山东省泰安市2022-2023学年高一年级下册期末数学含解析

高一数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.若复数z满足z0+i）=l一”。为虚数单位），则z在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z,再根据复数的几何意义判断即可.

【详解】因为z(l+i)=l—2i,

l-2i(l-2i)(l-i)l-i-2i+2i213.

所以z---------1

1+i-(l+i)(l-i)-222

则z在复平面内对应的点为（-，位于第三象限.

故选：C

2.已知尸（A）=0.5,P（B）=0.3,P（AB）=0.2,则P（A5）=（）

A.0.5B.0.6C.0.8D.1

【答案】B

【解析】

【分析】依题意根据P（43）=P（A）+P（8）—P（AB）计算可得;

【详解】解：因为P（A）=0.5,P（B）=0.3,P（AB）=0.2

则P（AB）HP（A）P（B）,所以事件A与事件B不相互独立，

..尸(A3)=尸(A)+P(B)_尸(A5)=0.5+0.3-0.2=0.6.

故选：B

3.如图，某圆柱侧面展开图的斜二测直观图为平行四边形A'3'C'。'，已知

A'OJB'O'UOE-C'ETD'E'MTI,则该圆柱的体积为()

A.2/B.2兀2C.兀4D.兀2

【答案】B

【解析】

【分析】利用斜二测画法得到原图矩形ABC。中，筋=3。=2兀，从而求出圆柱的高，底面半径，从

而求出圆柱的体积.

【详解】由斜二测画法得，在原图矩形ABC。中，AB=BC=2n,所以该圆柱的高为2兀，底面半径为

27r

—=1,故该圆柱的体积为兀X2兀=2兀2.

271

故选：B

4.已知加，〃是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，下列说法正确的是()

A.若加〃a,〃ua,则/篦〃〃B.若〃？〃“，w_La,则〃J_a

C.若加_L〃，加〃a,则〃〃aD.若a_L尸，加_La,则加〃尸

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间线面位置关系依次分析各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，若“〃a,〃ua,则小〃〃或异面，故A选项错误；

对于B选项，若m〃n,mVa,则〃_La,故B选项正确；

对于C选项，若加_1_〃，加〃。，则〃//a或〃ua或相交，故C选项错误；

对于D选项，若。，/?,mla,则加〃尸或机u〃，故D选项错误；

故选：B

5.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，参保险

种比例定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.已知该保险公司对5个险

种的参保客户进行抽样调查，得出如上统计图例，则以下四个选项错误的是（）

8%254周岁

参保人数比例

A.18~29周岁人群参保总费用最少

B.30周岁以下的参保人群约占参保人群的20%

C.54周岁以上的参保人数最少

D.丁险种更受参保人青睐

【答案】A

【解析】

【分析】根据统计图表一一分析即可.

【详解】对于选项A,由扇形统计图及折线图可知，8%x6000<20%x4000,

故不小于54周岁人群参保总费用最少，故A错误；

对于选项B,由扇形统计图可知，30周岁以下参保人群约占参保人群的20%,故B正确；

对于选项C,由扇形统计图可知，54周岁以上的参保人数约占8%,人数最小，故C正确；

对于选项D,由柱状图可知，丁险种更受参保人青睐，故D正确；

故选：A.

6.抛掷一枚质地均匀的骰子2次，甲表示事件”第一次骰子正面向上的数字是2"，乙表示事件“两次骰

子正面向上的数字之和是5"，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7"，则（）

A.甲乙互斥B.乙丙互为对立C.甲乙相互独立D.甲丙相互独立

【答案】D

【解析】

【分析】先根据古典概型的概率公式分别求出三个事件的概率，再利用互斥事件、对立事件以及事件的

独立性定义P（AB）=P（A）P（3）判断各选项的正误即可.

【详解】由题意可知，先后抛掷两枚骰子出现点数的所有可能情况为36种，

甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”包含的基本事件有：

（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,则片=提=:；

乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5”包含的基本事件有：

（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）,则鸟=与=1

丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”包含的基本事件有：

（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）,则4=三=:；

366

对于A,甲乙有可能同时发生不是互斥事件，A错误；

对于B,除了乙丙以外还有其他事件发生不是对立事件，B错误；

对于C,甲乙同时发生的概率为4=上7［鸟，C错误；

对于D,甲丙同时发生的概率为巴=力=46，D正确.

