2023-2024学年山东省临沂高一年级上册12月月考数学试题（含答案）

2023-2024学年山东省临沂高一上册12月月考数学试题

一、单选题

1.已知集合A={-1,0,1},B={1,2,5},则A<JB=（）

A.{1}B.{-1,0,2,5}C.{-1,0,15}D.{-1,0,1,2,5}

【正确答案】D

【分析】利用并集运算法则进行计算.

【详解】A8={T0,l}{1,2,5}={—1,0,125}

故选：D

2.函数y=g的定义域是（）

A.（TO『B.（-l,0）U（0,l）C.[-1,0）1（0,1]D.（0,1]

【正确答案】C

【分析】函数定义域满足]1；"求解即可

[第w0

【详解】由题，函数定义域满足]°,解得xe[—l,o）（0,1].

故选：C

3.已知命题P：3x>l,x2-4<0.则力是（）

A.3x>l,X2-4>0B.3x<l,x2-4<0

C.Vx<l,*2-420D.Vx>l,x2-4>0

【正确答案】D

根据命题的否定的定义写出命题的否定，然后判断.

【详解】命题P：3%>1,丁-4<0的否定是：Vx>l,X2-4>0.

故选：D.

4.方程lnx=4-2x的根所在的区间是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【正确答案】B

【分析】构造函数/(x)=lnx+2x-4,确定其单调性，结合零点存在性定理得到结论.

【详解】令/(x)=lnx+2x-4,显然/(x)=lnx+2x—4单调递增，

又因为f(l)=2_4=_2<0,/(2)=ln2+4_4=ln2>0,

由零点存在性定理可知：/(x)=lnx+2x-4的零点所在区间为(1,2),

所以lnx=4—2x的根所在区间为(1,2).

故选：B

5.1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；

1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的

互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数.若5'=2,lg2。0.3010,则x的值

约为()

A.0.431B.0.430C.0.429D.2.322

【正确答案】A

【分析】由指对互化原则可知x=logs2,结合换底公式和对数运算性质计算即可.

,\1g21g2lg20.3010.....

亠/日x=k)6g5s2=-----=——=---------n-------------®0.431

【详解】由5K=2得.1g51Q10l-lg21-0.3010

故选：A.

6.函数〃x)=告的图像大致是()

X+1

【分析】利用函数的奇偶性和函数值的正负即可判断.

【详解】因为/(x)=£p所以/(—X)=—/(x),f(x)为奇函数，所以C错误;

当x>0时，/(x)>0,所以A,D错误，B正确.

故选：B.

7.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分

别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=《p(p-a)(p-b)(p-c)求得,其中。为三角形周

长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足

a+b=\2,c=8,则此三角形面积的最大值为

A.4石B.4>/15C.8>/5D.8厉

【正确答案】C

【分析】由题意，p=10,5=720(10-^)(10-^),利用基本不等式，即可得出结论.

【详解】由题意，p=10,

S=Jl0(10-a)(10-/>)(10-c)=^20(10-0)(10-/?)<向■回"十回”=8追，

.••此三角形面积的最大值为86.

故选C.

本题考查三角形的面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题.

8.己知函数〃x)=3',且函数g(x)的图像与/(x)的图像关于y=x对称，函数

/(X)的图像与g(x)的图像关于x轴对称，设〃=/(_；),荘,

.则()

A.a<h<cB.h<c<aC.c<h<aD.h<a<c

【正确答案】D

【分析】根据函数图像的对称关系可以得到g(x),9(x)的解析式，代入后跟特殊值。比较

可得6最小，然后构造函数，利用特殊值和函数的单调性比较。，。的大小即可.

【详解】因为g(x)的图像与f(x)的图像关于y=x对称,所以g(x)=log3X,又因为*(尤)的

图像与g(x)关于X轴对称，所以e(x)=-log3X,0<a=/(-；)=3"<1,

b=g(g)=log3；<。，0<c=<9^1j=-log31=log32<l,所以b最小；

丄=如，—=log,3=2log,,

ac

构造〃(x)=x—2log2x,则〃(x)=1-京=,

当靑）时，所以秋x）在"（0,靑）上单调递减，

因为0<ln2<l,所以焉>2,令x=2,得〃（2）=0,所以厶（百）>〃（2）=0,

G-210g,g>0n6>21og,K=>丄〉丄，

ac

又因为a>0,c>0,所以c>a,综上所述c>a>b.

故选：D.

