2023-2024学年浙教版九年级数学上册第4章综合训练卷附答案

2023-2024学年九年级数学上册第4章综合训练卷

相似三角形（满分120分）

一、选择题（本大题共有12个小题，每小题4分，共48分）

1.如果4a=56（a人W0）,那么下列比例式变形正确的是（）

ab八ab八。44b

AA.­=—B.—=-C.—=-D.—=—

5445b5a5

Ar

2.如图，已知直线回〃BD=2,DF=4,则一的值为（）

AE

3.如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，

在点尸处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙⑦的顶端。处,

CDLBD,且测得四=4m,於6m,加=12m,那么该古城墙切的高度是（）

C

A.8mB.9mC.16mD.18m

4.如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2加的竹竿做测量工具，

移动竹竿使竹竿和旗杆两者顶端的影子恰好落在地面的同一点A,此时，

竹竿与点4相距8例与旗杆相距220，则旗杆的高为（）

A.6/77B.8.8nlC.12mD.15/77

5.在平面直角坐标系中，已知点£*（-4,2）,A（-2,-2）,

以原点。为位似中心，相似比为2：1,把△）中缩小，则点月的对应点少的坐标是

A.（-2,1）B.（-8,4）

C.（-8,4）或（8,一4）D.（一2,1）或（2,-1）

6.下列四个三角形，与如图的三角形相似的是（）

7.如图，在平行四边形485中，DE：g4：1,连接力£交切于点尸,

则SADEF：SABAF为()

A.3：4B.9：16

C.16：25D.4：1

8.如图，在ABC中，DFHEGHBC,S.AD=DE=EB,ABC

被OF、EG分成三部分，且三部分面积分别为H，邑，8，则号：$2：'=()

9.如图，小明在A时测得某树的影长为3m,8时又测得该树的影长为2m.

若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为()

Z时3时

率*

A.V6mB.26mC.6mD.yj5m

10.D、E分别为一ABC中BC、AC边上的点，且AE:EC=2:l,

则A尸：77)=()

BD_d

A.3:1B.5:1C.8:1D.9:1

11.如图，在中/C=90°,放置边长分别为4,6,x的三个正方形,则x的值为()

12.如图，在矩形四切中，£是血的中点，BELAC于点F,连接加分析下列四个结论:

①XAEFs（\CAB：②CF=2AF：③DF=CD；CDEF^|S^ABF.

其中正确的是（）

A.①②B.①②③

C.①@③④D.①

二、填空题（本大题共有8个小题，每小题4分，共32分）

13.若一丁=：,则工的值是_____

b4b

14.如图，点D、E分别在AB、AC上，且NABC=NAED.

若DE=4,AE=5,BC=8,则AB的长为

15.如图，在正方形A8CO中，£是817的中点，厂是8上一点，AELEF,CF=2,

则AF的长为________

16.如图，。是jMC的边AC上的一点，连接80,已知ZABO=NC,AB=6,AO=4,

则线段AC的长=.

D

B

17..如图，已知，ZACB=ZADC=90,BC=3,AC=4,

要使ABCsAC。，只要CE>=.

18.如图，等边ABC的边长为3,点尸为BC边上一点，且8P=1,点。为AC边上一点.

若NAPD=60。，则CO的长为.

19.如图，在平行四边形16（7中，点£是边/〃的中点，尾交对角线加于点凡

若^ADEC=3,贝!jS"CF=

20.如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，下列条件中：

ABBEAEAB

①NBAE=/CEF；②/AEB=/EFC；③AE_LEF；®--=—;?⑤

ECCFEFEC

其中能使.ABEs,ECF的有

三、解答题（本大题共有8个小题，共70分）

21.如图，CE与BD交于点A,AC=2,AE=3,AB=4,AD=6,求证：ADEjABC.

22.如图，点〃在△力回的边4?上，/ACD=NB,力分6cm,厩8cm,求：47的长.

D.

23.如图是一块底边BC长为120mm，高AH为80,丽的三角形余料，

现要把它加式成正方形OEFG零件，使得正方形的四个顶点。、E、F、G都在三角形三边上,

其中E、尸在BC边上，求加工后正方形的边长.

24.如图，等边ABC的边长为3,点尸为8C边上一点，且BP=1,

点。为AC边上一点.若NAP£>=60。，求CO的长

25.如图，Zl=Z2,Z5=ZD,AB^DE=5,BC=4.

⑴求证：ABCsADE；

（2）求A£>的长.

26.一块材料的形状是锐角三角形/6C,边比、=120mm,高/380mm,把它加工成正方形零件,

如图①，使正方形的一边在比上，其余两个顶点分别在16,AC1..

(1)求证：XAEFs/\ABC；

(2)如果把它加工成矩形零件，如图②，当£6为多少时，矩形£0庐有最大面积？最大面积是多少？

27.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=10cm,BC=15cm,

点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；

点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动.