故选：D.

7.已知口=1,分），a1（a+b］,则向量。在向量〃上的投影向量为（）

A.（一1,一6）B.（-A/3,-1）C.与D.一；，-乎

\/\/

【答案】D

【解析】

【分析】先算W，再求与向量b同向的单位向量和a在。上的投影，然后由投影向量定义可得.

1-1,一bA应、

【详解】由题知W=Jl+3=2,与向量力同向的单位向量为忖=（］，5-）

因a_L（a+h）,所以+=&-+a./?=1+2cos〈a,6〉=0,得cos〈a,/?〉=-g

所以向量a在向量匕上的投影为14cos〈a,。〉=—；,

所以向量a在向量》上的投影向量为-臬，刍=（」「当

22244

故选：D

8.已知正四面体A8CO的体积为26，E为棱AB的中点，球。为该正四面体的外接球，则过点E的

平面被球。所截得的截面面积的最小值为（）

99

加

兀

-兀-

A.4471D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，根据正四面体的体积求出棱长和正方体的边长，再利用正方体的体对角线等于外接球

的直径，即可求出球的半径R,当过点E的截面到球心。的距离最大为4=迈时，截面圆的面积达最小

2

值，最后利用球的截面的性质求出截面圆的半径，即可求出截面圆的面积最小值.

【详解】如图所示，球。为正四面体ABC。的外接球，即为正方体的外接球，

正四面体ABCQ体积为2n，

设正四面体ABC。的棱长为血则正方体的棱长为。，

所以a，—4x—x—xa~xa=2>/6,解得a=，

32

设正四面体ABC。的外接球的半径为A,则(2R『=(V6)2+(V6)2+(V6)3,

372

基底R=

因为E为棱A8的中点，过点E作其外接球的截面，

当截面到球心。的距离最大值时，截面圆的面积达最小值,

此时球心。到截面距离等于正方体棱长的一半，即d=迈,

2

可得截面圆的半径为：r=yjR2-d2=5

所以截面圆的面积最小值为：5=兀/=(6『兀=3兀.

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设复数z=L—则下列说法正确的是()

22

A.5的虚部是也i

2

B.z+z=|z|

C.复平面内z和2分别对应的两点之间的距离为1

D.z2+z=0

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A,根据复数虚部的定义判断，对于B,通过计算判断，对于C,利用两点间的距离公式分

析判断，对于D,通过计算判断.

【详解】对于A,由z=L-且i，得1=工+立i，所以1；的虚部为走，所以A错误，

22222

0_［+j_立］=1，所以Z+彳=同，所以

对于B,因为z+5=g+与i=1'|z|=j

⑵（2J

B正确，

和C百〕

对于C,因为平面内z和N分别对应的点分别为

（22J122J

所以这两个点间的距离为，>工一工］+（一也一走〕=g

所以C错误，

卜221122）

6工c,-（1君•丫161百.3.21万

对于D,因为z-+z=-----1+-+——1=-----i+—r+—+—i=0,所以D正确，

^22J2242422

故选：BD

10.已知函数〃x）=Asin（2x+°）（A>0,0<°<7t）的最大值为3,且/（X）的图象关于直线x=5对

6

称，则下列说法正确的是（）

A.函数“X）的最小正周期为2兀B./-=-

C.函数/（x）的图象关于点［一1,。］对称D.函数“X）在兀兀

上单调递减

62

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据函数的性质求出A、。，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.

【详解】因为/(x)=Asin(2x+o)(A>O,O<0<7t)的最大值为3,所以A=3,

又/(x)的图象关于直线％=工对称，所以2x'+°=&+Ai,keZ,所以9=2+桁，keZ,

6626

因为0<0<兀，所以9=百，所以〃x)=3sin(2x+2],则函数〃x)的最小正周期丁===兀，故A

6\6J2

错误；

f停)=3sin〔2x久卜35虫+£|=3冶=|,故B正确；

/(-1=3sin(->看)=3sinO=O,所以/(x)关于(一意,0)对称，故C正确；

7C71I,c兀717KJT371

当XE-，贝！J2xHG-,—因为y=sinx在上单调递减,

62626

兀7C

所以函数“X)在上单调递减，故D正确；

故选：BCD

11.已知点尸是-ABC所在平面内一点，且AP=2xAB+yAC,x,yeR,则下列说法正确的是

()

A.若x=y=」，则点P是边8c的中点

2

B.若点尸是边8c上靠近B点的三等分点，则

*3

C.若2x+y=2,则PBC与ABC的面积相等

D.若点P在8C边中线上，且2x+y=g,则点尸是二ABC的重心

【答案】BC

【解析】

【分析】根据平面向量线性法则及共线定理判断即可.

