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文档简介
2023年江苏省连云港市高三上学期期末数学试题及答案
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1,设全集U=R,集合"=仲<、<4},集合8={x|0<x<2},则集合/n(”)=
()
A(1,2)B.(1,2]C.(2,4)D.[2,4)
【答案】D
【解析】
【分析】利用补集和交集的定义可求得结果.
【详解】由已知可得令3={%,<0或%»2},因此,Zc%8={x[2<x<4},
故选:D.
2.已知复数z满足z(l+i)=4i,则目=()
A.2B.41C.20D.472
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法化简复数z,利用复数的模长公式可求得结果.
4i4i(l—i),、
【详解】由已知可得z=-=7■士~=2i(l—i)=2+2i,因此,
|z|=V22+22=2^/2.
故选:C.
3.不等式X-4〉0成立的一个充分条件是()
X
A.x<—1B.x〉—1C.—1<x<0D.
0<x<1
【答案】C
【解析】
【分析】首先解不等式X-工〉0得到x>l或-l<x<0,再根据充分条件定理求解即可.
X
1X1_1
【详解】x——>0n----->Onx(x+l)(x—l)>Onx〉l或一l<x<0,
XX
因为{%|0<%<1}(3卜国1或一1<%<0},
所以不等式X-L〉0成立的一个充分条件是0<X<1.
X
故选:C
4.某地元旦汇演有2男3女共5名主持人站成一排,则舞台站位时男女间隔的不同排法共
有()
A.12种B.24种C.72种D.120种
【答案】A
【解析】
【分析】先排列2名男生共有另种排法,再将3名女生插入到3名男生所形成的空隙中,
共有种排法,分步乘法原理可求得答案.
【详解】解:先排列2名男生共有另种排法,再将3名女生插入到3名男生所形成的空隙
中,共有种排法,
所以舞台站位时男女间隔的不同排法共有石川=12种排法,
故选:A.
5.已知向量a=(x,l)[=(2,y),c=(l,-2),且£//",BJ_",则性一刃卜()
A.3B.V10C.VT1D.2G
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量共线和向量垂直的坐标表示求出x,为再求出2Z-B的坐标计算作答.
【详解】向量Z=(x,l)》=(2/)1=(l,—2),由£//"得:—2x=l,即》=—
由得:2-2V=0,即y=l,于是得Z=(—g,l),1=(2,1),2H(—3,1),
所以a_可="(_3)2+12=国
故选:B
,V2
6.已知抛物线C1:/=2px{p>0)的焦点/为椭圆。2:J+=1(。>力〉0)的右焦点,
ab2
且G与G的公共弦经过尸,则椭圆的离心率为()
V3-1D,也
A.V2-1B.屋r
22
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件求出椭圆两焦点坐标,再求出G与。2的公共点的坐标,借助椭圆定
义计算椭圆长轴长即可作答.
【详解】依题意,椭圆G的右焦点“',0),则其左焦点/(-go).
设过E的G与。2的公共弦在第一象限的端点为点R由抛物线与椭圆对称性知,F户,x轴,
X=P„
直线件方程为:X=旦由<2得点P(Lp),于是得厂|=夕,
22
y=2Px2
在APPF中,ZPFF'=900-IFF'\=p,贝!||「厂’|=眉,因此,椭圆a的长轴长
2a=\PF'\+\PF\=(y/2+V)p,
\FF'\pr
所以椭圆的离心率e=,八、=V2-1.
2a(J2+1)p
故选:A
7.如图,一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内,容器与地面所成的
角为30。,液面呈椭圆形,椭圆长轴上的顶点“,N到容器底部的距离分别是12和18,
则容器内液体的体积是()
A.15万B.36"C.45〃D.48〃
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件通过作垂线,求得底面圆的半径,将液体的体积看作等于一个底面半径为
百,高为(12+18)的圆柱体积的一半,即可求解答案.
【详解】如图为圆柱的轴截面图,过M作容器壁的垂线,垂足为F,
椭圆长轴上的顶点M,N到容器底部的距离分别是12和18,
故NF=18—12=6,
在RtAMFN中,〃R=NRxtan30°=2百,即圆柱的底面半径为G,
所以容器内液体的体积等于一个底面半径为百,高为(12+18)的圆柱体积的一半,
即为;x〃x(J§)2x30=45万,
故选:C.
