正四面体与正方体

关于正四面体与正方体12多面体题根解正方体一、正方体高考十年二、正四面体与正方体三、正方体成为十年大难题四、解正方体五、解正四面体第2页,共33页，2024年2月25日，星期天3一、正方体高考十年

十年来，立体几何的考题一般呈“一小一大”的形式.分数约占全卷总分的八分之一至七分之一.立几题的难度一般在0.55左右，属中档考题，是广大考生“上线竞争”时势在必夺的“成败线”或“生死线”.十年的立几高考，考的都是多面体.其中：（1）直接考正方体的题目占了三分之一；（2）间接考正方体的题目也占了三分之一.因此有人说，十年高考，立体几何部分，一直在围绕着正方体出题.正四面体与正方体例话第3页,共33页，2024年2月25日，星期天4解析外接球的表面积，比起内接正方体的全面积来，自然要大一些，但绝不能是它的(C)约6倍或(D)约9倍，否定(C)，(D)；也不可能与其近似相等，否定(A)，正确答案只能是(B).（1995年）正方体的全面积为a2，则其外接球的表面积为考题1（正方体与其外接球）第4页,共33页，2024年2月25日，星期天5考题2（正方体中的线面关系）小问题很多，但都不难.熟悉正方体各棱、各侧面间位置关系的考生，都能迅速作答.如解答（1），只要知道棱AD与后侧面垂直就够了.说明（1997年）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明面AED⊥面A1FD1；（4）设AA1=2,求三棱锥F-A1ED1的体积.

第5页,共33页，2024年2月25日，星期天6考题3（正方体的侧面展开图）考查空间想象能力.如果能从展开图（右上）想到立体图（右），则能立即判定命题①、②为假，而命题③、④为真，答案是C.解析（2001年）右图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（A）①②③ （B）②④（C）③④ （D）②③④第6页,共33页，2024年2月25日，星期天7（2002年）在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是考题4（正方体中主要线段的关系）射影法：作AB在CD所在平面上的射影，由三垂线定理知其正确答案为A.平移法：可迅速排除(B)，(C)，(D)，故选（A）.解析第7页,共33页，2024年2月25日，星期天8（2003年）棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为

考题5（正方体与正八面体）解析将正八面体一分为二，得2个正四棱锥，正四棱锥的底面积为正方形面积的，再乘得.答案选C.第8页,共33页，2024年2月25日，星期天9

考题6（正方体中的三角形）解析在正方体上任选3个顶点连成三角形可得个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得，所以选C.

第9页,共33页，2024年2月25日，星期天10在三棱锥O—ABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的大小是

（用反三角函数表示）

考题72006年四川卷第13题——正方体的一“角”如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a.（1）求证：MN∥面ADD1A1；（2）求二面角P—AE—D的大小；（3）求三棱锥P—DEN的体积.

考题82006年四川卷第19题——两正方体的“并”P第10页,共33页，2024年2月25日，星期天11如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m.(Ⅰ)试确定m,使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3；(Ⅱ)在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.并证明你的结论.分析：熟悉正方体对角面和对角线的考生，对第(Ⅰ)问，可心算出结果为m=1/3；对第(Ⅱ)问，可猜出这个Q点在O1点.可是由于对正方体熟悉不多，因此第(Ⅰ)小题成了大题，第(Ⅱ)小题成了大难题.

考题9（2006年湖北卷第18题）第11页,共33页，2024年2月25日，星期天12

考题10（2006年安徽卷第16题）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7以上结论正确的为______________.（写出所有正确结论的编号）第12页,共33页，2024年2月25日，星期天13二、正四面体与正方体从“正方体高考十年”和“全国热炒正方体”中，我们看到正方体在立体几何中的特殊地位.在实践中，正方体是最常见的多面体；在理论上，所有的多面体都可看作是由正方体演变而来.我们认定了正方体是多面体的“根基”.我们在思考：（1）正方体如何演变出正四面体？（2）正方体如何演变出正八面体？（3）正方体如何演变出正三棱锥？（4）正方体如何演变出斜三棱锥？正四面体与正方体例话第13页,共33页，2024年2月25日，星期天14考题1（正四面体化作正方体解）说明本题如果就正四面体解正四面体，则问题就不是一个小题目了，而是有相当计算量的大题.此时的解法也就沦为拙解.第14页,共33页，2024年2月25日，星期天15拙解——

硬碰正四面体第15页,共33页，2024年2月25日，星期天16联想——

、、的关系正四面体的棱长为，这个正四面体岂不是由棱长为1的正方体的6条“面对角线”围成？则三棱锥B—A1C1D是棱长为的正四面体.于是正四面体问题可化归为对应的正方体解决.为此，在棱长为1的正方体B—D1中，（1）过同一顶点B作3条面对角线BA1、BC1、BD；（2）将顶点A1，C1，D依次首尾连结.A1C1DBACA1B1D1C1DB第16页,共33页，2024年2月25日，星期天17妙解——

