5.3等比数列同步练习（含解析）人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册

第=PAGE1*2-11页共=SECTIONPAGES2*24页◎第=PAGE1*22页共=SECTIONPAGES2*24页第=PAGE1*2-11页共=SECTIONPAGES2*24页◎第=PAGE1*22页共=SECTIONPAGES2*24页5.3等比数列同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（

）A．－36或36 B．－36 C．36 D．183．明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头儿盏灯？”你的答案是（

）A．3盏 B．4盏 C．5盏 D．7盏4．等比数列的前n项和为，若，，则公比（

）A．3 B． C．3或 D．25．中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里．”意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（

）A． B． C． D．6．等比数列的各项均为正数，且，则（

）A．12 B．10 C．5 D．7．已知等比数列的前n项和，则数列的前5项和等于（

）A．10 B．15 C．20 D．58．有一个国王奖励国际象棋发明者的故事，故事里象棋发明者要求这样的奖励；在棋盘上的64个方格中，第1个方格放1粒小麦，第2个方格放2粒小麦，…，第个方格放粒小麦，结果国王拿出全国的小麦也不够．假设能有这么多的小麦，则这个故事继续如下，将这些小麦用1，2，3，…，编号并按照一定规律逐个抽取幸运小麦，设第次被抽取的小麦编号为，若第一次随机抽取的幸运小麦编号为，接下来的幸运小麦按照规律逐个抽取，则共能抽取（

）粒幸运小麦．A．4 B．5 C．15 D．63二、多选题9．关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（

）A．若数列的前项的和，则B．若为等比数列，且，则C．若数列为等比数列，为前项和，则，，，…成等比数列D．若为等差数列，，，则当时，最大10．给定数列，定义差分运算：.若数列满足，数列的首项为1，且，则（

）A．存在，使得恒成立B．存在，使得恒成立C．对任意，总存在，使得D．对任意，总存在，使得11．对函数给出如下新定义：若在区间上为定值（其中表示不超过的最大整数，如），则称为的一个“整元”，将区间上从左到右所有“整元”的和称为在上的“整积分”，下列说法正确的是（