2022
8.记[可表示不超过实数X的最大整数,记4=[log8〃],则的值为()
1=1
A.5479B.5485C.5475D.5482
【答案】B
【解析】
【分析】分别使0Vlog8〃<l、lVlog8〃<2等,然后求和即可.
【详解】由题意可知,当1<〃<8时,%=0;
当8<〃<64时,%=1;
当64«〃<512时,%=2;
当512W〃<4096时,an=3,
2022
所以Zq=7x0+56x1+448x2+1511x3=5485.
i=l
故选:B
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题
目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
(1丫
9.已知x——产的展开式中共有7项,贝U()
、2Jx,
A.所有项的二项式系数和为64
B.所有项的系数和为1
C.二项式系数最大的项为第4项
D.有理项共4项
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意可得〃=6,对于A,所有项的二项式系数和为2",对于B,令x=l可求出
所有项的系数和,对于C,由二项式展开式的系数特征求解即可,对于D,求出二项式展开
式的通项公式,可求出所有的有理项
【详解】因为x—-广的展开式中共有7项,
、2vx)
所以〃=6,
对于A,所有项的二项式系数和为26=64,所以A正确,
对于B,令x=l,则所有项的系数和为L-工1=—,所以B错误,
I2;64
对于C,由于二项式的展开项共有7项,所以二项式系数最大的项为第4项,所以C正确,
X2,
当r=0,2,4,6时,展开式的项为有理项,所以有理项有4项,所以D正确,
故选:ACD
10.将函数/(x)=/sin(3+0)的图象向左平移七个单位长度后得到歹=g(x)的图象
6
B./(x)在区间仁田上单调递增
C.方程/(x)=l在(0,2万)内有4个实数根
D./(x)的解析式可以是/(x)=2sin12x_:]
【答案】BC
【解析】
【分析】利用图象可求得函数g(x)的解析式,利用函数图象平移可求得函数/(x)的解析
式,可判断D选项;计算/(0)可判断A选项;利用正弦型函数的单调性可判断B选项;当
xe(O,2〃)时,求出方程/(x)=l对应的2x-3-可能取值,可判断C选项.
4(S77"TT1
【详解】由图可知,函数g(x)的最小正周期为7=]五+]=",,。=71=2,
A=g(x)=2,
°\/max
5/r2sinf-^+^j=2,可得sin[5票;r+o
所以,g(x)=2sin(2x+夕),则g=1,
~n6
57rTTTC
所以,----\-(p-2k7i+—[keZ),得°=2左乃---(左EZ),
623
<三,则°二一所以,g(x)=2sin(2x—?1,
因为陷
将函数g(x)的图象向右平移9个单位可得到函数/(x)的图象,
6
故/(x)=2sin=2sin|2x--
I3
2%
对于A选项,因为/(0)=2sinwO,故函数/(x)不是奇函数,A错;
、t,万n,7i2万nn
对于B选项,当一<x<一时,——<2x----<0,故函数/(x)在区间上单调
6333Z'5
递增,B对;
由/(%)=2sinf2x-—1,可得sinf2x—
对于C选项,
2
、“/\,In,2兀10%仁…c2兀In5TT13%17^|.
当16(0A,n2»)时,----<2x----<----,所以,2x——,——,—--,1r»C对;
')333316666J
对于D选项,/(x)=2sin^2x-*2sin^2x-y,D错.
故选:BC.
11.在平面直角坐标系xQy中,若对于曲线>=/(x)上的任意点尸,都存在曲线y=/(x)
上的点。,使得丽・丽=0成立,则称函数/(x)具备“⑤性质”.则下列函数具备“⑤
性质”的是()
A.y=x+lB.y=cos2x
Inx丫"
C.y=D.y=Q—2
x
【答案】BD
【解析】
【分析】四个选项都可以做出简图,对于选项A和选项C,可在图中选取特殊点验证排除;
选项B、选项D可在图中任意选择点尸,观察是否存在点。,使得丽•丽=0成立,即可
做出判断.