【详解】对于A：当x=y=4，则AP=AB+，AC,

22

1・1

即-即3尸=/AC,所以8P〃AC，故A错误；

对于B：若点尸是边8c上靠近8点的三等分点，所以8尸=：BC,

所以AP=A8+6P=AB+—BC=AB+—（AC—AB）=-AB+—AC,

33、>33

又AP=2xA8+yAC,且48、AC不共线，所以x=y=；,故B正确；

对于C：若2x+y=2,则y=2-2x,

所以AP=2xAB+yAC=2xAB+（2-2x）AC,

如图延长AB到点。使得4?=%>,延长AC到点E使得AC=CE,则AO=2A8，AE=2AC>

所以AP=xAO+（l-x）AE,所以。、P、£；三点共线，

又为三角形ADE的中位线，所以A、P到BC的距离相等，所以5Ase=Spsc，故C正确;

对于D：取8c的中点"，所以AM=；A8+；4C,

又点P在3c边的中线上，设AP=/IAA/，

'2111

又AP=2xA3+），AC,所以J,又2x+y=—，所以％=—,即AP=—AM,

2x=-2222

I2

此时P为AM的中点，则点P不是JRC的重心，故D错误；

故选：BC

12.如图，在直三棱柱ABC-AgG中，已知NAC8=9()o,AC=8C=CG=2,E为4G的中点,

过AE的截面与棱B4,4G分别交于点尸，G,则下列说法正确的是（）

A.三棱锥A-AEF的体积为定值

B.线段C|G长度的取值范围是04

C.当点尸与点B重合时，四棱锥C—AEEG的体积为2

D.存在点尸，使得

【答案】AC

【解析】

（分析】延长FE交CC、延长线于H,连接A"4G=G，过点£作EM_LA4交A£于点M,根

据匕-=%-AAF及锥体的体积判断A;用BF长表示GG长并求出范围判断B；利用割补法求出体积

判断C；取A片上靠近点瓦的四等分点M,依题意只要LAM即可，推出矛盾，即

可判断D.

【详解】在直三棱柱ABC-4与£中，ZACB=90°,AC=BC=CC1=2,E为8c的中点，有

AB=2及，

延长EE交CC延长线于，，连接A”AG=G,如图1,令5尸=xe[0,2],

于是光=tanNHEq=tan/FEB1=m，即"G=%，由GG//AC,得空=旦，即

C,EB、EACHC

x+2

四棱锥C—AFEG即C-ABEG的体积：

=

^C-ABEG^E-ACB+旌-ACG=§S48c'BB1+—5ACC-EC\

—x—X2X2X2H—x—x2x2xl=2,故C正确；

3232

对于D：取44上靠近点功的四等分点M,又A可知A"即AE在平面A844内的射影,

要使4FJ.AE,只要A/J,AM即可,

若设ABAM^I,则/必1M+NAM/=90°,又N4AM+NA"/=9O°,

4MB、F

所以NE4,M=N41AM,所以一AA"SA耳尸，得则4尸=3,

AAt4四

所以不存在点尸，使得AFLAE,故D错误;

当

F

B

故选：AC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.2022年2月20日晚，备受瞩目的第24届冬季奥运会在北京圆满落幕.这是一场疫情肆虐下的体育盛

会，是一场团结、友谊、奋进、拼搏的盛会，是一场充分体现中华民族文化自信的盛会.筹备期间，某

大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者中选出24名志愿者参与

冬奥会的志愿服务工作.已知大一至大三的青年志愿者人数分别为50,40,30,则按分层抽样的方法，

在大一青年志愿者中应选派人.

【答案】10

【解析】

【分析】根据分层抽样按比例抽取计算即可

【详解】由题意，在大一青年志愿者中应选派24xk^^=l°人

故答案为：10

14.已知。是第三象限角，且cos8=—巫，则tan28的值是.

