2024年高考押题预测模拟测试卷02（新题型地区专用）-冲刺2024年高考数学考点押题模拟预测卷含解析

2024年高考押题预测模拟测试卷02（满分150分，考试用时120分钟）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数,其中为虚数单位，则A． B．2 C． D．12．设全集，则图中阴影部分所表示的集合为（

）

A． B． C． D．3．某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）进行比赛，按照分层抽样的方法从两个班共抽取10名同学，相关统计情况如下：高三（1）班答对题目的平均数为，方差为；高三（2）班答对题目的平均数为，方差为，则这10人答对题目的方差为（

）A． B． C． D．4．已知点，，，，则与向量同方向的单位向量为（

）A． B．C． D．5．已知数列为等比数列，是函数的极值点，设等差数列的前项和为，若，则（

）A．或 B． C． D．26．函数在区间上的图象大致为（

）A． B．C． D．7．如图圆柱的底面半径为1，母线长为6，以上下底面为大圆的半球在圆柱内部，现用一垂直于轴截面的平面去截圆柱，且与上下两半球相切，求截得的圆锥曲线的离心率为（

）A． B． C． D．38．已知为函数图象上一动点，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.为了建立茶水温度随时间变化的回归模型，小明每隔1分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据，，…，（其中，），绘制了如图所示的散点图.小明选择了如下2个回归模型来拟合茶水温度随时间的变化情况，回归模型一：；回归模型二：，下列说法正确的是（

）.

A．茶水温度与时间这两个变量负相关B．由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况C．若选择回归模型二，利用最小二乘法求得到的图象一定经过点D．当时，通过回归模型二计算得，用温度计测得实际茶水温度为65.2，则残差为10．直三棱柱，中，，，点D是线段上的动点（不含端点），则以下正确的是（

）A．AC∥平面B．CD与不垂直C．∠ADC的取值范围为D．的最小值为11．在平面直角坐标系中，双曲线：的下、上焦点分别是，，渐近线方程为，为双曲线上任意一点，平分，且，，则（

）A．双曲线的离心率为B．双曲线的方程为C．若直线与双曲线的另一个交点为，为的中点，则D．点到两条渐近线的距离之积为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．在的展开式中，项的系数为.13．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线交于点D，若且，则.14．有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是，从第个盒子中取到白球的概率是．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.(1)求A；(2)若D为边BC上一点，且，试判断的形状.16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，，．(1)证明：(2)若平面平面PCD，且，求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．17．近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能．某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如下数据：青年人中年人老年人对短视频剪接成长视频的APP有需求200对短视频剪接成长视频的APP无需求150其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400．(1)求的值；(2)根据小概率值的独立性检验，分析对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人是否有差异？参考公式：，其中．临界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818．已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，短轴长为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l与椭圆C相切于点A，A关于原点O的对称点为点B，过点B作，垂足为M，求面积的最大值．19．已知函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”.(1)已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，求；(2)已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；(3)已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由.2024年高考押题预测模拟测试卷02（满分150分，考试用时120分钟）一、选择题1．已知复数,其中为虚数单位，则A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】由复数的乘方、复数的除法法则化简复数后由模的定义计算．【解析】，所以，故选：A.2．设全集，则图中阴影部分所表示的集合为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由正弦函数性质求集合A，解一元二次方程求集合B，根据韦恩图、集合的并、补运算求结果.【解析】由题设得，则，由图知：阴影部分为.故选：D3．某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）进行比赛，按照分层抽样的方法从两个班共抽取10名同学，相关统计情况如下：高三（1）班答对题目的平均数为，方差为；高三（2）班答对题目的平均数为，方差为，则这10人答对题目的方差为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据分层抽样求各层的人数，再根据平均数、方差的公式运算求解.【解析】由分层抽样可得高三（1）班抽取的人数为，高三（2）班抽取的人数为，设高三（1）班（6人）答对题目数依次为，高三（2）班（4人）答对题目数依次为，由题意可得：，可得，则这10人答对题目的平均数，这10人答对题目的方差.故选：D.4．已知点，，，，则与向量同方向的单位向量为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由单位向量的定义、向量坐标的线性运算以及向量模的坐标公式即可求解.【解析】由题意，所以，从而与向量同方向的单位向量为.故选：A.5．已知数列为等比数列，是函数的极值点，设等差数列的前项和为，若，则（