成立,那么点。落在直线y=x上,而此时y=x+i与y=x两直线是平行的,不存在交点,
故此时不满足在y=x+i上存在点Q,使得丽•丽=0成立,故选项A错误;
选项B,如图所示,曲线y=cos2x,对于曲线^=cos2x上的任意点尸,都存在曲线
y=cos2x上的点。,使得0尸・。0=0成立,故选项B正确;
X
Inv
那么点。落在直线>=0上,而此时丁=—与歹=0两曲线不存在交点,故此时不满足在
x
InY
y=——上存在点Q,使得丽•丽=0成立,故选项c错误;
x
选项D,如图所示,曲线y=e“-2,对于曲线;/=d-2上的任意点尸,都存在曲线
了=二-2上的点。,使得丽•丽=0成立,故选项D正确;
故选:BD
12.如图”一张长、宽分别为亚,1的矩形纸,A,B,C,D分别是其四条边的中点.现将其
沿图中虚线折起,使得耳,巴,巴四点重合为一点P,从而得到一个多面体,则()
A.在该多面体中,BD=4^
B.该多面体是三棱锥
C.在该多面体中,平面840_L平面BCD
D.该多面体的体积为工
12
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用图形翻折,结合勾股定理,确定该多面体是以4瓦。,。为顶点的三棱锥,利
用线面垂直,判定面面垂直,以及棱锥的体积公式即可得出结论.
【详解】由于长、宽分别为行,1,
4BCD分别是其四条边的中点,
现将其沿图中虚线折起,
使得4,巴,々四点重合为一点P,且尸为RD的中点,
从而得到一个多面体ABCD,
所以该多面体是以4民。,。为顶点的三棱锥,故B正确;
AB=BC=CD=DA=—>AC=BD=1,AP=CP=—>故A不正确;
22
由于(乎)2+(曰)2=1,所以NP1CP,
BP1CP,可得平面ZCP,
则三棱锥4—BCD的体积为LxxS4rp=-xlxlx—x—=—,故D正确;
3"b322212
因为4PLAP,APLCP,所以4Pl平面6c0,
又4Pu平面840,可得平面5401平面BCD,故C正确.
故选:BCD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
__UULUUJI
13.已知直线/:x+y-加=0与圆x+y=4交于4吕两点,O为原点,且05=2,
则实数加的值为.
【答案】±J^
【解析】
【分析】联立直线与圆,再运用韦达定理即可求解.
x+y-m=0、、/、,、
【详解】联立{22=>2x-2加工+加一4=0,设4(占,一再+加),8(工2,一々+加),
x-\-y=4
2
ntIm—4
贝Uxrx2=---,xx+x2=m
2
因为OAOB-2XJX2-m(x1+x2)+m=2,
所以有加2—4—加2+加之—2,解得m=土Jd-
故答案为:土
14.设函数/(x)的定义域为R,满足/(x+1)=2/(%),且当XG(O,1]时,/(x)=—,
则/[g)的值为.
【答案】-2
【解析】
7
【分析】根据/(x+l)=2/(x),将/转化为/I,然后代入已知的解析式可求得
答案
【详解】因为函数/(x)的定义域为R,满足/(x+l)=2/(x),且当xe(O,l]时,
f(x)=x2-x,
75
所以/
2
24t+i
3
=4/
4/91
=8/I
=8x
故答案为:-2
3n
15.已知sin[a+w)=ae兀)则tanIa~~^
512
【答案】-7
【解析】
【分析】根据同角三角函数基本关系求出cosa+£71、tana+£的值,再利用两角差
6
兀)兀71
的正切公式计算tan[a-'■卜tana+———即可求解.
6)4
(7711]712兀7兀
【详解】因为兀J,所以a+q£
2
「i•兀3八〜…兀2兀
因为sin[a+5J=《>0,所以0+不£1-^-,兀
(兀),兀3
tanccH——tan-....1
“…,兀,兀兀I6j44
所以tanex----tanexH-----
I12(64,(兀、71,3
1+tana-\——tan—1—x1
I644
故答案为:-7.
16.已知一个棱长为。的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动,若圆锥的底面半径
为2,母线长为4,则。的最大值为.
_41
【答案】一##1—
33
【解析】
【分析】根据给定条件求出圆锥的内切球半径,再求出此球的内接正方体的棱长即可作答.
【详解】正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动,则当正方体棱长a最大时,正方体
的外接球恰为圆锥的内切球,
底面半径为2,母线长为4的圆锥轴截面正△S4B的内切圆。是该圆锥内切球。截面大圆,
如图,
正△S4B的高5。'=@£4=2有,则内切圆。的半径即球半径氏=150'=述,
233
于是得球。的内接正方体棱长a有:岛=2R=吟,解得:«=1
4
所以。的最大值为一.
