高中数学选修2-2第一章-导数及其应用

选修2-2第一章导数及其应用书目§1.1.1§1.1.§1.1.§几个常用函数的导数（新授课）§第一课时：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（新授课）§其次课时：复合函数的求导法则（新授课）§函数的单调性与导数（2课时）(新授课)§函数的极值与导数（2课时）（新授课）§函数的最大（小）值与导数（2课时）（新授课）§1.4生活中的优化问题举例（2课时）（新授课）§曲边梯形的面积（新授课）§汽车行驶的路程（新授课）§定积分的概念（新授课）§1.6微积分基本定理（新授课）§1.7定积分的简洁应用（两课时）（新授课）导数及其应用题组训练（一）导数及其应用题组训练（一）参考答案导数及其应用题组训练（二）导数及其应用题组训练（二）参考答案导数及其应用题组训练（三）导数及其应用题组训练（三）参考答案第一章导数及其应用一、课程目标：微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了详尽代数学过渡的新时期，为探讨变量和函数供应了重要的方法和手段。导数、定积分都是微积分的核心概念，它们有极其丰富的实际背景和广泛应用。在本章中，学生将通过大量实例，经验由平均变更率到瞬时变更率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在探讨函数的单调性、极值等性质中的作用。学生还将经验求曲边梯形的面积、汽车行驶路程等实际问题的过程，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础。通过本章的学习，学生将体会导数的思想极其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。二、学习目标：1、变更率与导数（1）、通过分析实例，经验由平均变更率过渡到瞬时变更率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变更率就是导数，体会导数的思想及其内涵。（2）、通过函数图像直观地理解导数的几何意义。2、导数的计算（1）、能依据导数的定义，求函数的导数。（2）、能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简洁函数的导数，能求简洁的复合函数的导数。（3）、会运用导数公式表。3、导数在探讨函数中的应用（1）、结合实例，借助几何直观探究并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数探讨函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。（2）、结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数球不超过三次的多项函数的极大值、微小值。4、生活中的优化问题举例通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。5、定积分与微积分基本定理（1）、通过实例，从问题情境中了解定积分的实际背景，借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念。（2）、通过实例，直观了解微积分基本定理的含义。（3）、应用定积分解决一些简洁的几何和物理问题。6、数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行沟通；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。三、本章学问结构平均速度平均速度瞬时速度平均变更率瞬时变更率割线斜率切线斜率导数基本初等函数导数公式导数运算法则导数与函数单调性的关系与极（最）值的关系微积分基本定理曲边梯形的面积变速直线运动的路程定积分定积分在几何、物理中的简洁应用四、课时支配：1.1变更率与导数约4课时1.2导数的计算约3课时1.3导数在探讨函数中的应用约4课时1.4生活中的优化问题举例约3课时1.5定积分的概念约4课时1.6微积分基本定理约2课时1.7定积分的简洁应用约2课时实习作业约1课时小结约1课时§1.1.1变更率问题一、教学目标：学问与技能：了解函数的平均变更率的概念，会求函数的平均变更率。过程与方法：体会有特殊到一般的思维方法情感、看法与价值观：感受由平均变更率刻画现实问题的过程。二、教学重点与难点：重点：平均变更率的概念、函数在某点处旁边的平均变更率；难点：平均变更率的概念．三、教学过程：（一）．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变更着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的探讨，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理干脆相关：1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在随意时刻的速度与加速度等;2、求曲线的切线;3、求已知函数的最大值与最小值;4、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是探讨函数增减、变更快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数探讨的问题即变更率问题：探讨某个变量相对于另一个变量变更的快慢程度．（二）．讲授新课1、提出问题问题1：气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发觉,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是假如将半径r表示为体积V的函数,那么分析:，当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为当V从1增加到2时,气球半径增加了hto气球的平均hto可以看出，随着气球体积渐渐增大，它的平均膨胀率渐渐变小了．思索：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思索计算：和的平均速度在这段时间里，；在这段时间里，探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思索以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，所以，虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际状况是运动员仍旧运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．2、平均变更率概念:（1）．上述问题中的变更率可用式子表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变更率（2）．若设,(这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)（3）。则平均变更率为思索：视察函数f(x)的图象平均变更率表示什么?f(x2)f(x2)y=f(x)y△△y=f(x2)-f(x1) f(x1f(x1)△x=x2△x=x2-x1x2x2x1xOxO（三）．典例分析例1．已知函数f(x)=的图象上的一点及接近一点,则．解：，∴求在旁边的平均变更率。解：，所以所以在旁边的平均变更率为（四）．课堂练习1．质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为．2.物体依据s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s旁边的平均变更率.3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.（五）．课时小结1．平均变更率的概念2．函数在某点处旁边的平均变更率（六）．布置作业：课本第10页习题1.1A组1四、课后反思§1.1.2一、教学目标：学问与技能：1．了解瞬时速度、瞬时变更率的概念；2．理解导数的概念，会求函数在某点的导数过程与方法：经验由实例抽象出导数概念的过程，知道瞬时变更率就是导数，体会导数的思想及其内涵。情感、看法与价值观：经验由平均变更率到瞬时变更率刻画现实问题问题的过程，感受导数在现实问题中的应用，初步相识导数的应用价值。二、教学重点与难点：重点：瞬时速度、瞬时变更率的概念、导数的概念；难点：导数的概念．三、教学过程：（一）．