陕西省汉中市普通高中联盟学校2023-2024学年高三年级上册期中联考数学（理）试题含答案

汉中市2023年普通高中联盟学校高三联考

理科数学试题

注意事项：

1、试卷分为第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分

钟，共4页.

2、答第I卷时考生务必在每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案

3、第n卷答在答题卡的相应位置上，否则视为无效答题前考生务必将自己的班级、姓名、学

号、考号座位号填写清楚.

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合1吠兀11J,贝（）

A[0,3]B.（1,3]C.（0,3]D.｛1,2,3｝

2.已知非零向量Z,反屋则“鼠工是“Z=Z产的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

3.已知sinQ®|',则cos（兀-2a）=（）

771212

A.——B.—C.——D.——

25252525

4.在递增的等差数列｛%｝中，首项为3,若见,%,%+6依次成等比数列，则｛%｝的公差为（）

.3

A.—3B.一C.3D.—

22

5.下列函数中，最小值为2的是（）

2XTX2+3

A.y=x+—B.j7=e+ec.y-i-D.

.X4x^2

1L兀）

y=smx+------0<x<—

sinxI2）

的图像大致为（）

7.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典

籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底

面周长上与高〃，计算其体积厂的近似公式「土一I?//.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率兀近似取

36

3,

为3.那么近似公式厂”一£2人相当于将圆锥体积公式中的兀近似取为（）

113

1135728355

A.----B.—C.—D.-----

36189113

8.若/是抛物线V=2力（夕>0）位于第一象限的点，厂是抛物线的焦点，=则直线MF的斜

率为（）

5545

A.—B.—C.-D.一

4332

9.“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为

“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排，其中“仁、义、礼”保持顺序不变的概率为（）

1111

A.—B.—C.—D.一

2010156

21

10.设Q=—。=一，贝1」()

3b一C兀

A.b<c<aB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

11.已知。〉0,函数/(%)=sincoxcos(ox+cos2在单调递减，则0的取值范围为（

-15-、"I3一c11r15-

A.——B.一,一

・2'8一\_24j14」[48」

12.已知函数/（x）（xeR）满足〃2x+l）为奇函数，若函数y=sin/与y=/（x）的图象的交点为

,每‘％）‘…,（七"，〃）,则+%）等于（）

A.0B.mC.2mD.4m

第n卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.复数-T的虚部为

1+1

14.三棱锥S—N8C中，£4,平面A48C,A48C为直角三角形，AB1BC,AB=BC=l,

SA=2,则三棱锥S-ABC的外接球的体积为.

15.若邑为数列｛%｝的前〃项和，且S,=2a,+l("eN*),则下列结论正确的是.(填序号)

①例=—16；②$5=-63；③数列｛4｝是等比数列；④数列｛S“+l｝是等比数列.

16.已知。>0,若对任意的不等式侬—蛆R20恒成立，则实数。的取值范围是

U)2a

三、解答题：本题共6小题，共70分.

(一)必考题：共5小题，每小题12分，共60分

17.A4SC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,sin2C-sin2A+sin2B=sinBsinC.

(1)求A；

(2)若c<6,b+c^s[la>求sinC.

18.如图所示多面体48CDEE中，平面/DEL平面48C0,平面48C0,V4DE是正三角形,

四边形4SCD是菱形，AB=2,CF=5ZBAD=~.

3

(1)求证：CF〃平面NDE；

(2)求点E到平面4D9的距离.

19.为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.

(1)求。的值以及这批产品的优质率：(注：产品质量指标达到130及以上为优质品);

(2)若按照分层的方法从质量指标值在[110,130)的产品中随机抽取7件，再从这7件中随机抽取2件,

求至少有一件的指标值在［120,130)的概率；

(3)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出4件，记这4件中优质产品的件数为

X,求X的分布列与数学期望.