3
4
故答案为:一
3
【点睛】关键点睛:涉及与旋转体有关的组合体,作出轴截面,借助平面几何知识解题是解
决问题的关键.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在①=A^CCOSB;②2S“Be=W1BA.BC;③
tarM+tanC+G=J§tan4tanC,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并进行
解答.问题:在中,内角4民。的对边分别为见“c,且__________.
(1)求角3;
(2)若。是锐角三角形,且。=4,求。的取值范围.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【答案】(1)答案见解析
⑵(2,8)
【解析】
【分析】(1)选择①,运用正弦定理及同角三角函数关系求解;选择②,运用面积公式及同
角三角函数关系求解;选择③运用正切两角和公式及诱导公式求解.
(2)根据正弦定理及正切函数的单调性求解
【小问1详解】
选择①:条件即bsinC=JJccosB,由正弦定理可知,sinBsinC=JIsinCcosB,
在中,B,C,所以sin8w0,sinCw0,
所以sin8=gcos3,且cosBwO,即tan8=6,所以8
选择②:条件即2xgacsinB=AACOCOSB,即sinB=JJcosB,
在中,Be(O,〃),所以sinBwO,贝IJCOSBHO,
一i—71
所以tanB,所以3=1.
选择③:条件即tanA+tanC=拈(tanAtanC-l),
〜…―/,一、tanA+tanCr-
所以tanB=-tan(/+C)=-------------=J3,
1-tanAtanC
在一BC中,8,Ce(O,»),所以5=q.
【小问2详解】
712万
由(1)知,B=—,所以Z=〃-5—C=——C,
33
4sinf--C^lr-
由正弦定理可知,csinZ13)
a--------------------------------------------F2
sinCsinCtanC
0<C<-
79jrjr
由一BC是锐角三角形得,\;所以一<c<一.
„In7162
Q<AA=----C<—,
[32
所以tan。〉理,所以2<a<8,故。的取值范围为(2,8).
18.已知数列{4}满足%=3,tz2=15,an+2=5(2,1+1-4an.
(1)设求数列也}的通项公式;
(2)设g=10-log2(4+l),求数列{,」}的前20项和乙.
【答案】(1)〃=3x4"
(2)&=260
【解析】
【分析】(1)对已知的式子变形得%+2—%+1=4(%+「4),贝114+1=4",从而可得数列
也}是以4为公比的等比数列,进而可求出也}的通项公式;
(2)由(1)求出与,从而可求出c“,进而可求出50
【小问1详解】
由4+2=5a“+i—4%可知,an+2-an+l=4(《用—%),即bn+x=44,
由4=3,%=15可知,bx=a2—ax=12,
所以{〃}是以12为首项,4为公比的等比数列,
所以也}的通项公式为b“=12x4〃T=3X4".
【小问2详解】
由(1)知,an+i-an=3x4",
所以%=(%+_%_2)+一,+(出_%)+%
H27
=3(4^+4-+---+4+1)==4"-1,»>2»
又%=3符合上式,所以%=4"-1,
所以C“=10—log24"=10—2〃,
所以||C(;||的前20项和T20=8+6+4+2+0+2+44—•+30=260.
19.如图,在直三棱柱44cl中,AB=AC=AAX,AXBLBXC.
----------►---------►7T
(2)设5M=若二面角4—MC—G的大小为7,求
【答案】(1)证明见解析.
(2)X——
2
【解析】
【分析】(1)根据线面垂直的性质和判定可得证;
(2)以{彳瓦就,而}为正交基底建立空间直角坐标系Z-xyz,利用面面角的空间向量求
解方法,建立方程求解即可.
【小问1详解】
证明:在直三棱柱4BC—4BG中,441,平面45。,
又N8,ZCu平面所以24,
又AB=AA「所以四边形是正方形.连接/耳,则
又4B上BC,4B]c8C=8],48i,8|Cu平面48C,所以力出,平面48(,
又/Cu平面Z5C,所以48LZC,
又AAX±AC,ABnAA,=A,AB,AAiu平面ABBXAX,所以/C,平面ABBXAX,
又Z8u平面288/,所以451ZC.
