2023-2024学年北京市一零一中学八年级上学期期中考试数学试卷含详解

北京一零一中教育集团2023—2024第一学期期中练习

初二数学

考1.本试卷共6页，共三道大题，26道小题，满分100分，考试时间90分钟.

生2.在试卷和答题纸上准确填写班级名称和姓名.

须3.试卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效.

知4.在答题纸上选择题用25铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答.

一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1—10题均有四个选项，符合题意的只有一个.

1.美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（）

2.下列长度的三条线段能组成三角形的是（

A.3,4,8B.5,6,11C.4,4,8D.8,8,8

3.如图，一副三角板拼成如图所示图形，则4c的度数为（）

BC

A.75°B.60°C.105°D.120°

4.下列计算正确的是（)

A.济+"="B.C.（ah）3=〃方D.a6+苏="

5.若AABC注ADEF，则根据图中提供的信息,可得出x的值为（）

A.30B.27C.35D.40

6.如图，在Rt-ABC中，2B90?,以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交A8、AC于点。，E,再分别以

点。、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点凡作射线AF交边BC于点G,若3G=1,AC=4,则

2

ACG的面积是（）

7.如图，OE是AA8C的边AB的垂直平分线，。为垂足，交AC于点£,且AC=8,BC=5,则ABEC

的周长是（）

A.12B.13C.14D.15

8.下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积是（）

A.(x+3)(x+2)-2xB,x(x+3)+6

C.3(x+2)4-x2D.x2+5x

9.在平面直角坐标系中，点A（0,3）,B（a,0）,C（m,〃）（〃>0）.若..ABC是等腰直角三角形，且

AB=8C,当0<。<2时，点C的横坐标团的取值范围是（）

A.0</?z<3B,2<m<3C.3<m<5D.m>3

10.如图，在AABC中，AC=BC,/ACB=90。，AD平分NBAC,BE平分/ABC,且AD,BE交于点。，延长

AC至点P,使CP=CD,连接BP,OP；延长AD交BP于点F.则下列结论：®BP=AD：②BF=CP：

③AC+CD=AB：④PO_LBE；⑤BP=2PF.其中正确的是（）

B

A.①③⑤B.①②③④C.①③④⑤D.①②③④⑤

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

11.若一个多边形的每一个外角都等于40。，则这个多边形的边数是.

12.计算（-6"）的结果是—.

3

13.如图，BC=AD,要使qABC/二840,需补充一个条件，你补充的条件是

14.如图，在△ABC中，AD,AE分别是8c边上中线和高，AE=6,SAABD=15,则CZ）=

15.如图1,已知三角形纸片ABC,AB=AC,ZA=50°,将其折叠，如图2,使点A与点B重合，折痕为

ED,点E,D分别在AB,AC上，则NDBC的大小为

16.如图，在—ABC中，AB=BC，NA8C=120°,。是AC边上的点，DA^DB=3,则AC的长为

17.如图，△AQB也NAQ8=90°,且3C〃Q4.若NQ4D=80°,则NABO的度数为

B

18.我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”.例

如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”.如图，在一EFG中，若NG=2NF,且“EFG

有“等腰线段”，则NF的度数1的取值范围为.

三、解答题(本题共46分，第19—23题，每题5分，24题7分，25题8分，26题6分)解答应写

出文字说明、演算步骤或证明过程.

19.先化简，再求值：x2(x-l)-%(x2+x-l),其中x

20.如图，已知点3、E、F、C在同一条直线上，ZA=ZD,BE=CF,且求证：AE=DF.

21.下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程.

己知：ZAOB

求作：N4)。，使NAZ)C=2NAOB.

作法：如图，

①射线。B上任取一点C；

②作线段OC的垂直平分线，交。4于点交08于点E,连接10c.

所以NADC即为所求的角.

根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）;

（2）完成下面证明（说明：括号里填写依据）：

证明：QE是线段。。的垂直平分线，

:.0D=（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）.

:.ZAOB=.（）.

ZADC=ZAOB+ZDCO,

:.ZADC=2ZAOB.

