押题13 第8、11、14题 函数与导数 不等式六大题型冲刺2024年高考数学考点押题含解析

押题13第8、11、14题函数与导数不等式（六大题型）-冲刺2024年高考数学考点押题模拟预测卷（新高考专用）押题13第8、11、14题函数与导数不等式（六大题型）一、单选题1．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（

）A． B． C．0 D．12．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（

）A． B．C． D．4．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（

）A． B． C． D．三、填空题5．（2021·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是．押题13函数与导数不等式高考模拟题型分布表题型序号题型内容题号题型1抽象函数、抽象函数与导数综合1-8（单选）题型2分段函数、分段函数与导数综合9-11（单选）题型3导数与不等式、最值、范围问题12-14（多选）题型4导数在函数的零点上等其他应用15-18（多选）题型5不等式、不等式与导数综合19-22（多选）题型6导数的图像综合23-26（填空）题型1：抽象函数、抽象函数与导数综合题型2：分段函数、分段函数与导数综合题型3：导数与不等式、最值、范围问题题型4：导数在函数的零点上等其他应用题型5：不等式、不等式与导数综合题型6：导数的图像综合一、单选题题型1：抽象函数、抽象函数与导数综合1．（2024·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，且，记，则（

）A． B．C． D．2．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若的图象关于点对称，且，则下列结论一定成立的是（

）A． B．C． D．3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数，满足，，若恰有个零点，则这个零点之和为（

）A． B． C． D．4．（2024·辽宁抚顺·一模）已知定义域为的函数满足，，且当时，恒成立，则下列结论正确的是（

）A． B．C．为奇函数 D．在区间是单调递增函数5．（2024·福建漳州·一模）已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（

）A． B． C． D．6．（2024·江苏徐州·一模）若定义在R上的函数满足，是奇函数，则（

）A． B．C． D．7．（2024·四川泸州·二模）已知，都是定义在上的函数，对任意，满足，且，则下列说法正确的是（

）A． B．若，则C．函数的图像关于直线对称 D．8．（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数的定义域均为是奇函数，且的图象关于对称，，则（

）A．4 B．8 C． D．题型2：分段函数、分段函数与导数综合9．（2024·四川成都·模拟预测）已知，若存在实数，当时，满足，则的取值范围为（）A． B． C． D．10．（2024·辽宁·一模）已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．11．（2024·辽宁抚顺·一模）函数满足：当时，，是奇函数．记关于的方程的根为，若，则的值可以为（

）A． B． C． D．1二、多选题题型3：导数与不等式、最值、范围问题12．（2024·河南·一模）定义在R上的函数（且，），若存在实数m使得不等式恒成立，则下列叙述正确的是（

）A．若，，则实数m的取值范围为B．若，，则实数m的取值范围为C．若，，则实数m的取值范围为D．若，，则实数m的取值范围为13．（22-23高二下·广东广州·期末）已知函数，下列选项正确的是（

）A．有最大值B．C．若时，恒成立，则D．设为两个不相等的正数，且，则14．（23-24高二上·重庆·期末）已知函数，，则下列说法正确的是（

）A．若函数存在两个极值，则实数的取值范围为B．当时，函数在上单调递增C．当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为D．当时，若，则的最小值为题型4：导数在函数的零点上等其他应用15．（2023·广东深圳·二模）已知曲线在点处的切线与曲线相切于点，则下列结论正确的是（）A．函数有2个零点B．函数在上单调递增C．D．16．（2024·全国·模拟预测）已知是函数图象上不同的三点，则下列说法中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则17．（2023·浙江温州·三模）已知函数，其中是其图象上四个不重合的点，直线为函数在点处的切线，则（

）A．函数的图象关于中心对称B．函数的极大值有可能小于零C．对任意的，直线的斜率恒大于直线的斜率D．若三点共线，则.18．（2023·吉林白山·二模）设函数的定义域为R，且满足，，当时，，则（

）．A．是周期为2的函数B．C．的值域是D．方程在区间内恰有1011个实数解题型5：不等式、不等式与导数综合19．（23-24高三上·河北保定·期末）已知，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．20．（2023·河北·三模）已知，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．21．（2023·江苏镇江·模拟预测）已知，，且，则（