比较对数、指数、幕的大小的方法：

①利用指数函数、对数函数、嘉函数的单调性比较大小；

②借助特殊值"0”、"1”或其它的数值比较大小；

③根据两数之间的关系，构造函数来比较大小.

二、多选题

9.若a>b>0则（）

A.ac2>be2B.a-c>b-cC.2">2"D.—<-J-

ab

【正确答案】BCD

【分析】利用特殊值法可以排除A,利用不等式的基本性质可判断B正确，再利用函数的

单调性可判断CD正确.

【详解】对于A,当c=0时，ac2=bc2,故A错误；

对于B,不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，故B正确；

对于C,因为y=2,在R上单调递增，又a>b>0,故2">2~故C正确；

对于D,因为y=:在（O,—）上单调递减，又a>b>0,故）<］，故D正确.

故选：BCD

10.下列不等式一定成立的是（）

A.x-\—B.'>2

Xx

C.（x+田<f+/D.若x<0,y<0,则'+24-2

2~xy

【正确答案】BC

【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误.

3

【详解】对于A中，当x<0时，x+-<0,所以A不正确；

x

对于B中，由三？=/+422厶，=2,

xx"Vx

14.1

当且仅当V=r时，即工=±1时，等号成立，即=r工22,所以B正确；

x%2

,292/丄、2

对于c中，>+y=厂+匕+m+丫“*+匕+冋=(刃，当且仅当x=y时，等号成立,

22-22

所以C正确；

对于D中，x<0,y<0,可得2>0,->0,可得上+±22,口・2=2,

xyxy\xy

当且仅当上=土时，即x=y时，等号成立，即£+222,所以D不正确.

xyxy

故选：BC.

11.若函数/(x)=13+(Q_])xr<0("。且〃wl)在R上为单调递增函数，则〃的值可以是

()

2

A.3B.-C.y/2D.2

【正确答案】AD

【分析】由分段函数单调性可直接构造不等式组求得结果.

a>1

【详解】“X)在R上单调递增，Ja-l〉。，解得：a>2,

3<«+1

的取值可以为选项中的3或2.

故选：AD.

12.已知/(x)为偶函数，且/(x+1)为奇函数，若/(0)=0,则()

A./(3)=0B./(3)=/(5)C./(x+3)=/(x-l)

D./(x+2)+/(x+l)=l

【正确答案】ABC

【分析】A选项，根据题干条件得到〃T)=/(X),/(-x+l)=-/(x+l),利用赋值法得

到/(1)=0,/(3)=0,/(5)=0,判断岀AB选项，再推导出函数的周期为4,故C正确;

代入特殊值，判断D错误.

【详解】A选项,因为“X)为偶函数，所以=

因为/(x+1)为奇函数，所以/(—x+l)=—/(x+l),

令x=0得：=解得：/(1)=0,所以/(T)=/(l)=()

令x=2得：/(-2+1)=-/(2+1),即〃-1)=一/(3)=0,所以"3)=0,故A正确;

B选项，令＞4得：/(^+1)=-/(4+1),即/(一3)=—“5),

因为/(—3)=〃3)=0,则一/(5)=。，所以"5)=0,所以〃3)=〃5),故B正确;

C选项,因为〃T)=F(X),所以/(X+3)=/(T-3),

因为/(_x+l)=_/(x+l),所以/(_x_2+l)=_/(x+2+l),

BP/(-x-l)=-/(x+3),所以/(x+3)=―/(—x—1),

/(-x-3)=-/(-x-l),所以〃T+2_3)=_/(T+2T),

即/(-x-l)=-/(-x+l),所以/(r_3)=/(r+l),

所以〃x)的周期为4,/(x+3)=/(x-l),故C正确；

D选项，因为f(—x+l)=—/(x+1),

所以令x=l得：/(0)=-/(2)=0,解得:/(2)=0,

令〃x+2)+〃x+l)=l中x=0得：/(2)+/(1)=0+0^1,故D错误.

故选：ABC

三、填空题

⑶+log82=--------

【正确答案】v17

66

【分析】利用指数事与对数运算即可求解.

【详解】Clog82=g+log88)=|+|log88=y-

故答案为.丁

6

14.若“V^eR,x2-ax-2a>0”的否定是真命题，则实数。的取值范围是.

【正确答案】(fo,—8]30，田)

【分析】写出命题的否命题，根据二次不等式有解问题，利用根的判别式列出不等式，求出

实数。的取值范围.

