河北省保定市2022-2023学年高三年级上册期末调研考试数学试题

2022-2023学年度第一学期高三期末调研考试

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上

无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.已知集合4=,"一1|，2},B={-1,0,1,2,3,4},则AB=

A.{-1,0,1}B.{2,3,4}C.{3,4}D.{-1,3,4)

2.若z=(2+i)(l—i),则z+W等于

A.2B.6C._2D.-6

4?

3.数列满足q=4,an+{=—+——，则包=

ann+\

88

A.2B.-C.-2D.--

33

4.如图，点尸为射线y=与以原点O为圆心的单位圆的交点，一动点在圆O上以点P为起始点，沿逆

时针方向运动，每2秒转一圈.则该动点横坐标/«)关于运动时间r的函数的解析式是

、

A-/(f)=sin(2f+?B./(f)=sin

3J

7

C/(/)=cos+―D./”)=cos2t---

I3JI3

5.函数〃尤)==一的图象大致是

x+1

6.已知函数/（x）=sin2丝+—：sins-L®〉0）,若在（条手）上恰在两个零点，则co的值可

以是

1

A.-B.IC.2D.3

2

22

7.己知椭圆C：左+方=1（。＞万＞0）,耳，K分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，ZPF}F]=p

V6

过招做4F\PF2外角平分线的垂线交"P的延长线于N点.若sinNPNF]则椭圆的离心率

4

V3-1V3V5V5-1

A.-------B•C.D.

2----222

8.已知三棱锥＞A8C的所有棱长均为2,以8。为直径的球面与△4BC的交线为L,则交线乙的长度为

2644#）兀2瓜兀4指兀

A.-------B.--------C.--------D.--------

9999

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.某中学为了能充分调动学生对学术科技的积极性，鼓励更多的学生参与到学术科技之中，提升学生的创新

意识，该学校决定邀请知名教授于9月2日和9月9日到学校做两场专题讲座.学校有东、西两个礼堂，第一

次讲座地点的安排不影响下一次讲座的安排，假设选择东、西两个礼堂作为讲座地点是等可能的，则下列叙述

正确的是

A.两次讲座都在东礼堂的概率是,

4

B.两次讲座安排在东、西礼堂各一场的概率是

2

3

C.两次讲座中至少有一次安排在东礼堂的概率是一

4

D.若第一次讲座安排在东礼堂，下一次讲座安排在西礼堂的概率是,

3

10.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中

A.AB与CD平行B.CD与GH是异面直线

C.EF与GH成60°角D.CD与EF平行

II.己知函数〃x)=《(aw0),则/(力

A.在(9,0)上单调递增B.无极小值

22

C.无最小值D.有极小值，极小值为*

4

12.平面内有一定点A和一个定圆。，尸是圆。上任意一点.线段AP的垂直平分线I和直线OP相交于点Q,

当点P在圆上运动时，点Q的轨迹可以是

A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(l+2x)3(l—x『的展开式中x项的系数是.

14.己知向量a=(l,1),/?=(1,0),c=Aa+b,〈a,b〉=〈b,c〉，则2=.

15.定义在R上的两个函数/(x)和g(x),己知/(x)+g(l-x)=3,g(x)+〃x—3)=3.若y=g(x)图

象关于点(1,0)对称,则〃0)=g(l)+g(2)+g(3)++g(1000)=.

16.已知双曲线G：x2-y2=l,圆。2：(x—4丫+9=2,在G的第四象限部分取点P,过P做斜率为1

的直线/,若/与交于不同的两点M，N,则归加卜归义|的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

数列｛«„｝的前n项和为S“满足2S,=3an-3.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)已知数列｛2｝满足a=3〃，在数列｛"｝中别除掉属于数列｛4｝的项，并且把剩余的项从小到大排列,

构成新数列｛<?„｝，求数列｛%｝的前100项和7；0G.

18.(12分)

已知aABC的内角A、2、C的对应边分别为。、b、c,b=2a,点D在边A8匕且2CD-sinA="sinZACB.

（1）求CD与c的关系;

(2)若4D=QB,求cosNACB.

19.（12分）

已知矩形ABCD中，AB=2,AD^y/2,M为A3中点，沿AC将△ACZ）折起，得到三棱锥尸-A8c.