22.如图，在平面直角坐标系X。），中，4-1,5）,8（—1,0）,C（-4,3）.

C3

2

—I_I_I_I_I_LN__

012,34.5x

-？•命S-4-；况乏11c

工2-

（1）在图中作出关于y轴的对称图形△AgG；

（2）如果要使以点4、B、D（不与点C重合）为顶点的三角形与.ABC全等，直接写出所有符合条件的点。的

坐标.

23.如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且AB=75km.灯塔C在灯塔A的北偏东20。方向，灯塔C在灯塔8的

北偏西50。方向.

（1）求NAC3度数；

（2）一轮船从B地出发向北偏西50。方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度.

24.图1是一个长方形窗户A8CD,它是由上下两个长方形（长方形AEED和长方形EBC/）的小窗户组成，

在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是“和2。（即

DF=a,BE=2b）,其中a>b>0.当遮阳帘没有拉伸时（如图1）,若窗框的面积不计，则窗户的透光面

积就是整个长方形窗户（即长方形ABCQ）的面积.

如图2,上面窗户的遮阳帘水平向左拉伸2a至G”.当下面窗户的遮阳帘水平向右拉伸2。时，恰好与GH在同一

直线上（即点G、H、P在同一直线上）.

（1）求长方形窗户A8CO的总面积；（用含b的代数式表示）

（2）如果上面窗户的遮阳帘保持图2的位置不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至8C的中点处时，请通过计算比较

窗户的透光面积R与被遮阳帘遮住的面积邑的大小.

22

（3）如果上面窗户的遮阳帘拉伸至GO=-4。，下面窗户的遮阳帘拉伸至6P=-8C处时，窗户的透光面积恰

35

好为长方形窗户A8CO面积的一半，则此时州=.

h

25._45c为等边三角形，射线AP经过点A,NBAP=a（0°<a<90°）,作点8头于射线AP的对称点。，连

接A。、C。交直线AP于点E.

（1）如图，当0。<2<60。时

①依题意补全图形，并直接写出此时NADC=（用含a的式子表示）；

②用等式表示线段E4、ED、EC的数量关系，并证明；

（2）若△O5C为等腰三角形，直接写出。的度数.

h

26.设等腰三角形的底边长为w,底边上的高长为〃，定义％=一为等腰三角形的“胖瘦度”，设坐标系内两点

w

P（玉,%），。（%，%），玉力々，弘力力，若尸，Q为等腰三角形的两个顶点，且该等腰三角形的底边与某条坐

标轴垂直，则称这个等腰三角形为点P,。的“逐梦三角形”.

（1）设是底边长为2的等腰直角三角形，则一A8C的“胖瘦度”〃=；

（2）设P（5,0）,点。为），轴正半轴上一点，若尸，。的“逐梦三角形"的‘'胖瘦度"％=5,直接写出点。的坐

标：；

（3）以x轴，y轴为对称轴的正方形ABCQ的一个顶点为A（a,a）,且点A在第一象限，点

P（12+；a,8+ga）,若正方形A8CO边上不停荏点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足左=5且/iW5，直接写

出。的取值范围：.

北京一零一中教育集团2023—2024第一学期期中练习

初二数学

一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1一10题均有四个选项，符合题意的只有一个.

1.美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（）

【答案】A

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直

线叫做对称轴进行分析即可.

【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；

B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：A.

【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义.

2.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A.3,4,8B.5,6,11C.4,4,8D.8,8,8

【答案】D

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析.

【详解】解：A、3+4<8,不能构成三角形；

B、5+6=11,不能构成三角形;

C、4+4=8,不能构成三角形；

D、8+8>8,能构成三角形.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决

问题的关键.

3.如图，一副三角板拼成如图所示图形，则/B4c的度数为（）

J

A.75°B.60°C.105°D.120°

【答案】A

【分析】根据一幅三角板各个角的度数，结合三角形的内角和定理，即可求出答案.

【详解】解：由题意，得：NA8C=45°,N8C4=60。，

/.NBAC=1800-ZABC-ZBCA=75°；

故选A.