）A． B．C． D．22．（2023·广东佛山·模拟预测）设函数有4个零点，分别为，则下列说法正确的是（

）A． B．C．的取值与无关 D．的最小值为10填空题题型6：导数的图像综合23．（2024·海南海口·模拟预测）已知直线过抛物线的焦点，且与交于两点.过两点分别作的切线，设两条切线交于点，线段的中点为.若，则；面积的最小值为.24．（2024·黑龙江吉林·二模）已知函数，过点作与y轴平行的直线交函数的图象于点P，过点P作图象的切线交x轴于点B，则面积的最小值为.25．（2024·山西吕梁·一模）已知分别是函数和图象上的动点，若对任意的，都有恒成立，则实数的最大值为．26．（2024·广东深圳·一模）已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为．押题13第8、11、14题函数与导数不等式（六大题型）一、单选题1．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．【解析】[方法一]：赋值加性质因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由，联想到余弦函数和差化积公式，可设，则由方法一中知，解得，取，所以，则，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故选：A．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.2．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.【解析】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.二、多选题3．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．4．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.故选：BC.[方法三]：因为，均为偶函数，所以即，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．三、填空题5．（2021·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是．【答案】【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.【解析】由题意，，则，所以点和点，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.押题13函数与导数不等式高考模拟题型分布表题型序号题型内容题号题型1抽象函数、抽象函数与导数综合1-8（单选）题型2分段函数、分段函数与导数综合9-11（单选）题型3导数与不等式、最值、范围问题12-14（多选）题型4导数在函数的零点上等其他应用15-18（多选）题型5不等式、不等式与导数综合19-22（多选）题型6导数的图像综合23-26（填空）一、单选题题型1：抽象函数、抽象函数与导数综合1．（2024·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，且，记，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数满足的表达式以及，利用赋值法即可计算出的大小.【解析】由可得，令，代入可得，即，令，代入可得，即，令，代入可得，即；由可得，显然可得.故选：A【点睛】方法点睛：研究抽象函数性质时，可根据满足的关系式利用赋值法合理选取自变量的取值，由函数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解.2．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若的图象关于点对称，且，则下列结论一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用的图象关于点对称，可知函数为奇函数，结合可得是周期函数，再由选项去逐一分析.【解析】因为的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，即函数为奇函数，则，又，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以3是的一个周期.因为，故C正确；取符合题意的函数，则所以，又，故2不是的一个周期，所以，故B不正确；因为不是函数的最值，所以函数的图象不关于直线对称，所以，故A不正确；因为，故D不正确；故选：C.3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数，满足，，若恰有个零点，则这个零点之和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由解析式可知为奇函数，进而可得的对称中心，根据满足的关系式，可得函数的对称中心，由两个函数的对称中心相同，即可判断出其零点的特征，进而求得个零点的和.【解析】因为的定义域为，关于原点对称，所以，所以函数为奇函数，关于原点中心对称，而函数是函数向右平移两个单位得到的函数，因而关于中心对称，函数满足，所以，即，所以函数关于中心对称，且，且，所以由函数零点定义可知，即，由于函数和函数都关于中心对称，所以两个函数的交点也关于中心对称，又因为恰有个零点，即函数和函数的交点恰有个，且其中一个为，其余的个交点关于对称分布，所以个零点的和满足，故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是能够通过函数解析式和抽象函数关系式确定函数的对称中心，从而可确定零点所具有的对称关系.4．（2024·辽宁抚顺·一模）已知定义域为的函数满足，，且当时，恒成立，则下列结论正确的是（

