2023-2024学年山东省新高考联合质量测评高一年级下册3月联考数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年山东省新高考联合质量测评高一下册3月联考数学

模拟试题

一、单选题

2兀

1.若c=-1+E,keZ,则a终边所在象限为（）

A.第一象限B.第一、三象限C.第二象限D.第二、四象限

【正确答案】B

【分析】直接作出其终边所经过的象限图形即可.

【详解】-与经过第三象限，则反向延长其终边射线经过第一象限，

27r

故。=-丁+也,%€2经过一三象限，

故选：B.

2.若e是直线/上的一个单位向量，a=2e，h=-e，则向量在直线/上的坐标为（）

A.3eB.eC.3D.1

【正确答案】c

【分析】依题意可得a的坐标为2,b的坐标为-1,代入计算即可.

【详解】依题意可得a-b=2e-be）=3e,

所以向量a-6在直线/上坐标为3,

故选：C

3.已知向量〃=（8,-2）,b={mS],c=（4,2）,若〃+。=成，则实数〃2的值是（）

A.-10B.-8C.10D.8

【正确答案】A

【分析】利用向量的坐标运算即可.

【详解】〃+"=（8+〃?,-1）;

c=（42,22）；

.a+b=Ac

8+"i=-2

m=-10

故选：A.

4.函数=W的部分图象可能是（）

A.

【正确答案】A

【分析】根据函数的定义域可排除C,根据函数的奇偶性可排除D,根据特殊值的大小关系

可排除B.

【详解】因为/（力=干的定义域为（y,o）u（o,y）,故排除C；

又八一）="=*=小），

所以函数为，（x）=2（偶函数，图象关于〉轴对称，故排除D；

.兀.兀

又佃=学4,呜卜?i即虫）所以排除区

62

故选：A.

5.滚铁环是一种传统儿童游戏，现在为了测量A、B两点之间的距离，某同学用滚铁环的

游戏方式进行测量，如图所示，在铁环上标记点C,将点C与点A重合，让铁环沿着AB直

线滚动，当铁环滚动到点B时，点C与地面接触了8次，且标记点C位于铁环的正上方，

己知铁环的半径为0.4米，则A、8两点之间的距离大约为（）米（其中兀23.14）

A(C)B

A.20.35B.21.55C.20.55D.21.35

【正确答案】D

【分析】根据圆的周长公式求得正确答案.

【详解】依题意，A、B两点之间的距离大约为27rx0.4x8.5=6.87ra6.8x3.14B21.35米.

故选：D

6.已知tane=-2,a的终边与以原点为圆心，以2为半径的圆交于P（毛,儿），则X0%=

（）

、82

A.—B.—C.—D.一

5555

【正确答案】A

【分析】根据tana=-2和点在以2为半径的圆上，建立方程组，解方程组可得答案.

【详解】因为tan0=-2,所以§=-2,即％=-2x°：

又因为P（公,几）在以2为半径的圆上，

土2V55

8

二

寸

当/-

5

8

廿

当-

与5

故选：A.

)

2y/55

A26D.

-i丁~9~9

【正确答案】D

【分析】观察题目中角的特征可知，将要求的角转化成已知角，利用诱导公式及同角关系式

即得.

【详解】由题意可知，将角进行整体代换并利用诱导公式得

七，、I•(2]5.2I2.45

月।■以,sm-n+acosa—n=-sin—a=cos—a-1=—1=—.

(3JI6JU)(3)99

故选：D.

8.如图所示的矩形4BCO中，AB=4,AQ=3,以8为圆心的圆与AC相切，P为圆上一

力,的值为（）

r13Gn13>/3

X_z•-----------------LJ.------------

255

【正确答案】C

【分析】过点尸做PE_L回交A8延长线于点E,先根据相切及等面积法求出圆的半径即BP

的长度，再根据448。=言，求出BE,PE的长度，根据长度之间的比例及向量共线定理分

别可得EP,AE与ARAB之间的等式关系，代入AP=AE+EP中，故可得入〃的值，即可选

出结果.

