2023届山东省新泰二中、泰安三中、宁阳二中高三第三次（5月）（三模）数学试题试卷

2023届山东省新泰二中、泰安三中、宁阳二中高三第三次（5月）（三模）数学试题试

卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知椭圆C：=+==1（。>人>0）的左、右焦点分别为"，F2,点P（X|，X）,Q（一七,—X）在椭圆。上，其

中玉>0,x>0,若|PQ|=2|O用，空2日，则椭圆C的离心率的取值范围为（）

S3

A.B.（0,76-2]

</zI

C.1D.-1]

2.如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（）

因0

S1

1

1125

A.-B.-C.一D.-

2336

3.下列不等式成立的是（）

丄丄1

A.sin—>cos—B.>f-YC.log,-<log,

22（2丿（2丿Q

（a-2）x,x>2

4.已知函数〃x）=门丫，满足对任意的实数工产%,都有二"二）<0成立,则实数a的取值范

㈤

f<2%—x2

围为（）

，+00

A・(1，+°°)B.1一00,3C.18,装)D.^YJ

一1---------1一

5.在平行四边形A5CD中，A3=3,A。=2,A尸=]A氏AQ=eAD,若CP•CQ=12,则NA。C=()

3兀

A.2B.—C.纪D.土

6432

x2

6.斜率为1的直线1与椭圆二+y2;=1相交于厶、B两点，贝U|AB|的最大值为（)

4

4V108V10

A.2B・竽

55

7.3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（)

111

A.—B.—C.一

245

8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）

D.4

1

D.-

4

10.2（）世纪产生了著名的“3x+l”猜想：任给一个正整数x,如果x是偶数，就将它减半；如果x是奇数，则将它乘

3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“3x+l”猜想的一个程序框图，若输入正整

数加的值为4（）,则输出的〃的值是（）

A.8B.9C.1（）D.11

11.已知平面a,夕，直线/满足/ua,贝!丄力”是“a丄，”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分也不必要条件

12.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度

相同），用回归直线§=队+令近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（）

A.线性相关关系较强，5的值为1.25

B.线性相关关系较强，》的值为0.83

C.线性相关关系较强，8的值为-0.87

D.线性相关关系太弱，无研究价值

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/(x)=cosx-log2(2'+l)+ox(aeR)为偶函数，贝!|a=.

14.己知函数/(x)=x(2N-l),若关于x的不等式/，-2》-24)+/3-3),,0对任意的工41,3］恒成立，则实数”的

取值范围是.

15.已知向量(2,根)，Z?=(1,-2),且a丄八则实数，〃的值是.

16.已知复数2=(加2-2)+(加一1»对应的点位于第二象限，则实数，〃的范围为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数分(力=|%+6］一何一%|(+€1?).

(I)当机=3时，求不等式/(x)»5的解集；

(H)若不等式7对任意实数x恒成立，求实数，〃的取值范围.

18.(12分)如图所示,在四棱锥ABCD中，底面ABC。是棱长为2的正方形，侧面尸AO为正三角形,且面PADS.

面ABC。，E,F分别为棱A8,PC的中点.

(1)求证：平面尸AD；

(2)求二面角P-EC-。的正切值.

19.(12分)已知数列｛4｝满足：x„+1=<-6,nwN*,且对任意的〃eN*都有x“〈豊二L

(I)证明：对任意〃wN*,都有上百；

“2

(II)证明：对任意〃eN*,都有|x用+2|»2|七+2|；

(ni)证明：玉=一2.

20.(12分)如图，在四棱锥P—A3CD中，四边形ABC。为正方形，PO丄平面ABC。，点〃是棱PC的中点,

AB=2,PD=t(t>0).

(1)若t=2,证明：平面DM4丄平面PBC；

4

(2)若三棱锥C—DBM的体积为3,求二面角B—DM—C的余弦值.