（1）求异面直线PM与AC所成的角；

（2）当二面角P-AB-B的大小为60°时，求48与平面P8C所成角.

20.（12分）

根据《全国普通高等学校体育课程教学指导纲要》第六条：普通高等学校要对三年级及以上学生开设体育选修

课.某学院大三、大四年级的学生可以选择羽毛球、健美操、乒乓球、排球等体育选修课程，规定每位学生每

学年只能从中选修一项课程，大三选过的大四不能重复选，每项课程一学年完成共计80学时.现在在该学院

进行乒乓球课程完成学时的调查，已知该学院本学年选修乒乓球课程大三与大四学生的人数之比为3：2,现

用分层随机抽样的方法从这两个年级选修乒乓球课的数据中随机抽取100位同学的乒乓球课程完成学时，得到

如下频率分布表：

成绩（单位：学时）[30,40)[0,50)[50,60)[60,70)[70,80]

频数（不分年级）3X213533

频数（大三年级）2616y16

（1）求x,y的值；

（2）在这100份样本数据中，从完成学时位于区间［30,60）的大四学生中随机抽取2份，记抽取的这2份学

时位于区间［40,50）的份数为X,求X的分布列与数学期望；

（3）已知该学院大三、大四学生选修乒乓球的概率为25%,本学年这两个年级体育选修课程学时位于［70,80］

的学生占两个年级总体的16%.现从该学院这两个年级中任选一位学生，若此学生本学年选修的体育课程学时

位于［70,80］,求他选修的是乒乓球的概率（以样本数据中完成学时位于各区间的频率作为学生完成学时位于

该区间的概率，精确到0.0001）.

21.（12分）

已知椭圆二+2-=1与直线/：y=kx+m^kw0）有唯一的公共点

168

（1）当相=4时，求点M的坐标;

（2）过点M且与/垂直的直线分别交x轴、y轴于A（乂0）,3（0,y）两点.当点M运动时,

（I）求点尸（％,y）的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线;

(0)如果推广到一般椭圆，能得到什么相应的结论？(直接写出结论即可)

22.(12分)

己知函数/(x)=(x-l)ev-ar.

(1)当x>-l时，/是y=/(x)的一个极值点且/(%)=一1,求与及a的值；

(2)已知g(x)=/inx,设=e*[/'(x)+a],若%>1,x,>0.且g&)=。(%2)，求药-2/的

最小值.

2022-2023学年度第一学期高三期末调研考试数学试题答案

一、1—8.DBACA,CDA

二、9—12.ABC,CD,CD,BCD

三、13.4,14.15.3；0,(第一个空2分，第二个空3分)，16.5

2

四、17.解：

(1)在2斗=3加一3中令〃=1,得m=3,

'：2Sn=3an~3,.•.当”>1时，25„-i=3an-i-3,

两式相减得2an=3a„—3an-｝,：.a,,=3a„-\,

数列｛%｝是以1为首项，以3为公比为的等比数列，

；.斯=3".

(2),：h,,=3n,

：.数列｛"”｝中的项都在数列彷“｝中.

数列｛斯｝前5项：3,9,27,81,243在数列｛瓦｝前105项中.这五项和为363

｛仇｝前105项的为数列｛褊前105项为3,6,9,27,…81,…，243,…，315,它们的和为105X3+105

X52X3=16695

所以数列｛金｝的前100项和为数列仍"｝前105项的和减去3、9、27、81、243的和，

得：105X3+105X52X3—363=16332.

18.解：

(1)"."2CD,sinA=h,sinAACB,由正弦定理

得2CD,a=b•c,

:.CD=c；

11

(2)•:AD=DB,：.CD=—CA+—CB,

22

两边平方得，4(CD)2=(CA『+(CB『+2cA.c3,

“2,22

,oo_.Cl~TUh—C

即4c2=/r+7+2ab----------------

lab

化简得：5C2=2«2+2/?2.

*.*b=2a,・'・c2=2a2.

/+4/-2/3

cosZACB=

2a-2a4

19.解：

(1)设AC与0M相交于点O,

•••矩形ABC。中AB=2,AD=®,例为AB中点,

：.AD:DC=MA:AD,

：.△ACCs△MA。，

：.ZDCA=ZADM,

VZACD+ZDAC=90a.