【详解】解：过点尸做交A8延长线于点E,如图所示:

因为矩形ABC。中，AB=4,AO=3,所以AC="I?=5,

因为尸为圆上一点，所以8P为圆的半径，

因为圆与AC相切，根据"（为面积相等可得:

-ABBC=-ACBP,即143=、53尸，

2222

122717T

解得BP=?,因为NABP=W，所以=

所以BE=9,PE="~,因为依JLA3,所以P石〃A。,

55

6百

因为4)=3,PE=—,所以PE飞—2g,

5-----=-------=-----

AD35

所以砂=23。，因为BE=2,AB=4,所以AE=¥，

555

变.13

所以AE13,所以AEn二AB,

----=-^5=—10

AB410

132^/3

所以AP=AE+EP=，A8+上AO=/IAB+〃A。,

105

A=13

故’=3所以便=¥，

P~~

故选：C

二、多选题

9.已知sina+cosa=一，。6（0,兀），则()

2

A.sina=—B.cosa=-C.tana=--D.tan2a=y/3

22

【正确答案】AD

【分析】sina+cosa=—~~^平方可得2sinacosa=—也＜0,判断角。的范围，从而求

22

得sina-cosa=2十"，即可求出sina,cosa,tana的值，判断A,B,C,利用二倍角

2

正切公式求得tan2a,判断D.

【详解】因为sina+cosa=】①,故(sina+cosa)2=:,

即l+2sinacosa=------2sinacosa=——-<0，

22

兀

因为。£(0,兀)，故sma>0,cosavO,可得。£(一,兀)，

2

贝ij(sina-cosa)2=l-2sinacosa=，故sina-cosa="[②,

①②联立解得sina=3，cosa=-《，故A正确，B错误；

tanc=^^=-g,C错误；

cosa

tan2a=-^^-=^^=73,D正确，

l-tan-a1-3

故选：AD

10.已知点尸(x,D在角a的终边上，且cosa=],则x的值可以是()

A.+,/2B.±1C.±6D.0

【正确答案】CD

xX

【分析】根据三角函数定义,解得彳=不彳由此得解.

x

【详解】根据三角函数定义，过P(x,l)点,则有cosa=

Jx2+\

xXX

又因为cosa=「，则彳=-/=^=解得x=0或丁=3

227A-2+1

即x的值可以是0,±73,

故选：CD

11.已知平面上点。是直线/外一点，AB是直线/上给定的两点，点C是直线/上的动点,

且满足OC=/OA+(1-/)OB,则下列说法正确的是()

A.当时，点C为线段A8的中点B.当点C为线段A8的三等分点时，f

C.当re(0,l)时，点C在线段A3上D.当点C在线段AB的延长线上时，r>1

【正确答案】AC

【分析】由OC=f04+(lT)O8推出BC=f84,根据向量的共线，由此结合每个选项的条件,

判断其结论，可得答案.

【详解】由题意OC=fOA+(l-f)OB可得0C-08=f(04-0B),ERBC=tBA,

当f=g时，8。=3的点，即C为线段A8的中点，A正确；

当点C为线段A8的三等分点时，C可能是靠近B的三等分点也可能是靠近A的三等分点，

故或r=9B错误；

33

当fe(0,l)时，BC=tBA，由于8C,BA同向，故点C在线段A8上，C正确；

当点C在线段A3的延长线上时，BCBA反向，故/<0,D错误,

故选：AC

12.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔

驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知

M是.ABC内一点，ABMC,.AMC,一AM3的面积分别为品，S「且

SAMA+SRMB+SC-MC=O.以下命题正确的有（）

A.若枭应£=1：1：1,则例为-43C的重心

B.若A/为AfiC的内心，则BC-MA+AC-MB+AB-MC=O

C.若NB4C=45。，NABC=60。，M为ABC的外心，则邑：品：&■=万：2：1

D.若M为一A8C的垂心，3MA+4MB+5MC=0，则cos/AM8=-迈

6

【正确答案】ABD

【分析】对A,取BC的中点。，连接用。，AM,结合奔驰定理可得到2MO=-M4，进而

即可判断A；

对B,设内切圆半径为「，从而可用,表示出臬，％,S,，再结合奔驰定理即可判断B；

对C,设ABC的外接圆半径为R,根据圆的性质结合题意可得N3MC=90。，ZAMC=120°,

NAA仍=150。，从而可用R表示出名,SR,SC,进而即可判断C；

对D,延长AM交BC于点。，延长3。交AC于点E延长C。交A8于点E,根据题意结

ss

合奔驰定理可得到一华=4,一詈=3,从而可设M0=x,=则A"=3x,BM=2y,

3A

代入即可求解cosZAMB,进而即可判断D.