21.(12分)如图，设4是由〃x〃个实数组成的“行"列的数表，其中劭①六1,2,3,…，”)表示位于第i行第，

列的实数，且劭€{1,-1}.记S(〃，“)为所有这样的数表构成的集合.对于Aw(〃，〃)，记ri(4)为A的第i行各数之积,

q(A)为A的第j列各数之积.令/(A)=厶)+»,.(A)

i=\；=1

anan・・・ain

ai\422din

•・・・・・・・・・•・

斯ia〃2・・・dnn

(I)请写出一个AeS(4,4),使得/(A)=0；

(H)是否存在A€S(9,9),使得"A)=0?说明理由；

(m)给定正整数"，对于所有的ACS5,〃)，求4A)的取值集合.

22.(10分)在AABC中，内角4民。的边长分别为a/,c,且c=2.

TT

(1)若A=1,b=3,求sinC的值；

(2)若sinAcos2'+sin3cos24=3sinC,且AABC的面积S=£sinC,求。和/?的值.

222

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

根据|「。|=2］。冃可得四边形WQK为矩形，设卄=〃，？心=〃"根据椭圆的定义以及勾股定理可得

2

4cmnmnc4c2,46

kf7**再分析'=7+7的取值范围选而求得2＜系＞«口一再求离心率的范围即可.

【详解】

设=〃，尸B由％>o,y>o,知“,

因为P(4x),Q(—药,一yj在椭圆C上,|P。|=2|0日=2|06|,

所以四边形P£Q玛为矩形,Q£=尸乙；

由鬻之4河得理，慢＜員

33n

由椭圆的定义可得〃?+〃=2。,m2+/=402①,

平方相减可得mn=2(/_02)②,

27

4c2m+〃~mn

由①②得近二百+—

mnnm

mn

令A/=—I—

nm

令卩=一€

n

4百

所以f=u2,

v3

c4c246

即2〈乖匚/亍

所以/—/</4幽

a2c2

3

所以1_e2＜成J巫1-e2

3

所以丄<e2<4-2A/3,

2

MW—<e<V3-l.

2

故选：C

【点睛】

本题主要考查了椭圆的定义运用以及构造齐次式求椭圆的离心率的问题,属于中档题.

2、C

【解析】

根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积.

【详解】

根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：

由图可知，该几何体是在棱长为1的正方体ABC。-A&GA中截去四棱锥4-ABC。所形成的几何体,

该几何体的体积为V=p-丄X12xl=g

33

故选：C.

【点睛】

本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.

3、D

【解析】

根据指数函数、对数函数、幕函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.

【详解】

八1乃.11…

对于A,0<—<一,sin—<cos—,A错误；

2422

对于5,y=在R上单调递减，<(1),3错误;

对于C,l°gIg=log23>l,log,|=log32<l,.',log,|>log,1C错误；

2§2耳3§2

丄丄

对于D，=)在R上单调递增，0正确.

故选：D.

【点睛】

本题考査根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幕函数的

单调性.

【解析】

由题意可知函数y=/(x)为R上为减函数，可知函数y=(a—2)x为减函数，且2(。一2)«-1,由此可解得实

数”的取值范围.

【详解】

。一2<0

13

由题意知函数y=/(x)是R上的减函数，于是有，,解得。工一,

2（a-2）<8

因此，实数。的取值范围是

故选：B.

【点睛】

本题考査利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系,

考査运算求解能力，属于中等题.

5、C

【解析】

/_1_77

由CP=C6+8P=-—§A3,CQ=CO+QQ=—AB—5AQ,利用平面向量的数量积运算，先求得NBAD=；,

利用平行四边形的性质可得结果.

【详解】

如图所示,

平行四边形ABC。中，AB=3,AO=2,

AP=-AB,AQ=-AD,

32

—•--2

...CP=CB+BP=-AD——AB,

3

CQ=CD+DQ=-AB-^AD,

因为CPCQ=12,

所以CPCQ=(-AO—A3—

221.24

=-AB+-AD+-ABAD

323

214

=-X32+-X22+-X3X2XCOSZBAD=12,

323

171

cosZBAZ）=-,/.ZBAD=—,

23

7T27r

所以NAOC=TT—J=——，故选C.

