2023-2024学年广东省广州高二年级上册期末数学模拟试题1(含解析)

2023-2024学年广东省广州高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.经过点（1,0）,倾斜角为150°的直线方程是（）

A.y=-y/3x+\B.y=-^-x+1C.y=-^-x+^~D.y

33333

【正确答案】C

【分析】根据直线倾斜角和斜率关系可求得斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得结果.

【详解】由倾斜角为150,可得，直线斜率为左=tan150〃=-3

3

由直线的点斜式方程得直线方程为＞-0=-乎（X-1）;

即y=_近x+也.

•33

故选：C.

2.等比数列匕,｝中，4=2,4=4,则%等于（）

|3r-

A.-B.-C.1D.72

【正确答案】C

【分析】利用等比中项直接计算即可.

【详解】因为数列｛%｝是等比数列，

所以aj=出4即4=4的，解得生=1，

故选：C

3.三棱柱48C-OE/中，G为棱/。的中点，^BA=a,BC=b,BD=c,则（）

IXX>

B.—Q+6+C

2

।XjX>[XX]）

C.——a+—b+cD.-a-b-^—c

2222

【正确答案】D

【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可.

【详解】

'""■K]IXX1X

CG=CA+AG=CA+-AD=（BA-BQ-a-b+-c

22

故选：D.

4.若直线2x+6y-l=0与直线加x-2y+7=0垂直，贝1」机=()

A.—6B.6C.—D.—2

3

【正确答案】B

【分析】由两条直线垂直的条件即可得解.

【详解】因为直线2x+6y—1=0与直线加x-2y+7=0垂直，

所以2m+6x(—2)=0,得,”=6,

所以，"=6.

故选：B.

5.已知产为抛物线/=4x的焦点，尸为抛物线上任意一点，。为坐标原点，若|尸尸|=3,

则|OP|=()

A.2.72B.3C.2也D.V17

【正确答案】C

【分析】根据抛物线定义结合I尸用=3,求得点尸的坐标，即可求得答案.

【详解】由题意尸为抛物线/=©的焦点，则?(1,0),且准线方程为x=-1,

设P(%力)，由|P尸|=3可得xp+l=3,:.xp=2，代入/=而得吊=8,

即尸(2,±20),故|OP|=Jx：+城=厄=26,

故选：C

6.已知41,-2,1),5(1,-5,4),C(2,3,4),则在北上的投影向量为()

A.（0,-1,1）B.（0,1,-1）C.（0,V2,-V2）D.（0,-五，五）

【正确答案】B

【分析】直接根据空间向量的投影计算公式求出zd在4片上的投影，进行计算/d在“3上

的投影向量.

【详解】因为4d二（1,5,3）,力片二（0,—3,3）,所以/《：/方10+5x（-3）+3x3=-6.

因为|邳30，所以智=^=会

故/C在/片上的投影向量为金/8=-§/5=（0,1,-1）

故选：B

7.已知直线/经过点火2,1,1）,且2（1，0,1）是/的方向向量，则点64,3,2）至心的距离为（）

A.yB.—C.—D.72

222

【正确答案】C

【分析】由空间向量夹角的坐标表示求cos<AF>'^,再根据点到直线距离为|崩菽”4方企即

可求结果.

-3yfl

【详解】由题设4尸=（2,2,1）,则COSV4尸，心一・，

\AP\\n\V22+22+12xJ12+02+122

/-------------/T一

所以sin〈Z尸,〃>=Jl-cosl/P4〉=»而|ZP|=3,

故P到/的距离为MP|sin〈/P,〃>=-^-.

故选：C

8.设双曲线。：1-2=1（〃>0力>0）的左、右焦点分别为耳，F2,离心率为6，P是双曲线

a~b

C上一点，且/耳尸玛=60乙若△耳尸鸟的面积为4石，则△耳尸鸟的周长为（）

A.2#+6瓶B.6+26C.后+2D.26+2太

【正确答案】A

【分析】由三角形面积公式可求|丹讣归用|=16,结合余弦定理得

2

忻引=\PFt|+\PF2^-2\PF{I•\PF2\COS^PF2=（|PF,\-\PF2|尸+2|尸/讣|年|

-2|尸闻p&cosNG%,由离心率可求出见瓦c,同理结合

归用）+归周2=（归用+归周不一2|产用.归闾代入余弦定理可求归制+|「局，进而得解.