【详解】对于A,取BC的中点。，连接MQ,AM,

由枭：Sp：Sc=1:1:1,贝IJMA+A/B+MC=O，

所以2A/O=M8+MC=-MA，

2

所以A,M,。三点共线，且

22

设E,尸分别为A8,AC的中点，同理可得CM=§CE,BM=-BF,

所以"为ABC的重心，故A正确;

A

对于B,由河为ABC的内心，则可设内切圆半径为r,

则有SA=：8C",SB=^AC-r,Sc=^ABr,

222

即BC-M4+AC-MB+AB-MC=0，故B正确；

对于C,由"为一ABC的外心，则可设_AfiC的外接圆半径为K,

又N84c=45°,ZABC=60°,

则有NBMC=2ZBAC=9()°,ZAMC=2ZABC=120°,ZAMB=2ZACB=150°,

所以枭=；R2sinNBMC=；R2sin90°=：R2,

11pj

S=-R2-sinZAMC=-/?2sinl200=—R2,

Bn224

S=-7?2sinZAMB=-/?2sinl50°=-R2,

cr224

所以SA：SB：SC=2：6：1，故C错误;

A

对于D,如图，延长AM交8c于点£>,延长交AC于点凡延长CM交AB于点E,

A

由M为一ABC的垂心，3MA+4M8+5MC=0，则品：:S°=3:4:5,

cq

又5碇=枭+5“+5-贝U*=4,寸=3,

设MD=x,MF=y,则AM=3x,BM=2y,

Xv

所以cosN8M£)=—=cosZ.AMF=—,即3/=2y2,

2y3x

所以cosNBMD=所以cosNAM8=cos(兀-N8WD)=-如，故D正确；

故选：ABD.

关键点点睛：解答D选项的关键是通过做辅助线(延长AM交BC于点Q,延长B。交AC

于点F,延长C。交AB于点E),根据题意，结合奔驰定理得到事=4,千=3,再设

MD=x,MF=y,得到AA/=3x,BM=2y,进而即可求解ssN/VWB.

三、填空题

13.已知。为坐标原点，42,-3),A8=(l,-2),贝”。8|=

【正确答案】V34

【分析】根据平面向量的坐标运算得。8的坐标，再根据坐标求解模长|。8|即可.

【详解】因为O3=OA+AB=(2,—3)+(1,-2)=(3,-5),所以〔OB卜亚+(-5『=扃.

故答案为.后

一7兀7.19

14.cos—+tan—兀+sin—兀=.

346---------

【正确答案】一1

【分析】利用诱导公式化简计算即可.

【详解】解：原式=cos(27i+1)+tan(2兀一彳1+5出(3兀+6)

717171

=cos——tan——sin—

346

1t1.

22

故答案为.-1

15.在平面直角坐标系中，点A（cosO,sin。）与点81"夕+看）8$（6+2））关于原点对称，

则6的一个取值为.

【正确答案】《2兀（0=—2冗+kn,keZ,任何一个符合此条件的角）

【分析】先利用对称得到A与2的坐标之间的关系，结合诱导公式得到含角。的恒等式，然

后求出角6的范围，写出9的一个值即可

【详解】因为点A（cosasine）与点86也卜+「|,3,+胃］关于原点对称，

jr37r27r

所以。+」=^--6+2E,ZwZ,即。=——+E«wZ,

623

令％=0,得。=手2兀

22兀

故彳7t(8=T+E,ZeZ,任何一个符合此条件的角).

四、双空题

16.如图所示，点尸是平行四边形8CDE内（含边界）的一点，点B是AC的中点，BE=2OB，

且OP=xOA+yOB(x,yeR).

①当CP=2P£时，x=；

②x-y的最大值为.

【正确答案】-g-1

【分析】根据题意作出图形，利用向量的线性运算及平行四边形的性质，结合图形即可求解.