33

【点睛】

本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题.向量的运算有两种方法：（1）平行四边

形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（2）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是

和）.

6、C

【解析】

设出直线的方程，代入椭圆方程中消去外根据判别式大于0求得f的范围，进而利用弦长公式求得以身的表达式，利

用f的范围求得IA川的最大值.

【详解】

解：设直线/的方程为y=x+f,代入丄+产=1,消去y得二必+2戊+产-i=o,

44

由题意得△=(2t)2-1(t2-1)>0,即?<1.

弦长|45|=4&x並二口<生叵.

55

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系.常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问

题的突破口.

7、D

【解析】

把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件.计数后可求得概率.

【详解】

3本不同的语文书编号为A,6,C,2本不同的数学书编号为从中任意取出2本，所有的可能为：

AB,AC,Aa,Ah,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10个,恰好都是数学书的只有"一种，，所求概率为「='.

故选：D.

【点睛】

本题考査古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率.

8、B

【解析】

由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积.

【详解】

由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：

•PA=-x22xl=-.

33

故选：B.

【点睛】

本题考査了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题.

9、A

【解析】

■2020

利用复数的乘方和除法法则将复数—化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.

1-z

【详解】

•2020

50511+Z11.

•20201=1,!―,________________________—-----I

1-z(l-z)(l+z)22

,2020

因此,

7^7

故选：A.

【点睛】

本题考査复数模长的计算，同时也考査了复数的乘方和除法法则的应用，考査计算能力，属于基础题.

10、C

【解析】

列出循环的每一步，可得出输出的〃的值.

【详解】

40

〃=1,输入m=4(),〃=1+1=2,加=1不成立，加是偶数成立，则加=二=20；

2

20-

〃=2+1=3,加二1不成立,机是偶数成立，贝!J"2=—=10；

2

〃=3+1=4,根=1不成立,机是偶数成立，则根=5；

2

〃=4+1=5,根=1不成立,机是偶数不成立，则加=3x5+1=16；

加是偶数成立，则加=學=8；

〃=5+1=6,m=1不成立,

2

8)

〃=6+1=7,机=1不成立,m是偶数成立，则二-=4；

2

〃=7+1=8,机二1不成立,团是偶数成立，则zn=-=2-

2，

2

〃=8+1=9,机=1不成立，加是偶数成立，则加=^=1；

2

n=9+l=10,根=1成立，跳出循环，输出〃的值为1().

故选：C.

【点睛】

本题考査利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.

11、A

【解析】

a,4是相交平面，直线/u平面a,贝肝/丄力”=“。丄£”，反之a丄£,直线/满足/ua,贝M丄/?或〃/4

或/u平面仅，即可判断出结论.

【详解】

解：已知直线/u平面a,贝！丄/?”="c丄，”，

反之a丄直线/满足/ua,贝”丄，或/〃月或/u平面月，

丄，，，是“。丄的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力.

12、B

【解析】

根据散点图呈现的特点可以看岀，二者具有相关关系，且斜率小于1.

【详解】

散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，

故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，

且直线斜率小于1,故选B.

【点睛】

本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

C1

13、一

2

【解析】

根据偶函数的定义列方程，化简求得。的值.

【详解】

由于“X）为偶函数，所以/（—力=/（力，

-xJ

BPcos（-x）-log2（2+l）-ar=cosx-log2（2+l）+ax,

即cosx-log2(2T+l)-办=cosx-log2(2*+1)+办,

即log2(2"+I)_log2Qr+l)_2ox=0,

(2v+l)-2'

2*+1~2"=°，即logi-----------------2ax-0»即

即log?^~--2ax-0>即log?

-2X32*+1

10g22*—20r=尤一2以=(1-2a)x=0,所以1—2a=0,a=；.

故答案为：—

2

【点睛】

本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力，属于中档题.

14、［TO］

【解析】

首先判断出函数f(x)为定义在R上的奇函数，且在定义域上单调递增，由此不等式/(/-2X-20)+/(必:-3),,()对任

意的xe[l,3卜恒成立，可转化为*2+3-2»-2“-3,,。在％6口,3]上恒成立，进而建立不等式组，解出即可得到答案.