20.己知椭圆C的标准方程为±+}=1(。〉6〉0),椭圆过点(0,2)且离心率6=也.

ab2

(1)求椭圆。的标准方程；

(2)直线/：＞=左(》-1)(左》0)与C相交于A,B两点，过C上的点尸作x轴的平行线交线段4g于点

Q,直线OP的斜率为左'(。为坐标原点)，若14PH5。|=忸判断左是否为定值？并说明

理由.

X

21已知函数/(x)=—,g(x)=lnx-x.

*X

(1)求函数g(x)的极值；

(2)若力(x)=/(x)—g(x),求函数〃(x)的最小值；

(3)若A(x)=a有两个零点不，X2,证明：x1x2＜1.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题

计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.已知曲线G的直角坐标方程为必一/=4,以直角坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐

标系，曲线。2的极坐标方程为夕=4cos"

(1)求G的极坐标方程和02的直角坐标方程；

(2)若曲线，=2(夕〉0)与曲线G、曲线g分别交于两点A、B,点尸(4,0),求△尸4S的面积.

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知。、6均为正数，设/(x)=6—卜+4-H一4；

(1)当。=1,6=2时，求不等式/(力＞0的解集；

(2)若/(x)的最大值为3,求工+工的最小值.

ab

汉中市2023年普通高中联盟学校高三联考

理科数学试题

注意事项：

1、试卷分为第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分

钟，共4页.

2、答第I卷时考生务必在每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案

3、第n卷答在答题卡的相应位置上，否则视为无效答题前考生务必将自己的班级、姓名、学

号、考号座位号填写清楚.

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合"={"2=1办},8={X|X<3},则/5=（）

A.[0,3]B,（1,3]C.（0,3]D,{1,2,3}

【答案】C

【解析】

【分析】求对数函数定义域，并结合集合的交运算即可.

【详解】因为Z={x|x>0},所以2口5={刈0<》<3}.

故选C.

2.2知非零向量反屋则“鼠"=书.工”是“Z=的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D,既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】如图所示，况=①砺=瓦*=*加=@—当/BLOC时，万一3与"垂直，

第所以c成立，此时

•••7；/；「不是1=B的充分条件，

当方=3时，5一3=0，；•。―，，c=O，c=。，•••〃；―/；「成立，

，"；/；.;是g=B的必要条件,

【答案】B

【解析】

【分析】根据诱导公式及倍角公式求解.

[67

【详解】cos（兀―2a）=-cos2a=2sin2a-l=2x---1=一,

v'2525

故选：B

4.在递增的等差数列｛a“｝中，首项为3,若%,%，%+6依次成等比数列，则｛4｝的公差为（

33

A.-3B.-C.3D.——

22

【答案】C

【解析】

【分析】运用等比中项性质及等差数列通项公式计算即可.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d（2〉0）,

由题意知，。；=。1（%+6）,%=3,

所以（《+2d了=%（q+6d+6）,即（3+2d>=3x（9+6d）,

3

解得1=3或4=——，

2

因为d>0，

所以4=3.

故选：c.

5.下列函数中，最小值为2的是()

2%/+3

A.y=x-1—B.y=c+eC.y=>-D.

%A/X?+2

1fn娟

y=sinx+---0<x<—

sinx<2)

【答案】B

【解析】

【分析】运用基本不等式及对勾函数依次求各项的最小值即可.

【详解】对于A项，当x<0时，x+-<-2.£3=-2V2,当且仅当x=2即x=—行时取等号，当

X\Xx

x>0时，x+->2.x--=2V2,当且仅当》=2即了=拒时取等号，故A项不成立；

X\Xx

对于B项，因为/>0，-工〉0,所以刀+-,22,6、7=2,当且仅当e*=即x=0时取等号,

故B项成立；

对于C项，令/=，肌+2(，之&),贝丘2=r-2,

所以y=：+3

t>V2>

由对勾函数可知，>=7+1在［&,+oo)上单调递增,

所以当/=夜时，>=/+；取得最小值为J51372

+/F故C项不成立;

对于D项，令，=sinx(0</<1),则天=，+；,

由对勾函数可知，y=/+；在(0,1)上单调递减，

11兀

所以〉=f+-的值域为(2,+8),此时函数了=5也》+——在(0,一)上无最小值，故D项不成立.

tsmx2

故选：B.

