四川省雅安市2023-2024学年高三下学期4月月考数学（理）试题（含答案）

届高三数学试题（理科）考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。2.请将各题答案填写在答题卡上。3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则B中元素的最大值为（）A.4 B.5 C.7 D.102.若圆C：与圆D：外切，则（）A.2 B.3 C.4 D.53.设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，且，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若复数的实部为4，则点的轨迹是（）A.短轴长为4的椭圆 B.实轴长为4的双曲线C.长轴长为4的椭圆 D.虚轴长为4的双曲线5.函数是（）A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数6.在平行四边形中，，且，则四边形的面积为（）A.4 B. C.8 D.7.若函数的值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.设的整数部分为，则数列的前20项和为（）A.210 B.211 C.212 D.2139.已知函数，，则（）A.当有2个零点时，只有1个零点B.当有3个零点时，有2个零点C.当有2个零点时，只有2个零点D.当有2个零点时，有4个零点10.的最小值为（）A. B.5 C. D.611.在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，与底面所成的角分别为，，且，则（）A. B. C. D.12.已知0为函数的极小值点，则a的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.一组样本数据12，15，12，13，18，10，16，19，15，12的众数为____________，中位数为___________.14.若x，y满足约束条件则的取值范围是____________15.对于1个字母串shanhushu，改变这个字母串中的字母位置顺序，可以得到___________个新的字母串.16.已知定义在上的函数满足，，则___________.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知甲社区有120人计划去四川旅游，他们每人将从峨眉山与青城山中选择一个去旅游，将这120人分为东、西两小组，两组的人数相等，已知东小组中去峨眉山的人数是去青城山人数的两倍，西小组中去峨眉山的人数比去青城山的人数少10.（1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为游客的选择与所在的小组有关；去峨眉山旅游去青城山旅游合计东小组西小组合计（2）在东小组的游客中，以他们去青城山旅游的频率为乙社区游客去青城山旅游的概率，从乙社区任选3名游客，记这3名游客中去青城山旅游的人数为X，求及X的数学期望.参考公式：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82818.（12分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.（1）求A；（2）若D为边上一点，且，证明：外接圆的周长为.19.（12分）如图，在直三棱柱中，，，D为的中点.（1）证明：平面.（2）若以为直径的球的表面积为，求二面角的余弦值.20.（12分）双曲线：上一点到左、右焦点的距离之差为6.（1）求的方程.（2）已知，，过点（5，0）的直线与交于M，N（异于A，B）两点，直线与交于点P，试问点P到直线的距离是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21.（12分）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若，，且，证明：.（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，O为极点，曲线M的方程为，曲线N的方程为，其中m为常数.（1）以O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，求曲线M与N的直角坐标方程；（2）设，曲线M与N的两个交点为A，B，点C的极坐标为，若的重心G的极角为，求的值.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知.（1）若，求b的取值范围；（2）求的最大值.2024届高三数学试题参考答案（理科）1.C【解析】本题考查集合中的元素，考查逻辑推理的核心素养..2.C【解析】本题考查圆与圆的位置关系，考查直观想象的核心素养.依题意可得，解得.3.D【解析】本题考查点、线、面的位置关系与充分必要条件的判定，考查空间想象能力与逻辑推理的核心素养.如图1，当时，与不一定垂直.如图2，当时，m与n不一定垂直.所以“”是“”的既不充分也不必要条件.4.C【解析】本题考查复数的运算与实部以及曲线与方程，考查数学运算的核心素养.因为，所以，即，所以点的轨迹是长轴长为4的椭圆.5.B【解析】本题考查三角函数的周期性与奇偶性，考查逻辑推理的核心素养.因为，所以该函数为奇函数.因为，的最小正周期分别为，，所以的最小正周期为.6.C【解析】本题考查平面向量，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.在平行四边形中，，，因为，所以四边形为矩形，又，所以四边形为正方形，所以四边形的面积为.7.B【解析】本题考查对数函数、二次函数、一元二次不等式，考查逻辑推理的核心素养.依题意可得要取遍所有正数，则，因为，所以，所以.8.B【解析】本题考查数列的新定义与数列求和，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.，当时，，当时，，所以则数列的前20项和为.9.D【解析】本题考查函数的零点，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.作出，的大致图象，如图所示.由图可知，当有2个零点时，无零点或只有一个零点；当有3个零点时，只有1个零点；当有2个零点时，有4个零点.10.B【解析】本题考查抛物线定义的应用，考查直观想象的核心素养及化归与转化的数学思想.设，，，易知点P的轨迹是抛物线的上半部分..因为F为抛物线的焦点，所以等于P到抛物线的准线的距离，所以的最小值等于A到准线的距离，所以的最小值为5.11.B【解析】本题考查线面角与三角恒等变换，考查直观想象与数学运算的核心素养.设，，因为，所以，所以，.因为，所以，解得（负根已舍去）.12.A【解析】本题考查导数的应用，考查逻辑推理的核心素养以及分类讨论的数学思想.，的导函数为.若，，在上单调递增，因为，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，符合题意.若，当时，，在上单调递增，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意.若，当时，，当时，，因为，所以，不符合题意.若，当时，，，易得在递增，在上单调递减，不符合题意.综上，的取值范围是.13.12；14【解析】本题考查样本的数字特征，考查数据处理能力.将这组数据按照从小到大的顺序排列为10，12，12，12，13，15，15，16，18，19，则这组数据的众数为12，中位数为.14.【解析】本题考查简单的线性规划，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.作出约束条件表示的可行域（图略），当直线经过点时，取得最大值3，所以的取值范围是.15.15119【解析】本题考查排列组合的实际应用，考查应用意识.因为字母串shanhushu有2个s，2个u，3个h，1个a，1个n，所以改变这个字母串中的字母位置顺序，可以得到个新的字母串.16.【解析】本题考查抽象函数与数列的交汇，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.令，得.设数列满足，，则，，所以数列是首项为2，公比也为2的等比数列，则，则，所以.17.解：（1）2×2列联表如下.去峨眉山旅游去青城山旅游合计东小组402060西小组253560合计6555120，所以有99%的把握认为游客的选择与所在的小组有关.（2）在东小组的游客中，他们去青城山旅游的频率为，所以乙社区游客去青城山旅游的概率为，所以，则，.18.（1）解：因为，所以，即，又，所以.因为，所以.（2）证明：在中，由正弦定理，得，则，则.设外接圆的半径为，则，所以外接圆的周长为.19.（1）证明：连接交于点E，则E为的中点，连接，因为为的中点，所以，又平面，在平面，所以平面.（2）解：因为，为的中点，所以，且.因为以为直径的球的表面积为，所以，解得.以为坐标原点，的方向为y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量为，，，则令，得.设平面的法向量为，，则令，得.因为，且由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.20.解：（1）依题意可得解得，，故的方程为.（2）由题意可得直线的斜率不为0，设的方程为，设，，联立得，则，，.直线：，直线：，联立与，消去得，解得，所以点在定直线上.因为直线与直线之间的距离为，所以点P到直线的距离为定值，且定值为.21.（1）解：由，得，则，.故曲线在点处的切线方程为，即.（2）证明：由，，且，不妨设，，，则证明等价于证明，，即证.令，则，当时，，单调递减，故，，即，，则.要证，只需证.令，则.令，得.令，，则令，，则在上恒成立，则，则在上恒成立，则单调递增.当时，，则，则，单调递减，当时，，则，则，单调递增