）A．在区间上的“整积分”为B．在区间上的“整积分”为4950C．在区间上的“整积分”为D．在区间上的“整积分”为12．满足，，的数列称为卢卡斯数列，则（

）A．存在非零实数t，使得为等差数列B．存在非零实数t，使得为等比数列C．D．三、填空题13．已知等比数列的前项和为，且，，数列的公比．14．已知正项等比数列的前项和为，若，，则．15．若正项等比数列中的是方程的两个根，则．四、解答题16．已知各项均为正数的等比数列，满足，．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为．求证：．17．已知数列满足，且（，且）．(1)设，求证数列是等差数列．(2)记，求数列的前项和．18．已知数列满足，其中．(1)李四同学欲求的通项公式，他想，如果能找到一个函数，其中是常数，把递推关系变成后，就容易求出的通项了．请问：他设想的存在吗？的通项公式是什么？(2)记，若不等式对任意都成立，求实数的取值范围．19．已知实数，定义数列如下：如果，，则．(1)求和（用表示）；(2)令，证明：；(3)若，证明：对于任意正整数，存在正整数，使得．20．已知数列中，，(1)求的通项公式；(2)若为的前n项和，是否存在，使得对于任意，都有?若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．B【分析】根据题意得到是等比数列，利用等比数列的通项公式得到，利用是递减数列列出关于的不等式，进而求出的取值范围.【详解】将整理得，又，易知当时,，不满足是递减数列，故，因此数列是以为首项，2为公比的等比数列，故，因此，由于是递减数列，故恒成立，得，化简得，故，因此，解得，故选：B．2．C【分析】根据等比数列的通项公式求得，继而求得的值，利用等差数列前项和公式进行计算即可.【详解】数列为等比数列，设公比为q，且，，则，则，则，则，故选：C.3．A【分析】根据等比数列的前和公式建立方程，解出即可.【详解】设各层塔的灯盏数为，数列是公比为的等比数列，由题意可得，解得，故选：A.4．C【分析】利用等差数列的通项公式，化简求出，判断，利用前项和公式表示，联立方程即可解出.【详解】数列为等比数列，设首项为，公比为，根据题意有，即①，所以，若，则有，与不符，所以，所以②，联立①②两式有：，即，整理得，解得或.故选：C5．C【分析】设该马第天行走的里程数为，分析可知，数列是公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式可求出的值，即可求得的值，即为所求.【详解】设该马第天行走的里程数为，由题意可知，数列是公比为的等比数列，所以该马七天所走的里程为，解得，故该马第五天行走的里程数为．故选：C．6．B【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解.【详解】因为是各项均为正数的等比数列，，所以，即，则记，则，两式相加得，所以，即.故选：B.7．A【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，再求出即可计算得解.【详解】等比数列的前n项和，则，而，因此公比，，，显然是等差数列，所以数列的前5项和等于.故选：A8．B【分析】根据递推公式可得，进而取对数求解通项公式即可得，再列不等式求解即可.【详解】配方得：．取对数：，设，则，又，所以，，．由放小麦的规则可得小麦总粒数为，.故选：B9．ACD【分析】选项A，利用等比数列前项和公式，即可求出，从而判断出选项A的正误；选项B，根据条件，利用等比数列的性可求解；选项C，当，为偶数时，，不合题意，从而判断出选项C的正误；选项D，根据条件得出，，即可判断出选项D的正误.【详解】对于选项A，因为，则数列为等比数列，由等比数列的前项和公式，知，所以选项A错误，对于选项B，由，得到，所以，故选项B正确，对于选项C，若，为偶数时，，显然，，，…不成等比数列，所以选项C错误，对于选项D，因为，即，又，所以公差，且或，最大，故选项D错误，故选：ACD.10．BC【分析】由已知求出及范围判断AB；利用累加法结合错位相减法求和求出及范围判断C；求出及的范围判断D.【详解】对于A，由，得，显然有最小值4，无最大值，因此不存在，使得恒成立，A错误；对于B，由选项A知，，则，显然当时，恒成立，B正确；对于C，由，得，当时，即，于是，两式相减得，因此，显然满足上式，则，由，得数列是递增数列，有最小值1，无最大值，从而对任意，总存在，使得，C正确；对于D，，由选项C得，显然数列是递减数列，，因此对任意，不存在，使得成立，D错误.故选：BC【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.11．BCD【分析】根据新定义对各选项逐项分析即可得解.【详解】A选项，，所以区间上的“整积分”为，故选项错误；B选项，当时，；当时，，以此类推，当时，，所以区间上的“整积分”为，故B选项正确；C选项，当时，；当时，；当时，，以此类推，当时，，故区间上的“整积分”为，故C选项正确；选项，当时，，“整元”为；当时，，“整元”为；当时，，“整元”为，以此类推，当时，，“整元”为．设在区间上的“整积分”为，则①，所以②，②①得，故D选项正确，故选：BCD．12．BCD【分析】对A、B：借助等差数列与等比数列定义计算即可得；对C：借助代入即可得；对D：由，得到，从而将展开后借助该式裂项相消即可得.【详解】对A：若数列为等差数列，则有，即，由，故有恒成立，即有，无解，故不存在这样的实数，故A错误；对B：若数列为等比数列，则有，即，由，故有恒成立，即有，即，解得，此时，故存在非零实数t，使得为等比数列，故B正确；对C：由，则，即有，故C正确；对D：由，故，故，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：D选项中关键点在于由，得到，从而将展开后可借助该式裂项相消.13．【分析】利用等比数列前n项和公式联立方程组即可求解.【详解】由题意可知：，根据等比数列的前项公式可得：①，②,联立①②可得，解得.故答案为：14．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可求解.【详解】设等比数列的公比为，由题意知且，则，解得．则，，．故答案为：.15．【分析】根据等比中项结合对数运算分析求解.【详解】因为正项等比数列中的是方程的两个根，则，所以.故答案为：.16．(1)；(2)证明见详解.【分析】（1）根据已知列方程组求出基本量，然后可得通项；（2）先根据等差数列求和公式求，然后利用裂项相消法求即可得证.【详解】（1）记数列的公比为，则，解得，所以.（2）由（1）可得，，所以，所以，所以，因为，所以，所以，即.17．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据等差数列的定义，结合已知递推公式，求得为常数即可；（2）根据（1）中所求得到，再利用错位相减法求解即可.【详解】（1）证明：因为，则，则，即；故数列是首项为，公差为的等差数列.（2）由（1）可知，，即，解得；则，故即，，故，故.18．(1)存在，(2)【分析】（1）由题可得，结合可求得，然后由等比数列通项公式即可求解；（2）先利用分组求和法求得，然后分离参数，令，当时，作差，利用二项式定理证明的单调性，然后验证时即可得最小值，然后可解.【详解】（1），所以只需，，则，，故李四设想的存在，，，是以3为公比，2为首项的等比数列，，.（2）由，得，设，则，当时，.，当时，，所以的取值范围为19．(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）观察题目条件等式中的系数可得答案；（2），分别计算和可证明结论；（3）先根据无上界说明存在正整数，使得，分是偶数和是奇数分别说明.【详解】（1）因为，所以；因为，所以；（2）由数列定义得：；所