山西省运城市2023-2024学年高三年级上册摸底调研测试数学 含解析

运城市2023-2024学年高三摸底调研测试

数学试题

本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.

注意事项：

1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓

名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.

2.答题时使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

--项是符合题目要求的.

A=[x*+2x<o]g=-11.„

1.已知集合'I>,I।,则Au8=()

A.(—2,0)B,(―2,+co)

C.(—l,+oo)D.(—1,0)

【答案】B

【解析】

【分析】根据解一元二次不等式的解法，结合集合并集的定义进行运算即可.

【详解】由4=3,+2X<()}=(-2,0),而8={小>—1},

所以ADB=(-2,+OO).

故选：B

2.若复数Z满足一z)=l,则恸=()

旦B.1C.V2D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数除法运算法则和减法运算法则，给合复数模的运算公式进行运算即可.

【详解】(l-i)(l-z)=lnl-z=Y^7=>z=1-i(l+i).J1.

l^i-1-i-(l-i)(l+i)-2-21

故选：A

3.已知两条不同的直线加，〃和平面a满足〃?J_a,则“加//〃”是的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的性质进行判断即可.

【详解】解：若相〃“，则由加_La,可得〃_L。，充分性成立；反之，若〃_La,则由〃z_La,可得

mlln,必要性成立.所以“mlln”是“〃，a”的充要条件.

故选：C.

4.甲单位有3名男性志愿者，2名女性志愿者；乙单位有4名男性志愿者，1名女性志愿者，从两个单位

任抽一个单位，然后从所抽到单位中任取2名志愿者，则取到两名男性志愿者的概率为()

1939

A.-B.——C.一D.——

510520

【答案】D

【解析】

【分析】运用古典概型运算公式进行求解即可.

【详解】从所抽到的单位中任取2名志愿者，则取到两名男性志愿者的概率为：

1C；1C；9

—X—~HX--=,

2C；2c20

故选：D

5.已知/(x)=lg2」g(10x)+(lgx)2,则/(5)=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数运算律计算即可.

/(5)=lg2-lg(50)+(lg5)2=lg2.(lg5+lglO)+(lg5)2

=lg2.(lg5+lglO)+(lg5)2

=lg2-lg5+(lg5)2+lg2

【详解】=lg5(lg2+lg5)+lg2

=lg5(lglO)+lg2

=lg5+lg2

=lglO

=1

故选：A.

6.在数列｛为｝中，如果存在非零的常数T,使得4*r=对于任意正整数〃均成立，那么就称数列｛4｝

为周期数列，其中T叫做数列｛凡｝的周期.已知数列｛七｝满足x“+2=氏+「x,,|(xeN*),若玉=1,々

(a＜l且GHO),当数列｛玉｝的周期为3时，则数列｛七｝的前2024项的和52024为()

A.676B.675C.1350D.1349

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，求得七=1一。,％=2-。，得到X4=l,求得4=1,进而得到内+/+七=2,结合

周期性，即可求解.

【详解】因为X|=1,々且"°)，满足x“+2=k+i-x”|(xeN*)

因为数列｛玉｝的周期为3,可得用=|七一%|=|2-4=2—。=1,所以。=1,

所以玉=1,工2=1,%=。，所以大+工2+/=2,

同理可得了4=1，毛=1，X6=0，所以“4+工5+%6=2，，

所以^2024=674x2+。2023+a2024=674x2+1+1=1350.

故选：C.

fv2

7.设片，乃分别是双曲线W一与=1(。＞0力＞0)的左、右焦点，0为坐标原点，过左焦点写作直线

耳尸与圆光2+:/=/切于点区与双曲线右支交于点R且满足0七=3(。尸+。片)，则双曲线的离心率

为()

A.V2B.6C.2D.石

【答案】D

【解析】

【分析】由题意|0目=a,再结合平面向量的性质与双曲线的定义可得|Pg|=2a,|P£|=4a,再根据

勾股定理列式求解决即可.