【点睛】本题考查了角的和差运算.熟记一幅三角板中各个角的度数是解题的关键.

4.下列计算正确的是（）

A.a3+a4=o'B.a3-a4=a'2C.（a/?）3=a3b^D.a6=a2

【答案】C

【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幕的乘除法则、幕的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一判断即可.

【详解】解：A、/与不是同类项，不能合并，原计算错误，不合题意；

B、故错误，不合题意：

C、（。力）3=/。3,原计算正确，符合题意；

D、原计算错误，不合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查的是同底数基的乘除法，合并同类项，基的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关

键.

5.若AABC注垃）EF，则根据图中提供的信息，可得出工的值为（）

A.30B.27C.35D.40

【答案】A

【分析】在4ABC中利用三角形内角和可求得NA=70。，则可得NA和ND对应，则EF=BC,可得到答案.

【详解】VZB=50°,ZC=60°,

:.ZA=70°,

VAABC^ADEF,

・・・NA和ND对应,

AEF=BC=30,

故选:A.

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边、对应角相等是解题的关键.

6.如图，在RtA5C中，2B90?,以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交A3、AC于点。，E,再分别以

点。、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点凡作射线4F交边BC于点G,若BG=1,AC=4,则

2

ACG的面积是（）

C.4D.5

【答案】A

【分析】利用基本作图得到4G平分/B4C,利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形

面积公式计算,ACG的面积；

【详解】解：由作法得AG平分N84C,

r.G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1,

所以ACG的面积=」x4x1=2；

2

故选：A.

【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知

线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了角平分线的性质.

7.如图，OE是A43c的边A8的垂直平分线，。为垂足，DE交AC于点E，且AC=8,BC=5,则ABEC

A12B.13C.14D.15

【答案】B

【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AE=8£，进而得出答案.

【详解】解：:OE是AA3C的边A8的垂直平分线，

/•AE=BE，

AC=8,BC=5,

二ABEC的周长是：BE+EC+BCAE+EC+BC=AC+BC=\3.

故选B.

【点睛】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.

8.下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是()

A.(x+3)(x+2)-2xB,x(x+3)+6

C.3(x+2)+JD.x2+5x

【答案】D

【分析】根据图形的面积分割法计算即可.

【详解】A.(x+3)(x+2)—2x,不符合题意；

B.x(x+3)+6,不符合题意;

C.3(x+2)+f,不符合题意；

D.f+5x,符合题意;

故选D.

【点睛】本题考查了列代数式表示图形的面积，正确进行图形分割计算是解题的关键.

9.在平面直角坐标系中，点A(0,3),8(a,0),C(叽若.ABC是等腰直角三角形，且

A3=BC,当0<。<2时，点C的横坐标”的取值范围是()

A.0<m<3B.2<m<3C.3<m<5D.m>3

【答案】C

【分析】过点。作轴于。，可证也血>C，可得AO=3£)=2,BO=CD=n=a,即可求

解.

【详解】解：如图，过点C作CDLx轴于

•.•点A（0,3）,

，AO=3,

•.二ABC是等腰直角三角形，且AB=BC,

；•ZABC==90°=ZAOB=ZBDC,

/.ZABO+ZCBD=90°=ZABO+NBAO,

：./BAO=/CBD,

在一AQ8和二即。中，

ZAOB=NBDC

<ZBAO=ZCBD,

AB=BC

...：AOB组10aAAS），

AO=BD=3,BO=CD=HF=a,

V0<«<2,

OD=OB+BD=3+a=,

3<m<5,

故选：c.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的

关键.

10.如图，在AABC中，AC=BC,ZACB=90°,AD平分NBAC,BE平分NABC,且AD,BE交于点。，延长

AC至点P,使CP=CD,连接BP,OP；延长AD交BP于点尺则下列结论：®BP=AD：②BF=CP：

③AC+CD=AB：④POJ_BE：⑤BP=2PF.其中正确的是（）

B

A.①③⑤B.①②③④C.④⑤D.©©③④⑤

【答案】C

【分析】根据三角形全等的判定定理与性质，角平分线的定义，垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与

性质逐个分析即可.

