2023届高考数学大题二轮复习讲义：边角化求最值和范围

第6讲边角互化求最值和范围

基本不等式法

基本不等式及其变形：o+b…2而（和化积）.

变形结构一:a2+b1..2ab（平方和化积）.

变形结构二：°仄（学）（积化和）.

基本不等式法的核心在于找到和积关系式,利用基本不等式实现和积互化,进而求解最值.

和积关系式通常在以下式子中.

,、人14-1>皿17什+巾.b~+—u~（b+c）~—2bc—Cl~

（1）余弦定理及其变形：cos/=----------=----------------.

2bc2bc

⑵中线定理：〃+/=24）2+28。2.

（D是"BC的边8C的中点）

（3）中点向量模长公式:下面公式中，。是AZBC的边3C的中点.

彷=；（而+就）2=|2+困『+2园园cos/3/C）

如果求解范围还要注意利用三角形两边之和大于第三边和两边之差小于第三边来确定范围.

要注意在使用基本不等式时一定要验证等式成立的条件，即“=b取最值.

其中已知对角和对边（/和a已知）求面积和周长范围的题型是最基本的也是最常规的，希

望读者在下面的例题中总结出一般方法.

典型例题

7T

［例1］在△力8。中，角4民。的对边分别为已知。=2,4=不，求△ZBC的面积

S的最大值.

【解析】将余弦定理代入题中已知算式得

a1=b2+c2-2bccosA,b2+c2-be=4.

又丁b1+』.2bc,

:A..2bc-bc=bc,

当且仅当b=c时取等号.

/.S=—6csia4=—bc„V3.

24

即S的最大值为JJ.

4

【例2】在一台。中，内角4民。对应的边分别为a,6,c.若。=3,cosZ=-丁求他+c）

的最大值.

2

■衣力1匚,4人办士说，曰Ab~+c?—cT（Z>+c）—2hc—94

【解析】由余弦定理得cosA=----------=--------------=—

2bc2bc5

/.be=g［（b+c）2-9］.

由基本不等式可得be”（三），

解得0<b+c“当且仅当b=c时等号成立,

.•・b+c的最大值为丽.

【例3】△/SC的内角4民。的对边分别为a/,c.若AZBC的面积为4、0,co”=；，求

(a+6+c)的最小值.

【解析】由cos/=,，得siM=哀；

33

,/SA.=gbcsiM=472,

be=12.

2

由b2+c2-a2=-be得

3

,,,224

a~=b"+c2---he..,2bc---be=—be=16,

333

a..A,当且仅当b=c=2Ji时,等号成立.

又6+C..2痴=4近，当且仅当b=c=2时,等号成立.

a+b+c…4+4,当且仅当b=c=2时，等号成立.

即a+6+c的最小值为4+4行.

【例4】在△/18C中，内角48,。所对的

7T

边分别为a,b,c.已知a+c=1,6=：，求b的取值范围。

【解析】由余弦定理可知，/+。2-24cos3,

代入可得b?=/+/-ac=(a+c)2-3ac...l-3x(^~^]=1-3x(；)=；,

当且仅当a=c=L时取等号，

22

<6<Q+C=1

.•.b的取值范围是

函数法

典型例题

解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范

围”，解决这类问题的思路是全部转化为角的关系，建立函数关系式,如

y=/sin((yx+Q)+b,并求出自变量的取值范围,进而求最值和范围,通常的步骤如下：

第一步:化角.设角度变量,利用正弦定理把所求变量转化成角.

第二步:统一变量.利用内角和,实现变量的统一,最终建立关于角的一元函数

y-/sin®x+e)+b.

第三步:求范围.结合题设条件求出自变量角度范围,进而求解最终范围,通常给出的三角形

为锐角三角形,这个条件是用来确定范围的.

冗

［例1］在锐角△/5C中，5=—，求

3

siivl+sin5+sinC的取值范围.

解•••8=工,.•./+(?=丝

33

...sirL4+simB+sinC

siib4+—+sin

2

河。

222

=百口3/+也、

sin4+

2272

in^+―1+

6

：“BC为锐角三角形,

冗乃'712不

/.AGA.H------G

6TST

3+百71出3正

--------<-TJsinZ+—+

26

3+733疔

sirt4+sin5+sinC的取值范围是

22

TT

【例2】在锐角△/8C中，角48.C所对的边分别是a,b,c.已知/=—,求sinScosC的取

6

值范围.

【解析】•••/+8+。=乃,/=勺,

6

66

sinS-cosC=sin|-C|•cosC

I6J

sinC+—cosC-cosC

2

7

_V312

sinCcosC+—cosC

一22

=在.1cos2C+1

sm2C+---------------

422

73

sin2cH—cos2c4—

44、4

171

-sin2CH—H—.

26J4

:△ABC是锐角三角形,

C57c%

0<C<一

62，解得受。（会

0<C<-

2

综上，sin8-cosC的取值范围是

7T

【例3】设A/BC的内角4民。的对边分别为a,b,c.已知B=—为锐角三角形,

3

求£的取值范围.

a

V3,1一

【解析】由题设知，£=些sin(120°-4)—COS^+2S1IL4

asin?lsirL4sirU

即£=叵_1_+_1.

a2tanA2

；“BC为锐角三角形，

<A<—,BPtaa4>

623

八1/-1V311.

0<-----<J3,即An一<--------+—<2.

tarU22tanA2

：.-的取值范围是R,21.

aUJ

【例4】在△ZBC中，角4£C的对边分别为a,b,c.若A/BC为锐角三角形,

TT

b*c,。=2,/=—，求AZBC的周长的取值范围.

3

【解析】

解:在“8C中，由正弦定理得，一=—,又•「a=2,

-兀sin5sinC

csin——

3

,4V3,D

/.b—-----sinB,

3

=4sin^5+—J

■：^ABC为锐角三角形,

0<5<-

2

27乃

0<--5<

32

•：b丰c,:.B大一.

3

...—<6<—,_L15W—,

623

—<B+—<-+—*—.

36362

sin（8+'）<1.

:.b+ce（2G,4）.

・•△ABC的周长的取值范围是仅+2后6）.

【例5】在锐角△/BC中，角48,C的对边分别为a,d0.若6=芋,3=(,4。(，求

△N8C面积的取值范围.

【解析】

解由正弦定理得一L=—2—=上=1,

siib4siaffsinC

z.a-sin?i,c=sinC.

rrrr

v在锐角△43C