高三数学精练：不等式

高三数学专题精练：不等式

一、选择题(10小题，每题5分)

3x—y—6<0

1.设X,y满足约束条件x—y+220/若目标函数z=ax+by（a>0,

x>0,y>0

b>0）的值是最大值为12,则3+2的最小值为（）.

ab

A.25B.8C.HD.4

~63T

2.若不等式组［X2°所表示的平面区域被直线、,=履+f分为面积

*x+3y>4,3

3x+y<4

相等的两部分，则k的值是

(A)7(B)3(C)4(D)3

3734

3・"a-¥c"是"a且c>/的B

A.必要不充分条件B.充分不必要条件,

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4、若不等式f(X)=g_x_c>0的解集,则函数y=f

(-X)的图象为()

t2x+y>4,

5.设两足<x-y>i,贝」z=x+y

x-2y<2,

(A)有最小值2,最大值3(B)有最小值2,无最大

值

(C)有最大值3,无最小值(D)既无最小值，也无最

大值

6.已知D是由不等式组卜-2”°,所确定的平面区域，则圆

x+3y>0

“2+尸=4在区域口内的弧长为[]

AqB?C21D空

72TT

x+y>3

7.设变量x,v满足约束条件：x-”-1•则目标函数z=2x+3y的最

2x-y<3

小值为

(A)6(B)7(C)8(D)23

x+y-l>0

8.在平面直角坐标系中，若不等式组-I(a为常数)所表示

tzx-y+1>0

的平面区域内的面积等于2,则“的值为

A.-5B.1C.2D.3

9.不等式对任意X实数恒成立，则实数a的取值范围为()

A•(-00,-1][4,+00)

+3]—<Q2_3a

B・S,-2][5,M)U

C•[L2]UD.S,1][2,+a))

10•已知a>0/>0，贝(11+2+2展的能小彳1>()

ab

A.2B.2JZC.4D.5

二、填空题(5个题，每题4分)

11.若x>0，则x+2的最小值为.

y>2,

12.若实数二y满足不等式组2x_y<4,则2x+3》的最小值是.

x-yNO,

13不等式px-i口x-2|<0的解集为.

45x

14.若行列式］*3中，元素4的代数余子式大于0,则x满足的条件

789

是______________•

y<2x

15.已知实数x、y满足卜“2x则目标函数z=x-2y的最小值是

x<3

三、解答题（10分）

16.甲、乙两地相距S（千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最

大不得超过c（千米/小时）.已知汽车每小时的运输成本（元）由可

变部分与固定部分组成.可变部分与速度v（千米/小时）的平方成

正比，且比例系数为正常数b;固定部分为a元.

（1）试将全程运输成本Y（元）表示成速度V（千米/小时）的函数.

（2）为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？

17.(本小题满分10分)围建一个面积为360m2的矩形场地，要

求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新

建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示,

已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧

墙的长度为x(单位：元)。

(I)将丫表示为x的函数：

(n)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最

小总费用。

18.(10分)已知〃x)=土上(xwR)在区间I1]上是增函数。

X2+2

(I)求实数0的值所组成的集合A；

(n)设关于的方程/(x)=_L的两个根为八》,若对任意xeA及

X12

fe[-l,l],不爵C

ZH2+/7H4-1>\x-XI恒成立，求加的取值范围.

参考答案

一、选择题

1—5AAABB6—10BBBA

C

1.【答案】：A

【解析】：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线

ax+by=z(a>0,b>0)

过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)

x-y+2=0

时，

目标函数2=2乂+6丫(a>0,b>0)取得最大12,

即4a+6b=12,即2a+3b=6,而

3+。=(3+3)沟老="+—+2=岂，故选A.

abab66ab663x-y-6=0

【命题立意】：本题综合地考查了线性规划问题和

由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平

面区域，并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求

2+2的最小值常用乘积进而用基本不等式解答.

ab

2.【答案］:A

【解析】：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分AABC

由［x+3y=4得A(l,1)又B(O4)C(0,，)斗4

［3x+y=43陟+9

,AABL，4-1)xl=；,设>="与3x+y=4的

交点为D，则由s=_LSAABC二知x=1,「.y

△BCD23。2。2'