创设情景1、复习提问：平均变更率2、探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思索以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，htohto虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际状况是运动员仍旧运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．（二）．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，时的瞬时速度是多少？考察旁边的状况：（引导学生视察课本第4页表格）思索：当趋近于0时，平均速度有什么样的变更趋势？结论：当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值．从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度是为了表述便利，我们用表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于定值”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。2．导数的概念从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变更率是:我们称它为函数在出的导数，记作或，即说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变更率（2），当时，，所以（三）．典例分析例1．（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2再求再求解：法一定义法（略）法二：（2）求函数f(x)=在旁边的平均变更率，并求出在该点处的导数．解：例2．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，须要对原油进行冷却和加热，假如第时，原油的温度（单位：）为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变更率，并说明它们的意义．解：在第时和第时，原油温度的瞬时变更率就是和依据导数定义，所以同理可得:在第时和第时，原油温度的瞬时变更率分别为和5，说明在旁边，原油温度大约以的速率下降，在第旁边，原油温度大约以的速率上升．注：一般地，反映了原油温度在时刻旁边的变更状况．（四）．课堂练习1．质点运动规律为，求质点在的瞬时速度为．2．求曲线y=f(x)=x3在时的导数．3．例2中，计算第时和第时，原油温度的瞬时变更率，并说明它们的意义．（五）．课时小结1．瞬时速度、瞬时变更率的概念2．导数的概念（六）．布置作业：课本第10页习题1.1A组2.3.4四、课后反思§1.1.3一、教学目标：学问与技能：理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程。过程与方法：经验导数几何意义的学习过程，感受极限思想，体会用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法，体会用导数的几何意义分析图像上点的变更状况的方法。情感、看法与价值观：通过本节的学习，体会导数与曲线的联系，初步相识数学的科学价值，发展理性思维实力。二、教学重点与难点重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；难点：导数的几何意义．三、教学过程：（一）．创设情景复习提问：1、平均变更率、割线的斜率2、瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变更率，反映了函数y=f(x)在x=x0旁边的变更状况，导数的几何意义是什么呢？（二）．新课讲授1、曲线的切线及切线的斜率：视察课本第7页图1.1-2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变更趋势是什么？我们可以发觉,当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：⑴割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？⑵切线PT的斜率为多少？简洁知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念:①供应了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要依据割线是否有极限位置来推断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不肯定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.2、导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，即说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P点的坐标;②求出函数在点处的变更率，得到曲线在点的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.3、导函数：由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数，那么,当x变更时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，即:注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．4、函数在点处的导数、导函数、导数之间的区分与联系。（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的变更量与自变量的变更量之比的极限，它是一个常数，不是变数。(2）函数的导数，是指某一区间内随意点x而言的，就是函数f(x)的导函数(3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函数在点处的导数的方法之一。（三）．典例分析例1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.（2）求函数y=3x2在点处的切线方程.解：（1）,所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为即（2）因为所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为即例2．如图课本第8页图1.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变更的函数，依据图像，请描述、比较曲线在、、旁边的变更状况．解：我们用曲线在、、处的切线，刻画曲线在上述三个时刻旁边的变更状况．当时，曲线在处的切线平行于轴，所以，在旁边曲线比较平坦，几乎没有升降．当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在旁边曲线下降，即函数在旁边单调递减．当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在旁边曲线下降，即函数在旁边单调递减．从图3.1-3可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在旁边比在旁边下降的缓慢．例3．如图课本第9页图1.1-4，它表示人体血管中药物浓度(单位：)随时间（单位：）变更的图象．依据图像，估计时，血管中药物浓度的瞬时变更率（精确到）．解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变更率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率．如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变更率的近似值．作处的切线，并在切线上去两点，如，，则它的斜率为：所以下表给出了药物浓度瞬时变更率的估计值：0.20.40.60.8药物浓度瞬时变更率0.40-0.7-1.4（四）．课堂练习1．求曲线y=f(x)=x3在点处的切线；2．求曲线在点处的切线．（五）.课时小结1．曲线的切线及切线的斜率；2．导数的几何意义（六）．布置作业：课本第10页习题1.1A组5，6四、课后反思§几个常用函数的导数（新授课）一、教学目标：学问与技能：能够用导数的定义求几个常用函数的导数，会利用它们解决简洁的问题。过程与方法：通过本节的学习，驾驭利用导数的定义求导数的方法。情感、看法与价值观：通过本节的学习，进一步体会导数与物理学问之间的联系，提高数学的应用意识。二、教学重点与难点：重点：五种常见函数、、、、的导数公式及应用难点：五种常见函数、、、、的导数公式三、教学过程：（一）．