2024届北京市大兴区名校九年级数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2024届北京市大兴区名校九年级数学第一学期期末教学质量检测模拟试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题(每题4分，共48分)

1.如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(3,-4),顶点C在X轴的正半轴上，函数y=∙^(k<0)的

X

C.32D.-36

2.二次函数y="∕+如+c(β,b,C为常数且α≠0)的图象如图所示，则一次函数y=βχ+%与反比例函数y='的图象可

X

能是

A.方程2/+3=0无实数解

B.在某交通灯路口，遇到红灯

C.若任取一个实数a,则(α+l)2>0

D.买一注福利彩票，没有中奖

4.若反比例函数y=&的图象经过点(3,1),则它的图象也一定经过的点是()

X

A.(-3,1)B.(3,-1)C.(1,-3)D.(-1,-3)

5.如图，若二次函数y=aχ2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=l,与y轴交于点C,与X轴交于点A、点B（-1,0）,

则

①二次函数的最大值为a+b+c；

②a-b+c<O;

（3）b2-4ac<0;

④当y>0时，-l<x<3,其中正确的个数是（）

M,x=l

Bl

AlO

C.3

6.在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，把AABC放大得，到AAI∕G,使它们的相似比为2,若点A的坐

标为（2,2）,则它的对应点Al的坐标一定是（）

(-2,-2)B.(1,1)

C.(4,4)D.(4,4)或(-4,

7.如图，在正方形网格上，与AA5C相似的三角形是（）

A.AAFDB.XFEDC.A.AEDD.不能确定

8.已知一斜坡的坡比为1:0，坡长为26米，那么坡高为（）

26√j米

A.130米C.13米D.266米

3

9.如图，在Rt2∖ABC中，ZC=90o,AC=4,BC=3,贝(1SinB的值等于()

A、B

4343

C.

3455

10.如图，小红同学要用纸板制作一个高4cm,底面周长是6τrcm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需

纸板的面积是（）

A.12πcm2B.15πcm2C.18πcm2D.24πcm2

11.对于二次函数》，=一；必+2%—3,下列说法正确的是（）

A.当x>O,y随X的增大而减少B.当x=2时，y有最大值一1

C.图像的顶点坐标为（2,-5）D.图像与X轴有两个交点

12.若点43,4）是反比例函数v=±图象上一点，则下列说法正确的是（）

X

A.图象位于二、四象限

B.当x<0时，随X的增大而减小

C.点（2,-6）在函数图象上

D.当y≤4时，x≥3

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，点A,B,C在。0上，NA=40度，∕C=20度，则NB=___度.

14.若关于X的方程炉+2%+。=0不存在实数根，则。的取值范围是.

、、通（a∖a-∖

15.计算：-→a—=__________

I0-1）cι~

16.计算：sin30o+ta∏45°=.

17.如图，在半径为5的。。中，弦AB=8,P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP,过点A作AP的垂线交射

线PB于点C,当是以A3为腰的等腰三角形时，线段BC的长为.

18.在平面直角坐标系中，AABC和ΔA'B'C是以坐标原点。为位似中心的位似图形，且点B(3,1),B,(6,2),若

点A(2,3),则4的坐标为.

三、解答题(共78分)

k

19.(8分)如图，RtAABO的顶点A是双曲线y=—与直线y=-x-(k+l)在第二象限的交点，ABj_x轴于B且SAABO=

X

3_

2'

(1)求这两个函数的解析式.

(2)求直线与双曲线的两个交点A,C的坐标和AAoC的面积.

20.(8分)在ΔABC中，ZACB=45。，点。在边BC上运动,连接AO,以AO为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.

(D如果AB=AC,如图①，试判断线段。尸与BD之间的位置关系，并证明你的结论；

A

（2）如果AB>AC,如图②，（1）中结论是否成立，说明理由.

（3）如果AS<AC,如图③，且正方形Ar）EF的边DE与线段CT7交于点P,设AC=4&，BC=3,CD=x,

请直接写出线段Cp的长.（用含X的式子表示）

图③

21.（8分）金牛区某学校开展“数学走进生活”的活动课，本次任务是测量大楼48的高度.如图，小组成员选择在大

楼AB前的空地上的点C处将无人机垂直升至空中。处，在。处测得楼AB的顶部4处的仰角为42°，测得楼45的

底部8处的俯角为30二已知。处距地面高度为12m,则这个小组测得大楼A5的高度是多少？（结果保留整数.参考

数据：tan42°≈0.90,tan48°≈l.lb√3≈1.73）

22.（10分）如图，已知AB为。O的直径，点C、D在。O上，CD=BD1E、F是线段AC、AB的延长线上的点,

并且EF与。O相切于点D.