6.函数/(x)=|x|+浮的图像大致为()

X

【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再由特殊值判断.

【详解】因为/(—X)=卜+c：s(：)=国+=/(x)为偶函数,排除CD；

(r)x

当x>0时，/(x)=x+^|^,且Xf+co时，+00,所以A正确，B错误;

JC

故选：A

7.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典

籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底

1

面周长上与高〃，计算其体积V的近似公式V・—I}9h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率兀近似取

36

3,

为3.那么近似公式「a—片〃相当于将圆锥体积公式中的兀近似取为()

113

1135728355

A.---B.—C.—D.---

36189113

【答案】A

【解析】

【分析】由圆锥的体积公式计算即可.

1L3,13,113

【详解】由题意知，r=-7l(—9)2/z«—Z2/z,即——«—所CCI以兀y二^.

32兀11312兀11336

故选：A.

8.若M是抛物线产=28(？>0)位于第一象限的点，咒是抛物线的焦点，|"刊=:夕，则直线板的斜

率为()

5545

A.-B.—C.-D.一

4332

【答案】c

【解析】

【分析】由抛物线的定义可求得巧,=2P，结合抛物线方程即可求得力,=22，运用两点斜率公式计算即

可.

【详解】由题知，尸(3,0)，抛物线的准线方程为X=-弓，设

由抛物线的定义知，“*+勺畔f+勺所以”2口，

所以=2PXM=4夕2,

又因为M位于第一象限，所以y“=2p,

所以/(2p,2p),

_2^-0_4

所以此二一F=3.

2/7--

2

故选：C.

9.“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为

“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排，其中“仁、义、礼”保持顺序不变的概率为()

1111

A.—B.—C.—D.一

2010156

【答案】D

【解析】

【分析】选将“仁、义、礼”放好保持顺序不变，将“智”、“信”依次插空放入共有20种方法，所有排法共

有A；种方法，根据古典概型求解概率.

【详解】选将“仁、义、礼”放好保持顺序不变，将“智”插空放入有4种方法，将“信”插空放入有5种

方法，共有20种方法，

将“仁义礼智信”排成一排共有A；种方法，

201

因此将“仁义礼智信”排成一排，其中“仁、义、礼”保持顺序不变的概率为京=:

故选：D

121

10.设。=—,I_-3,C=—，贝U()

3°-e71

A.b<c<aB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

【答案】B

【解析】

【分析】运用不等式的性质和累函数单调性比较大小即可.

【详解】因为3<兀，所以工〉工，即a〉c,

371

412211

又因为e=—,(”)3<33,所以o</<3,所以下>§，即心"，

综述：b>a>c.

故选：B.

II.已知。>0,函数/(x)=sinoxcosox+cos2ox在■，兀J单调递减，则。的取值范围为()

_L1J_3j_5

A.B.D.

2?8254458

【答案】D

【解析】

【分析】运用降次公式及辅助角公式化简函数/(x)=*sin(20x+：)+g，结合］之兀一］、换元法及

复合函数单调性求解即可.

【详解】因为/(%)=sinoxcoscox+cos2a>x=~sin2a)x+1+=2^sin(2(z>x+£)+g在

TT

(万,兀)上单调递减，

所以32兀一巴，即工2巴，

22G2

又①>0,所以0<刃(2,

八兀

令t—23ct)xH—,

4

7L7T7C

因为一<%<兀，0<0〈2,所以即+—<，<2g兀+—,

244

所以问题转化为y=*sin/+g在(。兀+；,2。兀+；)(0<®<2)上单调递减,

TTJI

所以问题转化为；7=sin,在(GK+—,2G兀+—)(0<69<2)上单调递减，

44

7T7T9兀兀7T1.,Ai、E、*、q.»_,、，,兀­.3兀_.