创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将探讨比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．（二）．新课讲授1．函数的导数依据导数定义，因为所以表示函数图像上每一点处的切线的斜率都为0．若表示路程关于时间的函数，则可以说明为某物体的瞬时速度始终为0，即物体始终处于静止状态．2．函数的导数因为所以表示函数图像上每一点处的切线的斜率都为1．若表示路程关于时间的函数，则可以说明为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数的导数因为所以表示函数图像上点处的切线的斜率都为，说明随着的变更，切线的斜率也在变更．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变更率来看，表明：当时，随着的增加，函数削减得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快．若表示路程关于时间的函数，则可以说明为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为．4．函数的导数因为所以5．函数的导数因为所以推广：若，则（三）．课堂练习：课本P13探究，P14探究（四）．课时小结：函数导数（五）．布置作业：习题1.2第1题四、课后反思§第一课时：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（新授课）一、教学目标：学问与技能：能利用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式，求简洁函数的导数。过程与方法：驾驭运用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式来求导数的方法。情感、看法与价值观：通过利用导数方法解决实际问题的过程，体会导数在现实生活中的应用价值，提高数学应用实力。二、教学重点与难点：重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用三、教学过程：（一）．创设情景复习：五种常见函数、、、、的导数公式及应用（二）．新课讲授1、基本初等函数的导数公式表函数导数2、导数的运算法则导数运算法则1．2．3．推论：（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）（三）．典例分析例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价（单位：元）与时间（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：依据基本初等函数导数公式表，有所以（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．例2．依据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）（2）；（3）；（4）；（5）．（6）；（7）解：（1），。（2）（3）（4），。（5）（6），。（7）【点评】①求导数是在定义域内实行的．②求较困难的函数积、商的导数，必需细心、耐性．例3、日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变更率：（1）（2）解：净化费用的瞬时变更率就是净化费用函数的导数．因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变更率是52.84元/吨．因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变更率是1321元/吨．函数在某点处导数的大小表示函数在此点旁边变更的快慢．由上述计算可知，．它表示纯净度为左右时净化费用的瞬时变更率，大约是纯净度为左右时净化费用的瞬时变更率的25倍．这说明，水的纯净度越高，须要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．（四）．课堂练习：1．课本P18练习12．已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；（y＝－12x＋8）（五）．课时小结：（1）基本初等函数的导数公式表（2）导数的运算法则（六）．布置作业：习题1.2A组4（1）（2）（3）四、课后反思：§其次课时：复合函数的求导法则（新授课）一、教学目标学问与实力：理解并驾驭复合函数的求导法则．过程与方法：驾驭运用导数的运算法则和导数公式来求复合函数导数的方法。情感、看法与价值观：体会导数在现实生活中的应用价值，提高数学应用实力。二、教学重点与难点：重点：复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．难点：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，娴熟，正确．三、教学过程（一）．创设情景，复习引入1、基本初等函数的导数公式表（学生填表）函数导数2、导数的运算法则导数运算法则1．2．3．推论：（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）（二）．新课讲授复合函数的概念一般地，对于两个函数和，假如通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。复合函数的导数复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．若，则（三）．典例分析例1、求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）（其中均为常数）．解：（1）函数可以看作函数和的复合函数。依据复合函数求导法则有=。（2）函数可以看作函数和的复合函数。依据复合函数求导法则有=。（3）函数可以看作函数和的复合函数。依据复合函数求导法则有=。例2、求的导数．解：【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清晰复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应留意不能遗漏求导环节并刚好化简计算结果．例3、求的导数．解：，【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例4、求y＝sin4x＋cos4x的导数．【解法一】y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－sin22x＝1－（1－cos4x）＝＋cos4x．y′＝－sin4x．【解法二】y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4sin3x(sinx)′＋4cos3x(cosx)′＝4sin3xcosx＋4cos3x(－sinx)＝4sinxcosx(sin2x－cos2x)＝－2sin2xcos2x＝－sin4x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要留意变形精确．解法二是利用复合函数求导数，应留意不漏步．例5、曲线y＝x（x＋1）（2－x）有两条平行于直线y＝x的切线，求此二切线之间的距离．【解】y＝－x3＋x2＋2xy′＝－3x2＋2x＋2令y′＝1即3x2－2x－1＝0，解得x＝－或x＝1．于是切点为P（1，2），Q（－，－），过点P的切线方程为，y－2＝x－1即x－y＋1＝0．明显两切线间的距离等于点Q到此切线的距离，故所求距离为＝．（四）．课堂练习1．求下列函数的导数(1)y=sinx3+sin33x；（2）;(3)2.求的导数（五）．课时小结：1、复合函数的求导法则．2、运用导数的运算法则和导数公式来求复合函数导数的方法。（六）．布置作业：习题1.2A组5、6四、课后反思§函数的单调性与导数（2课时）(新授课)一、教学目标：学问与技能：借助与函数的图像了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数探讨函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。过程与方法：通过本节的学习，驾驭用导数探讨函数单调性的方法。情感、看法与价值观：通过实例探究函数的单调性与导数的关系的过程，体会学问间的相互关系和运动变更的观点，提高理性思维实力。二、教学重点与难点：重点：利用导数探讨函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间难点：利用导数探讨函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间三、教学过程：（一）．