）A． B．C．为奇函数 D．在区间是单调递增函数【答案】C【分析】赋值法可判断A，利用奇偶函数的定义及赋值法判断BC，由函数的特例可判断D.【解析】令，则，所以，因为当时，，所以，令，所以，即，解得：，故A错误；由题意，函数的定义域为，关于原点对称，令，则，即令代换，则，即，所以，令代换，所以，故B错误；由将代入，可得，化简可得，所以为奇函数，故C正确；令，则，解得：，，故D错误.故选：C【点睛】关键点点睛：本题的BC选项的关键点令，得到，令代换，得到，两式化简即可得出答案.5．（2024·福建漳州·一模）已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由为奇函数，结合导数运算可得，由为奇函数，可得，整理可得，进而分析可得，即可得结果.【解析】因为为奇函数，则，即，两边求导得，则，可知关于直线对称，又因为为奇函数，则，即，可知关于点对称，令，可得，即，由可得，由，可得，即，可得，即，令，可得；令，可得；且，可知8为的周期，可知，所以.故选：D.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．6．（2024·江苏徐州·一模）若定义在R上的函数满足，是奇函数，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，求出函数的周期，及和，再逐项计算判断得解.【解析】由，得，则，即函数的周期为4，由是R上的奇函数，得，即，于是，，即，因此，AB错误；由，取，得，则，因此，取，得，于是，则，C错误，D正确.故选：D【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.7．（2024·四川泸州·二模）已知，都是定义在上的函数，对任意，满足，且，则下列说法正确的是（

）A． B．若，则C．函数的图像关于直线对称 D．【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断A、D，取可判断C，对于B，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值.【解析】对于A，令，可得，得，令，，代入已知等式得，可得，结合得，所以，故A错误；对于D，因为，令，代入已知等式得，将，代入上式，得，所以函数为奇函数.令，，代入已知等式，得，因为，所以，又因为，所以，因为，所以，故D正确；对于B，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，，两式相加易得，所以有，即，有，即，所以为周期函数，且周期为，因为，所以，所以，，所以，所以，故B错误；对于C，取，，满足及，所以，又，所以函数的图像不关于直线对称，故C错误；故选：D.【点睛】思路点睛：对于含有的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.8．（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数的定义域均为是奇函数，且的图象关于对称，，则（

）A．4 B．8 C． D．【答案】D【分析】根据题中条件可得的图像关于对称，结合是奇函数，可得的图象关于点中心对称，继而可得是以4为周期的周期函数，通过赋值，进一步计算即可.【解析】因为的图象关于对称，所以．因为①，则，即②，①-②得，，所以的图像关于对称．令，则是奇函数，所以，即，所以的图象关于点中心对称，所以，所以，所以是以4为周期的周期函数．因为，所以．因为是以4为周期的周期函数，所以也是以4为周期的周期函数，取，，所以．因为，所以，所以．取，所以，所以，所以，故选:D．题型2：分段函数、分段函数与导数综合9．（2024·四川成都·模拟预测）已知，若存在实数，当时，满足，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函数性质，得，，将问题转化为求的取值范围，构造函数，利用导数求函数的值域即可.【解析】作出函数的图象如图，当时，，由得，由可得，由图可知，，点、关于直线对称，则，点、关于直线对称，则，所以，令，其中，，当时，，在上单调递减，当时，，即函数在上单调递增，所以，当时，，当时，；当时，，则，所以的取值范围为.故选：D.【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是利用正弦型函数的周期性和对称性，将问题转化为求函数的值域，求值域时，除函数的单调性外还要注意函数的取值特点.10．（2024·辽宁·一模）已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判断函数在各段的单调性，即可得到的大致图象，令，则化为，分、、、、、六种情况讨论，结合函数图象即可得解.【解析】由，当时，函数在上单调递减，且，，当时，当时，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，且，可得的大致图象如下所示：令，则化为，当时无解，则无解；当时，解得，由图可知有两解，即有两解；当时有一解且，又有一个解，即有一解；当时有两个解，即、，又有一个解，有两个解，所以共有三个解；当时有三个解，即，，，无解，有三个解，有两个解，所以共有五个解；当时有两个解，即，，有三个解，有两个解，所以共有五个解；综上可得的取值范围是.故选：C【点睛】关键点睛：本题解答的关键是数形结合，另外分类讨论需做到不重不漏.11．（2024·辽宁抚顺·一模）函数满足：当时，，是奇函数．记关于的方程的根为，若，则的值可以为（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】首先判断函数关于点对称，再画出函数和的图象，结合函数的对称性，判断交点的个数，利用数形结合，即可求解.【解析】若函数是奇函数，则，即，则函数关于点对称，所以而也关于点对称，恒过点，方程根，即为函数与交点的横坐标，因为两个函数都关于点对称，所以交点也关于点对称，且其中一个交点是，如图画出两个函数的图象，若，根据对称性可知，轴左侧和右侧各有3个交点，如图，当直线过点时，轴右侧有2个交点，此时，当直线过点时，轴右侧有3个交点，此时，所以满足条件的的取值范围是，选项中满足条件的只有.故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确分析出函数的图象，尤其是，并且会利用数形结合，分析临界直线，即可求解.二、多选题题型3：导数与不等式、最值、范围问题12．（2024·河南·一模）定义在R上的函数（且，），若存在实数m使得不等式恒成立，则下列叙述正确的是（