【详解】

解：函数f(x)的定义域为R,且/(-X)=T(2T-1)=—X(2.-1)=-/(X),

二函数/(x)为奇函数，

当x>0时，函数/(x)=x(2*-l),显然此时函数/(x)为增函数，

函数Ax)为定义在R上的增函数，

••不等式/(X'—2x—2a)+f(ax—3)„0即为x?—2x—2a,,3—ax)

x2+(u-2)x—2a—3„0在xG卩,3］上恒成立,

1+。—2—2a—3,,0

,解得T轰女0.

9+3(。—2)—2。—3„0

故答案为[T,o].

【点睛】

本题考查函数单调性及奇偶性的综合运用，考查不等式的恒成立问题，属于常规题目.

15、1

【解析】

根据a丄。即可得出<7乃=2-2/〃=0，从而求出川的值.

【详解】

解：V〃丄。；

,。•Z?=2—2m=0；

:.m=l・

故答案为：1.

【点睛】

本题考査向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算.

16、（1,72）

【解析】

由复数2=（疡-2）+（利-1），对应的点（苏-2,根—1）在第二象限，得m2一2<0,且从而求出实数加的

范围.

【详解】

解：：复数Z=（>一2）+（m—l）i对应的点（加2—2,加一1）位于第二象限，.•.加2一2<0,且〃?一1>0,

**•1<m<V2>

故答案为：

【点睛】

本题主要考查复数与复平面内对应点之间的关系，解不等式加2一2<（），且〃?-1>0是解题的关键，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（I）{x|x>l}；（II）[-13,1].

【解析】

试题分析：（I）分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得/（%）25不等式的解集；（II）根据绝对值

不等式的性质可得，不等式7对任意实数x恒成立，等价于|m+6|47,解不等式即可求加的取值范围.

试题解析：（I）当加=3时，/（x）N5即|x+6|—|m—»之5,

①当x<-6时，得—925,所以工€0；

②当-6WxW3时，得X+6+X-325,即x21,所以1WXW3；

③当xN3时，得925成立，所以x>3.

故不等式/(X)>5的解集为{x\x>l}.

(II)因为卜+6|-卜〃一乂w|x+6+"2-x|=|加+6],

由题意得忸+6区7,则一74加+647,

解得一134〃出1,

故〃？的取值范围是[-13,1].

18、(1)见证明；(2)叵

3

【解析】

(1)取产。中点G,可证EfGA是平行四边形，从而所AG,得证线面平行；

(2)取40中点O,连结尸0,可得P0丄面ABC。，连0B交CE于例，可证NPM0是二面角P-EC-。的平

面角，再在AFA/O中求解即得.

【详解】

(1)证明：取中点G,连结GRAG

GF为MDC的中位线，GF//CD且GF=gcD,

又AE//C。且AE=丄C。，..G///AE且G/=AE,

2

.•.E尸G4是平行四边形，则AG,

又所(2面PA。，AGu面尸AD,

..所〃面PAD；

(2)解：取AO中点0,连结PO,

•••面孙。丄面ABC。，△Q4Z)为正三角形，

.•.2。丄面筋。。，且戶0=6,

连OB交CE于M，可得RtEB%RtOAB,

：.ZMEB=ZAOB,则NMEB+ZM8E=90°,即。河丄EC.

连PM,又POLE。，

可得EC丄平面PQW,则PM丄EC,

即ZPMO是二面角P-EC-D的平面角，

在RJEBC中,BM=BEBC=—,OM=OB-BM=—

CE55

；•tanNPMO,即二面角P-EC—。的正切值为叵.

OM33

【点睛】

本题考查线面平行证明，考查求二面角.求二面角的步骤是一作二证三计算.即先作出二面角的平面角，然后证明此

角是要求的二面角的平面角，最后在三角形中计算.