课题引入函数是客观描述世界变更规律的重要数学模型，探讨函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是特别重要的．通过探讨函数的这些性质，我们可以对数量的变更规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数探讨函数的性质，从中体会导数在探讨函数中的作用．（二）．新课讲授1．提出问题：视察课本22页图1.3-1（1），它表示跳水运动中高度随时间变更的函数的图像，（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变更的函数的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区分？通过视察图像，我们可以发觉：（1）、运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，．（2）、从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而削减，即是减函数．相应地，．2．函数的单调性与导数的关系视察下面课本23页图1.3-2函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图，导数表示函数在点处的切线的斜率．在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在旁边单调递增；在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在旁边单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间内，假如，那么函数在这个区间内单调递增；假如，那么函数在这个区间内单调递减．说明：特殊的，假如，那么函数在这个区间内是常函数．3．求解函数单调区间的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．（三）．典例分析例1．已知导函数的下列信息：当时，；当，或时，；当，或时，试画出函数图像的大致形态．解：当时，，可知在此区间内单调递增；当，或时，；可知在此区间内单调递减；当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数图像的大致形态如图所示．例2．推断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）；（2）（3）；（4）解：（1）因为，所以，因此，在R上单调递增，如图所示．（2）因为，所以，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；函数的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为，所以，因此，函数在单调递减，如图3.3-5（3）所示．（4）因为，所以．当，即时，函数；当，即时，函数；函数的图像如图所示．注：（3）、（4）为学生练习例3．如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，起先阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变更状况．同理可知其它三种容器的状况．解：思索：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变更的快慢．结合图像，你能从导数的角度说明变更快慢的状况吗？一般的，假如一个函数在某一范围内导数的肯定值较大，那么函数在这个范围内变更的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数在或内的图像“陡峭”，在或内的图像“平缓”．例4．求证：函数在区间内是减函数．证明：因为当即时，，所以函数在区间内是减函数．说明：证明可导函数在内的单调性步骤：（1）求导函数；（2）推断在内的符号；（3）做出结论：为增函数，为减函数．例5．已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：所以实数的取值范围为．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，留意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．例6．已知函数y=x+，试探讨出此函数的单调区间.解：y′=(x+)′=1－1·x－2= 令＞0.解得x＞1或x＜－1.∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)（四）．课堂练习1．求下列函数的单调区间（1）、f(x)=2x3－6x2+7（2）、f(x)=+2x（3）、f(x)=sinx,x（4）、2．课本26页练习1（五）．课时小结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数单调区间（3）证明可导函数在内的单调性（六）．布置作业：习题1.3A组1、2四、课后反思：§函数的极值与导数（2课时）（新授课）一、教学目标：学问与技能：了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件，会用导数求函数的极大值、微小值。过程与方法：通过本节的学习，驾驭利用导数求函数的极大值、微小值。情感、看法与价值观：通过本节的学习，体会导数方法在探讨函数性质中的一般性和有效性。二、教学重点与难点：重点：极大、微小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.难点：对极大、微小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.三、教学过程：（一）．创设情景视察下图，我们发觉，时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数在此点的导数是多少呢？此点旁边的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变更规律？放大旁边函数的图像，课本27页图1.3-8与1.3-9．可以看出；在，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，；这就说明，在旁边，函数值先增（，）后减（，）．这样，当在的旁边从小到大经过时，先正后负，且连续变更，于是有．对于一般的函数，是否也有这样的性质呢？附：对极大、微小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点旁边的小区间而言的.从图象视察得出，判别极大、微小值的方法.推断极值点的关键是这点两侧的导数异号（二）．新课讲授1．提出问题：图1.3-8表示跳水运动中高度随时间变更的函数的图像图1.3-9表示高台跳水运动员的速度随时间变更的函数的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区分？通过视察图像，我们可以发觉：运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，．从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而削减，即是减函数．相应地，．2．函数的单调性与导数的关系视察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数表示函数在点处的切线的斜率．在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在旁边单调递增；在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在旁边单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间内，假如，那么函数在这个区间内单调递增；假如，那么函数在这个区间内单调递减．说明：（1）特殊的，假如，那么函数在这个区间内是常函数．3．求解函数单调区间的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．（三）．典例分析例1．求的极值解：因为，所以。下面分两种状况探讨：（1）当>0,即，或时；（2）当<0,即时.当x变更时，，的变更状况如下表：-2(-2,2)2+0－0+↗极大值↘微小值↗因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有微小值，并且微小值为。函数的图像如图所示。