1=入1+，水J选A。

2233

3.【答案】A

【解析】易得且c>d时必有a+c“+d.若w+c>b+d时，则可能有

a>d且c>b,选A。

4、【答案】：B

【解析】：依题意，有卜。+21=0，解得：］a=-l

J(x)=_x2_x+2,

］Q-1-C=0c=-2

f(-X)=_》2+X+2,开口向下，与X轴交点

2x+y=4

为2,-1,对称轴为x=£

2

5.【答案】B

【解析】画出不等式表示的平面区域，如右

图，由2=乂+丫，得丫=-X+Z,令Z=0,画

出y=-X的图象，当它的平行线经过A(2,0)时，z取得最小值,

最小值为：Z=2,无最大值，故选.B

夹角，所以tana=，—J=1，所以a=?,而圆的半径是2,所以

一1,葭4

弧长是三，故选B现。

2

7.【答案】:B

让目标函数表示直线”4+*可行域上平移，知在点B自目

标函数取到最小值，解方程组上+=3得（21,所以z=4+3=7,

2x-y=3的

故选择Bo

1；a=2时，面积是3;当a=3时，面积恰好为2,故选D.

2

9.【答案】A

【解析】因为一44X+3-X-1W4对x+3-3a对任意X恒成立,

所以。2-3。24即。2一3。20,解得a24或a4-1

10.【答案】C

【解析】因为；+；+2展22怎+2屐=2德+阿24当且仅当

1=1,且匚眄，即a=b时，取一号。

abylah

二、选择题

11•【答案】：20

【解析】：X>O=X+3N2/，当且仅当x==x=#时取等号.

XX

12.【答案】：4

*♦

【解析】通过画出其线性规划，可知直线y=_|x+z过点（2,0）时，

（2x+3y）=4

min

【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的

考查既体现了正确画线性区域的要求，也体现了线性目标函数最值求

解的要求

13•【答案】：{xl-l<x<l}

【解析】：原不等式等价于不等式组①，XN2或②

2x-l-（x-2）<0

1c

—<x<2

2

2x—1+(x—2)<0

或③不等式组①无解,由②得由③得

2

—(2尤—1)+(x—2)<0

综上得所以原不等式的解集为{xl-l<x<l}.

【命题立意】:本题考查了含有多个绝对值号的不等式的解法，需要

根据绝对值的定义分段去掉绝对值号，最后把各种情况综合得出答案.

本题涉及到分类讨论的数学思想.

14.【答案】X〉8

3

16.解:⑴依题意得，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为2,全程

运输成本为y=a-A+bv2•金=s(q+bv),故所求函数及其定义域为v

VVV

=s(£+bv)ve(O,c)

V

(2)•.0a、b、v£R+,故s(°—+bv)>2s77a。当且仅当一°=bv时取等

vv

号，此时V=r

若IWC即V=M时，全程运输成本最小.

若g“，则当V£(0,C)时，

y=s(«+bv)-s(a+bc)=A(c-v)(a-bcv)

VCVC

'.c-v>0,且a>bc2,故有a-bcv>a-bc2>0

・•.s(«+bv)>s(£+be),且仅当v=c时取等号，即v=c时全程运输

Vc

成本最小.

17解：(1)如图，设矩形的另一边长为am

贝Uy2-45x-180(x-2)+18(y2a=225x+360a-360

由已知xa=360,^a=360,

X

所以y=225x+36Q2_360(r、0)

QI)x>0,:.225x+吧122/25x3602=10800

X

y=225x+2521-360>10440.当且仅当225x=雪时，等号成立.

XX

即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元

18.解：（I）户（吟_4+2以―—-2（心一ax二2）,

J（心+2）2（X2+2）2-

.・"（X）在区间T1］上是增函数,•••一x）N0对XGT1］恒成立,

即-2W0对恒成立

(p(l)=l-a-2<0

设叭》）=彳2-以-2,则问题等价于<