19、（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【解析】

分析：（1）用反证法证明，注意应用题中所给的条件，有效利用，再者就是注意应用反证法证题的步骤；

⑵将式子进行相应的代换，结合不等式的性质证得结果；

（3）结合题中的条件，应用反证法求得结果.

详解：证明：（I）证明：采用反证法，若不成立，则

若X,<-3，则x,,+1=xj_6〉3，与任意的〃wN*都有七<豊二1矛盾；

若3-豊二，则有-豊丄丁豊匚，则

与任意的〃eN*都有当<驾二1矛盾;

故对任意〃eN*,都有—34%4上叵成立;

“2

2

(II)由%+1=X,,-6得xn+l+2=X：-6+2=(xn+2)•(%,,-2),

则|%+1+21Tx”+2|次一2|,由(I)知七WO,|x„-2|>2,

即对任意〃eN*,都有卜向+2|22七+2|；.

(m)由(H)得：卜“+|+2|22k”+21222kT+2,…22”|石+2],

由(I)知，一3Wx“4-l,/.|xn+l+2|<1,

・・・21%+2归1,即归+2|<

若％w—2,则归+2|>0,取〃之log21—+1时，有上+2]>戸，与卜+2|<亍■矛盾.

贝！|玉=-2.得证.

点睛：该题考查的是有关命题的证明问题，在证题的过程中，注意对题中的条件的等价转化，注意对式子的等价变形,

以及证题的思路，要掌握证明问题的方法，尤其是反证法的证题思路以及证明步骤.

2

20、(1)见解析(2)-

【解析】

⑴由已知可证得4D丄平面POC,则有AD丄PC,在XPDC中，由已知可得DM丄PC,即可证得PC丄平面ADM,

进而证得结论.

⑵过A7作肱V//PD交DC于N,由M为PC的中点，结合已知有M/V丄平面ABCD.

141

则匕=V*D8C=§54长=§,可求得。=4.建立坐标系分别求得面以的法向量〃=(2,-2,1),平面

DMC的一个法向量为m=(l,0,0)，利用公式即可求得结果.

【详解】

(1)证明：PD丄平面ABC。，ADu平面A8C。，

AD丄PD，又四边形ABCO为正方形，

:.ADLDC.

又PD、£>Cu平面POC,且PDcDC=D,

：,丄平面PDC.:.AD±PC.

△PDC中，t=PD=DC=2,"为PC的中点，

:.DMA.PC.

又A。、AMu平面ADM,ADDM=D,

丄平面AOW.

PCu平面P8C,；.平面DMA丄平面PBC.

(2)解：过M作MN//PD交DC于N,如图

M为PC的中点，：.MN也LPD,：.MN=Lt.

~22

又BO丄平面ABCD,.,.用N丄平面ABCD.

Vc-DBM=%-DBC=gs3Bc.MN=gxgx22x3=g,.”=4.

所以PD=4,又PD、DA.。。两两互相垂直，以OP、DA.。。为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标

系.0(0,0,0),5(2,2,1),C(O,2,O),例(0,1,2)

设平面DBA1的法向量〃=(x,y,z),贝!!

[〃DB=0[2%+2y=0

《，即＜,.

DMDM=01y+2z=0

令z=l,则x=2,y=-2.：.n-(2,-2,1).

平面。MC的一个法向量为〃z=(1,0,0)

/\m-n22

COS\771,n)=]—e_r=--------=-

'/同刷1x33-

2

二面角B-DM-C的余弦值为y.

【点睛】

本题考查面面垂直的证明方法，考查了空间线线、线面、面面位置关系，考查利用向量法求二面角的方法，难度一般.

21、(I)答案见解析；(II)不存在,理由见解析；(m)[2(n-2k)\k=0,l,2,...,n}

【解析】

(I)可取第一行都为-1,其余的都取1,即满足题意；

(H)用反证法证明：假设存在，得出矛盾，从而证明结论；

(皿)通过分析正确得出/(A)的表达式，以及从4如何得到4“42........以此类推可得到4.

【详解】

(I)答案不唯一，如图所示数表符合要求.

因为号(A),Cj(A)e{1,-1}(6j=1