2023-2024学年江苏省镇江市高一年级下册期中模拟数学试题（含答案）

2023-2024学年江苏省镇江市高一下册期中模拟数学试题

一、单选题

1.已知AB=“+5人，BC=-2a+Sh>CO=3。一39人贝U()

A.A,8,C共线B.A8,〃共线C.A,C,。共线D.8,C,。共线

【正确答案】C

【分析】根据向量共线定理可构造方程组求满足题意的实数4,由4是否有解可得结论.

【详解】对于A,若48,C共线，则AB=28C，即七"T，方程组无解，则A错误；

[oX=3

对于B,若48,。共线，则AB=MQ=〃8C+CD),即「二:,方程组无解，则B错

'7[-314=5

误；

[3A=—11

对于C,若AC,O共线，贝|JAC=A8+BC=/IC3,即…解得：人-；，

[—39/1=133

••.ACZ)共线,c正确;

对于D,若8,C,。共线，则8c=2C3,即，：「。，方程组无解，则D错误.

—39/1=8

故选：C.

2.已知复数z/=&(cos^+isinS，Z2=g(cos.+isi吟)则必的代数形式是(

)

C.73-73/D.6+5

【正确答案】D

【分析】利用复数三角形式的乘法法则，计算即可得解.

【详解】z,z2=72^cos^+/sin

=>/6[cos(—+—)+/sin(—十—)]

126126

=V6(cos—+/sin—)

44

=G+Gi

故选:D.

本题考查了复数三角形式的乘法法则，意在考查学生的计算能力，是基础题.

3.已知向量“、b的夹角为牛，卜卜血，卜|=1，则忖」卜()

A.4B.5C.4夜D.5应

【正确答案】B

【分析】根据平面向量的数量积公式可得a为=-1，再根据|3a-b|=J(3a-6)2可求得结果.

【详解】因为4丿=|。||6|COS,=&Xlx(-=)=-1,

所以13a-61=J(3d-6)2=yj<)a2-6ab+b2=J18+6+1=5.

故选：B

4.若向量a=(x,2),6=(2,3),c=(2,T),且。〃c,则a在6上的投影向量为()

Af-ABL^ll]c但为D佳-0

A，I13'13丿-I13'13丿[13'13丿[13'13丿

【正确答案】C

【分析】由“〃c得x=-1,进而根投影向量的概念求解即可.

【详解】解：因为〃=(兑2),c=(2,-4),且a〃c,

所以-4x=4,解得％=—1.

所以a=(-l,2),

所以a在厶上的投影向量为,即闻二^^士誉星小卜和⑶呜咼

故选：C

5.如图，已知04=2,0B=3,0C=l,NAOB=60,NBOC=90,若O8=xOA+yOC,

,X

贝|」一=()

y

B

0A

A.6B.vC.昱D.-

233

【正确答案】C

【分析】如图所示，以0C为x负半轴，。8为正半轴建立直角坐标系，根据题意得到

(0,2)=(&-y,x),解得答案.

【详解】如图所示：以oc为x负半轴，。8为y正半轴建立直角坐标系，

则A(6R，8(0,2),C(-l,0),

OB=xOA+yOC,即(0,2)=x(K,l)+y(-l,0)=(6x-y,x),

解得x=2,y=2百，故二=

y3

故选：c.

,2tanl2°/l-cos44°

6.iSa=—cos7°-----sin7°,b=----；——，则有()

221+tan212°V-2-

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【正确答案】A

【分析】先利用余弦的差角和倍角公式，正弦的二倍角公式以及商数关系，对进行化

简，再利用y=sinx的性质即可得到结果.

1万

【详解】=-cos7°--sin7°=cos600cos7°-sin600sin7°=cos67°=sin23°,

22

2sinl2°

.2tanl20cosi?°2sinl20cosl2°..

b__________=4_______________—sin24。

1+tan212°।sin212°sin212°4-cos2120''

1+----------

cos212°

1—(1-2sin~22°)1.।.•比—.

l-cos44°―i---------------=sin22°>由y=sinx的性质可知r，c<a<b,

22

故选：A.

