考点03一元二次方程（原卷版）

考点三一元二次方程知识整合一、一元二次方程的概念1．一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．二、一元二次方程的解法1．直接开平方法适合于或形式的方程．2．配方法（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成的形式；（5）运用直接开平方法解方程．3．公式法（1）把方程化为一般形式，即；（2）确定的值；（3）求出的值；（4）将的值代入即可．4．因式分解法基本思想是把方程化成的形式，可得或．考向一一元二次方程解法典例引领1．解下列方程：(1)；(2)．2．解方程：(1)；（配方法）(2)；（公式法）(3)；（因式分解法）(4)．（选择适当的方法）3．解方程：(1)；(2)．4．用适当的方法解下列方程：．5．提出问题：为解方程，我们可以令，于是原方程可转化为，解此方程，得（不符合要求，舍去）．当时，．原方程的解为．以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．解决问题：运用上述换元法解方程：．6．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可．用上面的思想方法解方程：(1)；(2)7．解下列方程：(1)；(2)．8．解方程：(1)；(2)．9．解下列方程：(1)；(2)10．解方程(1)(2)11．解下列方程：(1)（配方法）(2)12．阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，设，则原方程可化为①，解得．当时，，∴，∴．当y＝4时，，，∴．故原方程的解为，，，．解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了降次的目的．(2)请利用以上知识解方程．13．阅读材料：解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，．当时，，，；当时，，，．∴原方程的解为，，，．以上方法就叫换元法，达到了降次转化为一元二次方程的目的．这一过程体现了数学整体思想和转化的思想．类比应用：运用上述方法解方程：．14．定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“平和数”．例如，5是“平和数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“平和数”．解决问题：(1)请你再写一个小于5的“平和数”_____；判断29是否为“平和数”____（填“是”或“否”）；(2)若二次三项式（是整数）是“平和数”，可配方成（，为常数），则_____．(3)已知“平和数”（，是整数）的值为0，则的值为_____；(4)已知（，是整数，是常数），要使为“平和数”，请写出符合条件的的值_____；(5)已知实数，满足，求的最小值．15．学习的本质是自学．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，小睿发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答．(1)求代数式的最小值．(2)求代数式的最值．16．推理能力有助于形成实事求是的科学态度与理性精神．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：，且．据此，我们可以得到下面的推理：∵，而∴，故有最小值，最小值是．试根据以上方法判断代数式是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值．变式拓展1．用适当的方法解下列方程：(1)；(2)．2．选择适当的方法解下列方程(1)(2)3．解方程：．4．解下列方程：(1)；(2)．5．解下列方程：(1)；(2)．6．解方程(1)(2)7．解一元二次方程：(1)(2)8．用适当的方法解下列方程：(1)；(2)．9．解下列一元二次方程：(1)；(2)．10．我们知道：；，这一种方法称为配方法．由此可得：，，∴当时，有最小值为；，∴当时，有最大值为25．利用以上的方法解答下列问题：(1)填空：按上面材料提示的方法配方：_____________=_____________．(2)应用：如图，已知线段是上的一个动点，设，以为一边作正方形，再以为一组邻边作长方形．问：当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．11．解下列方程：(1)；(2)；（用配方法）(3)；(4)．12．读材料：若，求m，n的值．解：∵，∴，∴，∴，，∴，．根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知，则______，______．(2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求c的值．13．阅读理解：一位同学将代数式变形为，得到后分析发现，那么当时，此代数式有最小值是4．请同学们思考以下问题：(1)已知代数式，此代数式有最值（填“大”或“小”），且值为．(2)已知代数式，此代数式有最值（填“大”或“小”），且值为．(3)通过阅读材料分析代数式的最值情况，写出详细过程及结论．14．是一个一元四次方程．根据该方程特点，通常用“换元法”解方程：设，则_______，于是原方程可变为________，解得，______．当时，，．当______时，_______，______．原方程有4个根，分别是________．15．阅读下面的材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，；当时，，，．综上所述，原方程的解为，，，．(1)根据材料解方程：；(2)已知实数，满足，求的值．16．转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未