【详解】由题意得：3x()eR,打一2aWO为真命题，

A=tz2+8i/>0,解得：ae(^»,-8]o[0,+oo)

故(YO,-8]30,+CO)

15.已知函数〃x)=log“(2x—l)+x〃+l(a>0且a")的图象恒过定点p,则点尸的坐标为

【正确答案】(1,2)

【分析】由/。)=2恒成立可得定点坐标.

【详解】当x=l时，/(l)=log„l+l+l=2,P(l,2).

故答案为.(1,2)

16.若存在常数%和8，使得函数F(x)和G(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足：

P(x)ZH+人和G(x)4日+A恒成立，则称此直线)，=尿+。为尸(x)和G(x)的“隔离直线”.已

知函数/。”/(万右见，g(x)=-J(x>0),若函数f(x)和g(x)之间存在隔离直线

y=2x+b,则实数b的取值范围是.

【正确答案】卜2竝,-1]

【分析】根据“隔离直线”定义可将问题转化为f-2x"20和2/+法+120在(。,+8)上恒

成立；利用一元二次不等式在区间内恒成立的求法可构造不等式组求得结果.

【详解】由“隔离直线’’定义知：/22》+〃和-：42》+匕在(0,+8)上恒成立，

即/-2》一人20和2/+反+120在(。,+8)上恒成立,

若7-2》一此0在(。,+8)上恒成立，则4=4+4640,解得：6<-1；

若2/+辰+120在(0,+8)上恒成立，&=〃-8,

A,>0/?2-8>0

则dWO或'b,即从-840或|b八，解得：-2竝竝或6>2应;

——<0——<0

44

综上所述：实数6的取值范围为卜2a,-1].

四、解答题

17.在①Au8=3；②“xeA”是“xw3”的充分不必要条件；③A3=0这三个条件中任

选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题.

问题：已知集合4={xg-14x4a+l},B={x|-l<x<2}.

(1)当a=2时，求4B；

(2)若,求实数。的取值范围.

【正确答案】⑴AuB={x|-14x43}

(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】(1)根据并集得定义求解即可；

(2)选①，由=得Au8,列出不等式组，从而可得出答案.

选②，由“xeA”是“xeB”的充分不必要条件，得集合A为集合8的真子集，列岀不等式组,

从而可得出答案.

选③，根据A8=0列出不等式，解之即可得解.

【详解】⑴解：当a=2时，A={x\\<x<3},B={x\-l<x<2},

所以Au8={x|-14xM3}；

(2)解：若选择①，=则AuB,

因为A={x|a-14x*a+l},所以Ar0,又8={x|-lVx42},

。一1N—1

所以"142,解得：

所以实数”的取值范围是［05.

若选择②，“xeA”是“xe8”的充分不必要条件,

则集合A为集合B的真子集,

因为4={x|a-l4x4a+l},所以Aw0,

XB={x|-l<x<2},

a-\>-1

所以，且Aw5,

a+\<2

解得：04a41,

所以实数。的取值范围是［0』.

若选择③，AB=0,

又因为A={x|a-lWa+l},Z?={x|-l<x<2},

所以。一1>2或a+lc-l,解得：a>3或。<-2,

所以实数。的取值范围是(7,-2)53,").

18.设函数/(X)=底+(6-2)X+3.

⑴若不等式/(x)>0的解集为(T，l),求实数a,b的值;

(2)若/(1)=0,且VxeR,使/(x)<4成立，求实数。的取值范围.

【正确答案】⑴仁；

⑵（々I）

【分析】(1)由韦达定理列方程组求解可得；

(2)该问题为恒成立问题，整理后分二次系数是否等于0两种情况讨论即可.

【详解】(1)由题意可知：方程加+(b-2)x+3=0的两根是T,1

-^=-1+1=0

a=-3

所以“解得

b=2

-=(-l)xl=-l

a

(2)由/(1)=0得匕=_。_1

VxeR,.f(x)<4成立，即使以2+(/>一2)x7<0恒成立，

又因为匕=-代入上式可得加-(a+3)x-l<。恒成立.

当a=0时，显然上式不恒成立；

当awO时,要使ox?一(a+3)x-l<0恒成立

〃<0

所以A/c\2八，解得—9vav—1

△=(〃+3)+44〃<0

综上可知。的取值范围是(-91).

2

19.已知函数/(x)=Z-y-^(2e/?).

⑴若A=1,求函数/(A)的零点；

(2)探索是否存在实数A,使得函数/(x)为奇函数？若存在，求出实数2的值并证明;

若不存在，请说明理由.