7.如图，已知等腰AABC中，AB=AC=3,BC=4,点P是边BC上的动点，则APA8+AC

()

B.为定值6

C.最大值为18D.与P的位置有关

【正确答案】A

设82=28。(04/141),根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量的加法的几何意义、

余弦定理、平面向量的数量积的定义进行求解即可.

【详解】设8尸=28C(OW/141).

AP^AB+AC)=(AB+BP)(AB+AC)=AB2+ABAC+ABC(AB+ACy

2.2\

BA+AC).(A8+AC)=/l(AC-AB=0,

2ABAC2x3x39

所以AP(A8+AC)=A/+AB-AC=3。+3x3-cosA=10.

故选:A

本题考查了平面向量数量积的运算性质，考查了平面向量数量积的定义，考查了平面向量的

加法的几何意义，考查了数学运算能力.

8.在△ABC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c.已知〃一2辰,$山A+c?=4,且a=2,

则△ABC面积的最大值是()

2+6

A.4-26B.6C.2+6

2

【正确答案】c

【分析】由题意结合余弦定理可知乃ccosA=2屉csinA,可得A=^,由正弦定理可得

),利用三角

/?=4sinB,c=4sinC=4sin

恒等变换化简，然后结合三角函数的性质求得结果.

【详解】由6—2G/?csinA+/=4,且。=2,得/一2百bcsin/=储,

即从+。2一巒=2疯(sin4,由余弦定理可知2bccosA=2®csinA,

所以cosA=6sinA,可得tanA=且，由Ae(O,兀)，可得A==,

—二4

由正弦定理sin8sinCsinA1,可得6=4sin8,c=4sinC=4sin

2

所以SASC=—fecsinA=—/?c=—x4sinBx4sin

44

=4sinB—cos5+-2-sinB=2sinBcos^+2\/3sin2B

(22丿

=sin2B-^cos2B+5/3=2sin^2B-1^+>/3<2+73,

当=即B=时等号成立，

3212

可得_A5C面积的最大值是2+石.

故选：C.

二、多选题

9.在复平面内，下列说法正确的是()

A.若复数z=；\i为虚数单位)，则z=i

B.若复数z满足z2wR，则zeR

C.若复数z=a+Ai(a,AeR),则z为纯虚数的充要条件是a=0

D.若复数z满足国=1,则复数z对应点的集合是以原点。为圆心，以1为半径的圆

【正确答案】AD

【分析】A：根据复数的除法运算法则计算即可；B：设z="+齿(a,beR),根据z?€R求

出“、6的值即可判断；C：根据纯虚数的概念即可判断；D：设z=a+5(a/eR),求出z

对应的点(。，刀的轨迹方程即可判断.

【详解】对于A,z=*.(1：：).、=?="故A正确；

1-1+2

对于B,设z=n+所，a、&wR,则z?+246i,

z2&R=>ab=O；当。=0,以0时，z=/?i£R,故B错误；

对于C,z=a+砥a,6eR),则z为纯虚数的充要条件是a=0且厚0,故C错误；

对于D,设z=a+历(a,beR),则|z|=1=>巒+层=],

则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，故D正确.

故选：AD.

10.在平面直角坐标系中，已知A(l,3),8(2,1),。为坐标原点，下列说法正确的是()

AB(2

A.E是与48平行的一个单位向量B.?，-誉旧是、与48垂直的一个单位向量

陷(55

C.A到08的距离为逐D.0A在08上的投影向量为08

【正确答案】ACD

AB\[5—2yf5A8A8

【详解】对于A,AB=(l,-2),皿=(〒，=且J=1,所以向是与他平行的一

|A455卜4\AB\

个单位向量，故A正确，

对于B,记。=，且夕48=石H0,所以与AB不垂直，故B错误,

对于C,因为08=(2,1),AB=(l,-2),所以O8-A8=2xl+lx(-2)=0,所以OB丄AB,所

以4到08的距离为38卜石，故C正确，

对于D,因为03丄A3,所以在OB上的投影向量为0B，故D正确.

