湖南省长沙麓山国际实验学校2023-2024学年高二4月学情检测数学试题

2023-2024-2麓山国际高二4月学情检测数学试题卷命题人：蔡云清审题人：王京臣总分：150分时量：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.3.有一散点图如图所示，在A，B，C，D，E这5个点中去掉后，下列说法错误的是（）A.相关系数r变大 B.残差平方和变大C.变量x，y正相关 D.解释变量x与预报变量y的相关性变强4.已知，，，（其中e为自然对数的底数），则下列不等式正确的是（）A. B. C. D.5.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（）A. B. C. D.6.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小.其中叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至6000，则C的增长率为（）（，）A.10% B.16% C.26% D.33%7.若函数存在最大值，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知定义在上的函数，满足不等式，则x的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的相关性较强B.决定系数越大的模型，拟合的效果越好C.回归直线至少会经过其中一个样本点D.以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则a，b的值分别为2，610.已知，则以下不等式成立的是（）A. B. C. D.11.已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，若，则（）A. B.的图象关于点中心对称C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.计算______.13.若a，b是方程的两个实根，则的值为______.14.已知x，满足，若对任意的，恒成立，则实数k的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数.（1）若不等式解集为时，求实数a的值；（2）时，恒成立，求实数x的取值范围.16.（15分）已知幂函数是偶函数，.（1）求实数k的值和解析式；（2）判断的奇偶性，并用定义证明；（3）直接写出的单调递减区间，并求不等式的解集.17.（15分）已知函数是奇函数.（1）求b的值和函数在区间上的值域；（2）若不等式对于任意的上恒成立，求实数m的取值范围.18.（17分）产品质量是企业的生命线，为提高产品质量.企业非常重视产品生产线的质量，某企业引进了生产同一种产品的A，B两条生产线，为比较两条生产线的质量，从A，B生产线生产的产品中各自随机抽取了100件产品进行检测，把产品等级结果和频数制成了如图的统计图.（1）请完成列联表：并依据小概率值的独立性检验，分析一级品率是否与生产线有关？（2）生产一件一级品可盈利100元，生产一件二级品可盈利50元，生产一件三级品则亏损20元，以频率估计概率.①分别估计A，B生产线生产一件产品的平均利润；②你认为哪条生产线的利润较为稳定？并说明理由.附：①参考公式：，其中.②临界表值：0.100.020.0100.0050.0012.7063.8416.6357.89710.82819.对于定义在区间上的函数，若.（1）已知，，试写出、的表达式；（2）设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求a的取值范围；（3）若，存在最小正整数k，使得对任意的成立，则称函数为上的“k阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k，如果不是，请说明理由.2023-2024-2麓山国际高二4月学情检测数学答案命题人：蔡云清审题人：王京臣总分：150分时量：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【详解】因为，所以.因为，所以.故选B.2.【答案】A【详解】命题“，”为假命题，则，解得，对于A，能推出，反之不成立，故A正确；对于B，不能推出，反之成立，故B不正确；对于C，不能推出，反之成立，故C不正确；对于D，能推出，反之成立，故D不正确.所以命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是.故选：A3.【答案】B【详解】观察散点图知，变量x，y呈线性相关，点D偏离回归直线较远，去掉后：对于A，相关性变强，相关系数r变大，A正确；对于B，残差平方和变小，B错误；对于C，散点的分布是从左下到右上，因此变量x，y正相关，C正确；对于D，解释变量x与预报变量y的相关性变强，D正确.故选：B4.【答案】D【详解】因为，，，，所以，故选：D5.