(1)求证：NA=2NBDF;

(2)若AC=3,AB=5,求CE的长.

23.（10分）已知直线/与O,AB是。的直径，A于点O.

（1）如图①，当直线/与。相切于点C时，若NzMa30°,求NfiAC的大小;

（2）如图②，当直线/与＞。相交于点E,E时，若ND4E=18°,求N84尸的大小.

图②

4-

24.（Io分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知AABC.

⑴将AABC向左平移4个单位得到AAIBICI,画出AAIBIG的图形，并写出点Al的坐标.

⑵以原点O为旋转中心，将AABC顺时针旋转90。得到4A2B2C2,画出AAZBZCZ图形，并写出点Az的坐标.

25.（12分）如图，已知aABC.

A

(1)尺规作图，画出线段AB的垂直平分线(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)设AB的垂直平分线与BA交于点D,与BC交于点E,连结AE.若NB=40。，求NBEA的度数.

26.如图，在平面直角坐标系XOy中，函数y=&(x<0)的图象经过点A(-1,6).

X

(1)求k的值；

(2)已知点P(a,-2a)(a<0),过点P作平行于X轴的直线，交直线y=-2x-2于点M,交函数y=K(x<0)

的图象于点N.

①当a=-l时，求线段PM和PN的长；

②若PN≥2PM,结合函数的图象，直接写出a的取值范围.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、B

【解析】解：

∙.∙O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(3,-4),顶点C在X轴的正半轴上,

ΛOA=5,AB〃OC,

.∙.点B的坐标为（8,-4）,

k

∙.∙函数v=—(k<0)的图象经过点B,

X

k

..-4=一,得ZHk=-32.

故选B.

【点睛】

本题主要考查菱形的性质和用待定系数法求反函数的系数，解此题的关键在于根据A点坐标求得OA的长，再根据菱

形的性质求得B点坐标，然后用待定系数法求得反函数的系数即可.

2、C

【分析】根据二次函数y=αx2+bx+c的图象，可以判断a、b、C的正负情况，从而可以判断一次函数y="x+6与反比

例函数y=9的图象分别在哪几个象限，从而可以解答本题.

X

【详解】解：由二次函数y=αx2+历:+c的图象可知，a>0,⅛<0,c<0,

则一次函数y=αx+b的图象经过第一、三、四象限，

反比例函数y=9的图象在二四象限，

X

故选C.

【点睛】

本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，解题的关键是明确它们各自图象的特点，利用数形

结合的思想解答问题.

3,A

【分析】根据必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件即可得出答案.

【详解】解：A、方程2χ2+3=0的判别式4=0-4x2x3=-24<0,因此方差2x?+3=O无实数解是必然事件，故本选

项正确；

B、在某交通灯路口，遇到红灯是随机事件，故本选项错误；

C、若任取一个实数a,则(a+l)2>0是随机事件，故本选项错误；

D、买一注福利彩票，没有中奖是随机事件，故本选项错误；

故选：A.

【点睛】

本题主要考察随机事件，解题关键是熟练掌握随机事件的定义.

4、D

【分析】由反比例函数y=&的图象经过点(3,1),可求反比例函数解析式，把点代入解析式即可求解.

X

【详解】•••反比例函数y=K的图象经过点(3,1),

X

3

.R=—x,

把点一一代入，发现只有（-1,-3）符合.

故选d.

【点睛】

本题运用了待定系数法求反比例函数解析式的知识点，然后判断点是否在反比例函数的图象上.

5、B

【解析】分析：直接利用二次函数图象的开口方向以及图象与X轴的交点，进而分别分析得出答案.

详解：①∙.∙二次函数y=aχ2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=l,且开口向下，

.∙.x=l时，y=a+b+c,即二次函数的最大值为a+b+c,故①正确；

②当X=T时，a-b+c=O,故②错误；

③图象与X轴有2个交点，故b2-4ac>0,故③错误；

④T图象的对称轴为x=l,与X轴交于点A、点B（-1,0）,

ΛA（3,0）,

故当y>0时，-IvXV3,故④正确.

故选B.

点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键.