【详解】VAC=BC,ZACB=ZPCD=90°,CP=CD,

PBC=ZMC(SAS),则BP=AD,故①正确；

由一尸得NPBC=NDAC,则NBFA=NBCP=NPFA=90°,

：AD平分/BAC,

NBAF=NPAF,

：.ZBAF=ZPBC,

假设BE=CP,

2PBe=NBAF

在ABPC和△ABE中，，NBCP=NAFB,

CP=BF

:._BPC=.ABF(AAS),

:.BC^AF,

AC=BC,

AC=AF,

在&AC。中，AD>AC,

又AF=AD+DF>AD，

:.AF>AD>AC,与AC=AF相矛盾，

则假设不成立，②错误；

NPFA=ZBFA

在与△AM中，<4/^=4/

NPAF=ZBAF

：.APF=ABF(ASA),

..AB=AP^AC+CP^AC+CD,

即AC+CD=A3,故③正确；

由.APbMAB/得BF=PF,

则BP=BE+PE=2PE，故⑤正确；

BF=PF，AD平分NBAC,

•.AF为BP的垂直平分线，

OB=OP,

为等腰三角形，

AC=BC,ZACB=9Q°,

：.ZBAC=ZABC=45°,

又AD平分NBAC,BE平分NABC,

:.ZOBC=ZOAC^22.5°,

:.NPBC=NOAC=22.5。,

；•ZPBO=NPBC+NCBO=45°,

为等腰直角三角形，且NPO8=9（）°,

即尸O_LBE,故④正确；

综上，①③④⑤正确，

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、角平分线的定义、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与

性质等知识点，能够根据所学综合分析图中的全等三角形是解题关键.

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

11.若一个多边形的每一个外角都等于40。，则这个多边形的边数是.

【答案】9

【详解】解：360+40=9,即这个多边形的边数是9.

故答案为：9.

12.计算;*•（-6"）的结果是—.

【答案】-2a3b

［分析】利用单项式乘以单项式的法则计算即可.

1.

【详解】V7a*（-6ab）=-2a%，

故答案为：-2a3。.

【点睛】本题考查了单项式的乘法，熟练掌握单项式乘以单项式的法则是解题的关键.

13.如图，BC=AD,要使qABCRBAD,需补充一个条件，你补充的条件是.

cD

AB

【答案】AC^BD（答案不唯一）

【分析】根据全等三角形判定定理求解即可.

【详解】解：：3C=AD,AB=BA，

•••可以补充的条件为AC=BO,

/.VABC^VBAD（SSS）.

故答案为：AC^BD（答案不唯一）.

【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法.判定三角形全等的

方法有：SSS,SAS,AAS,ASA.HL（直角三角形）.

14.如图，在△ABC中，A。、AE分别是边上的中线和高，AE=6,SAABD=15,则CD=.

【分析】由利用三角形的面积公式可求得8。的长，再由中线的定义可得C£>=8。，从而得解.

【详解】解：；SAABO=15,AE是8c边上的高，

：.^BD'AE=\5,

则gx6BO=15,

解得:BD=5,

是BC边上的中线，

：.CD=BD=5.

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查三角形的中线，三角形的高，解答的关键是由三角形的面积公式求得8。的长.

15.如图1,已知三角形纸片ABC,AB-AC,NA=50。，将其折叠，如图2,使点A与点B重合，折痕为

ED,点E,D分别在AB,AC上，则NDBC的大小为.

图1图2

【答案】15。

【分析】根据等边对等角的性质，及三角形内角和为180。，解得NA5C=NACB=65°,再由折叠性质，解得

ZABD=ZA=50°,最后根据角度的和差解题即可.

【详解】AB=AC,NA=50。，

ZABC=NACB=；x(180。-50°)=65°

折叠，折痕为ED,

：.ZABD=ZA=5O°

：.ZDBC=ZABC-ZABD=65°-50°=15°

故答案为：15。.