【详解】由题可知％明=；1巴讣附2|与以开尸2=46，ZF,PF]=60",求得|尸耳卜|「图=16,

对△耳尸名由余弦定理可得

2

阳引=伊外+1明『-21「甲.|%|cosNR”=(I巾HPF1|)+2\PF,\-\PF2\

-2\PF^\PF2\COSZF｝PF2,即(2c『=(2〃)2+2|期卜|尸引-2|尸甲.|PB|cos/G尸耳,

即4〃=16,6=2,因为/=彳="；，=3,解得。2=2,。2=6,

aa

又

2

山闯2=俨片气归引2-2|户印.户用cosZF|P^=(|PFJ+|PBI)-2\PF]-\PF2\-2|PF,|.\PF2|cos^FtPF2,

即4c2=(|尸用+|P同y-2|产闻•|年|-2|尸印.|%|cosHP6,解得网|+1图=60,

阳闾=2c=2",

所以△片尸鸟的周长为|产甲+归国+内5|=2血+6&.

故选：A

二、多选题

9.数列｛%｝的前“项和为S,，已知S,,=f2+7〃，则下列说法正确的是()

A.包｝是递增数列B.须=-14

C.当〃>4时，a„<0D.当〃=3或4时，S”取得最大值

【正确答案】CD

【分析】根据S,,表达式及〃22时，a“=S“-S,i的关系，算出数列｛&｝通项公式，即可判断

A、B、C选项的正误.S,,=-〃2+7〃的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.

【详解】当“22时，=S“一S,T=-2"+8,又％=S|=6=-2xl+8,所以a“=-2〃+8,

则｛q,｝是递减数列，故A错误；

%。=-12,故B错误；

当〃>4时，a“=8-2”<0,故C正确;

7

因为5“=-/+7〃的对称轴为”=5,开口向下，而〃是正整数，且”=3或4距离对称轴一

样远，所以当〃=3或4时，S“取得最大值，故D正确.

故选：CD.

10.已知直线/：Ax-y+”=0和圆。：/+「=9,则()

A.直线/恒过定点(2,0)B.存在％使得直线/与直线小k2夕+2=0垂

直

C.直线/与圆。相离D.若火=-1,直线/被圆O截得的弦长为24

【正确答案】BD

【分析】A选项，化为点斜式可以看出直线恒过的点，

B选项两直线斜率存在且垂直，斜率乘积为T,从而存在发=-2满足题意，

C选项直线过的定点在圆的内部，故可以判断C选项；

当左=-1时，先求圆心到直线的距离，再根据垂径定理求弦长

【详解】直线，：b-y+2A=0,即y=A(x+2),则直线恒过定点(-2,0),故A错误：

当后=-2时，直线/:点一丁+2左=0与直线/0:x-2y+2=0垂直，故B正确；

•••定点(-2,0)在圆。：/+/=9内部，，直线/与圆O相交，故C不正确：

当斤=-1时，直线/化为一x-y-2=0,即x+y+2=0,

圆心O到直线的距离d=号=&,

直线/被圆。截得的弦长为2百二1=2力，故D正确，

故选：BD.

11.设1b，；是空间一个基底，下列选项中正确的是()

A.若a_L6，bLc>则a_Lc;

B.则J,b，c两两共面，但】b.c不可能共面；

C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使/?=X°+皿+2,；

D.则a+b，b+c-q-c一定能构成空间的一个基底

【正确答案】BC

【分析】a,c所成角不一定为A错误，a，b，c共面不能构成空间的一个基底，B正确,

根据空间向量基本定理得到C正确，a+b>b'+c>向量共面，D错误

【详解】aLb，blc，则a,c所成角不一定为5,A错误；

若；，b,；共面，则不能构成空间的一个基底，B正确；

根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组(x,%z),使C正确；

a+b'=+故b+c，向量共面，不能构成空间的基底向量，D错误.