6、D

【解析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k进行解答.

【详解】V以原点O为位似中心，相似比为：1：2,

把AABC放大得到4AιB∣C∣,点A的坐标为（2,2）,

则它的对应点Al的坐标一定为：（4,4）或（-4,-4）,

故选D.

【点睛】

本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那

么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k∙

7,A

【分析】根据题意直接利用三角形三边长度，得出其比值，进而分析即可求出相似三角形.

【详解】解：VAF=4,DF=4及,AD=4√5,AB=2,BC=20,AC=2逐，

AFDFADC

二——=——=——=2,

ABABAC

Λ∆AFD^∆ABC.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定以及勾股定理，由勾股定理得出三角形各边长是解题的关键.

8、C

【分析】根据坡比算出坡角,再根据坡角算出坡高即可.

【详解】解：设坡角为α

铅直高度JZ

；坡度=

水平宽度一

二ɑ=3()•

二.坡高=坡长XSinα=13.

故选：C.

【点睛】

本题考查三角函数的应用,关键在于理解题意,利用三角函数求出坡角.

9、C

【解析】VZC=90o,AC=4,BC=3,ΛAB=5,

AC4

•.sinB=-----=-，

AB5

故选C.

10、B

【解析】试题分析：；底面周长是6π,.∖底面圆的半径为3cm,：高为4cm,母线长5cm,根据圆锥侧面积=L底

2

面周长X母线长，可得S='x6πχ5=15τrcmL故选B.

2

考点：圆锥侧面积.

11、B

【分析】根据题目中函数解析式和二次函数的性质，可以逐一判断各选项即可.

【详解】Y二次函数y=-Jχ2+2χ-3的图象开口向下，且以X=2为对称轴的抛物线，

A.当x>2,y随X的增大而减少，该选项错误；

B.当x=2时，y有最大值一1,该选项正确；

C.图像的顶点坐标为(2,-1),该选项错误；

D.图像与X轴没有交点，该选项错误；

故选：B.

【点睛】

本题考查了抛物线与X轴的交点，二次函数的性质，二次函数的最值和顶点，关键是明确题意，利用二次函数的性质

作答.

12、B

【分析】先根据点A（3、4）是反比例函数y=幺图象上一点求出k的值，求出函数的解析式，由此函数的特点对四

X

个选项进行逐一分析.

【详解】•••点A（3,4）是反比例函数y=A图象上一点，

X

：•k=xy=3×4=12,

1?

，此反比例函数的解析式为y=-,

X

A、因为k=12>0,所以此函数的图象位于一、三象限，故本选项错误；

B、因为k=12>0,所以在每一象限内y随X的增大而减小，故本选项正确；

C、因为2x（-6）=-12≠12,所以点（2、・6）不在此函数的图象上，故本选项错误；

12

D、当y≤4时，即y=一≤4,解得XVO或x≥3,故本选项错误.

X

故选：B.

【点睛】

此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意求出反比例函数的解析式是解答此题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、1

【分析】如图，连接OA,根据等腰三角形的性质得到NoAC=NC=20。，根据等腰三角形的性质解答即可.

【详解】如图，连接OA,

VOA=OC,

ΛZOAC=ZC=20o,

：•ZOAB=ZOAC+ZBAC=20o+40o=lo,

VOA=OB,

ZB=ZOAB=Io,

故答案为1.

A

B0∖''''\

O

C

【点睛】

本题考查了圆的性质的应用，熟练掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键.

14、a>∖

【分析】根据/<0,即可求出”的取值范围.

【详解】解：T关于X的方程/+2χ+α=0不存在实数根，

∙,∙Δ=ZJ12—Aac=22-4×l×a<0，

解得：a>l;

故答案为：«>1.

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练利用根的判别式求参数.

15、1

【分析】根据分式混合运算的法则计算即可.

【详解】解：原式=I•与Ua∙∙⅛

a-Iar0~

1a-∖

=—÷-----

aa

_a

a

=1,

故答案为：1∙

【点睛】

本题考查了分式混合运算，主要考查学生的计算能力，掌握分式混合运算的法则是解题的关键.

16.ɜ

2

13

【详解】解：sin30o+tan45o=-+l=-

22

【点睛】

此题主要考察学生对特殊角的三角函数值的记忆30。、45。、60。角的各个三角函数值,必须正确、熟练地进行记忆.