【点睛】本题考查折叠问题，其中涉及等腰三角形的性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易,

掌握相关知识是解题关键.

16.如图，在一ABC中，AB=BC，NA8C=120°,。是AC边上的点，D4=DB=3,则AC的长为

【答案】9

【分析】过点B作BE1AC于点E,根据等边对等角得出/4=NC=30。，则NA=NO84=30。，进而得出

139

NDBE=30°,根据含30度角直角三角形的特征得出。E=一。8=—，即可得出AE=AO+OE=—,最后根

222

据三线合一即可求解.

【详解】解：过点B作8E_LAC于点E,

,：AB=BC,ZABC=120°,

/.Z.A=ZC=-x(180°-120°)=30°,

2

,:DA=DB=3,

，ZA=NO5A=30°,

:.NB£>E=60°,

BE1AC,

：.NOBE=30°,

13

：.DE=-DB=j

22

9

AE=AD+DE=—,

2

,:AB=BC,BEA.AC

：.AC=2AE=9,

故答案为：9.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握等腰三角形等边对

等角，三线合一；含30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半.

17.如图，aAOB也△ADC,ZAOB=90°,且若NQ4T>=80°,则乙钻。的度数为.

【答案】40°##40度

【分析】根据全等三角形的性质得出AB=AC,ZBAO^ZCAD,则NABC=NACB，设

ZABC=ZACB=x,根据平行线的性质得出NA5C=NB4O=NC4O=x,ZACB+ZCAO=180°,根据

ZACB+ZCAD+ZOAD=\SO0,列出方程求出x的值，最后根据直角三角形两锐角互余，即可求解.

【详解】解：•••△AOB也△ADC,

/.AB=AC,ZBAO^ZCAD,

；•ZABC-ZACB,

设NABC=NAC8=x,

,/BC//OA,

AZABC^ZBAO=ZCAD=x,ZACB+ZCAO=ISO°,

ZACB+ZC4D+ZQ4D=180°,

：ZOAD=SO0,

x+x+80°=180°,

解得：x=50°,

；•ZBAO=50°,

,：ZAOB=90°,

ZABO=90o-50°=40°.

故答案为：40°.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形

对应边相等，对应角相等；等腰三角形等边对等角.

18.我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”.例

如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”.如图，在一EFG中，若NG=2N/，且_EFG

有“等腰线段”，则N尸的度数a的取值范围为.

【答案】00<a<45°

【分析】设NF=x,则NG=2x,然后进行分类讨论：当石4为_EFG“等腰线段”时，当BG为二EFG”等

腰线段”时.

【详解】解：设NE=x,则NG=2x,

当EA为_EFG“等腰线段”时，

ZiAEG均为等腰三角形，

；.AF=A£,则NF=NAM=x,

:.ZEAG=2x,

：.AE=AG,

/.ZE4G+ZG<180°,即2x+2x<180°,

解得：x<45°,

当BG为.EFG“等腰线段”时，

•••_8FG为等腰三角形，

:.BF=BG,则//=/66尸=》，

/.NEBG=2x,

；•ZBGE=ZEGF-/BGF=x,

△BGE为等腰三角形，

•*.Z.E—x,

/.ZE+ZF+Z£GF=x+x+2x=180°,

综上：0°<a<45°.

故答案为：0°<a<45°.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是正确理解题目所给“等腰线

段”的定义，掌握等腰三角形等边对等角的性质.

三、解答题(本题共46分，第19—23题，每题5分，24题7分，25题8分，26题6分)解答应写

出文字说明、演算步骤或证明过程.

19.先化简，再求值：X2(X-1)-%(%2+%-1),其中x

【答案】—2炉+工，0

【分析】先将原式根据单项式乘多项式的法则进行化简，再将x的值代入计算即可.

(X-1)-X(X?+x-1)

［详解］=尤3__3_2.

人«zVI

=—2冗2+x

将x=L代入到上式中有一2x(4］L_LLQ

2Uj+2=2+2=

【点睛】本题考查的是整式的运算，能够准确化简计算是解题的关键.