）A．或 B． C． D．2【答案】C【分析】根据极值点的定义可得是的两个实数根，进而由等比以及等差数列的性质，结合求和公式即可求解.【解析】由得，由题意可知是的两个实数根，所以又，所以，因此，故选：C6．函数在区间上的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据题意，求出的值，排除A，进而可得求出，比较三个数值的大小，即可求得答案.【解析】根据题意，函数，有，排除A，又由，排除C、D，故只有B符合题意故选：B.【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题掌握函数图象基础知识和灵活使用特殊值法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.7．如图圆柱的底面半径为1，母线长为6，以上下底面为大圆的半球在圆柱内部，现用一垂直于轴截面的平面去截圆柱，且与上下两半球相切，求截得的圆锥曲线的离心率为（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根据题意作出截面图，分析出平面与底面夹角余弦值为，再利用立体图形得到，，再计算出值得到离心率.【解析】作出截面图，显然平面经过中点，设中点为，切点分别为，，半径为1，，则，，，则，作出以下立体图，则平面与底面夹角余弦值为，圆柱的底面半径为椭圆的短轴,得，又椭圆所在平面与圆柱底面所成角余弦值为,以为原点建立上图所示平面直角坐标系，，则椭圆标准方程为，，故离心率,故选：A.8．已知为函数图象上一动点，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】先观察出函数关于对称，在根据所求的式子可以判断时比的值要大，所以只需研究的情况即可，把所求的式子经过换元，适当的变形转化为复合函数问题，其中一个内层函数又是两点斜率问题，借助数形结合思想和导数的几何意义即可求出最值.【解析】由函数解析式可知函数关于对称，设，不妨设则，当，，即当时的值要大于时的值，所以只需研究的情况即可，

当时，，设，则，根据复合函数单调性可知：时，递增，当，递减.，所以的几何意义是函数上一点与点的斜率，设过点的切线与函数的交点坐标（即切点）为，，所以切线的斜率，切线方程为，把点代入切线方程整理得：，所以或，设，，所以在单调递增，所以，即不合题意，所以，此时切线的斜率，如图：

根据数形结合思想可知的范围为，所以当时，最大，此时.故选：A【点睛】方法点睛：式子较为复杂的最值问题需要经过适当的变形求解，求函数的最值或值域常用方法有：（1）换元法；（2）函数单调性法；（3）复合函数法；（4）数形结合；（5）导数法；（6）基本不等式.二、多选题9．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.为了建立茶水温度随时间变化的回归模型，小明每隔1分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据，，…，（其中，），绘制了如图所示的散点图.小明选择了如下2个回归模型来拟合茶水温度随时间的变化情况，回归模型一：；回归模型二：，下列说法正确的是（

）.

A．茶水温度与时间这两个变量负相关B．由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况C．若选择回归模型二，利用最小二乘法求得到的图象一定经过点D．当时，通过回归模型二计算得，用温度计测得实际茶水温度为65.2，则残差为【答案】AB【分析】由正负相关的定义即可判定A；由图象中变量的变化趋势即可判定B；由最小二乘法及非线性回归模型的拟合方法判断C；由残差的定义即可判定D.【解析】由散点图可知随时间增加，温度逐渐降低，且变化趋势趋于平缓，故为负相关且模型二拟合更好，即A、B正确；根据非线性回归模型的拟合方法，先令，则，此时拟合为线性回归方程，对应的回归直线过点，原曲线不一定经过，故C错误；残差为真实值减估计值，即为65.2-65.1=0.1，故D错误.故选：AB.10．直三棱柱，中，，，点D是线段上的动点（不含端点），则以下正确的是（

）A．AC∥平面B．CD与不垂直C．∠ADC的取值范围为D．的最小值为【答案】AD【分析】A.将直三棱柱其补成正方体，再利用线面平行的判定定理判断；B.以A为坐标原点，AC为x轴，AB为y轴，为z轴，利用向量法判断；C.判断以AC为直径的球与的交点情况即可；D.将面，翻折至与共面，此时点C与重合求解判断.【解析】A.如图所示：，将其补成正方体，因为，平面，平面，所以AC∥平面，故A正确．B.如图所示：，以A为坐标原点，AC为x轴，AB为y轴，为z轴，则，，，，，设，，则，，，，当时，，当且时，与不垂直，故B错误．C.判断以AC为直径的球与的交点情况，如图所示：，取AC中点F，则，，所以以AC为直径的球与没有交点．所以，故C错误．D.将面，翻折至与共面，此时点C与重合，所以的最小值为，且，故D正确．故选：AD11．在平面直角坐标系中，双曲线：的下、上焦点分别是，，渐近线方程为，为双曲线上任意一点，平分，且，，则（

）A．双曲线的离心率为B．双曲线的方程为C．若直线与双曲线的另一个交点为，为的中点，则D．点到两条渐近线的距离之积为【答案】AD【分析】延长，交于点，平分，且，则为的中点，可得，渐近线方程为，得，可得双曲线方程，逐个验证选项即可.【解析】不妨设为双曲线的下支上一点，延长，交于点，如图，