-56

17、8或一

15

【解析】根据题意，以AB为腰的等腰三角形有两种情况，当AB=AP时，利用垂径定理及相似三角形的性质列出比

例关系求解即可，当AB=BP时，通过角度运算，得出BC=AB=8即可.

【详解】解：①当AB=AP时，如图，连接OA、OB,延长Ao交BP于点G,故AGJ_BP,过点。作OH_LAB于

点H,

∙.∙在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,

ΛAAPB=-AAOB,

2

由垂径定理可知AH=BH=-AB=A,NAOH=ZBOH=ɪZAOB

22

：.ZAPB=ZAOH,

在RtZ∖OAH中，OH=JOA2-Af{2=3

在RtZlCAP中，COSAAPC=空,昱COSAAPC=COSAAOH=空=》

PCOA5

：.PC-AP=-AB^-,

333

在Rt∆PAG与Rt∆PCA中，NGPA=NAPC,NPGA=NPAC,

ΛRt∆PAG<^RtΔPCA

②当AB=BP时，如下图所示，NBAP=NBPA,

二在Rt∆PAC中，NC=90。-NBPA=90。-NBAP=NCAB,

ΛBC=AB=8

本题考查了圆的性质及圆周角定理、相似三角形的性质、等腰三角形的判定等知识点，综合性较强，难度较大，解题

的关键是灵活运用上述知识进行推理论证.

18、(4,6)

【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，根据相似比即可求得位似图形对应点的坐标.

【详解】由题意，得

ΔA5C和ΔA'B'C是以坐标原点。为位似中心的位似图形，相似比为2

则A'的坐标为(4,6),

故答案为：(4,6).

【点睛】

此题考查了位似图形与坐标的关系，熟练掌握，即可解题.

三、解答题(共78分)

3

19>(1)y=-----；y=-x+1(1)4.

X

3I3

【解析】试题分析：(1)根据SAABo=5,即5∣χ∣∙∣y∣=],所以W∙∣y∣=3,又因为图象在二四象限，所以χy=-3

即辰-3,从而求出反比例函数解析式将左=-3代入y=-x-(Z+l),求出一次函数解析式；

3

(1)将两个函数关系式y=--和y=-χ+l联立，解这个方程组，可求出两个交点A,C的坐标；

X

(3)将x=0代入y=-x+l中，求出0点坐标，根据AAOC的面积=△ADO的面积+△CDO的面积求解即可.

解：(1)设A点坐标为(x,y),且XV0,y>0

则SAABO=]∣OBMABI=∙^∙(-x)∙y=∣^

(1)A、C两点坐标满足

3

y二一一

<X

ʃ=-x+2

Xl=-Ifx9=3

解得」^1

Iy=3l%=T

.∙.交点A为（-1,3）,C为（3,-1）

（3）由y=-x+l,令X=0,得y=l.

二直线y=-x+l与y轴的交点D的坐标为（0,1）

,∙SAJ∏⅜>=St^）O♦SAagf=—×2×li—×2x3=4

点睛：本题考查了待定系数法求函数关系式，反比例函数与一次函数的综合，割补法求不规则图形的面积.将已知点的

坐标代入解析式，求出未知系数，从而求出函数解析式；将两个函数关系式联立，解所得到的方程组，可求出函数的

交点坐标；求不规则图形的面积，一般采用割或补的方式求解.

2

20、（1）CF±BD证明见解析；（2）成立；理由见解析；（3）CP=--+x.

i4

【分析】（1）先证明ΔDA的AE4C,得到NAcF=NAM,再根据角度转换得到NBCF=90。即可；

（2）过点A作G4J_AC交BC于点G,可得AC=AG,再证明AG4D9AC4F,得NAC尸=ZAGo=45°,即

可证明CK_L8D；

（3）过点A作AQJ.BC交C8的延长线于点Q,可求出AQ=CQ=4,则。Q=4-x,根据ΔAQDSΔ°CP得

出相似比，即可表示出CP.