）A．若，，则实数m的取值范围为B．若，，则实数m的取值范围为C．若，，则实数m的取值范围为D．若，，则实数m的取值范围为【答案】BD【分析】先判断函数为奇函数，再分和讨论的单调性，分和讨论函数的单调性，根据复合函数的单调性判断得出的单调性，利用单调性将进行等价转化成含参数的不等式，求解即得.【解析】对于函数，因，则函数是奇函数.不妨设，则，对于A项，当时，在定义域内为增函数，因，则在R上也是增函数，故在R上也是增函数.由，则，即（*），①当时，此时恒成立；②当时，由（*）可得，解得，综上可知，，故A项错误；对于B项，当时，在定义域内为减函数，因，则在R上也是减函数，故在R上是增函数，由A项分析可得，恒成立可得，，故B项正确；对于C项，当时，在定义域内为增函数，因，则在R上是减函数，故在R上是减函数，由，则，即（*），①当时，无解；②当时，由（*）可得，解得或，综上可知，，故C项错误；对于D项，当时，在定义域内为减函数，因，则在R上也是增函数，故在R上是减函数，由C项分析可得，恒成立可得，，故D项正确.故选：BD.【点睛】思路点睛：一般先考虑函数的奇偶性，再根据参数分类判断，构成复合函数的内外函数的单调性，利用单调性去掉抽象函数的符号，将其化成含参数的不等式恒成立问题，再对参数分类讨论不等式解的情况即得.13．（22-23高二下·广东广州·期末）已知函数，下列选项正确的是（

）A．有最大值B．C．若时，恒成立，则D．设为两个不相等的正数，且，则【答案】ACD【分析】对于A：求导，利用导数判断原函数的单调性和最值；对于B：利用作差法比较大小；对于C：利用定点分析判断；对于D：利用极值点偏离分析证明.【解析】对于选项A：由题意可得：函数的定义域为，且，令，解得；令，解得；则函数在上单调递增，在上单调递减，所以有最大值，故A正确；对于选项B：因为，则，所以，故B错误；对于选项C：构建，则，因为，且当时，恒成立，则，解得，若，则当时恒成立，则在上单调递减，则，符合题意综上所述：符合题意，故C正确；对于选项D：因为，整理得，即，由选项A可知：函数在上单调递增，在上单调递减，当x趋近于0时，趋近于0，且令，解得，不妨设，构建，因为在上恒成立，则在上单调递增，可得，所以，即，可得，注意到在上单调递减，且，所以，即，故D正确；故选：ACD.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数；（3）利用导数研究的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．14．（23-24高二上·重庆·期末）已知函数，，则下列说法正确的是（