又一<。兀+—W—，—<2。兀+—W---,y=sin/单调递减区间为(—卜2kji,----l_2E),keZ,

44444422

所以(0兀+：,20兀+；)三甘，当〕

0<®<2

,7171

所以〈®7t+->-解得：Wa)<—.

4248

C，兀兀

2ccm+—/<3—

[42

故选：D.

12.已知函数/(x)(xeR)满足/(2x+l)为奇函数，若函数y=sin7tx与y=/(x)的图象的交点为

(xQi)，(x2,y2),(xm,ym),则二(石+%)等于()

A.0B.mC.2mD.4m

【答案】B

【解析】

【分析】由题意知，y=sin/与y=/(x)两个图象都关于(1,0)对称，进而可得两个图象的交点也关于

(1,0)对称，进而可求得结果.

【详解】因为/(2x+l)为奇函数，所以〃-2x+l)=_/(2x+l),

所以〃x)关于(1,0)对称，

因为Tvc=kit,keZnx=k,keZ,

所以y=sin7tx的对称中心为(左,0),keZ,

所以y=sin?tx也关于(1,0)对称，

所以y=sin也与〉=/(x)两个图象的交点也关于(1,0)对称，

所以对于每组对称点(4匕)和均满足x；+西=2，y'+v;=0>

所以XL(x")=ML玉+二送=2xT+°=根•

故选：B.

第n卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.复数的虚部为_____.

1+1

【答案】—05

2

【解析】

【分析】根据复数的除法法则运算出结果即可.

、11-il-i1i,1

【详解】77i=（i+i）（i-i）_5，故所求虚部为_万.

故答案为：—.

2

14.三棱锥S—Z8C中，S4_L平面AZBC,为直角三角形，AB1BC,AB=BC=1,

SA=2,则三棱锥S-ABC的外接球的体积为.

【答案】瓜n

【解析】

【分析】根据题意，将三棱锥补全为一个长方体，即可得到长方体的体对角线即为三棱锥外接球的直径,

再由球的体积公式，即可得到结果.

【详解】

由题意可将三棱锥S-46C补全为一个长方体，如图所示,

则长方体的体对角线SC=ylSA-+AB2+BC2=V6,

即三棱锥外接球的直径为27?=SC=J^，所以火=必，

2

所以三棱锥外接球的体积为厂=±兀&=3兀x亚=7671.

3312J

故答案为：兀

15.若凡为数列｛%｝的前〃项和，且S〃=2%+l（〃eN*）,则下列结论正确的是.（填序号）

①例=T6；②£=—63；③数列｛a,J是等比数列；④数列｛S“+l｝是等比数列.

【答案】①③

【解析】

【分析】分别研究〃=1与"之2时数列｛4｝的解析式，进而可判断③且可得％,=-2"-',Sn=-2"+1,分

别代入〃=5可判断①②，运用等比数列定义法可判断④.

【详解】因为，=2%+1,

所以当〃=1时，％=耳=241+1,解得％=-1,

当心2时,an=Sn-Sn_.=2an+1一(2%+1)=2an-2%，即%=2%，

所以｛4｝为等比数列，首项为%=-1,公比为2,故③正确

所以％=—2"T,

综述：a“=—2〃T.

所以邑=2%+1=—2"+1,

所以星+1=-2"+2,

54

当〃=5时，a5=-2^=-2=-16,故①正确;

5

当〃=5时，55=-2+1=-31,故②错误;

因为滉4-2n+1+22

=2—-不是一个与〃无关的数，故④错误.

-2"+2-2"+2

所以正确的有①③.

故答案为：①③.