从正方体中变出正四面体以长为面对角线，可得边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，这个正方体的体对角线长为，则其外接球的半径为，则其外接球的表面积为S=4πR2==4π()2＝3π以为棱长的正四方体B-A1C1D与以1为棱长的正方体有共同的外接球，故其外接球的表面积也为S=3π.答案为A.第17页,共33页，2024年2月25日，星期天18寻根——正方体割出三棱锥在正方体中割出一个内接正四面体后，还“余下”4个正三棱锥.每个正三棱锥的体积均为1/6，故内接正四面体的体积为1/3.这5个四面体都与正方体“内接”而“共球”.事实上，正方体的内接四面体（即三棱锥）共有

-12=58个.至此可以想通，正方体为何成为多面体的题根.第18页,共33页，2024年2月25日，星期天19按理说，立体几何考题属中档考题，难度值追求在0.4到0.7之间.所以，十年来立几考题——哪怕是解答题也没有出现在压轴题中.从题序上看，立几大题在6个大题的中间部分，立几小题也安排在小题的中间部分.然而，不知是因为是考生疏忽，还是命题人粗心，竟然在立几考题中弄出了大难题，其难度超过了压轴题的难度，从而成为近十年高考难题的高难之最！三、正方体成为十年大难题正四面体与正方体例话第19页,共33页，2024年2月25日，星期天20命题——

将正方体一分为二2003年全国卷第18题，天津卷第18题，河南卷第19题等，是当年数学卷的大难题.

其难度，超过了当年的压轴题.在命题人看来，其载体是将正方体沿着对角面一分为二，得到了一个再简单不过的直三棱柱.图中的点E正是正方体的中心.第20页,共33页，2024年2月25日，星期天21考题如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°.侧棱AA1＝２，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.(Ⅰ)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；(Ⅱ)求点A1到平面AED的距离.第21页,共33页，2024年2月25日，星期天22解析（转下页）考场反馈：按出题人给出的图形（右上），答题时无法作辅助线.第22页,共33页，2024年2月25日，星期天23（转下页）解析（续上）考场反馈：按出题人给出的这种解析，无法在原图上显示.第23页,共33页，2024年2月25日，星期天24解析（续上）（解毕）阅卷人说：在见到的答卷中，几乎没有看到这种“标准答案”.第24页,共33页，2024年2月25日，星期天25难点突破：斜二测改图法，把问题转到正方体中.本题难在哪里？从正方体内切出的直三棱柱的画法不标准！第25页,共33页，2024年2月25日，星期天26难题（0318）的题图探究正方体立体图常见的画法有两种：（1）斜二测法（图右）此法的缺点：A1、B、C三点“共线”导致“三线”重合（2）正等测法（图右）此法的缺点：A、C、C1、A1“共线”导致“五线”重合难题的图近乎第二种画法（图右）：将正方体的对角面置于正前面.第26页,共33页，2024年2月25日，星期天27四、解正方体正方体既然这么重要，我们就不能把这个“简单的正方体”看得太简单.像数学中其他板块的基础内容一样，越简单的东西，其基础性就越深刻，其内涵和外延的东西就越多.我们既然认定了正方体是多面体的根基，那我们就得趁着正方体很“简单”的时候，把它的上上下下、左左右右、里里外外的关系，都弄个清楚明白！正四面体与正方体例话第27页,共33页，2024年2月25日，星期天28正方体，（）个面，线面距转（）面距，（）个顶点（）棱。寻找（）要根据。顶点连线（）条，异面直线求距离，一顶（）线来相交。确定（）是难题。三顶确定三角形，正方体，是个宝，要求三顶不共（）。各种关系藏得巧。四顶确定四面体，正四面体（）条棱，要求四顶不共（）。选自6面（）线；三种线段结数缘，正八面体（）个顶，根1、根2和（）。6面（）对得准。6812287线面点射影垂足6对角6中心根3关于正方体你已经知道了多少？关于正方体还有许多许多！例如，8个顶点中，4顶共面的有（）个，4顶异面的（）个。正是4顶异面的个数，决定了正方体中三棱锥的个数。第28页,共33页，2024年2月25日，星期天29五、解正四面体统计十年的高考立几题，除直接考“解正方体”的题目比重最大以外，接下来的就是“解正四面体”的题目了.其实，正四面体并不能与正方体平起平坐，正四面体本质上是正方体的“演生体”，通俗地说：正四面体是正方体的儿子！如果把正方体弄清楚了，正四面体就随之清楚了.在十年的高考“正四面体”中，凡是就“儿子解儿子”的解法，都是拙法；凡是由“老子解儿子”的办法都是妙法！正四面体与正方体例话第29页,共33页，2024年2月25日，星期天30正四面体棱长设作1，则对应的正方体棱长为①底面正三角形高为（）；②底面正三角形的外半径为（）；③正三角形的内半径为（）；④正四面体的斜高为（）；⑤斜高在底面上的射影为（）；⑥斜面与底面成角余弦值（）；⑦正四面体高为（）；⑧外接球半径为（）；⑨内切球半径为（）.一句话小结正四面体与正方体的对应量只相差一个系数：（或）第30页,共33