天津市和平区高三下学期一模试题数学

和平区20232024学年度第二学期高三年级第一次质量调查数学学科试卷本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.祝同学们考试顺利!第Ⅰ卷（选择题共45分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：•球的表面积公式，其中R表示球的半径.•如果事件A、B互斥，则.•如果事件A、B相互独立，则.一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，集合，则集合C的子集个数为（）A.1 B.2 C.3 D.42.函数的图象大致是（）A. B. C. D.3.已知等比数列的各项均为正数，若，，成等差数列，则（）A. B. C. D.4.已知a，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件5.某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（）①估计居民月均用水量低于的概率为0.25；②估计居民月均用水量的中位数约为；③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于的人数为6万；④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为20人的样本，则在用水量区间中应抽取4人.（第5题）A.1 B.2 C.3 D.46.设，，，则有（）A. B. C. D.7.已知函数，是的导数，则以下结论中正确的是（）A.函数是奇函数B.函数与的值域相同C.函数的图象关于直线对称D.函数在区间上单调递增8.若三棱台的上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表面积为的球O的表面上，，则三棱台的高为（）A. B.8 C.6或8 D.或69.设双曲线的左、右焦点分别为点，，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，的面积为，且，若双曲线C的实轴长为4，则双曲线C的方程为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共105分）注意事项：1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效.2.本卷共11题，共105分.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）10.i为虚数单位，复数，则______.11.在的二项展开式中，的系数为______（请用数字作答）.12.为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X的数学期望为______；党员甲能通过初试的概率为______.13.圆与抛物线的准线相交于A，B两点.若，则抛物线的焦点坐标为______.14.青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称.（i）请用、表示______；（ii）请写出的取值范围______.图一图二第（14）题15.若函数（其中）在区间上恰有4个零点，则a的取值范围为______.三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题满分14分）在中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，其中，，且.（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值.17.（本小题满分15分）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点E，F分别是棱，的中点，点M是线段上一点.第（17）题（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值；（IⅢ）若直线与平面所成的角的正弦值为，求此时的长度.18.（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为点F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段的中点为T，直线与椭圆C交于两点M，N，证明：.19.（本小题满分15分）若数列满足，其中，，则称数列为M数列.（Ⅰ）已知数列为M数列，当，时，（i）求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式；（ii），求.（Ⅱ）若是M数列，且，证明：存在正整数n，使得.20.（本小题满分16分）已知函数，，（，e为自然对数的底数）.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设在处的切线方程为，求证：当时，；（Ⅲ）若，存在，使得，且，求证：当时，.和平区20232024学年度第二学期高三年级第一次质量调查数学学科试卷参考答案及评分标准一、选择题（分分）123456789DBABDBDCC二、填空题（分分）10.. 11.. 12.；.13.. 14.；.15..三、解答题（共75分）16.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为，由正弦定理，所以，……1分所以，解得，所以.……4分（Ⅱ）由余弦定理，……6分，所以.……8分（Ⅲ），.……12分所以.……14分17.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）证明：因为四棱雉的底面是正方形，平面，所以以点D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，……1分则有，，，，，，.因为，，设平面的法向量为，则，令，则，……3分又因为，则，即，……4分由平面，所以平面得证.（Ⅱ）设平面与平面的夹角为，平面的法向量，平面的法向量，……5分所以，，则平面与平面的夹角的余弦值为.……8分（Ⅲ）设长度为，，设直线与平面所成角为，已知，，……10分，……13分求得，则此时长度为1.……15分18.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）依题意，，解得所以椭圆C的方程为.……4分（Ⅱ）设直线l的方程为，设点，，，联立方程组，整理得.……6分，即，即且.……7分由韦达定理得，所以中点，所以直线方程为，设点N在第二象限，……10分，联立方程组，求得，，……11分所以，……13分……14分……15分所以.19.（本小题满分15分）解：（I）（i）证明：由，可得，……2分所以，数列是首项为公差为1的等差数列，所以，，……4分又因为，所以.……5分（ii），，……6分，设，，，，……8分所以，，，……9分所以，.……10分（Ⅱ）若是M数列，有，故，且，即……12分，……14分则，由随n的增大而增大，法（一）若是M数列，则且，且时，，故对任意的，总存在正整数n使，即总存在正整数n，使得.法（二）若，可得，因为，故对任意的，总存在正整数n使，即总存在正整数n，使得.……15分20.（本小题满分16分）解：（Ⅰ）因为，令，即，，……1分所以在单调递增，单调递减.……3分（Ⅱ）因为，所以，而，……4分所以在点处的切线方程为：，……5分当时，令，，法（一）：令，，则时，，所以在上单调递增，，即，所以在上单调递增，，所以.法（二）易证，所以，，所以，所以在时恒成立，即时，得证.……8分（Ⅲ）证明：由题意可知……9分因为时，，令，，所以在时单调递减，所以，所以在