10

3

【答案】一一##-0.75

【解析】

【分析】根据同角三角函数关系式求得tan。的值，再根据正切二倍角公式求得tan2。的值.

【详解】因为。是第三象限角，且cos®=-®，

10

所以sin。=-71-cos20=-巨,则tan0-包g=3,

10cos。

gicn2tan®2x33

所以tan20=------=——-=一一.

1-tan2^1-324

3

故答案为：一：.

4

15.如图，为了测量河对岸的塔高A8,选取与塔底3在同一水平面内的两个观测点。和。，测得

ZBCD=75°,ZBDC=45°,CD=20V3m,并在C处测得塔顶A的仰角为30°,则塔高AB=

【解析】

【分析】先在△88中，利用正弦定理求出8C,然后利用锐角三角函数可求出AB.

【详解】在△8CD中，N5C£>=75°,NBDC=45。,

则ZDBC=180°—/BCD-ZBDC=180°—75。-45。=60°,

所以CD•sin/BDC=BC-sinZDBC,

所以20>/3sin45。=OC•sin60°，得BC=2072，

AR

在RtaABC中，ZACB=30°,tanZACB=——,

BC

所以AB=BCtanNACB=2072tan30°=20垃x—=生员,

33

所以塔高48=生色111，

3

20V6

故答案为:

3

16.在锐角中，已知A=30。,AC=2,则8A-8C的取值范围为

【答案】〔呜

【解析】

【分析】利用正弦定理得到。=」一2sinC皿〜.八2sinCeos“

c=--------,则BA-BC=accosB=--------；-----,再转化为关

sinBsinBsin*2B

于8的三角形函数，由三角形为锐角三角形求出8的取值范围，结合二次函数的性质计算可得.

aba2c

【详解】由正弦定理,即

sinAsinBsinCsin30°sinBsinC

2sinC

所以。二-----,c

sinBsinB

2sinCeosB

所以BA-BC=accosB=

sin25

2sin^+BJcosB

sin?8

Tl兀）

2sin—cosB+cos—sinB\cosB

=I66J

sin2B

cos2B+V3sinBcosB

sin2B

1+V3tanB1y/3

tan2Btan2BtanB

0<B<-

27171

因为..ABC为锐角三角形，所以〈：,解得二<B（二,

八八5兀n兀32

0<C=-----B<—

I62

所以tanB>6，则0<------<—,

tanB3

(G

令，=—-—,则〃(/)=*+6/,显然在0,-^-上单调递增,

tanB3/

g4,所以/Oelo,：),

且/z(O)=O,h

3

即一+走eH,

tan'BtanB

所以BABC的取值范围为(o,gJ

故答案为：^0,—j

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在锐角_48。中，内角AB,C的对边分别为a,dc,向量〃?=倒"6),〃=(c,sinC),且

mHn.

(1)求B；

(2)若M为AB中点，a=3,的面积为迪，求CM的长.

2

TT

【答案】⑴-

3

(2)不

【解析】

【分析】(1)由向量共线的坐标表示得到2万sinC=6c，再由正弦定理将边化角，即可得解；

(2)由面积公式求出c,即可得到用0=1，再由余弦定理计算可得.

【小问1详解】

因为向量，〃=(2乩⑹，h=(c,sinC),且为〃近,

所以2Z?sinC=，由正弦定理可得2sin5sinC=若sinC，因为sinC>0,

所以sin8=等，又所以8=g.

【小问2详解】

因为一ABC的面积为上叵，所以_lacsinB=2叵，

222

所以AO〃GR且A£>=GF，

所以四边形A0FG为平行四边形，

所以AG〃ED，

又AGu平面£45，£>尸0平面£45，所以0/7/平面EW.

K

【小问2详解】

B

因为ADSAB，AD//BC,所以AB13C,

所以SVBCD=5X2x1=1,

17

又AE_L平面ABC。，所以匕_Be=§x2xl=§,

因为ADIAB，AD=AB=l，所以3。=1AD。+AB?=正，

由AE_L平面ABC。，A昆AOu平面ABCD,所以AELAB，AEA.AD,

又£4=2，AD=AB^\,

所以EB=ED=EH=后，

所以SBE0=；X0X/（逐）一号=^'

132

设点C到平面BDE的距离为h,则VC_BDE=VE_BCD=-x-A=-,

4

解得力=§.