故选：ACD.

11.已知/(x)=2sinxcosx+2由cos2,下列说法正确的有()

A./(x)的最小正周期是2万

B.f(x)最大值为2

C./(X)的图象关于x=q对称

D./(x)的图象关于(-[,0)对称

【正确答案】BD

【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式对/(x)化简整理，对于选项A：利用最小正周期公

式即可求出周期；对于选项B：根据/(x)解析式即可求解；对于选项CD：根据正弦型三角

函数的对称轴和对称点的特性即可求解.

【详解】因为/(x)=2sinxcosx+26cos2》-方=sin2x+yficos2x=2sin(2x+y),

所以f(x)的最小正周期为7=際=万，故A错误；

由Ax)的解析式可知，〃x)最大值为2,故B正确；

因为/(勺=0*±2,故C错误；

因为/(争=。，所以/“)的图象关于(4,0)对称，故D正确.

故选：BD.

12.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，

(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为"奔驰定理”，奔驰定理：已知。是AABC

内一点，ZiBOC,"OC,&40B的面积分别为名,SB，Sc,^SAOA+SBOB+SCOC=Q

。是锐角AABC内的一点，ABAC,ZABC,NACB分别是的AABC三个内角，以下命题正

确的有()

A.若。4+208+300=0，则臬⑸：&■=1：2：3

B.若|OA|=|0Q=2,ZAOB=^-,20A+30B+40C=0，则S"c=g

_________兀

C.右。为AABC的内心，30A+40B+50C=0，则NC=]

D.若。为AABC的垂心，30A+40B+50C=0，则cosNAOB=-亚

6

【正确答案】ACD

【分析】对A,由奔驰定理即可判断;