【详解】为圆/+y2=/上的点，.[。目=q,

OE=；(OP+O[),E是P&的中点，

又。是片鸟的中点，产闾=2|。同=2。，且尸Q/OE,

^\PF}\-\PF^=2a,:.\PF\=4a,

尸£是圆的切线，，OE_LP£,:.PF2LPF.

又I6石|=2c,.•.4C2=归耳「+归用2=]6/+4/=20/,

故。2=5/,离心率£=石.

8.已知a=l+sin0.1,b=l+lnl.l,c=1.0110，则（）

Aa<b<cB.b<a<c

C.c<a<hD.h<c<a

【答案】B

【解析】

【分析】根据二项式展开式，得到c>l.l,设g(x)=x—sinx,利用导数得到g(x)在(0,+8)上单调递

增，根据g(x)>g(O)=O,得到“<c,令/(力=5由兀一111(1+工)6€(0,1),得到即可求解.

【详解】由

,o1O2

c=i.Ol=(l+O.l)=l+C}oO.Ol+C；o0.01++C；o-O.Ol'°>l+C；oO.Ol+=1.1,

设g(x)=x—sinx,可得g'(x)=l-cosx20恒成立，函数g(x)在(0,+8)上单调递增，

所以g(x)>g(O)=O,所以x>sinx在在(0,+8)上恒成立，

所以a=l+sin().l<l+0.1=l.l,所以“<c,

设9(x)=cosx-l+；x2,xe(0,l),可得d(x)=—sinx+x>0,

所以°(x)>0(0)=0,所以cosx>l-;x?

设/(x)=sin尤一ln(l+x),xw(0,l),

可得尸(x)=cosx一±>1一9一上x(x+2)(x-1)0

2(1+x)

所以“X)在(0,1)上单调递增，所以/(0.1)>〃0)=0,可得sin(M>lnl.l,即

所以

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数./■(x)=x3—2x2+x+a(aGR)的图像为曲线C,下列说法正确的有()

A.VaeR,/(x)都有两个极值点

B.VaeR,/(x)都有零点

C.VawR,曲线C都有对称中心

D.eR,使得曲线C有对称轴

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据函数极值的定义、零点的定义，结合函数的对称性的性质逐一判断即可.

【详解】A：/(x)=x3-2x2+x+a=>/,(x)=3x2-4x+l=(3x—l)(x—1),

当x>l时，/'(x)>0J(x)单调递增，当g<x<l时，/'(x)<0J(x)单调递减，

当时，_f(x)>0,/(x)单调递增，因此x是函数的极大值点，x=l是函数的极小值点，因此

本选项正确;

B:当Xf+oo时，/(X)->+co,当Xf-oo时，-8,而函数/(X)是连续不断的曲线，所以

一定存在x°eR,使得/(x)=O,因此本选项正确；

c：假设曲线c的对称中心为(》,c),则有

f(b+x)+f^b-x)=2c^>(b+x^-2(b+xJ+b+x+a+^b-x^-2(Z?-x)2+b-x+a=2c,化

简，^(3b-2)x2-c-a-b-b3+2b2,因为xeR,

因此给定。一个实数，一定存在唯一的一个实数c与之对应，因此假设成立，所以本选项说法正确；

D:由上可知当Xf+8时，当X7-8时，/(x)-^-OO,所以该函数不可能是关于直线

对称，因此本选项说法不正确，

故选：ABC

10.如图，正方体ABC。一A4Goi的棱长为2,若点M在线段BG上运动，则下列结论正确的是()

A,直线AM〃平面ACQ

4

B.三棱锥A—MBC与三棱锥的体积之和为§

C._AMC的周长的最小值为8+40

D.当点M是BG的中点时，CM与平面ARG所成角最大

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据面面平行、线面平行的判定定理和性质，结合三棱锥的体积公式、线面角的定义、正方体展

开图逐一判断即可.