16.已知a>0,若对任意的xe］；,+8不等式J_e"-皿幻20恒成立，则实数。的取值范围是

2a

【答案”*

【解析】

【分析】对已知不等式进行变形可得通过构造新函数g(x)=xd,结合导数的性质与

单调性可得怨立恒成立，再构造以。=蚂(/>1),求导分析单调性与最值即可.

22xt

【详解】因为a>0,不等式:产-生囚20对任意的xe(!，+co卜亘成立，即:里凶恒成立,

2a(2J2a

即>21n(2x),进而转化为axcm>2xln(2x)=eln(2x)•ln(2x)恒成立.

令g(x)=xe",则g'(x)=(x+l)e",当x>0时，g'(x)>0,所以g(x)在(0,+如上单调递增,

则不等式(e"-更区20恒成立等价于g(«x)>g(ln(2x))恒成立.

2a

1

xe—,+oo所以ax>0,ln(2x)>0,

因为a>0，12

所以办2ln2x对任意的xe]g,+oo)恒成立，所以羡之ln(2x)

恒成立.

2x

设可得〃⑺=一上，

tt

当l</<e时，h'(t)>0,入⑺单调递增；当，〉e时，h(t)<0,入«)单调递减.

所以当一时，函数咐取得最大值‘最大值为"⑹=('止匕时2>e‘所以自卜解得心|,即实

数。的取值范围是1,+^.

故答案为：J*.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为

不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的

单调性、极(最)值问题处理.

三、解答题：本题共6小题，共70分.

(一)必考题：共5小题，每小题12分，共60分

17.的内角A,B,C的对边分别为b,c,sin2C-sin2A+sin2B=sinBsinC-

(1)求A；

(2)若c<b,b+c=42a>求sinC.

【答案】(1)/=[

(2)、一行

4

【解析】

【分析】(1)由正弦定理角化边，结合余弦定理即可求得结果.

(2)由正弦定理边化角可得sin5+sinC=J^sinN，结合sinB=sin(N+C)及辅助角公式即可求得结

果.

【小问1详解】

因为sir?C-sir?/+sin28=sin8sinC)

2222z2

由正弦定理得：e-a+b=bc，^bc=b+c-a,

又由余弦定理cos"=立/=£=：'

又因为Ne(0,7r),所以N=?

【小问2详解】

由6+c=力。及正弦定理得：sin5+sinC=V2sinA(*)，

又因为在△48C中，4+5+。=兀，所以sinB=sin(/+C),

所以“*”式为sin(4+C)+sinC=V2sinA，即sinAcosC+cos/sinC+sinC=41sin/，

TT

又由(1)A=~,

所以有X3cosC+LsinC+sinC=V2x^-，整理得sin(C+工)=

22262

.__.、t八-27r7T~7T5兀

因为0<C<—,―<CH—<—,

3666

所以c+rpc+rF解得C咤或C书,

71

又因为c<3,所以C=一,

12

.71..7171..7171n.71V2V3V21V6-V2

=sin——=sin(----)=sin—cos---cos—sin—=---x--------x—=--------

1246464622224

18.如图所示多面体48CDEE中，平面/DEL平面48C。，平面48C。，V4DE是正三角形,

四边形48c。是菱形，48=2,CF=5ZBAD=-.

3

E.

(1)求证：CF〃平面4DE；

(2)求点E到平面Z。9的距离.

【答案】(1)证明见解析

⑵—

2

【解析】

【分析】(1)由面面垂直性质定理可证得£0,平面45C。，进而证得E0〃CF,结合线面平行的判定定

理即可证得CFH平面ADE.

(2)法—"：运用等体积法/tqf=匕fQE=匕；/TDC求解即可.

法二：建立空间直角坐标系，运用空间点到面的距离公式计算即可.