20.如图，已知点8、E、F、C在同一条直线上，ZA=ZD,BE=CF,且A8〃C£>,求证：AE=DF.

【答案】证明见解析

［分析］根据AB〃CD,得到ZB=ZC,用ASA证明,ABE堂一DCF,即可得到AE=DF.

【详解】证明：•.•A8）CD,

ZB=ZC,

在，A8E和二。CF中，

Z=ZD

\AB^CD

NB=NC,

：•.ABE^aDCF（ASA）,

AE=DF.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握ASA证明丝是关键.

21.下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程.

已知：ZAOB

求作：ZADC,使NA£）C=2NAOB.

作法：如图，

①在射线OB上任取一点C；

②作线段。。的垂直平分线，交。4于点£>,交。8于点E,连接。C.

所以NADC即为所求的角.

根据小明设计尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面证明（说明：括号里填写依据）：

证明：上是线段。。的垂直平分线，

:.OD=（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）.

:.ZAOB=.（）.

ZADC=ZAOB+ZDCO,

:.ZADC=2ZA0B.

【答案】（1）见详解（2）CD,NDCO,等边对等角

【分析】（1）根据尺规作线段垂直平分线的步骤作图即可；

（2）由线段垂直平分线的性质可得CO,根据等边对等角可得NAQB=NOCO,再根据三角形外角的性

质得出结论.

小问1详解】

【小问2详解】

证明：DE是线段。。的垂直平分线,

:.OD=CD（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）.

:.ZAOB=ZDCO（等边对等角）.

ZADC=ZAOB+ZDCO,

:.ZADC=2ZAOB.

故答案为：CD,/DCO,等边对等角.

【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，熟练掌握基本作图的

方法和步骤是解题的关键.

22.如图,在平面直角坐标系xOy中，A（—1,5）,5（-1,0）,C（-4,3）.

（1）在图中作出qABC关于y轴的对称图形；

（2）如果要使以点A、B、D（不与点C重合）为顶点的三角形与一ABC全等，直接写出所有符合条件的点。的

坐标.

【答案】（1）见解析⑵点。坐标为（T,2）、（23）、（2,2）

【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可；

（2）根据网格特点和全等三角形的判定画出图形，即可得到点。的坐标.

【小问1详解】

解：△A4G如图所示;

【小问2详解】

点。坐标为（一4,2）、（2,3）、（2,2）.

【点睛】本题考查了作图一轴对称变换、坐标与图形、全等三角形的判定，熟练

x

掌握轴对称的性质是解答的关键.

23.如图，灯塔3在灯塔A的正东方向，且AB=75km.灯塔C在灯塔A的北偏东20。方向，灯塔C在灯塔B的

北偏西50。方向.

（1）求/AC8的度数；

（2）一轮船从B地出发向北偏西50。方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度.

【答案】（1）70°；（2）I5km/h

【分析】（1）根据题意得/BAC=70。，/ABC=40。，根据三角形的内角和定理即可求得NACB；

（2）根据等腰三角形的判定可得BC=A8=75km,进而由速度=路程+时间求解即可.

【详解】解：（1）根据题意得N8AC=70。，ZABC=40°,

：.NACB=180°-ZBAC-ZABC=180°-70°-40°=70°；

(2)'：ZBAC^ZACB=10°,

：.BC=AB=75km,

轮船的速度为75+5=15（km/h）.

【点睛】本题考查方位角、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，理解方位角，熟练掌握等腰三角形的等角

对等边是解答的关键.

24.图1是一个长方形窗户A8CD,它是由上下两个长方形（长方形AEED和长方形的小窗户组成，

在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是“和2。（即

DF=a,BE=2b）,其中a>b>0.当遮阳帘没有拉伸时（如图1）,若窗框的面积不计，则窗户的透光面

积就是整个长方形窗户（即长方形A8CO）的面积.

如图2,上面窗户的遮阳帘水平向左拉伸2a至G”.当下面窗户的遮阳帘水平向右拉伸2%时，恰好与GH在同一

直线上（即点G、H、P在同一直线上）.