【详解】（1）CF±BDi

证明：VABAC,ZAC8=45。，

：.NABC=45。，

由正方形ADEF得AO=AF,

VZZMF=ZfiAC=90°,

.∙.ZDABZFAC,

在ΔZM5与ΔMC中，

AB^AC

<NDAB=NFAC,

AD=AF

；.M)AB^∕^FAC(SAS),

：.ZACF=ZABD,

ΛNBCF=ZAGB+ZACF=90o,

即CFLBD；

(2)AB>AC时，C产，B。的结论成立；

证明：如图2,过点A作GA_LAC交BC于点G,

ʌZAGD=45%

ΛAC=AG,

在AGAO和AC4尸中，

AC=AG

<ZCAF=NGAD,

AF=AD

：.^GAD^ΛCAF(SAS),

.∙.ZACF=ZAGD=45°,ZBCF=ZACB+ZACF=90°,

即CF上BD；

(3)过点A作A。，BC交CB的延长线于点。，

F

QBDC

VZBC4=45o,AQLBC

/.△AQC为等腰直角三角形,

VAC=4√2>

.∙.AQ=CQ=4,

VDC=x,

：.DQ=4-x,

：四边形ADEF为正方形,

：.NADE=90。，

ΛZPDC+ZADQ=90o,

VZADQ+ZQAD=90o,

二NPDC=NQAD,

：.MQDSM)CP,

.CPCD

''~DQ~7Q,

.cpx

∙∙A-X4'

2

CP=--+x.

4

【点睛】

本题考查了全等三角形性质及判定，相似三角形的判定及性质，正方形的性质等，构建全等三角形，相似三角形是解

决此题的关键.

21、这个小组测得大楼AB的高度是31m.

【分析】过点O作小，AB于点E,本题涉及到两个直角三角形△BDE、AADE,通过解这两个直角三角形求得DE、

AE的长度，进而可解即可求出答案.

【详解】过点。作DE_LAB于点E,

在RtBDE中,NBDE=36，

'∙"tanNBDE=——,Λan30=——=,DE-12-∖∕3m∙

DEDE3

在RtAoE中，ZAr)E=42°，

,.*tanNADE-----,tan42=-----产≈0.9,

DE12√3

ʌAE=12√3×0.9≈18.68m,

：.AB=AE+βE=18.68+12≈31m.

答：这个小组测得大楼AB的高度是31m.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题.解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和矩形的问题.

22、(1)见解析：(2)CE=I.

【分析】(I)连接AD,如图，先证明8=8。得到Nl=N2,再根据圆周角定理得到NADB=90。，根据切线的性质

得到ODJ_EF,然后证明N1=N4得到结论；

(2)连接BC交OD于F,如图，根据圆周角定理得到NACB=90。，再根据垂径定理，由CQ=80得到ODJ_BC,

13

贝UCF=BF,所以OF=彳AC=—,从而得到DF=I,然后证明四边形CEDF为矩形得CE=L

22

【详解】(1)证明：连接AD,如图，

VCD=BD,

：•CD=BD,

ΛZ1=Z2,

∙.∙AB为直径，

/.ZADB=90°,

ΛZl+ZABD=90o,

VEF为切线，

ΛOD±EF,

ΛZ3+Z4=90o,

VOD=OB,

ΛZ3=ZOBD,

ΛZ1=Z4,

ΛZA=2ZBDF;

(2)解：连接BC交OD于F,如图,

VAB为直径，

ΛZACB=90o,

VCD=BD,

ΛOD±BC,

ΛCF=BF,

13

.'.OF=-AC=-,

22

.53

ΛDF=--------=1,

22

VZACB=90o,OD±BC,OD±EF,

.∙.四边形CEDF为矩形，

...CE=DF=L

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理和勾股定理.

23、(1)30°；(2)18°

【分析】(1)连接OC,根据已知条件得出，AD∣OC,根据平行线的性质得出Noc4=NZMa30°,进而求得答案

⑵连接EB,得出/AEB=90°,从而得出/BER=NZME=I8°,NBAF与/BEF为同弧所对的角，因此两角相

等.

【详解】解：(1)连接。C,

图①

/是O。的切线,

..OCLl,

∖∙AD±l,

.∙.OC∕∕AD,

.∙.NoC4=Z∩4C≡30°,

QO4=C>C,

:.ZOAC=ZOCA=30o,

(2)连接8£,

图②

QAB是.。的直径，

.∙.ZAEB=90。，

；.ZAED+NBEF=90°,

ZAED+ZDAE=90o,

/BEF=/DAE=I8。,

BF=BF，

；.NBAF=NBEP=18。

【点睛】

本题是一道关于圆的综合性题目，考查到的知识点有圆的切线定理，平行线的性质，等边三角形的判定以及圆周角定

理等，通过作辅助线综合分析是解题的关键.

24、⑴图见解析，Aι(-1,3)；