故选：BC

2222

12.如图，P是椭圆q：・+4=l(a>6>0)与双曲线C2:j-4=l(加>0,”0)在第一象

abmn

限的交点，且GC共焦点小E，N耳尸8=。6，。2的离心率分别为则下列结论不正确

13

A.\PFt\-m+a,\PF2\-m-aB.若6=60。，则方+丁=4

q纥

c9b

C.若夕=90。，则e；+e；的最小值为2D.tan—=—

2n

【正确答案】ACD

【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断A；由余弦定理计算判断B,C；

由余弦定理、二倍角的余弦计算判断D作答.

‘附|+|尸闾=2。

【详解】依题意,厢-|尸闾=2%,解得|尸周=。+叫尸阊=。mA不正确;

令|月行卜2c,由余弦定理得：

222

%g=\PF.\+\PF2\-\F,F21^(4+用)2+(”加)2_4°2=_+心2c2

22

2\PFt\\PF2\~—2(a+m)(a-m)a-m

当6=60°时，/+3/=4/,BP(-)2+3(-)2=4,因此4+?=4,B正确；

CC96

当6=90。时，/+/=勿2,即(与2+(巴)2=2,有二+4=2,

ccele2

而则有e；+e；=2q2M<2(安或了，解得e；+e；>2,C不正确;

八a2+m1-2c1(a2-c2)-(c2-m2)b1-n1

cos0=-----；-----；—=—3——；-------；------=-——L———,

a-m(a-c)+(c-m)b+n1z^2

cos"Tin建Jan"l-tan211-(a2

cos^cos^-sin^=

22e.2于是得

22cos2^+in2ltan^1+tan2g1+(与

S21+

222b

解得tan2g=(r/，而tan，>0,?>0,因此tan—=2,D不正确.

2b2b2h

故选：ACD

三、填空题

13.已知数列｛〃“｝满足％=2,a“+i=l-J,则。2022=.

【正确答案】-1

【分析】首先根据数列的递推公式，确定数列的前几项，由此确定数列的周期，再求阻必.

【详解】因为4=2,所以。2=1-^=；,4=1一(=-1,%=1-_=2,所以数列｛凡｝是

周期为3的数列，出022=%*674=%=T.

故-1

14.已知点8是点4(-2,1,3)关于坐标平面上内的对称点，则阿'=.

【正确答案】714

【分析】按照点关于平面对称的规律求出B的坐标，再利用空间两点的距离公式进行求解即

可.

【详解】因为点5是点工(-2,1,3)关于坐标平面yoz内的对称点，

所以8(2,1,3),

所以喇=V22+l2+32=E.

故答案为.疝’

15.如图，在正四棱柱/8CD-48GA中，E,尸分别是力耳，8G的中点，则下列结论

不成立的是.

①E尸与垂直；②EF与8。垂直；③EF与C。异面；④EF与4G异面.

【正确答案】④

【分析】连4C,AC,根据三角形中位线可得斯〃NC,再结合正四棱柱的结构特征逐一

判断各个命题作答.

【详解】在正四棱柱/BCD—44GA中，连4。，AC,如图，

因尸为矩形8CG4对角线8G的中点，则尸是8c的中点，而E是/用的中点，因此

EF〃AC,

因45_L平面，8CZ),/Cu平面/8CQ,则881J,/C,即有B4LEF,①正确；

正方形N8C。中，ACLBD,又EFHAC,则EF18。，②正确；

假若放,8在一个平面上，不妨设为平面a,由于"〃ZC,EFu平面a,NC<Z平面a,

所以4C7/平面a,又因为/Cu平面力BCD,平面［8CZ)c平面a=C。，因此CO///C,这

显然不符合，故EF,CO不在一个平面上，则EF与CD是异面直线，③正确;

因正四棱柱-44GA的对角面/CG4是矩形，即zc〃4G，因此EF〃4G，④不

正确，

所以不成立的结论是④.