例2、求y=(x2－1)3+1的极值解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1当x变更时，y′，y的变更状况如下表-1(-1,0)0(0,1)1－0－0+0+↘无极值↘微小值0↗无极值↗∴当x=0时，y有微小值且1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x0旁边有定义，假如对x0旁边的全部的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点2.微小值：一般地，设函数f(x)在x0旁边有定义，假如对x0旁边的全部的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个微小值，记作y微小值=f(x0)，x0是微小值点3.极大值与微小值统称为极值留意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它旁边点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的完全的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或微小值可以不止一个（ⅲ）极大值与微小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于微小值，如下图所示，是极大值点，是微小值点，而>（ⅳ）函数的极值点肯定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4.判别f(x0)是极大、微小值的方法:若满意，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且假如在两侧满意“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；假如在两侧满意“左负右正”，则是的微小值点，是微小值5.求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)(2)求方程f′(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，假如左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；假如左负右正，那么f(x)在这个根处取得微小值；假如左右不变更符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值假如函数在某些点处连续但不行导，也须要考虑这些点是否是极值点（四）、巩固练习：1．求下列函数的极值.(1)y=x2－7x+6(2)y=x3－27x(1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7令y′=0，解得x=.当x变更时，y′，y的变更状况如下表.－0+↘微小值↗∴当x=时，y有微小值，且y微小值=－.(2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3)令y′=0，解得x1=－3，x2=3.当x变更时，y′，y的变更状况如下表.-3(-3,3)3+0－0+↗极大值54↘微小值-54↗∴当x=－3时，y有极大值，且y极大值=54.当x=3时，y有微小值，且y微小值=－54（五）、课时小结：函数的极大、微小值的定义以及判别方法.求可导函数f(x)的极值的三个步骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某一点旁边的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不肯定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.函数的不行导点可能是极值点（六）、布置作业：课本P45：4，5四、课后反思§函数的最大（小）值与导数（2课时）（新授课）一、教学目标：学问与实力：使学生理解函数的最大值和最小值的概念，驾驭可导函数在闭区间上全部点（包括端点）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；过程与方法：使学生驾驭用导数求函数的极值及最值的方法和步骤情感、看法与价值观：通过对函数的极值与最值得类比，体会学问间的联系，逐步提高分析问题与解决问题的实力。二、教学重点与难点重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和微小值的区分与联系．三、教学过程：（一）、课题引入：我们知道，极值反映的是函数在某一点旁边的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，假如是函数的极大（小）值点，那么在点旁边找不到比更大（小）的值．但是，在解决实际问题或探讨函数的性质时，我们更关切函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．假如是函数的最大（小）值，那么不小（大）于函数在相应区间上的全部函数值．（二）、新课讲授视察图中一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是微小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是．1．结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连绵不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值．说明：⑴、假如在某一区间上函数的图像是一条连绵不断的曲线，则称函数在这个区间上连续．⑵、给定函数的区间必需是闭区间，在开区间内连续的函数不肯定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；⑶、在闭区间上的每一点必需连续，即函数图像没有间断，⑷、函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（可以不给学生讲）2．“最值”与“极值”的区分和联系⑴、最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有肯定性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点旁边函数值得出的，具有相对性．⑵、从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；⑶、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⑷、极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、利用导数求函数的最值步骤:由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数全部的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：⑴、求在内的极值；⑵、将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值（三）、典例分析例1、求在的最大值与最小值解：由例4可知，在上，当时，有微小值，并且微小值为，又由于，因此，函数在的最大值是4，最小值是．上述结论可以从函数在上的图象得到直观验证．例2、求函数在区间上的最大值与最小值解：先求导数，得令＝0即解得导数的正负以及，如下表X-2（-2,-1）-1（-1,0）0（0,1）1（1,2）2y/－0＋0－0＋y13↘4↗5↘4↗13从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4例3、已知,∈(0,+∞).是否存在实数,使同时满意下列两个条件：（1）)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）的最小值是1，若存在，求出，若不存在，说明理由.解：设g(x)=∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.∴∴解得经检验，a=1,b=1时，f(x)满意题设的两个条件.（四）、课堂练习1、下列说法正确的是()A函数的极大值就是函数的最大值B.函数的微小值就是函数的最小值C.函数的最值肯定是极值D.在闭区间上的连续函数肯定存在最值2、函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x)()A.等于0 B.大于0C.小于0 D.以上都有可能3、函数y=，在［－1，1］上的最小值为()A.0 B.－2C.－14、求函数在区间上的最大值与最小值．5、课本31页练习（五）、课时小结1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；2．