【小问1详解】

取40中点0,连接£。，如图所示，

因为VNQE是正三角形，所以£0,幺。，

又因为平面4DE_L平面/BCD,EOu平面4DE,平面4DECl平面48co=40,

所以£0,平面48C。，

又因为CEL平面48CD,所以£。〃。尸，

又因为E。u平面ADE,CFo平面ADE,所以CF//平面ADE.

【小问2详解】

法一：设点£到平面9的距离为为4.

由(1)CE〃平面4DE,

所以点F与氤C到平面ADE的距离相等，

所以三棱锥尸-4DE和三棱锥C-4DE的体积相等，

所以^E-ADF~-F-ADE—C-ADE~-E—ADC，

连接4C相交于点。，如图所示,

所以.DC=^AD-DC-sml200=y/3,

由（1）£。,平面4DC,由题V4DE是等边三角形，边长为2,易知£0=道，

所以/TDF=VE_ADC=；X.QCx£O=；xGxG=l.

由题，在RtZiNC中，DC=2,CF=B所以DF=S，

易知幺。=26，所以在RtAZCR中，AF=屈，

在△%£（/中：AD=2,DF=5，AF=回，

由余弦定理可得cos/409=—且，所以sinN4D尸=32，

77

所以g*2XA/7X=瓜，

又因为七一4〃=（5根所"=1，所以"=乎・

即点E到平面ADF的距离为—.

2

法二：

取40中点0,连接。£、0B,

因为四边形48CZ）为菱形，48=2,ABAD=60°,所以△45。为等边三角形,

所以08，/。，

由（1）知，£0,平面48CD,所以EOLCU,EOLOB,

所以以。为坐标原点，以04为x轴，03为了轴，为z轴建立空间直角坐标系，如图所示,

则4(1,0,0),5(0,0,73),C(-2,V3,0),尸(-2,百，百)

所以况=(1,0,0),OF=(-2,43,43),OE=(0,0,43),

设平面的法向量为方=（x,y,z）,

n-OA=0x=0

则一，得《厂厂，取y=L则为=(0,1,—1),

n-OF=0^-2x+V3v+V3z=0

则E到平面ADF的距离d=\°E'n\=g=限,

\n\V22

所以£到平面ADF的距离为—

2

19.为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.

（1）求。的值以及这批产品的优质率：（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）;

（2）若按照分层的方法从质量指标值在［110,130）的产品中随机抽取7件，再从这7件中随机抽取2件,

求至少有一件的指标值在［120,130）的概率；

（3）以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出4件，记这4件中优质产品的件数为

X,求X的分布列与数学期望.

【答案】（1）a=0.02,优质率为25%

⑵-

7

（3）分布列见解析，E（X）=1

【解析】

【分析】（1）由频率分布直方图中，所有频率之和为1及优质率的定义即可求得结果.

（2）由分层抽样可得质量指标在口10,120）有4件，质量指标在［120,130）有3件，结合古典概型求其概率

即可.

（3）由题意知，4件产品中优质产品的件数服从二项分布，即X〜进而运用公式求解即可.

【小问1详解】

因为（0.005+0.04+0.03+a+0.005）x10=1,所以a=0.02,

产品质量指标超过130的频率为（0.02+0.005）x10=0.25,

所以这批产品的优质率为25%.

【小问2详解】

因为质量指标在［110,120）和［120,130）的频率分别为0.4和0.3.

04

所以质量指标在［11。,13。）产品中抽取7件，则质量指标在口电⑵）有7、将而=4件'质量指标在

[120,130)有7x0-3=3件.

0.4+0.3

C：C；+C；_15_5

所以从这7件中任取2件，至少有一件质量指标在［120,130）的概率为0=

C|7

【小问3详解】

因为抽到产品为优质产品的频率为0.25,以频率作为概率，所以每件产品为优质产品的概率为

4

所以4件产品中优质产品的件数X〜

k4-k.