对B,由面积公式求出S,，结合奔驰定理即可求；

对C,由奔驰定理，结合内心性质可得a/:c=3:4:5,即可得NC=，；

对D,由垂心性质及向量数量积的垂直表示可得|。耳:网:|oc|=cosZA:cosNB:cosZC,

结合奔驰定理结合三角形面积公式，可得SA:SB:SC=tanNA:tanNB:tanNC=3:4:5,

如图所示4E、F分别为垂足，可设=tanZA-3r(r>0),即可由几何关系列式

=解出/=好，最后由正切求出余弦值COSNC=Y5,则由

56

cosZAOB=-cosZC可求

【详解】对A,由奔驰定理可得，OA+2OB+3OC=SAOA+SBOB+SCOC=0,又

040A0C不共线，故SA：SS：SC=1：2：3,A对；

对B,Sc=1x2x2xsinZAOB=l,由2OA+3OB+4OC=0得枭：$»：%=2：3:4,故

99

S.C=工Sc=[,B错；

对C,若。为AABC的内心，30A+40B+50C=0，则弟：:S。、=3:4:5,又

：5&:Sc=(r为内切圆半径)，三边满足勾股定律，故NC=],C

对；

对D,若。为AABC的垂心，则NBOC+NA=TI,

08-OC=|OB,McosNBOC=-|OB|-|OC|COSZA,

又O8-AC=OB-(OC-OA)=0=O8・OC=O8a=|oqcosZA="dcosNC,

同理|oc|cosNB=|Ofi|cosZC,10A|COSNB=|(?B|COSNA,

/.|QA|:|OB|:|(?C|=cosZA:cosZB:cosZ.C,

V30A+40B+50C=0,则当：S«:S’=3:4:5,

且臬:Sp:Sc=kinNBOC:g网ZAOC:网sinZAOB

=cosZBcosZCsinZA:cosZAcosZCsinZB:cosZAcosZBsinZC

_sinNAsinNBsinZC

cosZAcosZBcosZC

tanZA:tanZB:tanZC

如图，。、E、尸分别为垂足,

设AF—tn,tanZA=3f(f>0),则FC-3mt,BF=?tn,AB=(相，AC=也?+1•m,

BEBE

又AE:EC=5:3,故AE=*AC,BE=3tAE=—AC,

tanZAtanZC88

由AB.f'CuAC.BEoNmSwfu曳er+D/n?,解得"亚，

48''5

由tan2/C=―-------l=5ncosNC=逅，故cosNAO8=—cosNC=-"，D对故选:

cos2ZC66

ACD

三、填空题

13.若满足NA8C=60,AC=12,8C=A的厶43c恰有一个，则实数k的取值范围是

【正确答案】伙1。<4412或忆=8百}

【分析】根据正弦定理分析解的个数问题.

ACBC3csinBZsin60。V3

【详解】由正弦定理一,sinA=

sinBsinAAC

当&=1,即左=8百时，A=g只有一解，

242

当在％<1时，％<86，若12VA<86,则A>8=60。，A可为锐角也可为钝角，有两解,

24

当0<ZK12时，A<B,A只能为锐角，只有一解.

*,.攵的范围是伙|0<攵<12或厶=8A/3}.

故伙|0<E2或A=8用

本题考查正弦定理解三角形，在用正弦定理解三角形时，由于求出的是角的正弦值，因此可

能出现两解的情形.像本题，如果12<%<86,则有两解，主要原因是4>3=60。，A可为

锐角也可为钝角.

14.化简———---2cos20°=.

2tan20°

【正确答案】y/0.5

【分析】利用三角恒等变换，先化切为弦，把亙1140。转化为新(60。-20。)，利用差角公式化

简可得答案.

6

[详解]———2cos20°=2sin20°一28s2()°

21an20。益前

73cos20°6cos20。-4sin2()。cos20。

-2cos20°

2sin20°2sin20。

V3cos200-2sin40°>/3cos200-2sin(600-200)

2sin20。-2sin20。

A/3COS20°-cos20°--sin20°)

2sin20。

sin2001

-2sin20o-2

故答案为：

15.已知函数/")=痴2天一8$(2%一专),若a是锐角,且/6+；)=|,则sina=.

【正确答案】迈a

10

【分析】先由条件/[界力=]推出sin(a+》|,结合a是锐角可以推出

0<2+“<三，从而得到cos[a+』>0,最后利用sina=sin(a+?-与进行求解.

6416丿(66丿

【详解】由题意/(^■+：)='j=sin(a+])-cos(a+g),即

cosa-cos(a+A=3=8sa」cosa+gina」8sa+gina=sin|a+A

I3丿52222I6丿

而sina=sin|a+m_m|=sin|a+m]cos[_cos|a+mkinm，注意到&是锐角，则

\oo7\o)o\6丿6

71712兀

—<—+a<—,

663

而sin(a+.=1＜孝，故。+或当＜《+”＜兀（后者情况不符合巳+

舍去）.

于是cos(a+[J>0,即

于曰..(兀、兀(兀、.兀36413\/3-4

十是sina=sina+—cos----cosa+—sin—=—x---------x—=----------.

I6丿6I6丿6525210

故迈a

10

四、双空题

3

16.如图，在四边形ABC。中，ZB=60°,AB=3,BC=6,AD=ABC,AD-AB=,

则实数2的值为,若M，N是线段BC上的动点，且|VN|=1,则。DN的最小

【分析】可得NBA。=120,利用平面向量数量积的定义求得4的值，然后以点8为坐标原

点,3C所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点M（x,0）,则点N（x+l,0）（其中（）VxV5）,

得出DM-DN关于x的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得。M.DN的最小值.