函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；3．闭区间上的连续函数肯定有最值；开区间内的可导函数不肯定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值4．利用导数求函数的最值方法．（六）．布置作业：习题1.3A组6四、课后反思§1.4生活中的优化问题举例（2课时）（新授课）一、教学目标：学问与技能：利用导数解决生活中的优化问题。过程与方法：通过学习使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会数学建模的方法和导数在解决实际问题中的作用。情感、看法与价值观：通过对生活中优化问题的探究过程，感受数学的应用价值，提高学习数学的爱好，提高将实际问题转化为数学问题的实力二、教学重点与难点：重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．三、教学过程：（一）。新课引入生活中常常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．（二）．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。解决优化问题的方法：首先是须要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创建在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过探讨相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：建立数学模型解决建立数学模型解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案（三）．典例分析例1．海报版面尺寸的设计学校或班级实行活动，通常须要张贴海报进行宣扬。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为。求导数，得。令，解得舍去）。于是宽为。当时，<0；当时，>0.因此，是函数的微小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否留意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？（背景学问）：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是令解得（舍去）当时，；当时，．当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；当半径时，它表示单调递减，即半径越大，利润越低．（1）半径为cm时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．（2）半径为cm时，利润最大．换一个角度：假如我们不用导数工具，干脆从函数的图像上视察，会有什么发觉？有图像知：当时，，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才为正值．当时，，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为cm时，利润最小．例3．磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，依据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。为了保障磁盘的辨别率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求全部磁道要具有相同的比特数。问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域．是不是越小，磁盘的存储量越大？为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。设存储区的半径介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必需装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量×（1）它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以推断，不是越小，磁盘的存储量越大．（2）为求的最大值，计算．令，解得当时，；当时，．因此时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为例4．汽油的运用效率何时最高我们知道，汽油的消耗量（单位：L）与汽车的速度（单位：km/h）之间有肯定的关系，汽油的消耗量是汽车速度的函数．依据你的生活阅历，思索下面两个问题：（1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？（2）“汽油的运用率最高”的含义是什么？分析：探讨汽油的运用效率（单位：L/m）就是探讨秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．假如用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（单位：L），表示汽油行驶的路程（单位：km）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的问题．通过大量的统计数据，并对数据进行分析、探讨，人们发觉，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度（单位：km/h）之间有如图所示的函数关系．从图中不能干脆解决汽油运用效率最高的问题．因此，我们首先须要将问题转化为汽油平均消耗率（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度（单位：km/h）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油运用效率最高的问题．解：因为这样，问题就转化为求的最小值．从图象上看，表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进一步发觉，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90．因此，当汽车行驶距离肯定时，要使汽油的运用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即，约为L．_x_x_60__x_x_60_60xx解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积．令＝0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V(40)=16000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积．（后面同解法一，略）由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例6．圆柱形金属饮料罐的容积肯定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，则S(R)=2πR+2πR2=+2πR2令 +4πR=0解得，R=，从而h====2即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S=2+h=V(R)=R=)=0．例6．在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。（1）、假如C(x)＝，那么生产多少单位产品时，边际最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)（2）、假如C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入，利润令，即，求得唯一的极值点答：产量为84时，利润L最大例7．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.解：由梯形面积公式，得S=(AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b∴AD=h+b,∴S= ①∵CD=,AB=CD.∴l=×2+b ②由①得b=h,代入②,∴l=l′==0,∴h=,当h<时，l′<0,h>时，l′>0.∴h=时，l取最小值，此时b=例8．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．