点P、Q从起点同时出发，移动时间为t秒

(1)当t=4时，求线段PQ的长度

(2)当t为何值时，^PCQ是等腰三角形？

(3)当t为何值时，aPCQ的面积等于16cm/

(4)当t为何值时，△PCQS/XACB

28.在RtZXABC中，AB=BC=5,NB=90°,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点0处,

将三角板绕点0旋转，三角板的两直角边分别交AB,BC或其延长线于E,F两点，

如图(1)与(2)是旋转三角板所得图形的两种情况.

(1)三角板绕点0旋转，△OFC是否能成为等腰直角三角形？

若能，指出所有情况(即给出△OFC是等腰直角三角形时BF的长)，若不能，请说明理由；

(2)三角板绕点0旋转，线段0E和OF之间有什么数量关系？用图(1)或(2)加以证明；

(3)若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处(如图(3)),

当AP：AC=1：4时，PE和PF有怎样的数量关系？证明你发现的结论.

图③

（解答卷）

二、选择题（本大题共有12个小题，每小题4分，共48分）

1.如果4a=56（a®W0）,那么下列比例式变形正确的是（）

【答案】A

sr

2.如图，已知直线A3〃C£>〃EF,BD=2,DF=4,则一的值为（）

AE

【答案】A

4.如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，

在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙切的顶端C处,

必，期且测得/8=4m,淤6m,加=12m,那么该古城墙制的高度是（）

BD

A.8mB.9mC.16mD.18m

【答案】A

4.如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2勿的竹竿做测量工具，

移动竹竿使竹竿和旗杆两者顶端的影子恰好落在地面的同一点A,此时,

竹竿与点/相距8处与旗杆相距22处则旗杆的高为()

【答案】C

5.在平面直角坐标系中，已知点£(-4,2),尸(-2,-2),

以原点。为位似中心，相似比为2：1,把△碇缩小,则点£的对应点少的坐标是

B.(-2,1)B.(-8,4)

C.(-8,4)或(8,-4)D.(-2,1)或(2,-1)

【答案】D

6.下列四个三角形，与如图的三角形相似的是()

【答案】B

8.如图，在平行四边形495中，DE：陷4：1,连接四交8〃于点尸,

则SADEF：SABAF为()

A.3：4B.9：16

C.16：25D.4：1

【答案】C

8.如图，在ABC中，DF//EG//BC,且AD=DE=EB,ABC

被DF、EG分成三部分，且三部分面积分别为3，邑，8，则S：5上3=()

A.1：1:1B.1:2:3C.1:3:5D.1:4:9

【答案】C

9.如图，小明在A时测得某树的影长为3m,B时又测得该树的影长为2m.

若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（)

Z时8时

\I/

A.V6mB.2GmC.6mD.-V5m

【答案】A

11.D、E分别为MC中BC、AC边上的点，且比＞:DC=1:3,AE:EC=2A,

A.3:1B.5:1C.8:1D.9:1

【答案】C

11.如图，在林△//；中/G90°,放置边长分别为4,6,x的三个正方形，则x的值为（）

A.24B.12C.10D.8

【答案】C

12.如图，在矩形46切中，£是4〃的中点，BELAC干点、F,连接加分析下列四个结论:

①丛AEFs丛CAB；②CF=2AF；③DF=CD；®5CDEF=|S^ABF.

其中正确的是（）

A.①②B.①②③

C.①@③④D.①

【答案】C

四、填空题（本大题共有8个小题，每小题4分，共32分）

13.若F则/的值是_______

b4h

7

【答案】4

4

14.如图，点D、E分别在AB、AC上，且/ABC=NAED.

若DE=4,AE=5,BC=8,则AB的长为

【答案】10

15.如图，在正方形A8CO中，后是8c的中点，尸是CQ上一点，AELEF,CF=2,

则AT的长为

【答案】10

16.如图，D是ASC的边AC上的一点，连接已知NABO=NC,AB=6,AD=4,

则线段AC的长=.

【答案】9

17..如图，已知，ZACB=ZADC=90,BC=3,AC=4,

要使一ABCs。ACD，只要CD=.

12

【答案】y

18.如图，等边,ABC的边长为3,点尸为8c边上一点，且BP=1,点。为AC边上一点.

若NAP£>=60。，则CQ的长为.

BPC

2

【答案】j

19.如图，在平行四边形力及力中，点后是边/。的中点，比交对角线劭于点区

若S&DEC=3,则S^CF=.

【答案】4

20.如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，下列条件中：

_ABBEAEAB

①/BAE=/CEF；②NAEB="Z^EFC；③AE_LEF；④----=-----；⑤-----=-----.