【答案】C【详解】由题意得函数的定义域为，可排除B、D，，∴函数为偶函数，可排除选项A.故选：C.6.【答案】C【详解】解：当时，，当时，，，∴C的增长率约为26%.故选：C7.【答案】B【详解】当时，在上单调递增，此时，无最大值；又因为在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递增，在上单调递减，所以当时，，结合题意可得，解得，，即实数a的取值范围为，故选：B8.【答案】A【详解】令，则，，原函数化为，令，显然，即函数是奇函数，又函数，，都是R上的增函数，因此函数是R上的增函数，不等式，则，于是，解得，所以x的取值范围是.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】BD【详解】对于A，因为，即A组数据比B组数据的相关性较弱，故A错误；对于B，决定系数越大则残差平方和越小，则其拟合的效果越好，故B正确；对于C，回归直线不一定经过样本点，C选项错误；对于D，由，得，，，D选项正确.故选：BD.10.【答案】ABD【详解】当，所以，则，当时可得，所以，则，当时，，所以，综上可得，故A正确；因为，即，故B正确；取、满足，但是，故C错误；因为，当且仅当，即时等号成立，故D正确.故选：ABD11.【答案】ABC【详解】因为是偶函数，则，所以，所以.当时，，又，所以，所以，所以，故A正确；由，得，两式相减得，所以，又，所以，即，所以的图象关于点中心对称，故B正确；，所以是以6为周期的周期函数，所以，故C正确；，D不正确.故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】【详解】.13.【答案】12【详解】原方程可化为，设，则原方程可化为.设方程的两根为，，则，.由已知a，b是原方程的两个根.可令，，则，.故答案为：12.14.【答案】4【详解】设，则为往右平移两个单位得来.又为单调递增的奇函数，且关于对称.故为单调递增的函数且关于对称.又可知，关于对称.故，即.又对任意的，恒成立.即恒成立.故判别式，得.故k的最小值为4.故答案为4.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【答案】（1）或；（2）.【详解】（1）由题设，是的解集，，整理得，解得或； ……5分（2）由题意，时恒成立，当时，则有恒成立，符合题意；当时，则有， ……9分若，要使题设不等式恒成立，仅需即可，而上，……11分，解之得综上， ……13分16.【答案】（1），（2）偶函数，证明见解析（3）的单调递减区间，【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或，当时，在R上是奇函数，不满足题意，舍去；当时，在上是偶函数，综上，， ……4分（2），，对于任意的，，故是上的偶函数 ……8分（3）因为，且，在上是单调递减，在定义域内是单调递增，所以在上是单调递减， ……10分因为是偶函数，所以在上是单调递增，所以的单调递减区间，所以由可得，所以，……13分解得或，所以不等式的解集为 .……15分17.【答案】（1）；（2）【详解】（1）由得，所以定义域为， ……1分由是奇函数，则，即，解得 ……3分所以.经检验满足 ……4分令，易知在单调递减，则.故，所以函数在区间上的值域为……6分（2），其中，所以，即，所以， ……9分令，，，则， ……11分因为，当且仅当，即等号成立，所以，所以 ……15分18.【答案】（1）依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为一级品率与生产线有关联，此推断犯错误概率不大于0.05.（2）①A，B生产线生产一件产品的平均利润分别为46元、50元；②A生产线的利润更为稳定；答案见解析.【详解】解：（1）根据已知数据可建立列联表如下：一级品非一级品合计A生产线2080100B生产线3565100合计55145200……2分零假设为：一级品率与生产线无关联.计算得：，……………4分依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为一级品率与生产线有关联，此推断犯错误概率不大于0.05. ……6分（2）A生产线生产一件产品为一、二、三级晶的概率分别为，，.记A生产线生产一件产品的利润为X，则X的取值为100，50，，其分布列为X10050P……8分B生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为，，.记B生产线生产一件产品的利润为Y，则Y的取值为100，50，，其分布列为Y10050P……10分①；.故A，B生产线生产一件产品的平均利润分别为46元、50元. ……12分②；……14分.……16分因为，所以A生产线的利润更为稳定. ……17分19.【答案】（1）、（2）（3）是，【详解】（1）解：因为函数在上单调递减，则， ……2分因为函数在上单调递增，则.…………4分（2）解：若与恰好为同一函数，只须在上是单调递增，……6分当时，令，则，由，则，对称轴，根据复合函数的单调性，函数在