2021-2022高中数学人教版必修2作业4.3.12空间直角坐标系（系列四）Word版含解析

4.3空间直角坐标系一、选择题1．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确叙述的个数为()A．3B．2C．1D．0解析：选C对于①，点P(a，b，c)关于横轴的对称点为P1(a，－b，－c)，故①错；对于②，点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(－a，b，c)，故②错；对于③，点P(a，b，c)关于纵轴的对称点是P3(－a，b，－c)，故③错；④正确．故选C.2．若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()A．7B．－7C．－1D．1解析：选D点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，eq\r(2)，eq\r(3))，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为()A．(0，eq\r(2)，0)B．(0，eq\r(2)，eq\r(3))C．(1,0，eq\r(3))D．(1，eq\r(2)，0)解析：选D点P(1，eq\r(2)，eq\r(3))关于平面xOy的对称点是P1(1，eq\r(2)，－eq\r(3))，则垂足Q是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，eq\r(2)，0)，故选D.4．点A(1,2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为()A．2eq\r(5)B．4C．2eq\r(2)D．2eq\r(7)解析：选B点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1)，点A关于x轴对称的点B的坐标是(1，－2,1)，故|BC|＝eq\r(1－12＋2＋22＋1－12)＝4.5．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2eq\r(6)，则实数x的值是()A．－3或4B．6或2C．3或－4D．6或－2解析：选D∵|AB|＝eq\r(x－22＋1－32＋2－42)＝eq\r(x－22＋8)＝2eq\r(6)，∴x＝6或－2.二、填空题6．已知A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)，则△ABC是________三角形．(填三角形的形状)解析：|AB|＝eq\r(4－72＋3－12＋1－22)＝eq\r(14).|AC|＝eq\r(4－52＋3－22＋1－32)＝eq\r(6)，|BC|＝eq\r(7－52＋1－22＋2－32)＝eq\r(6)，所以|AC|＝|BC|，由三边长度关系知能构成三角形，所以△ABC是等腰三角形．答案：等腰7．已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则|AB|的最小值为________．解析：由两点间的距离公式可得|AB|＝eq\r(1－t－22＋1－t－t2＋t－t2)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,5)))2＋\f(9,5))≥eq\f(3\r(5),5).答案：eq\f(3\r(5),5)8．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，F是BD的中点，G在棱CD上，且|CG|＝eq\f(1,4)|CD|，E为C1G的中点，则EF的长为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D为坐标原点，由题意，得F(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0)，C1(0,1,1)，C(0,1,0)，G(0，eq\f(3,4)，0)，则E(0，eq\f(7,8)，eq\f(1,2))．所以|EF|＝eq\r(0－\f(1,2)2＋\f(7,8)－\f(1,2)2＋\f(1,2)－02)＝eq\f(\r(41),8).答案：eq\f(\r(41),8)三、解答题9．如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标．解：过点D作DE⊥BC，垂足为E.在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得|BD|＝1，|CD|＝eq\r(3)，∴|DE|＝|CD|sin30°＝eq\f(\r(3),2)，|OE|＝|OB|－|BE|＝|OB|－|BD|cos60°＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，∴点D的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).10．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C解：如图所示，分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，∴C1(3,3,2)，D1(0