ECCFEFEC

其中能使,ABEs,ECF的有

【答案】①②③④⑤

五、解答题（本大题共有8个小题，共70分）

21.如图，CE与BD交于点A,AC=2,AE=3,AB=4,AD=6,求证：ADEsABC.

..AE_3AD_6_3

解：.前一5'花一15

.AEAD

・•--=---，

ACAB

・：/DA良/BAC,

:•△ADESXABC.

22.如图，点〃在△44C的边相上，N.AC2/B,4分6cm,妗8cm,求：力。的长.

解：Y4AC24B,N/=N4

:・XN)CS[\ACB,

,ADAC6AC

：.——=——,艮RrJl——二----

ACABAC8+6

解得，AO2后.

23.如图是一块底边BC长为120加加，高A”为80〃?加的三角形余料，

现要把它加式成正方形OEFG零件，使得正方形的四个顶点。、E、F、G都在三角形三边上,

其中E、尸在BC边上，求加工后正方形的边长.

解：设正方形的边长为xmm,

:四边形QEFG是正方形，

DG//BC,

ADGsABC,

.80-x_x

80-120'

解得x=48,

所以，加工后正方形的边长为48mm.

24.如图，等边ABC的边长为3,点尸为BC边上一点，且3尸=1,

点。为AC边上一点.若NA/Z>=60。，求CO的长

,/ABC是等边三角形，

AAB=BC=AC=3fZB=ZC=60°,

JZBAP+ZAPB=180°-60°=l20°,

VZAPD=60°,

・•・ZAPB+ZDPC=180°-60°=l20°,

:.4BAP=/DPC,

又/B=/C,

：.BAPCPD,

.AB_BP

9，~CP~~CDf

VAB=BC=3fBP=1,

：.CP=BC-BP=3-i=2,

CD"

解得：CD=12,故答案为：2

25.如图，Z1=Z2,ZB=ZD,AB=DE=5,BC=4.

⑴求证：ABCsADE；

⑵求AO的长.

解：（1）证明：:N1=N2,

；・NBAC=/DAE,

•；ZB=ZD,

：.ABC^,ADE（AAA）；

（2）解：V-ABC^ADE,

.ADDE

・・耘一就•

VAB=DE=5,BC=4

：.AD=—.

26.一块材料的形状是锐角三角形49C,边仇?=120mm,高/L9=80mm,把它加工成正方形零件,

如图①，使正方形的一边在回上，其余两个顶点分别在1昆4。上.

①②

(1)求证：MAEFsl\ABC,、

(2)如果把它加工成矩形零件，如图②，当为多少时，矩形£0所有最大面积？最大面积是多少？

解：(1)•:正方形EGHF,

：.EF//BC,

ZAEF=ZB,AAFE=ZC,

:.XAEFSXABC、

(2)设,EG=a,

・・•矩形EGHF,

:・EF〃BC,

:.XAEFSXABC,

.EFAK

•・丽一茄’

,EF_80-(7

•,荷_80，

：.BF=l20--a

2f

333

.,.矩形面积S=a(120--a)=--a?+120a=--(a-40)2+2400,

222

当a=40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2,

即：当面=40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400廊2.

27.如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=10cm,BC=15cm,

点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；

点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动.

点P、Q从起点同时出发，移动时间为t秒

(1)当弋=4时，求线段PQ的长度

（2）当t为何值时，4PCQ是等腰三角形？

（3）当t为何值时，4PCQ的面积等于16cm2?

（4）当t为何值时，△PCQs^ACB

解：（1）当t=4时，

•••点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动,

点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，

，AP=4cm,PC=AC-AP=6cm、CQ=2X4=8cm,

：・PQ=7PC?+CQ?=10cm；

(2)VAP=t,PC=AC-AP=10-t>CQ=2t,

、口」10

当PC=CQ时10-t=2tt=—

3

(3)VAP=t,PC=AC-AP=10-t>CQ=2t,

.,.Szxpoc=-PCXCQ=t(10-t)=16,

2

/.ti=2,t2=8,当t=8时，CQ=2t=16>15,.,.舍去,

.,.当t=2时,△PQC的面积等于16cm2；

(4)\•点0为AB的中点,ZACB=90°,

.\OA=OB=OC(直角三角形斜边上中线定理)，

.•.ZA=Z0CA,

而/OCA+/QPC=90°,ZA+ZB=90°,

.*.ZB=ZQPC,又NACB=NPCQ=90°,

.•.△ABCs^QPC,

•CP=CQ

''CB-CA

l0-r_2r

t=2.5s.

15

28.在RtZSABC中，AB=BC=5,NB=90°,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点0处,

将三角板绕点0旋转，三角板的两直角边分别交AB,BC或其延长线于E,F两点，

如图（1）与（2）是旋转三角板所得图形的两种情况.

（1）三角板绕点0旋转，△OFC是否能成为等腰直角三角形？

若能，指出所有情况（即给出△OFC是等腰直角