故④

16.如图，已知斜率为-2的直线与双曲线的右支交于/,8两点,

点A关于坐标原点。对称的点为C,且48c=45。，则该双曲线的离心率为.

【分析】取的中点连接0M,求得直线0M的斜率，再利用点差法求得与=2,进

a23

而求得该双曲线的离心率

【详解】如图，设直线48与x轴交于点。，取48的中点连接/C,0M,

由双曲线的对称性可知O为线段ZC的中点，则。“〃8C,

所以ZOMD=45。.由直线AB的斜率kAB=-2,得tanZODA/=-2,

,//八f小\tanZ^ODM+tan45°-2+1_1

则直线。加的斜率％/=^ODMZOMD)=——————

+l-(-2)xl~~3'

=1,

设4（X1,必），8（工2，/），则，

=1,

两式相减，得占E-比A=o,化简得；与

ab演+%2x}-x2a

2

即kOM.上初=5=~1X(-2)=।，

所以该双曲线的离心率e=Ji?J=孚.

故妪

3

四、解答题

17.在平面直角坐标系xQy中，曲线C上的动点P到点(1,0)的距离是到点(-1,0)的距离的6

倍.

(1)求曲线C的轨迹方程：

(2)若力(-2,2),求过点A且与曲线C相切的直线/的方程.

【正确答案】(l)(x+2y+y2=3

(2)V3x-3y+2>/3+6=0«KV3x+3y+273-6=0.

【分析】(1)设尸(xj),根据已知条件列方程，化简求得曲线C的轨迹方程；

(2)设出直线/的方程，根据圆心到直线的距离等于半径列方程，求得直线/的斜率，进而

求得直线/的方程.

7（X-1）2+/

【详解】(1)设尸(x,y),由题意得=拒,两边平方并整理得(X+2)2+/=3,

J（X+if+/

故曲线C的轨迹方程为(x+2)2+「=3；

(2)曲线C：(x+2)2+/=3是以(-2,0)为圆心，半径为力的圆.

显然直线/的斜率存在，设直线/的方程为y-2=%(x+2),

即fof-y+2k+2=0,所以।2"，+2\=也,解得％=±3，

我+13

所以直线/的方程为37+¥+2=0或殍-y-乎+2=0,

即而-3y+26+6=0或缶+3尸26-6=0.

18.在①q=l,S5=25；②%=5,a,=17；③S4=16,$=64这三个条件中任选一个补

充在下面的横线上并解答.

已知等差数列｛〃“｝满足.

（1）求数列｛对｝的通项公式；

（2）求数列｛3”/.｝的前〃项和却

（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

【正确答案】（1）。“=2力-1,“GN*

（2）方=（"_1>3"“+3,weN；

【分析】（1）设等差数列｛q｝公差为乩根据所选条件，利用等差数列通项公式和前〃项和

公式，列方程求解，可得数列的通项公式；

（2）利用错位相减法求数列前〃项和

【详解】（1）若选条件①，设公差为力

则由题知55=5%+；x5x4d,所以25=5+10d,解得"=2,

所以+（〃-l）d=2/7-1,weN\

若选条件②，设公差为力由题知所以[仁，

[%+&/=17[a=2

所以4=4=2〃-1,nGN*.

S,=4a.+—x4x3</=16,

；,所以%=1

若选条件③，设公差为d,由题知

d=2

Ss=8q+—x8x7t/=64,

所以%=4+(〃—l)d=2〃—1,ngN,.

(2)由题知7；=3+3才+5・33++(2n-l)-3",

所以37；=3?+3-33+5了++(2〃-3>3"+(2〃-l>3"M,

两式相减得-27；=3+2-32+2-3J++2-3"-(2n-l)-3n+,

=3+2(32+33++3")-(2〃-1>3"”

=3+2.巴空2(2"

1-3

=37.(2-2〃)-6,

所以北=(〃-1)-3"T+3,〃wN,.

19.如图，正三棱柱Z5C-4AG中，。是8c的中点，AB=BB、=2.

(1)证明：4B平面4CQ；

(2)求平面C4G与平面/CQ夹角的余弦值.

【正确答案】(1)证明过程见解析；

(2)半.