图3

（1）求长方形窗户ABCD的总面积；（用含“、人的代数式表示）

（2）如果上面窗户的遮阳帘保持图2的位置不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至的中点处时，请通过计算比较

窗户的透光面积R与被遮阳帘遮住的面积S?的大小.

27

（3）如果上面窗户的遮阳帘拉伸至GO=—AO,下面窗户的遮阳帘拉伸至6P=—BC处时，窗户的透光面积恰

35

好为长方形窗户A8CO面积的一半，则此时乌=.

b

【答案】（1）4a2+6ab+2b2

（2）S,<S2

（3）-

5

【分析】（1）先将长方形的长和宽表示出来，再根据长方形面积公式，即可求解；

（2）分别求出5和52,再用作差法即可比较；

（3）求出被遮住的面积，再根据题意得出窗户被遮住面积恰好为长方形窗户ABCO面积的一半，得出等式，即可

求出f的值.

b

【小问1详解】

解：根据题意可得：AD^2a+2b,

DF=a,

AE—a>

-：BE=2b,

：.AB=AE+BE=a+2b,

：.长方形窗户ABC。的总面积=AB=（2Q+2Z?）（2a+〃）=4片+6ab+2Z?2；3

【小问2详解】

解：上面窗户被遮阳帘遮住的面积：2a♦Q=2“2，

上面窗户透光面积：2b♦a=2ab,

下面窗户被遮阳帘遮住的面积：^a（2a+2h）=a2+ab

下面窗户透光面积：ga（2a+2〃）=/+"

22

S]=2ah+=a?+3ab,S2=2a+。？+。/?=3a+ah,

/.£-S2=Q?+3ab-（3a2+ab）=-2a2+2ab=2a[b-a）,

,:a>b>0,

〃一〃<0,

S]—S,<0,即5]<5,；

【小问3详解】

解：根据题意可得：AD=BC,

222

：.GD=-AD,BP=—BC=—AD,

355

22

上面被窗帘遮住面积：a-AD=-a-AD,

33

274

下面被窗帘遮住面积：2从一BC=2b--A£）=w6A。，

24/24、

被遮住总面积：-ci-AD+-b-AD=AD—a+—b,

35<35）

；窗户的透光面积恰好为长方形窗户A5CD面积的一半，

二窗户被遮住面积恰好为长方形窗户ABC。面积的一半，

—ciH—h=—a+b，

352

11,

—Cl=­D,

65

a_6

=一,

b5

故答案为：—■

【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，根据图形列出式子进行计算，熟练掌握

整式混合运算的运算顺序和运算法则.

25.为等边三角形，射线AP经过点A,N6AP=a（0°<a<90°）,作点8头于射线的对称点。，连

接A。、8交直线AP于点E.

（1）如图，当0°<2<60。时

①依题意补全图形，并直接写出此时NADC=（用含a的式子表示）；

②用等式表示线段E4、ED、EC的数量关系，并证明；

（2）若为等腰三角形，直接写出a的度数.

【答案】（1）①图见解析，60°-«；②EC=ED+EA

（2）a=30°或75°

【分析】（1）①根据题意补全图形即可，根据轴对称的性质得出AZ>=A8，NBAP=NDAP=a,贝U

ZBAD=2a,根据等边三角形的性质推出AD=AC，ZCAD=60°+2a,最后根据等边对等角，即可求

解；②连接3E,在CE上截取EE=DE，通过证明△BEE为等边三角形，得出BE=M，Z£BF=60°,再

证明△A3E也△CBE（SAS）,即可得出结论；

（2）根据题意画出图形，进行分类讨论即可求解.