）A．若函数存在两个极值，则实数的取值范围为B．当时，函数在上单调递增C．当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为D．当时，若，则的最小值为【答案】BC【分析】对A选项：由极值点的性质结合导数讨论单调性即可得；对B选项：结合导数讨论单调性即可得；对C选项：结合单调性，可转化为当时，有成立，求出最小值即可得；对D选项：采用同构法可确定，再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得.【解析】对A选项：，若函数存在两个极值，则函数必有两个变号零点，令，则，令，则，则当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故，又当时，恒成立，当时，，故当，函数有两个变号零点，即若函数存在两个极值，则实数的取值范围为，故A错误；对B选项：当时，，，令，则，则当时，，当时，；故在上单调递减，在上单调递增，故，故函数在上单调递增；故B正确；对C选项：当时，，，令，则，则当时，；当时，；故在上单调递减，在上单调递增，故，故在上单调递增，则存在，使不等式成立，等价于存在，使不等式成立，则当时，有成立，由当时，，且在上单调递增，故，即实数的最小值为，故C正确；对D选项：当时，由B、C可知，、均为定义域上的增函数，由，，故有，，由，则，即，故，又，故，令，则，令，则，则当时，，当时，；故在上单调递减，在上单调递增，即，故在上单调递增，故无最小值，即无最小值，故D错误.故选：BC.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，其中D选项中涉及到多变量问题的求解，求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系，将多变量转化为单变量的问题，从而将其转化为函数最值问题的求解.题型4：导数在函数的零点上等其他应用15．（2023·广东深圳·二模）已知曲线在点处的切线与曲线相切于点，则下列结论正确的是（）A．函数有2个零点B．函数在上单调递增C．D．【答案】BCD【分析】利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理判断A，利用导数判断函数的单调性，即可说明B，利用导数的几何意义表示出切线方程，即可得到方程组，从而判断C、D.【解析】对于A：，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，函数的极大值为，极小值为，因此当时，，当时，，又，所以，则在上存在零点，因此函数只有一个零点，故A不正确；对于B：，则，令，，则，所以在上单调递减，又在上单调递减，当时，函数单调递减，所以当时，，所以函数在上单调递增，故B正确；对于C：，因此曲线在点处的切线方程为：，由，因此曲线相切方程为：，因为曲线在点处的切线与曲线相切于点，所以，因此，故C正确；对于D：由上可知：，因此有，故D正确，故选：BCD【点睛】关键点睛：涉及公切线问题，一般是利用导数的几何意义表示出切线方程，根据两切线相同得到方程组，从而整理得到.16．（2024·全国·模拟预测）已知是函数图象上不同的三点，则下列说法中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BC【分析】对于A，可以先求导然后作差即可判断；对于B，由立方和公式即可判断；对于C，可以利用函数的凹凸性判断；对于D，，以此来构造反例证伪.【解析】由题意，得．当时，符号不确定，所以A错误；因为，而，所以，所以B正确；构造三角形，其重心为，利用函数的凹凸性，知，即，所以C正确；令，则，因为，所以，此时，所以D错误．故选：BC.【点睛】关键点睛：C选项的关键是利用函数的凹凸性，D选项的关键是令，由此即可顺利得解.17．（2023·浙江温州·三模）已知函数，其中是其图象上四个不重合的点，直线为函数在点处的切线，则（

）A．函数的图象关于中心对称B．函数的极大值有可能小于零C．对任意的，直线的斜率恒大于直线的斜率D．若三点共线，则.【答案】AD【分析】由奇偶性和图象平移可判断A；利用导数求出极大值点，再由单调性与比较可判断B；利用导数求出，然后作差比较，即可判断C；根据化简即可判断D.【解析】对于A，设，因为，所以为奇函数，图象关于原点对称，所以的图象关于点中心对称，A正确；对于B，令，解得，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得极大值，由单调性可知，，故B错误；对于C，，因为，所以，又，所以，因为，所以，即，C错误；对于D，同上，可得，，，当三点共线时，则有，整理得，因为，所以，即，又，所以，整理得，因为，所以，即，所以，D正确.故选：AD.【点睛】思路点睛：本题解题思路是首先是构造函数，利用其奇偶性，再就是用导数判断出其单调性解题，利用切线斜率解题，考查了学生的思维能力、运算能力.18．（2023·吉林白山·二模）设函数的定义域为R，且满足，，当时，，则（