3

则P（X=左）=c：\,左=0,1,2,3,4,

0

33i3，_10827

所以尸(X=0)=C：II।-256-64

2

3I33123

尸(X=2)=Cj।4—256—64

Ii嚏喂，4

p(X=4)=C：」

Ii256

所以X的分布列为

X01234

81272731

P

2566412864256

E(X)=4X；=1.

20.已知椭圆C的标准方程为「+口=1（4〉6〉0）,椭圆过点（0,2）且离心率6=也.

ab2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线=（左20）与C相交于A,B两点，过C上的点尸作X轴的平行线交线段4g于点

Q,直线0P的斜率为左'（。为坐标原点），若14Pl•忸。|=忸斗|20|,判断殷《'是否为定值？并说明

理由.

【答案】（1）—+^=1

84

（2）是定值，理由见解析

【解析】

【分析】（1）由椭圆离心率公式及所过点适合椭圆方程即可求得结果.

（2）由14Pl•忸。|=忸4|/。|可知尸0平分/4?8,进而可得如+矶=0,再结合2货=8可得

（2%左—1）左—%）］=0,再结合P（Xo，%）不在直线/:了=伙＞一1）上，进而可得2%左—％=0,整

理可得左.玄=—.

2

【小问1详解】

因为椭圆过点（0,2）,所以6=2..

又因为e?=1—,，所以/=8.

a22

所以椭圆的标准方程为《+二=1.

84

【小问2详解】

由14Pl•忸0|=忸尸卜|/。|可知尸。平分/4?8,则直线/尸，AP的斜率右?，场互为相反数，即

3P+/=°，

X

设，（%,必），BO2,%），尸（%，%），

（x2y21

由《84得，（242+1）/—4左2%+242一8=0,

y=k（x-l）

由韦达定理可得：QxQ4k22k"-S

笈-，X1X2=2FTT

kk

而AP+BP="=0，则（必一JO）（X2-XO）+（J2-%）（X]-%）=0,

即依01—1）一%］（%一%）+［左（％T）一%］（4一%）=

2kxi“一（Vo+在o+左）（再+/）+2x0（j0+左）=0,

2k2-84k2

于是2左•万记口一（为+丘o+左）,声石+2%（%+左）=。

2

整理得2左（2左2_8）—4k\y0+kx0+k）+2x0（y0+k）（2k+1）=0,

化简得：2%（Xo-1）左2+（/-8）左+%%=0,

22

又因为尸（%,%）在椭圆上，所以至+及=1,即町+2第=8,

84

所以—2y；—xj+x0=x0-8,

即2yo（%—1）K+（-2y；-x；+/）无+x0y0—0,

整理得（2y°k—Xo）［（x（）T）左—%］=0，

又因为尸（为，乂0不在直线/:^二灯》一口上，则有比。左（七一1），所以2yoA-Xo=0,

即左.%=左.《=!，

/2

所以人〃为定值，且晨〃=L

2

21.已知函数=g(x)=lnx-x.

X

(1)求函数g(x)的极值；

(2)若%(x)=/(x)-g(x),求函数〃(X)的最小值；

(3)若A(x)=。有两个零点X,,X2,证明：<1.

【答案】(1)极大值为T,无极小值

(2)e+1

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)求导后解不等式g'O)>0、g'(x)<0即可求得极值.

(2)运用导数研究〃(x)的单调性，进而可求得其最小值.

(3)由已知可得卜知+%-出玉构造函数y=e*+x,根据其单调性可得

Xi-Inxj=x2-Inx2,构造函数M(x)=x-lnx并研究其单调性,构造函数T(x)=M(x)-M并研

究其单调性，当x>l时，依次结合函数歹=T(x)、y=〃(x)的单调性即可证得结果.

【小问1详解】

11—V

由题意知函数g(x)的定义域为(0,+8),g'(x)=--1=——

XX

g'(x)>0=>0<x<l,g'(x)<0=>x>1,

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以g(X)在X=1处取得极大值，极大值为-1