【小问1详解】

解：①补全图形如图所示：

；点8和点。关于AP对称，

AAD=AB，ZBAP=ZDAP=a,

ZBAD=2a，

；是等边三角形，

AB=AC,ABAC=60°,

•••AD=AC<ZC4Z>=60°+2a,

ZADC=g（180。-ZCAD）=g（l80。-60。-2a）=60。-a,

故答案为：60°-a；

②连接BE,在CE上截取£尸=。£,

由（1）可得：ZADC^6Q0-ct,

•••点B和点。关于AP对称，

/.ZAB£=60°-a,DE=BE，

:.NDEP=NBEP=ZABE+NBAP=60°,BE=EF，

：.ZB砂=60。，

；•ABEF为等边三角形，

:.BE=BF,Z£BF=60°,

是等边三角形，

AB=CB,ZABC=60°,

：.ZABC-ZABF=ZEBF-ZABF,即ZABE=/CBF,

在，ABE和VCB/7中，

AB=CB

<ZABE=ZCBF,

BE=BF

：.AABE^ACBF（SAS）（

•••£4=FC,

；EC=EF+FC,

/.EC=ED+EA；

D【小问2详解】

解：①当0。＜。＜60°时，

•••△D3C为等腰三角形，

:.BD=BC,

:点B和点。关于AP对称，

APLBD,AD=AB,

：。是等边三角形，

AB=BC，

：.AD=AB=BD，

；•ZABD是等边三角形，则ABAD=60°,

NBAP=a=-/BAD=30°,

2

②当600<a<90°时，

△DBC为等腰三角形，

BD—CD,

:点B和点。关于AP对称，

AB=AD,AP1BD，

ABC是等边三角形，

/.AB=AC,ZAC=60。，

VAB=AC,BD=CD,AD^AD<

•••^ABD^/XACD，

ABAD=|x(360°-60°)=150°,

NBAP=«=-/BAD=75°,

2

综上：a=30°或75°.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键

是根据题意正确画出图形，掌握等边三角形三个角都是60度，三条边都相等；全等三角形对应边相等，对应角相

等.

26.设等腰三角形的底边长为w,底边上的高长为/?,定义女=2■为等腰三角形的“胖瘦度”，设坐标系内两点

W

尸（士,多），。（工2，%），X*%，若P，Q为等腰三角形的两个顶点，且该等腰三角形的底边与某条坐

标轴垂直，则称这个等腰三角形为点P,。的“逐梦三角形”.

（1）设是底边长为2的等腰直角三角形，则一ABC的“胖瘦度"Z=；

（2）设P（5,0）,点。为），轴正半轴上一点，若尸，。的“逐梦三角形"的''胖瘦度"％=5,直接写出点。的坐

标：;

（3）以无轴，），轴为对称轴的正方形A3CO的一个顶点为4（〃,〃），且点A在第一象限，点

P（12+；a,8+|a｝若正方形ABCD边上不存荏点Q使得P,Q的“逐梦三角形”满足％=5且&W5,直接写

出a的取值范围：.

【答案】（1）g

（2）（02）或（0,50）.

2

45

（3）。＞39或。=24或0＜。＜一

2

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出底边的高为1,再根据“胖瘦度”的定义求出2；

（2）根据“逐梦三角形”的定义，等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直分三种情况讨论，由点P（5,0）坐标结合“胖

瘦度”4=5,求出底边和底边的高即可解答，

（3）根据“逐梦三角形”的定义，分P在正方形内和外两种情况以及“逐梦三角形”底边的高小于5,“胖瘦度”

k=5,列不等式求解即可.

【小问1详解】

解：如图，

VABC是底边长为2的等腰直角三角形，

w-AB—2.

又是高，

/.AD=BD=CD=-AB=1,

2

等腰直角A8C的“胖瘦度"A='；

2

故答案为：

【小问2详解】

设以P,Q为顶点的“逐梦三角形”为一PQM,

因为P（5,0）,点。为），轴正半轴上一点，故该等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直，有三种情况,、

①当QM为底边时，若轴，如图：

则底边上的高长为〃=PO=5,

。的“逐梦三角形”的“胖瘦度”％=5,

h

:.QM—w=—=1,

k

OQ=^QM，

2

，此时点。坐标为（0，g）,

②当QM为底边时，若QA/J.y轴，PH为底边的高，如图:

则底边长为卬=2。，=10,

VP,。的“逐梦三角形”的“胖瘦度”％=5,

/./¥/=〃=滋=10x5=50,

OQ-5