【小问2详解】
解:以{彳瓦",石}为正交基底建立空间直角坐标系/-孙z,设78=1,
则8(1,0,0),C(0,1,0),4(0,0,1),旦(1,0,1),
设M(l,0,2),则猛=(1,0,2_1),京=(0,1,_1),率=(0,0,_1),鸵=(_1,1,_1),
设平面4MC的法向量为£=(x,y,z7
m-A.M=0,fx+z(2-l)=0,\x=z(l-2),
则《一L'即{I)得{l,,取z=l,则平面4MC的一个法
m-A[C=0,[y-z=0,[y=z,
向量为浣=(1—41,1),
n-B,B=0,~-
考虑向量”=(1,1,0),满足<—所以〃=(1,1,0)是平面8CG用的一个法向量,
n-BxC-0,
jr
因为二面角A—MC—C1的大小为一,
4
m-n|2-V2
所以cos77解得X=
m\\nV2X7(1-2)2+222
20.为了提高生产效率,某企业引进一条新的生产线,现要定期对产品进行检测.每次抽取
100件产品作为样本,检测新产品中的某项质量指标数,根据测量结果得到如下频率分布直
万图.
频率
0.33--------------------------------
展二二二二
O9
O8
0V16.517.518.519.520.521.522.523.5指标数
(1)指标数不在17・5和22.5之间的产品为次等品,试估计产品为次等品的概率;
(2)技术评估可以认为,这种产品的质量指标数X服从正态分布N(〃,1.222),其中〃近
似为样本的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),计算〃值,并计算产品
指标数落在(17.56,22.44)内的概率.
参考数据:X〜N,,6,则尸(〃—cr<X<〃+(?)=0.6826,
尸(〃—2b<X<〃+2a)=0.9544.
【答案】(1)0.04
(2)必=20,0.9544
【解析】
【分析】(1)由频率和为1求参数。,结合频率直方图求在17.5和22.5的频率即可得出结
果.
(2)按平均数公式求解〃,由X~N(20,1.222),根据公式对比计算即可得出结果.
【小问1详解】
由1X(a+0.09+0.22+0.33+0.24+0.08+a)=1,解得a=0.02,
样本中指标数不在17.5和22.5之间的频率为0.02x(l+l)=0.04,
所以产品为次等品的概率估计值为0.04.
【小问2详解】
依题意
//=17x0,02+18x0.09+19x0.22+20x0.33+21x0.24+22x0.08+23x0.02=20.
所以X~N(20,L222),
所以P(17.56<x<22.44)=P(20-2x1.22<x<20+2x1.22)=0.9544.
2
21.已知函数/(x)=Inx,g(x)-ax+----5.
x
(1)证明:/(x)<Vx;
(2)若函数/(x)的图象与g(x)的图象有两个不同的公共点,求实数。的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;
(2)(0,3).
【解析】
【分析】⑴构造函数尸(x)=lnx-利用导数求得E(x)max<0,可证得所证不等式
成立;
(2)由/(x)=g(x)可得3—2,构造函数〃(回=出吧—之,其中x>0,
XXXXX
问题转化为直线V=。与函数〃(x)的图象有两个交点,利用导数分析函数/z(x)的单调性与
极值,数形结合可得出实数。的取值范围.
【小问1详解】
解:要证/(x)<4,即证:当xe(0,+8)时,不等式Inx—4<0恒成立.
=IIIX-A/X,则/'(%)=工--^==-—―,
x2-x/x2x
故当0<x<4时,尸(x)〉0,R(x)单调递增;
当x>4时,Fr(x)<0,R(x)单调递减.
则尸(X)max=/(4)=拈4-2<0,故f(X)<G.
【小问2详解】
InYS)xInx+5x-2
解:由/(x)=g(x)可得a=——+----w
XXX
S+1nx2
构造函数〃(x)=--------「其中x>0,
XX
则”+皿+黑必3,
当0<x<l时,4-4x>0,tax<0,贝!(尤)>0,此时函数/z(x)单调递增,
当x>l时,4-4x<0,lnx>0,则/z'(x)<0,此时函数〃(x)单调递减,
所以,人⑺111ax=力⑴=3,
令0(x)=xlnx+5x—2,则当x>l时,>5x-2>0,
2
当0<x<一时,0(x)<5x-2<O,故存在不时,使得0(%)=0,即力(玉))=0,
5
作出函数〃(x)与V=。的图象如下图所示:
因此,实数。的取值范围是(0,3).
【点睛】方法点睛:利用导数解决函数零点问题的方法:
(1)直接法:先对函数求导,根据导数的方法求出函数的单调区间与极值,根据函数的基
本性质作出图象,然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题,突出导数的工具作用,体
现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用;
(2)构造新函数法:将问题转化为研究两函数图象的交点问题;
(3)参变量分离法:由/(x)=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线V=a与
函数y=g(x)的图象的交点问题.
22(5
22.已知
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