江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高二下学期3月阶段调研考试数学

常州市联盟学校20232024学年度第二学期阶段调研高二年级数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设函数在处存在导数为2，则（

）A.2 B.1 C. D.42.已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为（）A. B. C. D.3.若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的增区间为（）A. B.C D.4.若函数在处有极小值，则（）A. B. C.或 D.5.在四面体中，M点在线段上，且，G是的重心，已知，，，则等于（）A. B.C. D.6.若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.7.函数，若函数有3个零点，则的取值范围为（

）A. B. C. D.8.函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（）A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.在正方体中，下列命题是真命题的是（）A.B.C.D.正方体的体积为10.下列说法中正确的是（）A.B.C.设函数，若，则D.设函数的导函数为，且，则11.已知直线与函数，的图象分别相交于两点.设为曲线在点处切线的斜率，为曲线在点处切线的斜率，则的可能取值为（

）A. B. C.e D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知空间三点，，，在直线OA上有一点H满足，则点H的坐标为________.13.若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的最小值是______．14.如图，正方形与正方形的中心重合，边长分别为3和1，，，，分别为，，，的中点，把阴影部分剪掉后，将四个三角形分别沿，，，折起，使，，，重合于P点，则四棱锥的高为________，若直四棱柱内接于该四棱锥，其上底面四个顶点在四棱锥侧棱上，下底面四个顶点在面内，则该直四棱柱体积的最大值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，，.（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值；（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.16.已知函数.（1）求曲线过点处的切线；（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值.17.如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.（1）求证：共面；（2）当为何值时，；（3）若，且，求的长.18已知函数．（1）若是函数的极值点，求的值，并求函数的极值；（2）若函数在处取得极大值，求取值范围.19已知函数，其中．（1）当时，求的单调区间；（2）求当时，函数在区间上最小值；（3）若函数有两个不同的零点.①求实数a的取值范围；②证明：.常州市联盟学校20232024学年度第二学期阶段调研高二年级数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设函数在处存在导数为2，则（

）A.2 B.1 C. D.4【答案】D【解析】【分析】利用导数的极限定义计算可得.【详解】由导数的定义可知，.故选：D.2.已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】，又∵P是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，∴，解得x=，故选A．点睛：设是平面上任一点，是平面上的三点，（不共线），则三点共线，把此结论类比到空间上就是：不共面，若，则四点共面．3.若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的增区间为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据图象可得的正负可判断的单调性从而得到答案.【详解】由图象可得，当时，由得，在上单调递增，当时，由得，在上单调递减，当时，由得，上单调递减，综上，函数的增区间为.故选：B.4.若函数在处有极小值，则（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】根据求得c，然后验证即可.【详解】，因为在处有极小值，所以，解得或，当时，令，解得或，当时，，单调递增，当时，，单调递减，此时，在处有极大值，不满足题意.当时，令，解得或，当时，，单调递减，当时，，单调递增，此时，在处有极小值，满足题意.故选：A5.在四面体中，M点在线段上，且，G是的重心，已知，，，则等于（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合重心的性质以及空间向量的线性运算求解.【详解】因为G是的重心，则，由，得，所以.故选：C.6.若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数与函数单调性的关系将问题转化为在上有解问题，再构造函数，利用导数求得其最小值，从而得解.【详解】因为存在单调递减区间，所以在上有解，即在上有解，令，则，令，解得(负值舍去)，当时，单调递减；当时，单调递增；所以，故，故选：A.7.函数，若函数有3个零点，则的取值范围为（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数研究函数的图象，然后作出函数的图象，结合图形可解.【详解】令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增.所以，当时，取得极小值，再结合二次函数图象，作出的图象如下图：因为函数有3个零点，所以函数的图象与直线有3个交点，由图可知，，即的取值范围为.故选：C8.函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先构造函数，根据导数判断函数的单调性，再结合选项，依次判断.【详解】设，则，由条件可知，，所以，则函数在上单调递增，因为函数是定义在上的奇函数，则，即，故A错误；由函数的单调性可知，，得，故B正确；由，得，故C错误；由，得，故D错误.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，从而可以根据函数的单调性，判断选项.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.在正方体中，下列命题是真命题的是（）A.B.C.D.正方体的体积为【答案】ABC【解析】【分析】根据空间向量运算、夹角、体积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设正方体的棱长为，A选项，，A选项正确；B选项，，B选项正确；C选项，由于三角形等边三角形，所以，C选项正确；D选项，，所以D选项错误.故选：ABC10.下列说法中正确的是（）A.B.C.设函数，若，则D.设函数的导函数为，且，则【答案】BCD【解析】【分析】利用基本初等函数的导数公式及运算法则求解即可.【详解】对于选项A:结合题意可得：,故选项A错误；对于选项B:结合题意可得：,故选项B正确；对于选项C:,由，，解得，故选项C正确；对于选项D:结合题意可得：,，解得，故选项D正确.故选：BCD.11.已知直线与函数，的图象分别相交于两点.设为曲线在点处切线的斜率，为曲线在点处切线的斜率，则的可能取值为（