【详解】①由题意可知，作出图形如图所示

因为点8是AC的中点，

所以。8=g（0A+0C）,即OC=2OB-OA,

因为BE=2OB,

所以OE=3O8,

因为CP=2PE，

2

所以CP=]CE,

所以

001n

OP=OC+CP=OC+-CE=OC-^--（OE-OC}=-OC+-OE

33、>33

iQIQ

=—x（2O3—QA）+—x3OB=--QA+—O8,

3'>333

所以当CP=2尸E时，x=-

②过户作PM〃AO交OE于M,过户作PN〃OE交AO的延长线于N,如图所示

因为四边形PMON是平行四边形，

所以OP=ON+OM.

又OP=xOA+yOB(x,yeR)；

所以尤40,y>l；

由图形看出，当尸与B重合时，0尸=。.。/1+卜08;

此时x取最大值0,丁取得最小值1

所以x-y的最大值为T.

4.1

故-3：_|-

五、解答题

17.如图，点4,B,C是圆。上的点.

TT

(1)若NACB=Z，AB=4cm,求扇形AOB的面积和弧AB的长;

6

(2)若扇形AO8的面积为10cm"求扇形AOB周长的最小值，并求出此时/AO8的值.

【正确答案】(1)面积为5cm二弧48的长为号cm

(2)4A/10,ZAOB=2

【分析】Q)根据扇形的弧长公式和面积公式进行计算即可.(2)根据扇形的弧长公式和面

积公式结合基本不等式的应用进行求解.

【详解】(1)由题意知，设。=1408,所以。=当

根据扇形弧长/=aR=4W7rcm；

1Q--

扇形面积S=：«R2=¥cm2；

23

(2)由5="=10,即/=型，

2R

扇形的周长为2R+/=2R+—22.=4加当且仅当R=Vi6cm等号成立,

18.设。1=(1,-1),03=(2,4),0C=(t,2).

(1)当r=4时，将0C用。A和0B表示;

(2)若A,B,C三点能构成三角形，求实数1应满足的条件.

【正确答案】(1)OC=2OA+O8

⑵Y

【分析】(1)把1=4代入向量0C，以0A和08为基底写出0C，利用向量相等列式求出待

求系数即可求解；

(2)由已知可知，向量AB与AC不共线，根据坐标列出式子，解之即可.

【详解】(1)当f=4时，OC=(4,2),设OC=4(M+4O8,

所以(4,2)=40，-1)+4(2,4)=(4+24，-4+44),

14+24=4〔4=2

所以；,，解得;1：

[-4+44=2(2,=1

所以OC=2OA+OB.

(2)若A,B,C三点能构成三角形，则有AB与AC不共线，

XAB=OB-OA=(2,4)-(1,-1)=(1,5),

AC=0C-0A=(f,2)-(1,3),

Q

则有Ix3-Q-1)X5WO,所以fXg.

19.如图矩形4BC£>,DE=2EC，BF=2FC，AC与EF交于点N.

⑴若CN=/IA8+/M。，求2+〃的值；

(2)设AE=a，AF=b，试用a，6表示AC.

【正确答案】(l)4+〃=-g

33

(2)AC=-a+-b

【分析】（1）利用共线定理转化为CN=（1T）CE+『"，再根据平行四边形性质与OE=2EC，

8尸=2FC得出（l-f）CE=-ajOABjCF=-（A。，利用待定系数即可求解加〃=-，

2?

（2）根据AC=AB+A£＞，AE=-AB+AD,AF=A8+§A。与AC=AB+即可求解.

【详解】（1）依题意，

CN=CE+EN=CE+tEF=CE+t(CF-CE)

=(\-t)CE+tCF=-^-^-AB-^AD

2_I—

亍，1

又CN=4AB+〃AO,所以，t解得

27

(2)因为4C=AB+A。，AE=-AB+AD,AF=AB+-AD

所以AF+A£=*(A8+AQ)=*AC,所以AC=3q+?人.

3355

20.潍坊市“渤海之眼''摩天轮是吉尼斯世界纪录认证的“世界最高的无轴摩天轮”，横跨白浪

河，采用桥梁与摩天轮相结合的形式建设，高度145米，直径125米，拥有36个悬挂式观

景仓，绕行一周用时30分钟，它的最低点£）离地面20米.摩天轮圆周上一点A从过圆心0/

与地面平行的位置开始旋转，逆时针运动，分钟后到达点B,设点5与地面的距离为九米.