因为，因为平分，所以，所以，所以为等腰三角形，则为中点，又为中点，所以，根据双曲线的定义得，，所以，，因为双曲线的渐近线方程为，所以，得，，，所以双曲线的标准方程为，离心率为，所以A正确，B不正确；设，，，因为，在双曲线上，所以①，②，①②并整理得，，因为，，所以，，所以C不正确.由，代入，即，即，所以点到两条渐近线的距离之积为，所以D正确；故选：AD.三、填空题12．在的展开式中，项的系数为.【答案】220【分析】根据给定条件，分析展开式中项出现的情况，再列式计算作答.【解析】的展开式通项，当时，展开式中的最高指数小于12，而的指数小于等于，因此中的指数是负整数，要得到项，当且仅当，所以展开式中项的系数是展开式中项的系数.故答案为：22013．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线交于点D，若且，则.【答案】3【分析】设准线与轴的交点为，作，垂足分别为，，利用几何关系和抛物线的定义得到，解方程即可求得.【解析】如图，设准线与轴的交点为，作，垂足分别为，，则.根据抛物线定义知，，设，因为，所以，∴.设，所以，所以.14．有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是，从第个盒子中取到白球的概率是．【答案】【分析】记事件表示从第i个盒子里取出白球，利用全概率公式可得，进而可得，然后构造等比数列，求通项公式即得.【解析】记事件表示从第个盒子里取出白球，则，，所以，，，进而可得，，又，，，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即，故答案为：；.四、解答题15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.(1)求A；(2)若D为边BC上一点，且，试判断的形状.【答案】(1)；(2)直角三角形.【分析】（1）利用三角变换得到，即可求出；（2）设，利用正弦定理，化简求出，得到，即可证明.【解析】（1）由得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即，因为，所以.（2）设，，则，，，在中，由正弦定理知，即，即，化简得，所以，，所以是直角三角形.16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，，．(1)证明：(2)若平面平面PCD，且，求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理可得，进而根据线面垂直的判定和性质分析判断；（2）方法一：建系，利用空间向量求线面夹角；方法二：利用等体积法求点A到平面PBC的距离，结合线面夹角的定义分析运算.【解析】（1）如图1，连接BD，因为四边形ABCD是平行四边形，且，，，所以，，，所以，所以，所以，所以，又因为，，BD，PD平面PBD，所以平面PBD，因为PB平面PBD，所以，因为，所以．（2）如图2，设平面PAB和平面PCD的交线为直线l，因为，CD平面PAB，AB平面PAB，所以平面PAB，因为CD平面PCD，平面PAD平面，所以，因为平面PBD，所以平面PBD，因为PB，PD平面PBD，所以∠BPD是平面PAB与平面PCD的二面角，因为平面平面PCD，所以，即在Rt△ABP中，因为，，所以在Rt△BPD中，因为，则，所以△BPD为等腰直角三角形，方法一：由（1）得CD⊥平面PBD，如图3，以点D为坐标原点，DB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点D垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面PBC的法向量为，则，取，则，得，记直线AC与平面PBC所成角为θ，则，所以直线AC与平面PBC所成角的正弦值为．方法二：在△ABC中，因为，，，则，设点A到平面PBC的距离为d，由（1）知CD⊥平面PBD，因为四边形ABCD是平行四边形，所以，又因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，所以，因为，所以，设点A到平面PBC的距离为d，由（1）知CD⊥平面PBD，所以，在△PBC中，，，，因为，所以，所以，所以，解得，记直线AC与平面PBC所成角为θ，则，所以直线AC与平面PBC所成角的正弦值为．17．近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能．某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如下数据：青年人中年人老年人对短视频剪接成长视频的APP有需求200对短视频剪接成长视频的APP无需求150其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400．(1)求的值；(2)根据小概率值的独立性检验，分析对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人是否有差异？参考公式：，其中．临界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)(2)有差异【分析】（1）根据题意列式求解即可；（2）根据题意可得列联表，计算，并与临界值对比分析.【解析】（1）由题意可得：，解得．（2）零假设为：对短视频剪接成长视频APP的需求，青年人与中老年人没有差异．由已知得，如下列联表：青年人中老年人合计对短视频剪接成长视频的APP有需求300250550对短视频剪接成长视频的APP无需求100350450合计4006001000可得，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，所以对短视频剪接成长视频的APP有需求，青年人与中老年人有差异．18．已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，短轴长为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l与椭圆C相切于点A，A关于原点O的对称点为点B，过点B作，垂足为M，求面积的最大值