【详解】A：如下图所示：

因为ABCD—AB|GA是正方体，

所以4G//AC,而4。10平面4。2，47匚平面人。2，

所以4C//平面ACQ,

同理由ABCD-ABCQi是正方体可得48//RC，同理可证明48〃平面AC^,

而AGc46=A，4G，A8U平面406,

所以平面4GB//平面ACR,

而4Mu平面AGB,所以直线A"〃平面ACR,因此本选项正确；

B：如下图所示：过M作EF//BB-交4G、BC于£、F,

过〃作MG//3C,交CG于G,

因为6CGg是正方形，所以可得M£=MG，

V

V.MBC+VaMCD=V”ABc+yCDR=-xix2x2-MF+-xix2x2-MG=-MF+-ME

A-MoCZz|ivl~AD(..M323233

224

=—•EF=—x2=—,因此本选项正确；

333

c：将平面8CC4与平面ABG。展成同一平面，如下图所示:

作。V，A3,交AB延长线于N,

D：当点M是BG的中点时，CM±BC.,

因为2Gl平面BCC^,CMu平面BCC}B],

所以AGACM,而5GRG=G，5C，2Gu平面A2G，

所以CM_L平面A"G，CM与平面ARC；所成角为1，因此本选项正确，

故选：ABD

(+2)：

f2XX<-\

11.已知函数/(尤)=(；一、1,若关于x的方程〃力=根有四个不等实根毛、巧、与、

|log2(x+l)|,x>-l

Z(M<X2<X3<X4)，则下列结论正确的是()

A.1<m<2

B.—3〈玉v—2

52cC「81

C.w<毛+2冗3+2/W

D.42+X；+[og,“0的最小值为£

【答案】BC

【解析】

【分析】画图象判断〃?和毛的取值范围，可得A错误，B正确；将方程变形，用，〃表示/、/、七、％，

代入原式化简，利用导数求函数最值判断C正确，利用基本不等式计算判断D错误.

如图，由函数“x)的图像可知，1＜加42,A错误；

当机=2时，%=一3,当加=1时，％=工2=-2,故一3M玉＜一2,B正确;

m

-log2(x3+1)=log,(x4+1)=m,则巧=2一”-1,x4=2-l,

所以x；+2刍+2X4=(2一”‘一+2(2一'"-1)+2(2"'-1)

=2-2m+2x2H,-3

令t=2"',贝打e(2,4],原式y=!+2f—3,

y=—《+2='■三，显然在,£(2,阳时，y＞o,

rr

即y在fw(2,4]上单调递增，y>-^+2x2-3=-,y<-^+2x4-3=—,

2-44216

581

即W<石+2毛+2%4W,C正确;

由图像可知，2"'*29=25+2)，=加，则士=-2-Jlog2〃?,x2=-2+^/log2m,

所以x；+考+logm>/2=4+log2m+2x2x^log2m+4+log2m-2x2x^log,m+log,n夜

=8+21og,〃?+log,“&=8+—^+唾,“&28+2=10,

log,

当且仅当•；―，=1。&金,即〃?=0时取得等号，D错误.

I%。

故选：BC.

12.已知函数“X)的定义域为(0,+8),其导函数为了'(X),且〃x)+/'(x)=xlnr,

则()

A.必产>〃1)

B./(e)-ee-1>/(l)

c.〃x)在(0,+8)上是增函数D.7(x)存在最小值

【答案】ABC

【解析】

【分析】AB选项，构造尸(x)=ei/(x),求导得到其单调性，从而判断AB选项，CD选项，构造

/(%)=£学，二次求导，得到其单调性，判断CD.

详解】设户(xNeE/a),则户(x)=ei(/(x)+/'(x))=eJ;dnx,

当x>l时，F(x)>0,当0<x<l时，F(x)<0,

产(x)=ei〃x)在(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减，

A选项，因为(<1,所以乂,卜歹⑴，即A正确；

B选项，因为e>l,所以尸(e)>尸(1),即eeTf(e)>/(l),B正确；

c选项，/(%)=粤，则/'(同="'(?二以")，

令g(x)=F'(x)-/(x),则g，(x)=(e-klnx)'-e'-'xlnx=eA-'(1+lnx)，

当x>2时，g'(x)>0,当0<x<，时，g'(x)<0,

故g(x)=F(x)-F(x)在1°，j上单调递减，在(一+°°)单调递增，

故g(x)=F<x)-尸(x)20恒成立,

所以尸(x)=E'(x厂［(x)20在(0,+。)上恒成立,故/(x)在(0,+8)上是增函数，C正确；

eA

D选项，由C选项可知，函数/(X)在(0,+8)上单调递增，故无最小值.

