8.3.1 实际问题与二元一次方程组（第1课时）初中数学人教版七年级下册大单元教学课件

第八章

二元一次方程组

8.3实际问题与二元一次方程组8.3.1用二元一次方程组解决简单问题

学习目标1、根据题目所给的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题；2、学会运用二元一次方程组解决行程、几何与销售问题；温故知新二元一次方程组的解法有哪些？1、代入消元法2、加减消元法注：二元一次方程组的解法本质上是消元，将“二元”变成“一元”；情景引入

小明和小丽同时到水果摊买水果，已知小明买了3kg苹果，2kg香蕉，共花了18.8元；小丽买了2kg苹果，3kg香蕉，共花了18.2元；你能根据题目中所给的条件计算出苹果和香蕉的单价吗？提示：可以设两个未知数，列二元一次方程组即可解出答案；解：设苹果的单价为x元/千克，香蕉的单价为y元/千克，根据小明和小丽买水果花费的费用，列方程组：3x2y2x3y43.4所以，苹果的单价为4元/千克，香蕉的单价为3.4元/千克.知识点一

列二元一次方程组解实际问题知识精讲

列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等。典型例题典例精析

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理清题目中的数量关系是解题关键．故选：D．练一练

【分析】根据“x人，每人种4棵的树苗数总数量；x人，每人种5棵的树苗数总数量”可得答案．

知识精讲解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：(1)审题：弄清题意和题目中的_________；(2)设元：用___________表示题目中的未知数；(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的值；(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.归纳总结数量关系字母2代入消元加减消元法知识点二

利用二元一次方程组解决行程问题知识精讲行程问题的基本公式：路程＝速度×时间速度＝路程÷时间时间＝路程÷速度追及问题公式：

追及时间＝路程差÷速度差

速度差=追及路程÷追及时间

追及路程=速度差×追及时间流水问题公式：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间顺水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速－水速静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2典型例题典例精析【例2】甲乙两人从相距40千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后1.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后2小时相遇．甲、乙两人每小时各走多少千米？【分析】设甲的速度是千米时，乙速度是千米时，根据甲乙两人从相距40千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后1.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后2小时相遇可列方程求解．

练一练1．为了参加国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行了专项训练．在某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共长5千米，共用时15分钟，求自行车路段和长跑路段的长度．【分析】设自行车路段的长度为x米，长跑路段的长度为y米，根据“李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共长5千米，共用时15分钟，”列出方程组，即可求解．

2．娄底市出租车收费规定：起步价所包含的路程为0～1.5千米，超过1.5千米的部分按每千米另收费．刘同学说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了4.5千米，付车费11元．”李同学说：“我乘出租车从市政府到娄底火车站走了6.5千米，付车费15元．”问：(1)出租车的起步价是多少元？超过1.5千米后每千米收费多少元？(2)小张乘出租车从家里到娄底南站（高铁站）走了9.5千米，应付车费多少元？【分析】（1）先设未知数，设出租车的起步价是x元，超过1.5千米后每千米收费y元．根据他们的对话建立2个等量关系，因为4.5千米和6.5千米都分两段收费，一段是1.5千米部分，一段是多于1.5千米的部分，再根据两段的单价和两人的付车费列出二元一次方程组求解；（2）9.5千米分两段收费：即1.5千米（起步价）+(9.5-1.5)千米×单价=付车费．把（1）中的单价代入进行计算即可；

知识点三

利用二元一次方程组解决几何问题知识精讲典例精析【例3】已知一个长方形草坪，若它的长增加4米，宽减少1米，则面积保持不变；若它的长减少2米，宽增加1米，则面积仍保持不变．(1)求：长方形草坪的长和宽；(2)如图，在长方形草坪内部修两条互相垂直，宽为1米的小路，求原长方形草坪剩余部分的面积．知识精讲

练一练1．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为9cm2的小正方形，求每个小长方形的面积．

图1

图2

知识点四

利用二元一次方程组解决销售问题知识精讲典例精析【例4】为丰富学生的课余生活，某中学计划购买若干篮球和足球．据了解，买6个篮球和10个足球需要1700元；买10个篮球和20个足球需要3100元．求每个篮球和每个足球的价格分别是多少元？【分析】设每个篮球的价格是x元，每个足球的价格是y元，根据6个篮球的价格+10个足球的价格=1700元，10个篮球的价格+20个足球的价格=3100元列出方程组，求出解即可．知识精讲

练一练1．元旦期间，七年级（1）班准备购买一批笔记本和水笔作为奖品奖励学生，现从甲、乙两家文具店了解到：同一款式的笔记本和水笔价格相同，一套笔记本和水笔总价20元，笔记本的单价是水笔单价的3倍．甲文具店的优惠政策是：每买一本笔记本赠送一支水笔，多买的水笔按原价付款；乙文具店的优惠政策是：笔记本和水笔都实行8折优惠．(1)求笔记本和水笔的单价分别是多少；(2)若购买20本笔记本和m（m不少于20）支水笔，当m为多少时，到甲、乙两家文具店购买付款一样多？【分析】（1）设水笔的单价为x元，则笔记本的单价为3x元，根据一套笔记本和水笔总价20元，列出方程求解即可；（2）根据两个商店的优化方案分别列出两个商品的付款钱数，令它们相等即可建立方程求解．【详解】（1）解：设水笔的单价为x元，则笔记本的单价为3x元，由题意得，x+3x=20，解得x=5，∴3x=15，∴水笔的单价为5元，笔记本的单价为15元，答：水笔的单价为5元，笔记本的单价为15元．（2）解：由题意得，20×15+5(m-20)=20×15×0.8+5×0.8m解得，m=40，答：当m=40时，到甲、乙两家文具店购买付款一样多．课堂练习

【分析】根据预定了小组赛和决赛两个阶段的门票共20张作为奖品，总价为74000元，列出二元一次方程组即可．故选A．2．甲、乙两地相距100千米，一般轮船往返两地，顺流航行用4小时，逆流航行用5小时，那么这艘轮船在静水中速度是（

）千米/时A．2.5千米/时 B．22.5千米/时 C．4.5千米/时 D．20.5千米/时

3．如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形ABCD，若CD=21，则小长方形的面积为（）A．80 B．90 C．610 D．630【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的对边相等及CD=21，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y，再利用长方形的面积公式，即可求出结论．

4．一个两位数，个位数字比十位数字大5，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得到的新数与原数的和是99，设原来的两位数个位数字是x，十位数字是y，可列方程组______．

5．根据如图中两人的对话记录可知，篮球的原价（打折前的价格）为__________元．

6．如图所示，某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园，准备将一块周长为228米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形．(1)小长方形的长和宽分别为多少米？(2)计划在空地上种各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价200元，经计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？

7．某书店购进甲、乙两种图书共100本，甲、乙两种图书的进价分别为每本10元、30元，甲、乙两种图书的标价分别定为每本15元、40元．(1)若书店恰好用了2300元购进这100本图书，求购进的甲、乙图书各多少本？(2)在销售时，该书店考虑到要迅速将图书售完，于是甲图书打8折，乙图书也打折