【正确答案】(1)函数/(x)的零点为1

(2)存在；2=1；证明见解析

【分析】⑴根据零点的定义求零点即可;

⑵根据奇函数定义域包含零，那么/(0)=0的性质求义，再结合奇函数的定义去证明即可.

【详解】⑴当行;I时，〃》)=1:一7三，

21

令f(x)=O得汇7=]，所以3，+1=4,解得x=],

所以函数/(x)的零点为1.

(2)假设存在实数几，使得函数/(x)为奇函数,

因为/(x)的定义域为R，关于原点对称，

则/(0)=/l-1=0,所以2=1,止匕时/(x)=|^l,

V

又因为“一六三—二1^1二_2二-八力，所以此时/(X)为奇函数，满足题意.

故存在实数2=1,使得函数“X)为奇函数.

20.已知函数〃》)=広0-,机>0,且/⑴+4—1)=0.

2—inx

⑴证明：“X)在定义域上是增函数；

⑵若/(x)+ln9</(-x),求X的取值集合.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵{x|—2<x<—l}

【分析】(1)由条件等式，结合对数运算法则可解出机，即有f(x)解析式，用定义法证

g(x)=产的单调性，最后结合复合函数的单调性即可证明；

(2)结合对数运算法则得〃T)=-/(x),即可化简不等式，最后结合“X)单调性即可求

得解集.

313

【详解】(1)/(1)/(-1)=0,/.In-------+In-------=In-------彳=0,

+2—tn2+tn4—m

2+x

/.TH2=1,又6>0,/.m=\,/./(x)=In-----.

2-x

由守>0,解得—2<x<2,.・./(村的定义域为(-2,2).

2-x

O_i_v-A

令g(x)=7；—=-l+--，任取％,wG(-2,2),且则

2-x2-x

g(6g㈤W=(2：f)詰)•

又不一々<0,2-x,>0,2-X2>0,.".g(x,)-^(x2)<0,即g(xj<g(x2),

又y=lnx在(0,+8)上是增函数，由复合函数的单调性知：“X)在(-2,2)上是增函数.

(2)f(_x)=ln浮=-ln言=-f(x),

2+x2-x

••.原不等式可化为2/(x)<-ln9,即/(x)<ln1=/(-l).

由(1)知，“X)是增函数，

又f(x)的定义域为(-2,2),r.x的取值集合为{x|-2<x<-l}

21.2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党

和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步

复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年

举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促

销费用加万元(〃叱0)满足x=4-為(%为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量

只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16

万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的L5倍(此处每件产品年平均

成本按任⑼元来计算).

X

(1)求女的值；

(2)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(3)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

【正确答案】(1)k=2；(2)丫=36--与-%(〃?20)；(3)投入3万元时，厂家的利润最

大为29万元.

(1)根据题意机=0时，x=2可得解；

9R-I-1

(2)由(1)求出X=4-3,进一步求出销售价格1.5x巴二，由利润=销售额-固定成

m+lx

本一再投入成本-促销费，即可求解.

(2)由(1)y=36-」J-%=37--^-+^+1)(zn>0),利用基本不等式即可求解.

机+1\_m+\

【详解】(1)由题意知，当机=0时，X=2(万件)，

则2=4-无,解得&=2,

(2)由(1)可得x=4--

所以每件产品的销售价格为L5x生生(元)，

X

2020年的利润y=1.5xx8+6-8-16x-/??=36—————m(m>0).

xm^\

(3)当机NO时，w+l>0,

.-.-^-+(^+1)>2716=8,当且仅当〃2=3时等号成立.

"2+1

.•.”-8+37=29,

当且仅当々=〃?+1,即机=3万元时，乂皿=29(万元).

故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.

22.已知函数/(x)=log[x-1+log“(x-a)(a>0且"1).

⑴当。=2时，解不等式/(x)>Iog26；

(2)Vxe[2a,4a],求实数”的取值范围；

(3)在(2)的条件下，是否存在。，"w(4,+8)，使/(%)在区间[a,闭上的值域是

[log,心，log,"]?若存在，求实数a的取值范围：若不存在，试说明理由.

【正确答案】(1)(4,+8)

⑵刖

(3)不存在；理由见解析

【分析】(D先求定义域，然后根据单调性解不等式可得；

(2)将问题转化为最值问题，然后分和“>1,利用单调性求解即可；

(3)利用单调性得到a和4满足的方程，然后构造函数，由判别式列式求解可得.

2

【详解】(Da=2时，/(x)=log2(x-1)+log,(x-2)=log,(x-3x+2),

｛

由r_2>0，解得x>2,即函数定义域为(2，+8