2023-2024学年江苏省高邮市高三下学期3月学情调研测试数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年江苏省高邮市高三下学期3月学情调研测试数学模拟试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（

）A． B．C． D．2．下列命题中，正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3．函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．4．已知，则（

）A． B．C． D．5．已知，则（

）A． B． C． D．6．已知的外接圆圆心为，，，则在上的投影向量为（

）A． B．C． D．7．公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec(角)表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc(角)表示，则=（

）A．4 B．8 C． D．8．已知函数，，若当时，总有，则实数的最大值为（

）A． B． C． D．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法错误的是（

）A．在正三角形中，，的夹角为B．若，且，则C．若且，则D．对于非零向量，“”是“与的夹角为锐角”的充分不必要条件10．下列命题正确的是（

）A．B．C．D．11．如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1和2，点是直线上的点，点是直线上的点，且，平面内一点满足：，则（

）

A．为直角三角形 B．C．面积的最小值是 D．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上.12．如图，正八边形，其外接圆半径为2，则=.

13．若为第一象限角，且，则.14．已知平面单位向量满足，设，向量的夹角为，则的最小值为．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在长方形中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且，设，.(1)试用基底，表示，，；(2)若G为长方形所在平面内一点，且，求证：三点不能构成三角形.16．已知平行四边形中，，点是线段的中点.(1)求的值；(2)若，且，求的值.17．（1）已知且及，求的值；（2）已知，且，求的值.18．如图，在△中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边，分别交于点，，设，.

(1)若，，求的值；(2)若点为线段的中点，求的最小值.19．如果存在实数对使函数，那么我们就称函数为实数对的“正余弦生成函数”，实数对为函数的“生成数对”；(1)求函数的“生成数对”；(2)若实数对的“正余弦生成函数”在处取最大值，其中，求的取值范围；(3)已知实数对为函数的“生成数对”，试问：是否存在正实数使得函数的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.1．B【分析】根据向量共线，求得关于的方程，求解即可.【详解】因为，是两个不共线的向量，由，共线，则存在实数，使得，则，解得或，则.故选：B.2．C【分析】根据向量的概念逐一判断.【详解】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误；对于B：向量不能比较大小，只能相同，B错误；对于C：若，则方向相同，C正确；对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误.故选：C.3．B【分析】根据二倍角公式化简后利用周期的计算公式即可求解.【详解】，故最小正周期为.故选：B4．A【分析】根据两角和的正切公式及二倍角的余弦公式，利用诱导公式及特殊值的三角函数，结合三角函数的性质即可求解.【详解】，，，所以，，，所以.故选：A.5．D【分析】根据余弦的和差角公式求得，再求结果即可.【详解】因为，则，，解得，，故，则.故选：D.6．D【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可.【详解】因为，所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图，又，所以为等边三角形，则，故，所以向量在向量上的投影向量为．故选：D．7．A【分析】根据正割和余割的定义，结合三角恒等变换，化简求值即可.【详解】.故选：A.8．B【分析】构造，由题可知，在区间单调递减，结合正弦函数单调性即可求得结果.【详解】令，当时，总有，也即，故在区间单调递减；又令，解得，故在单调递减，则的最大值为.故选：B.9．ACD【分析】根据向量的夹角定义可判断A；根据平行向量的定义可判断B；根据平面向量数量积的运算律可判断C；根据平面向量数量积的定义可判断D.【详解】对于A，在正三角形中，的夹角为，故A错误；对于B，若，且，则，故B正确；对于C，若，则，当时，可以有，故C错误；对于D，当时，与的夹角为锐角或零角，故充分性不成立，当与的夹角为锐角时，，故必要性成立，所以“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件，故D错误.故选：ACD.10．BC【分析】利用诱导公式差角的正弦化简判断A；利用和角正切公式化简判断B；利用凑特殊角及差角的余弦化简判断C；利用二倍角的正弦计算判断D.【详解】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：BC11．ABD【分析】利用数量积的运算法则与三角形重心的向量表示判断AB；设，利用三角形面积公式结合正弦函数性质判断C；利用数量积的运算法则，结合基本不等式判断D.【详解】对于A，因为，所以，即，所以，即，则，所以为直角三角形，故A正确；对于B，取中点，连接，如图，

由，得，因此点是的重心，则，故B正确；对于C，过点作，则共线，，设，而，则，所以，又点为的重心，所以的面积，当且仅当，即时取等号，故C错误；对于D，与选项B同理可得，所以，当且仅当，即时取等号，则，故D正确；故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题解决的关键有二，一是利用数量积的运算法则由证得，二是由推得点是的重心，从而得解.12．【分析】由，结合角度关系以及数量积定义和运算律即可求得结果.【详解】正八边形，故，故；则.故答案为：.13．##【分析】利用凑角及同角三角函数的平方关系，结合两角差的余弦公式即可求解.【详解】因为为第一象限角，即，所以.所以，因为,所以.所以.故答案为：.14．【解析】设向量的夹角为，由得，由可求得结果.【详解】设单位向量的夹角为，则，因为，所以，即，所以，所以，又，所以，，，所以，所以当时，取最小值.故答案为：.【点睛】关键点点睛：利用平面向量数量积的定义求解是解题关键.15．(1)，，(2)证明见解析【分析】（1）根据向量的线性运算可求，，；（2）利用向量的线性运算可得，故可证三点共线.【详解】（1）；；.（2），，又与有公共端点，三点共线，三点不能构成三角形.16．(1)(2)2【分析】（1）根据数量积的定义即可求解，（2）根据向量的线性运算以及数量积的运算律即可求解.【详解】（1）（2），，，，即，解得：.17．（1）；（2）9.【分析】（1）根据同角三角函数关系，求得，再求，结合角度范围，即可求得结果；（2）根据，以及，结合正切的和差角公式，以及同角三角函数关系，即可求得，则问题得解.【详解】（1）已知，，且及，所以，，所以，又及，所以，故.（2）

，，，，又，.18．(1)；(2).【分析】（1）根据三点共线，用表达，再用表达，结合三点共线，即可由共线定理求得；（2）用表达，再用表达，根据，待定系数求得关于参数的表达式，利用基本不等式即可求得其最小值.【详解】（1）由点共线可设，则，即，，，，为线段上靠近点的三等分点，，由点共线可设，即，故，解得，故，.（2），，，故，又为中点，则，故，得，，当且仅当，即时，等号成立；故的最小值为.19．(1)(2)(3)存在，【分析】（1）利用两角和差正弦公式、二倍角公式化简函数，结合“生成数对”定义可得结果；（2）利用辅助角公式、正弦型函数最值的求法可确定，进而由二倍角正切公式可将表示为关于的函数的形式，结合的范围和函数单调性可求得结果；（3）由两角和差余弦公式、“生成数对”定义可求得，进而可化简整理所求函数为，采用换元法，讨论二次函数对称轴的位置，从而确定最大值点，利用最大值构造方程即可.【详解】（1），的“生成数对”为.（2）由题意知：，其