【分析】(1)根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；

(2)根据正三棱柱的性质建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】(1)连接4c交/G于E,连接ED,因为正三棱柱的侧面是平行四

边形，所以E是4c的中点，而。是8c的中点，

所以ED〃B4,而EOu平面ZCQ,48a平面4CQ.

所以48平面/CQ；

(2)因为。是8C的中点，三角形N8C是正三角形，

所以4DJ.BC,设厂是8c的中点，显然。产工平面4，G，

建立如图所示的空间直角坐标系,

。(0,0,0),C(0,-l,0),/(6,0,0),G(0,-1,2),

设平面C/G与平面ACXD的法向量分别为〃?=(%,M，zJ,〃=(%,%,Z2)，

NC：:卜返,-1,2),/1C=(-V3,-1,O),DA=(y/3,Q,Q),

则有收％<=°n产…+2Z'=°力=(1,心。)，

m-AC=0(-gx「M=0')

£&'=。=卜.f+2马=0=),

n-AD^O(-V3X2=0

(IL>/!>2^3V15

平面CAC,与平面AC,D夹角的余弦值为赤户=夕/=­,

20.我国某沙漠，曾被称为“死亡之海”，截至2018年年底该地区面积的70%仍为沙漠，只

有30%为绿洲.计划从2019年开始使用无人机飞播造林，实现快速播种，这样每年原来沙漠

面积的：将被改为绿洲，但同时原有绿洲面积的《还会被沙漠化.记该地区的面积为1个单

位，经过一年绿洲面积为4，,经过〃年绿洲面积为对.

(1)写出q,并证明：数列是等比数列：

(2)截止到哪一年年底，才能使该地区绿洲面积超过：？

【正确答案】(1)卬=急17，证明见解析：

(2)2022年

173143(4、

【分析】⑴根据题意求出4=去，并列出%构造法求出为―ET%—4

从而得到「“-9］为公比为1，首项为q=的等比数列；

I51458

(2)在第一问的基础上得到列出不等式，求出弓)‘＜!■,结合

“〃）=（（]，且〃3）＞],/（4）＜|,从而2018+4=2022,得到答案.

【详解】（1）q=30%xlxU]+70%xlxg=*,

33I

设4+4=彳（。〃一|+4），则。〃+%=^"〃-1一^7'

114

从而-/=7解得：

43

首项为q-?=-g的等比数列;

58

4

（2）由（1）得：a,--

〃5

令《图+那’解得:

显然/(〃)=(?"单调递减,当"=1时，/(3)=272，/八3

一〉一，/（4）

645―।2565

故2018+4=2022,即截止到2022年年底，才能使该地区绿洲面积超过|.

21.如图，在四棱锥P-/8C。中，底面/8CD为直角梯形，平面PCD_L平面Z8CZ),

ADLCD,PDLAC.S.AB=l,CD=^2,AD=^2

(1)证明：PD1BC；

（2）若直线总与平面PC。所成角的正弦值为手，求点C到平面尸8。的距离.

【正确答案】（1）证明过程见解析;

Q）巫.

3

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的性质进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式和点到面距离公式进行求解即可.

【详解】（1）因为平面PCD，平面ABCD,交线为CD,

且平面Z8CD中，ABVCD,

所以1平面尸8,

又POu平面「C。，

所以PD_L8Z,因为PD_LNC,AB4c=u平面月8。，

所以PD_L平面Z8C,而BCu平面/8C,

所以PDJ.8C；

（2）由（1）知，尸。1.平面/8。£）且4。_1。。，

所以DC、。尸两两垂直

因此以O原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为48=1,CD=2,AD=6,设尸。=。

所以£＞（0,0,0）,Z（五0,0）,8（61,0）,C（0,2,0）,尸（0,0,a）,

因为平面尸CD,平面力8C。，交线为C。，且平面/8C3中，ADA.CD,

所以ND_L平面PCD,

所以1方为平面PC。的法向量且"61（-啦,0,0）,

PS=（V2,l,-«）,

因为直线PB与平面PCD所成角的正弦值为赵