：.ZADM+ZDAC=90°,

AZDOA=90°,

：.DM±AC.

由折叠可知尸。-LAC,OMLAC,

'.'POQOM^O,

，AC_L平面POM,

,：PM在平面POM内，：.AC±PM.

.♦.PM与AC所成的角为90°

(2)由(1)知，POLAC,0M1AC,

J.P—AC—B所成角为NPOM=60°

PO=—,OM=—可知PM=1,

33

又,.,AM=1,PA=y/2,

：.PMLAB,

方法一：

・・，M为AB中点，

PB=PA=&,

：.PA1PB,

又•.•BALPC,.,.以，平面PBC,

ZABP即为A8与平面PBC所成的角，

VZABP=45°,

与平面PBC所成的角为45°.

方法二：

PMLAB,由（1）知ACJ_PM.AC与AB交与A点

平面A8C,

取AC中点E,连接ME,则ME〃BC,

：.ME1.AB,

以M为坐标原点，分别以ME,MA,MP所在直线为轴，

建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz,

：.A（1,0,0）,B（-1,0,0）,C（-l,V2,0）,P（0,0,1）,

&4=（0,2,0）,BC=（V2,0,0）,BP=（0,1,1）

平面PBC的法向量m=（0,1,T）,

设AB与平面PBC所成的角为a,

则sina=a=g

网2

・・・AB与平面MC所成的角为45°.

20.

解:（1）V3+x+21+35+33=100,

.,.x=100-（3+21+35+33）=8,

、3

•；2+6+16+y+16=l00x—=60,

；.y=60—（2+6+16+16）=20,

（2）由题意可知，X的取值可能为0,1,2,

•.•这100位学生学时在［30,60）的大四学生为8人，在［40,50）的大四学生为2人，

P（X=0）=军”=竺,P（X=I）*=6x2x2xy,p（x=2）=军也」

'7Cl8x728v7Cl8x77v7C；8x728

.•.随机变量X的概率分布列如表为：

X012

1531

P

28728

•••随机变量X的数学期望为Ox"+1X3+2X'-=_L

287282

(III)设两个年级共有m人,A=｛大三大四中任选一学生一学年体育课程完成学时位于区间[70,80]｝,B=｛大

三大四中任选一学生体育课程选的乒乓球｝,

、/।\n(AB｝

则由条件概率公式得P(B|A)=臣子

即该生选乒乓球的概率约为0.5156.

21.解:

(1)将丫=履+4代入工+二=1,得工+(辰+4)=i,

168168

整理得(29+1)f+16日+16=0……①.

因为M是椭圆与直线/的唯一公共点，

所以(16k)2-4X16义(2必+1)=0,得2储=1,

攵或％=.将左='^代入方程①解得％=-2&,代入y=Ax+4得y=2；

222

J2

将Z=-学代入方程①得x=20,代入y=kx+4得y=2.

.•.点M为卜2四,2)或(2血,2).

(2)(i)将代入工+上=1,得《+("+间=1,

168168

整理得(2庐+1)x2+4fonx+2(m2—8)=0...②.

因为M是椭圆与直线/的唯一公共点，

所以(4km)2—4X2(2^+1)(nt2-8)=0,即，层=16。+8..③.

DkmDkm16”

方程②的解为x=--A，将③式代入x=-一手，得工=一3,

2公+12k2+1m

入16%八、、不iv2-\6k28

将X=----代入y=kx+m,得y=--------=—

mmm

所以点M的坐标为

8116女

因为左#0,所以过点M且与/垂直的直线为y--=尤+——

mkm

可得A(—-,o,B(O,888k8

,P产9即X=-----y-二—一

m\mmmm

由户也，y得4=土，根=—§

mmyy

\2

,,,X=16好+8得(一?

22

将2=—,m=--f代入/=16-+8,所以16x+8y=64,

yyy)

22

整理得与+亍=(孙轨迹是焦点在轴，长轴长为行，

1#0).y4短轴长为4的椭圆(去掉四个顶点).

22

(ii).•.如果将此题推广到一般椭圆「+当=1(a>b>0),直线y=fcv+,"(ZW0),其他条件不变，可得

ab

x2y22c22c2

点尸(％,y)的轨迹方程是一f+3r=1(孙#0),轨迹是焦点在y轴上，长轴长为「一，短轴长为三一的椭