）A. B. C.e D.【答案】AD【解析】【分析】利用导数求得切线的斜率，从而求得.【详解】由于，所以，由得，，即，由得，，即，所以，则，B选项错误.设，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以AD选项正确，C选项错误.故选：AD【点睛】利用导数求切线的方程，关键点在于切点和斜率，利用函数的解析式可以求得切点坐标，利用导数可以求得切线的斜率.利用导数研究函数的值域，先求函数的定义域，然后利用导数求得函数的单调区间，根据极值和区间端点的函数值来求得函数的值域.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知空间三点，，，在直线OA上有一点H满足，则点H的坐标为________.【答案】【解析】【分析】设，根据向量垂直和平行的坐标表示列方程组求解可得.【详解】设，则，因为共线，故存在实数使得，即所以，解得，所以点H的坐标为.故答案为：13.若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的最小值是______．【答案】3【解析】【分析】对于求导得在上只有一个零点，转化为在上只有一个零点，令在上，求解的范围，确定的最小值.【详解】由在上有且仅有一个极值点，定义域为，所以，在上只有一个零点，则，即在上只有一个零点，令，，则，，当，，单调递减，当，，单调递增，所以，所以，在上只有一个变号的零点，即函数在上有且仅有一个极值点.故答案为：14.如图，正方形与正方形的中心重合，边长分别为3和1，，，，分别为，，，的中点，把阴影部分剪掉后，将四个三角形分别沿，，，折起，使，，，重合于P点，则四棱锥的高为________，若直四棱柱内接于该四棱锥，其上底面四个顶点在四棱锥侧棱上，下底面四个顶点在面内，则该直四棱柱体积的最大值为________．【答案】①.②.【解析】【分析】作出图形，可知四棱锥为正四棱锥，取的中点，连接、交于点，连接、、，则四棱锥的高为，直四棱柱内接于该四棱锥，则底面为正方形，作出截面的平面图，设，计算得出四棱柱体积的函数关系式，运用导数研究可得其体积最大值.【详解】由题意可知，四棱锥为正四棱锥，边上的高为，如下图所示：取的中点，连接、交于点，连接、、，则为、的中点，由正四棱锥的几何性质可知，平面，因为、分别为、的中点，则且，因为平面，则，所以，，在中，得,作出四棱柱内接于该四棱锥在平面上的平面图如图所示：设,，则，因为，所以，解得，所以直四棱柱的体积,所以，当时，当时，所以函数在上单调递增，上单调递减，所以当时体积最大，最大为.故答案为：，.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，，.（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值；（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.【答案】（Ⅰ）实数和的值分别为和.（Ⅱ）【解析】【分析】(Ⅰ)根据可求得,再根据垂直的数量积为0求解即可.(Ⅱ)根据共面有,再求解对应的系数相等关系求解即可.【详解】解：(Ⅰ)因为,所以.且.因为向量与垂直,所以即.所以实数和的值分别为和.(Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）.因为,所以所以实数的值为.【点睛】本题主要考查了空间向量基本求解方法,包括模长的运算以及垂直的数量积表达与共面向量的关系等.属于基础题.16.已知函数.（1）求曲线过点处的切线；（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）利用导数几何意义求过一点的切线方程；（2）利用导数几何意义，由切线平行列方程求参数值.【小问1详解】由导数公式得，设切点坐标为，设切线方程为：由题意可得：，所以或，从而切线方程为或.【小问2详解】由(1)可得：曲线在点处的切线方程为,由，可得曲线在处的切线斜率为，由题意可得，从而，此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为，即，故符合题意，所以.17.如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.（1）求证：共面；（2）当为何值时，；（3）若，且，求的长.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用向量证明，然后可证；（2）以为基底表示出，然后根据求解可得；（3）利用基底表示出，然后平方转化为数量积求解即可.【小问1详解】在平行六面体中，连接，因为，所以，，所以，即且，所以四边形为平行四边形，即共面.【小问2详解】当时，，理由如下，设，且与、与、与的夹角均为，因为底面为菱形，所以，，，若，则，即，即，解得或舍去，所以时，【小问3详解】，，，所以，所以的长为18.已知函数．（1）若是函数的极值点，求的值，并求函数的极值；（2）若函数在处取得极大值，求的取值范围.【答案】（1），极大值为，极小值为.（2）【解析】【分析】（1）由求得，进而求得的极值.（2）先求得，然后对进行分类讨论，根据在处取得极大值进行分类讨论，由此求得的取值范围.【小问1详解】定义域为，，因为是函数的极值点，所以.故有，所以.当时，，所以，若，则或，1＋0－0＋递增极大值递减极小值递增所以函数的极大值为，极小值为.【小问2详解】定义域为，，①当时，，令得，所以：单调递增区间为；令得，所以单调递减区间为；所以在取极大值，符合题意.②当时，由，得：，，0－0+0－减极小值增极大值减所以：在处取得极大值，所以：符合题意．③当时，由，得：，，（i）当即时，，变化情况如下表：0+0－0+增极大值减极小值增所以：在处取得极小值，不合题意．（ⅱ）当即时，在上恒成立，所以：在上单调递增，无极值点．（iii）当，即时，，变化情况如下表：+－+增极大值减极小值增所以：在处取得极大值，所以：合题意．综上可得：的取值范围是．【点睛】思路点睛：求解函数在闭区间上的极值的步骤（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间；（5）根据单调区间确定极值点，从而求得极值.19.已知函数，其中．（1）当时，求的单调区间；（2）求当时，函数在区间上的最小值；（3）若函数有两个不同的零点.①求实数a的取值范围；②证明：.【答案】（1）增区间为，减区间为（2）