故选：ABC

【点睛】利用函数“X)与导函数/'(X)的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等

式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路:

比如：若/(x)+/'(x)>0，则构造g(x)=e*"(x),

若"x)-r(x)>0,则构造g(x)=冬,

若/(x)+靖(x)>0,则构造g(x)=4'(x),

若〃x)—4'(x)>0,则构造g(x)=/^l.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量b满足：|a|=JL(a+2b)j_a，则a-b=____

【答案】-*##—2.5

2

【解析】

【分析】由向量垂直即可得数量积为0,代入模长即可求解.

【详解】由(a+2Z?)_[_£可得+2a・/?=0,.\a-b=~~,

故答案为：一不

2

14.已知(X+1)(X-2)：=<7。+4Z]X+出％2++旬%9,则4+4+“6+。8=•

【答案】24

【解析】

【分析】利用赋值法进行求解即可.

X4X1

【详解】在(+1)(-2)5=a0+aix+a2x+中，

令x=l,得(1+1)4(1—2)5=4+4+/++4=—16①，

令x=—1,得(—1+1)4(—1—2)5=4—a,+4+,-〃9=0②，

令x=(),得(0+1)4(0—2)5=%=—32

ZH/、—16—2x(—32)

①+(2),待24+2(凡+%+%+%)=-16%+&+%=----------------------=24>

故答案为：24

15.己知函数/(x)=2sins:cos2(经—3―sin2«yx3>0),现将该函数图象向右平移三个单位长度,

244G

得到函数g(x)的图象，且g(X)在区间(三,学)上单调递增，则。的取值范围为______________.

24

711

【答案】(0"写,1]

【解析】

【分析】根据给定条件，化简函数〃x),结合图象平移求出函数g(x),进而求出单调递增区间，再列出不

等式求解作答.

【详解】函数/(x)=sin<«%[1+cos(cox--1^)]-sin2cox—sin3x(1+sinct?%)—sin2cox—sincox,

TTTT

因止匕g(x)=/(x---)=sin(6yx——),<y>0,

4a)4

由2也一四<8—二+解得独—也+电，女eZ,

242co4a)co4co

即函数g(X)在[士竺一」上,三+2±]伏£Z)上单调递增，

coAcoco4a>

2kji兀〈兀

丁曰/兀3兀\2for7i2kn3兀“ICD4027r

于是(不了)工[r------,—+—](/ceZ),即nn<，kwZ,

24co4coco4co2kn3兀、3兀

.CD4a)4

18,1

ct)>^k——

3239

解得<8’,ZeZ,由，:乙，keZ,得一一<&《一，而keZ,即后=0或女=1,

ty4-上+1-A:+l>0

313

711

当左二0时，OVGKI,当％=1时，-<ty<—,

23

711

所以。的取值范围为(04]65，§].

711

故答案为：(0,1]」[],§]

16.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点尸到其准线的距离为2,圆M：(x—l『+y2=i,过尸的直线

/与抛物线C和圆”从上到下依次交于A,P,Q,B四点，则91AH+4|BQ|的最小值为.

【答案】12

【解析】

【分析】根据已知条件先求出抛物线的方程，然后将问题转化为计算“9|A/qM|1-13”的最小值，通

过抛物线的焦半径公式将91A/|M||-13表示为坐标的形式，采用直线与抛物线联立的思想，根据

韦达定理和基本不等式求解出最小值.