）．A．是周期为2的函数B．C．的值域是D．方程在区间内恰有1011个实数解【答案】BD【分析】根据已知条件推出函数是奇函数．且以为周期，得A错误；根据周期计算，得B正确；利用导数和函数的周期性求出函数的值域可得C错误；根据函数图象与的图象交点个数，可得D正确．【解析】函数的定义域为R，关于原点对称，因为，所以，又因为，所以，所以是奇函数．由，得，所以以4为周期，故A错误．因为是奇函数，且定义域为R，所以．因为，所以，故B正确．因为当时，，所以，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以．因为为奇函数，所以当时，，因为的图象关于直线对称，所以当时，，因为的周期为4，所以当时，，故C错误．

方程的解的个数，即的图象与的图象交点个数．因为的周期为2，且当时，与有2个交点，所以当时，与有1011个交点，故D正确．故选：BD.【点睛】方法点睛：求函数零点或方程实根根的个数常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）数形结合法：先对解析式或方程变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.题型5：不等式、不等式与导数综合19．（23-24高三上·河北保定·期末）已知，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据指数、对数的运算及指对函数的单调性举反例判断A，构造函数，利用导数判断单调性可得，据此判断BC，，令，由导数确定可判断D.【解析】由，可得，又，所以，解得.当时，，则，又，所以，所以此时，故A错误；令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，即，由知，所以，所以，故正确；由可得，可得（时取等号），因为，所以，所以，故C正确；因为，所以.令，则，令，所以，令，所以，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以1，所以，故D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：判断D选项时，对式子进行变形换元后得到是解题的第一个关键，构造函数，利用两次求导可得出函数的最小值是解题的第二个关键点.20．（2023·河北·三模）已知，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】先利用三角函数线得到，进而得到，作差法得到，得到；再构造函数，与，，证明出.【解析】设为锐角，作出单位圆，与轴交于点，则，过点作垂直于轴，交射线于点，连接，过点作⊥轴于点，由三角函数定义可知，，设扇形的面积为，则，即，故，所以，

，因为，所以，故，综上：，A正确，B错误；令，，则，当时，，故在上单调递增，所以，所以，令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，故，故，C正确，D错误；故选：AC【点睛】方法点睛：我们经常使用不等式放缩来比较大小或证明不等式，常用的不等式有，，，，等.21．（2023·江苏镇江·模拟预测）已知，，且，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】对于A：根据题意分析可得，运算求解即可；对于B：根据题意整理得，分类讨论，分类讨论，结合对勾函数以及基本不等式运算求解；对于C：构建，结合函数零点分析判断；对于D：根据题意整理可得，换元结合基本不等式运算求解.【解析】对于选项A：因为，则，可得，解得，故A正确；对于选项B：因为，则，即，又因为，且，可得，则，令，则，1.当时，则，即；2.当时，令，则，①当时，在上单调递减，则，可得，所以；②当时，，可得，所以；综上所述：，即，故B正确；对于选项C：因为，即，构建，则在上单调递增，由，则，且，所以函数在内的零点，整理得，故C错误；对于选项D：因为，且，即，则，可得，令，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，故D正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：1．用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立，要注意“代入消元”、“拆、拼、凑”、“1的代换”等技巧的应用；2．不等式恒成立问题一般用分离参数法转化为函数最值求解或用赋值法讨论求解．22．（2023·广东佛山·模拟预测）设函数有4个零点，分别为，则下列说法正确的是（

）A． B．C．的取值与无关 D．的最小值为10【答案】AD【分析】根据题意分析可得：原函数的4个零点可表示为直线与函数交点的横坐标，结合图象以及基本不等式逐项分析判断.【解析】令，可得：当时，即，可得；当时，即，可得，；当时，即，可得，.原函数的4个零点可表示为直线与函数交点的横坐标，对于选项A、C：如图所示，是方程的两个解，根据韦达定理可得：，即可知选项A成立，选项C不成立；对于选项B：因为，结合图象可得，即可知选项B不成立；对于选项D：其中，则有，当且仅当时，成立，综上所述：的最小值为10，选项D成立.故选：AD.

【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．三、填空题题型6：导数的图像综合23．（2024·海南海口·模拟预测）已知直线过抛物线的焦点，且与交于两点.过两点分别作的切线，设两条切线交于点，线段的中点为.若，则