19.某城市正在进行创建文明城市的活动，为了解居民对活动的满意程度，相关部门从甲，乙两个社区各

抽取了20人进行打分（分数为正整数，满分100分）.

甲社区20名居民的打分记录如下：

52,56,59,63,64,70,71,73,75,75,80,80,81,82,85,86,88,89,93,95.

将乙社区20名居民打分分成[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,1（刈五组，并画出了其频率分布

直方图

频率

组距

0.030-------------------------——

0.025------------------——

0.020------------——

0.015--------------------------------------

0.010————

0.005-

7080J。由0乙我区居民打分

（1）根据以上数据，求甲社区20名居民打分的第75百分位数；

（2）估计乙社区20名居民打分平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；

（3）现从甲，乙两社区打分不低于90分的居民中，任选2人，求2人不在同一社区的概率.

【答案】⑴85.5

（2）77

⑶3

5

【解析】

【分析】（1）根据百分位数计算规则计算可得；

（2）根据频率分布直方图中平均数公式计算可得；

（3）利用列举法及古典概型的概率公式计算可得.

【小问1详解】

因为20x75%=15,

所以这20个数据的第75百分位数是从小到大排列的第15和第16个数的平均数，即更坦=85.5,

2

即甲社区20名居民打分的第75百分位数为85.5.

【小问2详解】

由频率分布直方图可知，乙社区2（）名居民打分的平均分为：

55x0.1+65x0.2+75x0.25+85x0.3+95x0.15=77.

【小问3详解】

甲社区打分不低于90分的有2人记作A、B,

乙社区打分不低于90分的有0.015x10x20=3人，记作〃、b、c,

从中任选2人的可能结果有AB、Aa.Ab.Ac、Ba、Bb、Be、ab、双、儿共10个基本事件,

其中满足2人不在同一社区的有Aa、Ab,Ac、Ba、Bb、比共6个基本事件，

所以2人不在同一社区的概率=3.

105

设f(x)=a-b.

(1)若=求cos(§-aj的值；

(2)将函数y=/(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的;，纵坐标不变，再向右平移2个单位长

度，得到函数y=g(x)的图象，若函数y=g(x)一左在0,^7i上有零点，求实数后的取值范围.

【答案】(1)-

6

⑵[0,|]

【解析】

【分析】(1)根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得/(X)的表达式，结合/(«)=：可得

sinl«+利用诱导公式化简求值，即得答案.

⑵根据三角函数图像的变换规律可得y=g(x)的表达式，结合x的范围求得y=g(x)的值域，即可求

得答案.

【小问1详解】

由题意得/(%)-a-b=>/3sin—cos—+cos2X

222

V3.1+cosx.(兀)1

—sinxH---------sinXH—4—,

22t6j2

,/兀)12.n]1

由=得sma=7,即sina+—,

3v6723k0y6

【小问2详解】

由题意得g(x)=sin[2(x-m)+m]+:=sin(2x-B]+:，

八5,c兀兀2

因为°，二兀，故——

12663

所以sin故g(x)e

53

故函数y=g（x）—%在0,—7i上有零点时，实数攵的取值范围为［0,g.

21.甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分

先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有

人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平.假设在每局比赛中，甲胜的概率为负的概率为

且每局比赛之间的胜负相互独立.

（1）求第三局结束时甲获胜的概率；

（2）求乙最终以2分获胜的概率.

【答案】（1）—

【解析】

【分析】（1）对甲来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜），根据独立事件的乘法公式即可求

解.

（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.

【小问1详解】

设事件A为“第三局结束甲获胜”，

由题意知，甲每局获胜的概率为不获胜的概率为g.

若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）.

故P（A）=，XLX，+」X，XL=L

',2222224

【小问2详解】

由题知，每局比赛中，乙获胜的概率为』，平的概率为1一1—负的概率为:，

32362

设事件B为“乙最终以2分获胜

若第二局结束乙获胜，则乙两局连胜，此时的概率=

若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）.

212

此时的概率鸟=—X—X—+—X—x—=

33333327

若第四局结束乙以2分获胜，则乙第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情

况：

（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜）,

（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）.

„……八1111,1111/7

此时的概率g=-x-x—X-X3+-X-X—x-x6=