【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为2,所以p=2,

所以抛物线方程为V=4x,

如下图，归耳=|Q百=1,

卜:

因为91ApiM|8Q1=9（1AF\-\PF\）+4（\BF\-\QF\）=9\AF\+4\BF\-13,

设4（3,凹）,3（工2，%），所以I+^=%+1,|8/|=%+■|=%2+1，

所以91Api+4|BQ|=9玉+4/，

因为直线/水平时显然不合题意，故可设/：x=my+l,

因为直线所过定点厂（1,0）在抛物线内部，则直线/必然与抛物线有两交点，同样与圆也有两交点，

联立＜"一4",炉_（2+4加2）%+1=0,

x=my+l17

所以王元2二1，

所以91ApiM|BQ|=9玉+4々22版瓦=12,

23

当且仅当9%=4々，即玉=1,七=］时取等号，

所以91Api+418。|的最小值为12.

故答案为：12.

【点睛】结论点睛：本题考查圆与抛物线的综合应用，其中涉及抛物线的焦半径公式的运用.常见抛物线

的焦半径公式如下：（。为焦准距）

⑴焦点尸x轴正半轴，抛物线上任意一点尸伍，儿），则|P尸|=%+多

（2）焦点/在x轴负半轴，抛物线上任意一点尸（知九），则阳=—/+多

（3）焦点/在y轴正半轴，抛物线上任意一点〃伍,几），则|PF|=yo+$

（4）焦点/在y轴负半轴，抛物线上任意一点尸伍,九），则|PF|=-%+g

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在等比数列｛4｝中，q=2,4a2，2q,见成等差数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若a=勺•log?an,求数列｛〃｝的前〃项和Sn.

【答案】(1)a„=2n

(2)S„=(n-l)2,,+l+2

【解析】

【分析】(1)由题意设等比数列的公比为4,根据题意，列出方程组求得4=2,进而得到数列的通项公

式；

(2)由(1),得到勿=小2",利用乘公比错位相减法求和，即可求解.

【小问1详解】

解：由题意设等比数列的公比为4(4>0),

因为％=2,且4a2，2%,%成等差数列，可得4a3=4々+%，

则4qq?=44q+qq3,即夕3_4/+4=0,解得。=2,

所以数列｛%｝的通项公式为/=2X2"T=2".

【小问2详解】

n

解:由(1)=an-log2an=T-log^T=n-2,

则S"=1・2+2・22+32+..+-l>2"T+〃-2",

2S„=l-22+2-23+3-24+.+(〃-1>2"+〃2山，

两式相减，可得—S“=2+22+23+.+2"T+2”—〃-2川=(1一〃)2向一2

所以S“=(〃—l)2"+i+2.

18.在①b?+/-/=上"acsinB；②sin28+sin2C-sin2A=sinBsinC这两个条件中任选一个，补充

3

在下面的问题中并作答.

在-ABC中，内角A,B,C所对的边分别是mh,c,.

(1)求角A；

(2)若a=4#>,求，ABC周长的范围.

【答案】⑴4"

(2)8g<a+"cW126

【解析】

【分析】(1)正弦定理结合余弦定理求解即可；

(2)先根据正弦定理把边转化为角表示，结合辅助角公式计算值域即可得出周长范围.

【小问1详解】

选择①：因为〃+C?=3EacsinB，

3

由余弦定理可得2Z?ccosA=，

3

所以结合正弦定理可得JGsin8cosA=sinAsinB.

因为〃£(0,兀)，则sinB>0，

所以>/3cosA=sinA，即tanA=下>，

因为AG(O,兀)，所以A=方；

选择②：因为sinn3+sin?。-sin2A=sinBsinC，

由正弦定理得从+，一〃=J%。，

»222i

由余弦定理得cosA=+。-

2bc2

因为Aw(O,7i),所以A=1；

【小问2详解】

由(1)知A=］，又已知。=46，由正弦定理得：

abc

V-----=------=------=8,

sinAsinBsinC

.・.b—8sinB,c—8sinC,

.1.,V3

.\b+c=8sinB+8sinC=8sinB+sin=8sinBD+—sinDn+——cosB

22

1/o

=85/3—cos5H---sinfi

”2

VO<B<——2TI,

3

1.(D兀Li

2I6)

，46</?+cW8百，

**•8-\^<a+b+cWl2^3,

19.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物

品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，

狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质

量指标值分成以下五组：[100,110)，[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得到如图所示

的频率分布直方图.

