2次操作之后的回纹图共走的针数为，第3次操作之后的回纹图共走的针数为，第n次操作之后的回纹图共走的针数为故答案为：5，四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2022·湖北·大冶市第一中学模拟预测）已知数列的前n项和为，，，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)(1)解：由题意得：由题意知，则又，所以是公差为2的等差数列，则；(2)由题知则18．（2022·重庆·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2)(1)解：设等差数列公差为d，首项为a1，由题意，有，解得，所以；(2)解：，所以．19．（2022·河南商丘·三模（文））设为等差数列的前项和，已知，，既成等差数列，又成等比数列．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)(1)设等差数列的公差为，因为，，既成等差数列，又成等比数列，所以，，均相等且不为0，所以即解之得，，满足条件．故．(2)由（1）得，，所以．故20．（2022·全国·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，且，．(1)求数列，的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)，(2)(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得：，解得：，所以，由得：，所以，所以(2)，则①，②，两式相减得：，所以21．（2022·山东青岛·二模）已知等比数列为递增数列，，是与的等差中项.(1)求数列的通项公式；(2)若项数为n的数列满足：（，2，3，…，n）我们称其为n项的“对称数列”.例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”.设数列为项的“对称数列”，其中，，，…，是公差为2的等差数列，数列的最大项等于.记数列的前项和为，若，求k.【答案】(1)(2)或(1)设数列的公比为q，由题意知：，所以，解得或（舍），所以.(2)由题知：，，，