解：设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y），且x＞0，y＞0，则另一个在抛物线上的顶点为（－x，y），在x轴上的两个顶点为（－x，0）、（x，0），其中0＜x＜2．设矩形的面积为S，则S＝2x（4－x2），0＜x＜2．由S′（x）＝8－6x2＝0，得x＝，易知x＝是S在（0，2）上的极值点，即是最大值点，所以这种矩形中面积最大者的边长为和．点评：应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如确定有最小值，且微小值唯一，即可确定微小值就是最小值．（四）．课堂练习练习：1：一书店预料一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，假如每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书匀称投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？解：假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，由于该书匀称投放市场，则平均库存量为批量之半，即，故有y＝×30＋×40，y′＝－＋20，令y′＝0，得x＝15，且y″＝，f″(15)＞0，所以当x＝15时，y取得微小值，且微小值唯一，故当x＝15时，y取得最小值，此时进货次数为＝10（次）．即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．2：有甲、乙两城，甲城位于始终线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？解：设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米，总费用为y元，则CD＝．y＝500（50－x）＋700＝25000－500x＋700，y′＝－500＋700·(x2＋1600)·2x＝－500＋，令y′＝0，解得x＝．答：水厂距甲距离为50－千米时，总费用最省．点评：当要求的最大（小）值的变量y与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为x，然后再依据条件x来表示其他变量，并写出y的函数表达式f（x）．建立数学模型（五）：课时小结1．利用导数解决优化问题的基本思路：建立数学模型解决解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过探讨相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。（六）．布置作业：习题1.4A组：1.2.3四、课后反思：§曲边梯形的面积（新授课）一、教学目标学问与技能：通过求曲边梯形的面积，了解定积分的背景。过程与方法：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、靠近，感受在其过程中渗透的思想方法情感看法与价值观：通过曲边梯形的面积，进一步感受极限的思想。二、教学重点与难点重点：驾驭过程步骤：分割、以直代曲、求和、靠近（取极限）难点：对过程中所包含的基本的微积分“以直代曲”的思想的理解三、教学过程：（一）．创设情景我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。定积分在科学探讨和实际生活中都有特别广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简洁应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。一个概念：假如函数在某一区间上的图像是一条连绵不断的曲线，那么就把函数称为区间上的连续函数．（不加说明，下面探讨的都是连续函数）（二）．新课讲授问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线的一段，我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？例1：求图中阴影部分是由抛物线，直线以及轴所围成的平面图形的面积S。思索：（1）曲边梯形与“直边图形”的区分？（2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？xxx1x1xy1xyy分析：曲边梯形与“直边图形”xxx1x1xy1xyy把区间分成很多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限靠近所求曲边梯形的面积S．也即：用划归为计算矩形面积和靠近的思想方法求出曲边梯形的面积．解：（1）．分割在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：，，…，记第个区间为，其长度为分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：，，…，明显，（2）近似代替记，如图所示，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变更很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从图形上看，就是用平行于轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有①（3）求和由①，上图中阴影部分的面积为====从而得到的近似值（4）取极限分别将区间等分8，16，20，…等份（如课本图1.5-5），可以看到，当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有从数值上的变更趋势：课本表1-13．求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割．在区间中随意插入各分点，将它们等分成个小区间，区间的长度，其次步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和．第四步：取极限。说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：分割以直代曲求和靠近2．最终所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值例2．求围成图形面积解：（1）．分割在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：，，…，记第个区间为，其长度为分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：，，…，明显，（2）近似代替∵，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变更很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有①（3）求和由①，上图中阴影部分的面积为====从而得到的近似值（4）取极限练习设S表示由曲线，x=1，以及x轴所围成平面图形的面积。（四）、课时小结求曲边梯形的思想和步骤：分割以直代曲求和靠近（“以直代曲”的思想）四：教学反思§汽车行驶的路程（新授课）一、教学目标学问与技能：了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（靠近）过程与方法：通过与求曲边梯形的面积进行类比，求汽车行驶的路程有关问题，再一次体会“以直代曲“的思想情感看法与价值观：在体会微积分思想的过程中，培育唯物主义的观点。二、教学重点与难点重点：驾驭过程步骤：分割、以不变代变、求和、靠近（取极限）难点：过程的理解三、教学过程：（一）．课题引入复习：1．连续函数的概念；2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，假如已知物体的速度与时间的关系，如何求其在肯定时间内经过的路程呢？（二）．新课讲授问题：汽车以速度组匀速直线运动时，经过时间所行驶的路程为．假如汽车作变速直线运动，在时刻的速度为（单位：km/h），那么它在0≤≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程（单位：km）是多少？分析：与求曲边梯形面积类似，实行“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间分成个小区间，在每个小区间上，由于的变更很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得（单位：km）的近似值，最终让趋紧于无穷大就得到（单位：km）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限靠近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）．