【详解】AD=ABC，AD//BC,.-.ZBAD=180-ZB=120-

AB-AD=ABCAB=A\BC\-|Afi|cos120

=Ax6x3x[-g）=-92=-5,

解得2=

o

以点B为坐标原点，8c所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy,

AD

MN

8c=6,..C（6,0）,

•.•又•.•AO=：BC,则。。，芈，设M(x,O),贝iJN(x+l,。)(其中0<x<5),

DMDN

所以，当x=2时，OA/.DV取得最小值了.

M113

故土T-

本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力,

属于中等题.

五、解答题

17.已知向量：=(1,2),]=(—3,k).

(1)若；〃族，求”的值；

(2)若;丄求实数厶的值；

(3)若；与]的夹角是钝角，求实数上的取值范围.

【正确答案】(1)3逐；

Q)k=7；

4

3

(3)&V—且原一6.

【分析】(1)解方程lxk-2x(-3)=0即得解；

(2)解方程lx(-5)+2x(2+2幻=0即得解；

(3)解不等式1x(—3)+2x%V0且存—6,即得解.

【详解】⑴解：因为向量1=(1,2),"(―3,&),且］〃I，

所以lx%—2x(-3)=0,解得《=-6,

所以卜二J(-3)2+(-6)2=3后.

(2)解：因为:+2族=(-5,2+2外，且;丄日+2小，

所以1x(-5)+2x(2+2Q=0,解得k=丄.

4

(3)解：因为；与了的夹角是钝角，则且；;与了不共线.

3

即1x(-3)+2x%V0且厚一6,所以ZV—且厚一6.

2

7

18.已知z是复数，z+i和丁一都是实数，

1-1

(1)求复数Z;

(2)设关于*的方程x2+x(l+Z)-(3m-l)i=0有实根,求纯虚数加.

【正确答案】(1)z=l-i:(2)m=-\.

【分析】(1)设z=a+历(a,AeR),根据复数代数形式的除法、加法运算法则化简z+i和六，

若为实数，则虚部为零，即可得到方程组，解得即可；

(2)设机=%(〃eR),根据复数代数形式的运算法则化简方程，即可得到方程组，解得即

可.

【详解】(1)设z=a+/?i(a,/，cR),则z+i=a+Z?i+i=a+(b+l)i,

za+bi_(a+Z?i)(l+i)a—ba+b.

1-i-(l-i)(l+i)+

4+1=0

因为z+i和『J都是实数，则，a+6,解得a=l,b=-1,

1-1------=0

2

所以z=1—i.

(2)设m=$(〃£/?),则方程为f+x(2—i)—(3di—l)i=0,即f+2x+3d+(l—x)i=0,若

x2+2x+3d=0

方程有实数根，则解得x=1d=-1,

l-x=O

所以纯虚数机=-i.

19.如图，在.A3C中，已知AB=4,AC=6,点E为A8的中点，点。，F在边8C,AC

上，且AC=6AF，BC=3BD，EF交AD于点P.

（2）AP=xAB+yAC,求x+y的值.

【正确答案】（1）一厶叵；（2）义.

3710

【分析】（1）建立合适平面直角坐标系，表示出A2瓦尸的坐标，由此可求与EF的坐

标表示，结合夹角余弦值的计算公式可求解出结果；

（2）根据AP=zUO得到关于AP的一个线性表示，再根据RE，P三点共线得到关于4P的

另一个线性表示，由平面向量的基本定理求解出参数值，由此可求》+丫的值.

【详解】（1）法一（坐标法）：以月C所在直线为x轴，过8且垂直于AC的直线为y轴建立

平面直角坐标系，如图，

■:乙BAC=gAB=4,AO=ABcos60°=2,B0=AOsin60°=2G,

则A(-2,0),尸(-1,0),网-1,冋,

(10

()

...AD=7‘亍’EF=0,-73.