（1）求函数//=/（。的关系式；

（2）用五点法作图，画出函数〃=/（f）,fe[0,30]的图象.

【正确答案】（1）%）=含《哈r+写，（B0）

（2）答案见解析

【分析】（1）根据正弦型函数的应用设/7=/G）=Asin（5+0）+b,由题意分析可得48他。

的值，即可得函数〃=/（，）的关系式;

（2）根据正弦型函数五点作图的特点列表、描点、连线即可得大致图象

【详解】（1）由题意得，

设函数人=/«)=Asin(tyx+°)+b,

圆。1半径为八谷125米，周期丁=30分钟，角速度少=2兀塞=台兀rad/min,

八二125

又因为0&=丁125+20=？165米，则fA+b=145，解得一万:，

22—A+b=20.165

ib-----

2

摩天轮圆周上一点A从过圆心。,与地面平行的位置开始旋转，故。=0,

所以函数〃=f"）=3sin]f+等，（心0）；

（2）按照五点法作图，列表得:

1545

t0T15T30

71713

一t071—712汽

1572

.71

sin-t0i0-10

15

,165125.7t165165165

h=------+---sin—t14520

2215~2~2T

作图得:

21.已知函数/'(x)=Asin(tyx+e)(A>O,0>O,l3l<]J的部分图像如图所示.

(1)求函数Ax)的解析式，并求出该函数的单调递增区间；

TT

(2)将函数Ax)的图像向左平移g个单位长度，再把横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),

0

得到函数y=g。)的图像，求g(x)的解析式；

兀71

(3)若|g(x)-机|<2在上恒成立，求实数旭的取值范围.

(兀、「715兀

【正确答案】⑴/(x)=2sin2工一可，EE+看(kwZ)

(2)g(x)=2sinx

⑶(0,0+2)

【分析】(1)通过最大值求A,利用周期解得。，代点求解。，可得函数解析式，再利用整

体代入法求单调递增区间；

(2)通过函数的平移和伸缩变换求函数解析式；

(3)由函数y=g(x)在区间内的值域，结合不等式恒成立，求实数〃?的取值范围.

【详解】(1)由图像可知，A=2,且7=2(［兀一［兀］=n=生，解得。=2,

(1212)co

所以/(X)=2sin(2x+cp),

因为/兀］=25也［2兀+。］=2,所以9兀+9=2kn+—(^GZ),则Q=IkTi~—{keZ),

<12))623

因为所以夕=一］

所以/⑴=2sin\2x-

717rTTITSir

由2fac——<2x——<2攵兀+—(ZwZ)得2冗---<x<kn+—

2321212

it

所以函数单调递增区间为也-石，E+=(%eZ).

(2)由(1)可知，f(x)=2sin(2x-1),

将函数f(x)的图像向左平移1个单位，y=2sin(2(x+£|T)=2sin2x,

再把所得图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，则

g(x)=2sinx；

(3)因为无£,所以1,所以播《g(x)W2,

l_42J2

TTTT

因为1以无)-相|<2在上恒成立，

［42J

所以g(x)-2<m<g(x)+2在g(x)e［夜,2］上恒成立，所以2-2<〃?<&+2，

所以实数机的取值范围为(0,&+2).

22.如图1所示，在.ABC中，点。在线段8c上，满足28£>=£>C，G是线段48上的点，

且满足3AG=2GB，线段CG与线段A。交于点。.

AA

GE

/

BDC

图1图2

(1)若40=//1£)，求实数方；

(2)如图2所示，过点。的直线与边A5,AC分别交于点E,F,设砧=/UE，

FC=//AF(2>0,//>0)；

(i)求由的最大值；

(ii)设△A£F的面积为S-四边形BEFC的面积为邑，求兴的取值范围.

(参考公式：^ABC的面积S.c=gIA3IIAC\sinABAC)

【正确答案】(l)r=1

12器

lum

UL。r-

21A=Ac+X-

【分析】(1)由题意可得+5列出方程组求解

即可；

(2)⑴由题意可得40==AE+-4尸，AO=(\-n)AE+nAF,列出方程组，从而可得

2义+〃=3,利用基本不等式求解即可；

(ii)根据三形的面积公式可得今=(1+/D(1+〃)T，再结合"+〃=3,可得

邑+-,0<A<1,利用二次函数的性质求解即可.