(1)规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质

量指标值不低于130的为一级口罩.现利用分层随机抽样的方法从样本口罩中随机抽取8个口罩，再从抽

取的8个口罩中随机抽取3个，记其中一级口罩的个数为X，求X的分布列及均值.

(2)甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加A店的一个订单“秒杀”抢购，乙计划在该型号口罩的

某网络购物平台上参加B店的一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均由“(〃之2,个该型号口罩构

1

成.假定甲、乙两人在A,8两店订单“秒杀”成功的概率均为；一-T,记甲、乙两人抢购成功的订单总数

〃+2

量、口罩总数量分别为y,z.

①求y的分布列及均值；

②求Z的均值取最大值时，正整数〃的值.

352

【答案】（D分布列答案见解析’（2）①分布列答案见解析‘②〃的值为2.

【解析】

【分析】（1）可得X的可能取值为0，1，2,求出X取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望;

（2）①可得y的可能取值为0,1,2,求出X取不同值的概率，即可得出分布列;

②利用基本不等式可求出.

【详解】（1）结合频率分布直方图，得用分层随机抽样抽取8个口罩，其中二级、一级口罩的个数分别为

6,2,所以X的可能取值为0,1,2.

不=。）=詈P（X=1）=詈嘴尸―止罟亮,

所以X的分布列为

X012

5153

P

142828

51533

所以EX=0x二+lx工+2X，=2.

1428284

(2)①由题意，知y的可能取值为0,1,2.

2+4n+3)*

]

p(y=0)=1-

n+2)2(〃+2『

1122

p(y=l)=21--X------------7

〃+2)~(〃+2)-"+2)2〃+2『'

1

叩=2)=7~八r,所以y的分布列为

（〃+2）

Y012

+4〃+3)2________2_1

P

("2)4(M+2)2(n+2)4(〃+2『

(川+4"+3)

2212

所以Ey=ox+lx+2x

n+2)4刀+2)2n+2)45+2)4(“+2)2

F7=nFY=———=_<_

因为Z=〃y,所以（〃+2）2〃+4+4-4,当且仅当〃=2时取等号.

n

所以£Z取最大值时，”的值为2.

20.如图，在四棱锥P-ABCD中，尸。,底面ABC。，CD//AB,AD=DC=CB^\,AB=2,

直线P8与平面ABCZ）所成的角为45°.

（1）证明：BDLPA-,

（2）求二面角。一PB—C的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

【解析】

【分析】（I）作。以_246于点M，CNLAB于点、N,通过余弦定理角解得8。=6,再通过勾股

数得BO_LA£>，再利用线面垂直的性质得到8。_LPD，从而得到8。上平面PAO,再利用线面垂直

的性质即可证明结果；

（2）建立空间直角坐标，利用向量法即可求出二面角的大小.

【小问1详解】

作于点M,CN人AB于点、N,

因为AD=OC=CB=1,AB=2，则MZV=CZ）=1,AM=BN=-,

2

所以cosND48=,，又ND48e（0,7i）,所以NZMB=60°，

2

由余弦定理可知怛。「=\ADf+\ABf-2\AD\-\AB\cosZDAB=1+4-2x\x2x^=3,得到

BD=6，所以A£>2+8£>2=.2,

所以或）_LAT>，又尸。，底面ABC。，8Du面ABC£>，

所以BDLPD，又ADIPD=D,AD,PDu面尸4），所以即1平面尸AD,

又P4u面尸AD,所以LQ4.

【答案】(1)证明见解析；(2)ae[3,+oo).

【解析】

【分析】

尤3「Q

(1)由4=2得到g(x)=x----•,然后作差/(x)—2g(x)=2xCOSX-1+—,构造函数

2I2J

Y2

h(x)=cosx-l+一，用导数法证明.

2

2

(2)将/(%),,g(x)对]£[0,1]成立，转化Q—L.2COSJC+土对X£[0,l]成立，令

2

2

〃(x)=2cosx+土，用导数法求得其最大值即可.

2

X3

【详解】(1)。=2时，g(x)=