设AD与EF所成角为，,

AD-EF2y/m

回.冋|37

_2——2—2__21

法二(基底法)：AD=AC+CD=AC+-CB=AC+-AB——AC=-AB+-AC

33333f

EF=AF-AE=-AC--AB,

62

：K=|AB+/=源+押./+*喈,•屮*

v|EF|2=-AC--AB=—AC2--ABAC+-AB2=3,，怛/|=百,

62366411

1211

3B+；A匕A"A"--AB+-AC--ABAC

ADEF

cos，=。31818

WM1Aq•同

_-4_

=叵6"一*;

3

(2)•:A,P,。三点共线,

可设AP=/lAO=；l(AC+CD)=；l(AC+gcB|=«AC+|A3—|AC)=,48+gAC,

由P,E,产三点共线，可设尸产=小七，・・.FA+AP=fE4+fAE，

AP=tAE4-(1-t)AF=^AB+^ACf

22_£

2=—

3-210

由平面向量基本定理可得；，解得

2_1-r2

t=-

3~~6~5

113

：.AP=-AB+—AC,x+y=-H—=—

51051010

故x+y的值为需

20.已知向量加=(cosx,sinx),n=(cosx,-sinx),函数/(幻=力几十己.

(1)若/(3=1,xs(O,乃),求tan(x+?)的值：

(2)若/(a)=—记，sin/7=-^^,/?e(O,y),求2a+汽的值..

【正确答案】(1)-2-73;(2)2a+p-.

4

【分析】(1)根据向量数量积的坐标表示求解出/(x)的解析式，再运用三角函数的关系求解

即可；

(2)根据三角函数和差公式，由已知的三角函数值求解角度即可.

【详解】解：(1)/(x)=cos2x—sin2xH—=：cos2x+—

22

由/(，小，可得cosx=g,由xe(0,O,得x=(,;.tanx=G，

则tan(x+△)=&%=3¥=-2-6

41-tanxl->/3

(2)由")=-1可得8s2a==,由aw©,当可得2aw(肛当),

105242

则sin2a=-^1-cos22a=一扌,

由sin〃=、^,SEO,]),可得COS/?>0,cos/?=Jl—sin?.

“a、_oA•o•々_37A/2_V2

cos(2of+p)—cos2acosp—sin2asinp——x--—i-—x--——2

74

由2a+Qe(肛2万)，可得2a+〃=—.

4

21..ABC的内角A8,C的对边分别为,若asinB=V§/xx)sA.

⑴求A；

⑵若c=3,一ABC的面积为九3.

2

(i)求。；

14

(ii).ABC边3C上一点。，记△M£)面积为R,,AC£＞面积为邑，当3+不达到最小值

502

时，求AO的长.

7T

【正确答案】(1)§

(2)(i)a=币；(ii)

3

【分析】（1）由正弦定理可得sinAsinB=6sin8cosA,进而得出tanA=G，即可得出答案;

（2）根据面积公式可推得八2，然后根据余弦定理可求得a=出；设BD=価m,CD=#in,

推得!=羽，!=挛匸代入［+《，根据“1”的代换，即可根据基本不等式得出取最

£9/nS29〃5~

小值时利”的值，进而得出。。=厶自.根据余弦定理，在MC中，求出cosC=^.然后在

314

/CO中，根据余弦定理，即可求出AO的长.

【详解】（1）由正弦定理以及asinB=J56cosA可得，sinAsinB=JIsinBcosA.

因为sinB^O,所以tanA=JL

又Ae(O,7i),所以A=1.

(2)(i)由已知可得，SV4BC=—/>csin/A=—/?x3x—=,所以匕=2.

v.c2222

222

由余弦定理可知，a=b+c-2bccoSA=4+9-2-2-3-^=J,

所以，a=x/7.

(ii)设BD=5n,CD=V7n,则m+〃=l.

当且仅当丑=%，即〃=],，"=!时取等号.

mn3-3

所以，CD=".

3

又在ABC中，有cosC="+"J==7+4農=也,

2ab2x27714