解：1．分割在时间区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：，，…，记第个区间为，其长度为把汽车在时间段，，…，上行驶的路程分别记作：，，…，明显，（2）近似代替当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变更很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从物理意义上看，即使汽车在时间段上的速度变更很小，不妨认为它近似地以时刻处的速度作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有①（3）求和由①，====从而得到的近似值（4）取极限当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有思索：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程与由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积有什么关系？结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程在数据上等于由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积．一般地，假如物体做变速直线运动，速度函数为，那么我们也可以采纳分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限靠近的思想，求出它在a≤≤b内所作的位移．例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力（为常数，是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长所作的功．分析：利用“以不变代变”的思想，采纳分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．解：将物体用常力沿力的方向移动距离，则所作的功为．1．分割在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：，，…，记第个区间为，其长度为把在分段，，…，上所作的功分别记作：，，…，（2）近似代替有条件知：（3）求和=从而得到的近似值（4）取极限所以得到弹簧从平衡位置拉长所作的功为：（四）、课堂小结：求汽车行驶的路程有关问题的过程．四：教学反思§定积分的概念（新授课）一：教学目标学问与技能：了解定积分的概念，能用定义法求简洁的定积分。过程与方法：借助于几何直观定积分的基本思想，理解定积分的概念；情感看法与价值观：通过对定积分的学习，培育辩证唯物主义观点，提高理性思维实力。二：教学重点与难点重点：定积分的概念、定积分法求简洁的定积分、定积分的几何意义难点：定积分的概念、定积分的几何意义三：教学过程：（一）．引入新课复习：1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：分割→以直代曲→求和→取极限（靠近2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．（二）．新课讲授1．定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：假如无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：（3）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功2．定积分的几何意义假如在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积。说明：一般状况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号．分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值。考察和式不妨设于是和式即为阴影的面积—阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）3．定积分的性质依据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1性质2（其中k是不为0的常数）（定积分的线性性质）性质3（定积分的线性性质）性质4（定积分对积分区间的可加性）性质5若，则推论1：，推论2：性质6设为在上的最大值、最小值，则性质7（中值定理）若，则至少有一，使.证：由性质6知，，依介值定理，必有，使，即。说明：①推广：②推广:③性质说明：性质4性质1性质4性质1（三）.典例剖析例1．计算定积分分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为。12y12yxo思索：若改为计算定积分呢？变更了积分上、下限，被积函数在上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）练习计算下列定积分1．解：2．解：例2．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。ABCDO解：，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=，所以=eq\f(1,3)ABCDO【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。巩固练习：计算由曲线和所围成的图形的面积.（四）：课堂小结定积分的概念、定义法求简洁的定积分、定积分的几何意义．（五）：布置作业：习题1.5A组3.4.5四：课后反思§1.6微积分基本定理（新授课）一：教学目标学问与技能：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简洁的定积分过程与方法：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法情感看法与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培育学生辩证唯物主义观点，提高理性思维实力。二：教学重点与难点重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简洁的定积分。难点：了解微积分基本定理的含义三：教学过程：（一）、课前复习：定积分的概念及用定义计算（二）、新课讲授我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较困难，所以不是求定积分的一般方法。我们必需寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即=而。对于一般函数，设，是否也有若上式成立，我们就找到了用的原函数（即满意）的数值差来计算在上的定积分的方法。注：1：定理假如函数是上的连续函数的随意一个原函数，则证明：因为=与都是的原函数，故-=C（）其中C为某一常数。令得-=C，且==0即有C=，故=+=-=令，有此处并不要求学生理解证明的过程为了便利起见，还常用表示，即该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也供应计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。（三）、例题讲解例1．计算下列定积分：（1）；（2）。解：（1）因为，所以。（2））因为，所以。练习：计算解：由于是的一个原函数，所以依据牛顿—莱布尼兹公式有===例2．计算下列定积分：。由计算结果你能发觉什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发觉的结论。解：因为，所以，，.可以发觉，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:(l）当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；图1.6一3(2）（2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；(3）当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处须要减速停车。设汽车以等减速度=1.8米/秒2刹车，问从起先刹车到停车，汽车走了多少距离？解:首先要求出从刹车起先到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度=32公里/小时=米/秒8.88米/秒,刹车后