第4讲 利用导数证明不等式（教师版）-2024年高考数学一轮复习考点（新教材新高考）

第04讲利用导数证明不等式（核心考点精讲精练）

考情探究

1.4年真题考点分布

4年考情

考题示例考点分析关联考点

利用导数求函数的单调区间（不含参）

2021年新I卷，第22题,12分利用导数证明不等式

导数中的极值偏移问题

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分

【备考策略】1能用导数证明函数的单调性

2能求出函数的极值或给定区间的最值

3能进行函数转化证明不等式

【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容，也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中

求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题，导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,

有一定的难度，一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养

都有较深入的考查，需综合复习

考点梳理

知识讲解

在不等式构造或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与e*、Inx有关的常

用不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明.下面着重谈谈与e'、Inx有关的常用不等式的生成.

1.利用曲线的切线进行放缩证明不等式

设丁=/上任一点P的横坐标为m,则过该点的切线方程为y-e"'=e〃'(x-〃z),即y=em(x+l)-〃2e’”，

由此可得与e'有关的不等式：eA>e/H(x+l)-//?ew,其中xwR,meR,等号当且仅当工=加时成立.特

别地，当m=0时，有e"Nl+x；当机=1时，有e,Ner.

设y=lnx上任一点。的横坐标为〃，则过该点的切线方程为y-\x\n=—^x-n),即y=—x-1+lnn,

由此可得与Inx有关的不等式：lnx<-x-1+lnw,其中x>0,n>0,等号当且仅当x=〃时成立.特别

n

地，当〃=1时，有InxWx-l；当九=e时，W\nx<-x.

e

利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数.

2.利用曲线的相切曲线进行放缩证明不等式

由图1可得InxN上［；由图2可得InxN---；由图3可得，InxV"。(0<x<l),Inx/G」

xexx+1x+1

(x>l)；由图4可得，lnx>^x-—(0<x〈l),lnx<^x--J(x>l).

综合上述两种生成，我们可得到下列与e,、Inx有关的常用不等式：

与e"有关的常用不等式：

(1)e'>1+x(XGR)；

(2)ex>ex(xeR).

与Inx有关的常用不等式:

x—1

(1)WlnxWx-1(x>0)；

x

(2)---<lnx<-x(x>0)；

exe

2(x-l)、2(1)、

(3)lnx<-----(0<x<l),lnx>—----(x>\)；

x+1x+1

用x+1取代x的位置，相应的可得到与In(X+1)有关的常用不等式.

考点一、利用导数证明不等式

☆典例引领

1.(2023•天津•统考高考真题)已知函数=+g

⑴求曲线y=/(x)在x=2处切线的斜率；

(2)当x>0时，证明:/(X)>1；

(3)证明：\++

■.1In3

【答案】(1);--—

34

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)利用导数的几何意义求斜率；

(2)问题化为x>0时ln(x+l)>舍，构造g(x)=ln(x+l)-吉，利用导数研究单调性，即可证结论;

(3)构造/7(〃)=ln(〃!)-[〃+g)ln(")+〃，〃€N*,作差法研究函数单调性可得4人⑴=1,再构造

CX-端裂且X>。，应用导数研究其单调性得到inx"号沪恒成立,对/)-〃(〃+1)作

3ii

放缩处理，结合累加得到/?⑴-力5)<]1112-1+五<不(〃23),即可证结论.

ln(x+l)+ln(x+l)1ln(x+l)

【详解】(1)/W，则尸。)=2

X2x(x+l)2(x+l)%

所以r⑵十竽故金处的切线斜率为卜限

12v

(2)要证x>0时〃x)=ln(x+l)>l,即证g+l)>—

X

2x4_x2

令g(x)=ln(x+l)-童且x>0,则g'(M〃*+2)>0,

r-(X+1)(X+2)2

所以g(x)在(0,+8)上递增，则g(x)>g(0)=(),即ln(x+l)>倡.

所以x>0时

〃+;

(3)设M〃)=1n(〃!)-In(〃)+",neN,.

则h(n+1)-h(n)=1+(〃+；)In(〃)一(〃+g)In(〃+1)=1—("+；)ln(l+工)，

由(2)知：x=-G(0,1],则/(3=(〃+!)皿1+1)>1，

nn2n

所以力5+1)-〃(〃)<0,故〃5)在〃wN*上递减，故以〃)戈(1)=1；

下证ln(〃!)-(n+—)ln(M)+/?>—,

26

人/、i(x+5)(x-1)口।，/、(x—1)-(1—x)

令。O)=lnx----------.且x>0,则9(幻n=———-v2,

4x4-2x(2x+iy

当0vxvl时0(X)>0,e(x)递增，当x>l时0(%)<0,。(幻递减,

所以叭x)<以1)=0,故在xe(O,4W)±lnx<(7)。7)恒成立,

''4x+2

111(6+—)(-)(

则h(n)-0(〃+1)=(〃+—)ln(l+—)-1<(n+—)-------——1L<1-L-1

2〃22(3+2)4〃(3〃+2)12n-1n

n

所以力(2)-〃⑶〈[(I-1)，人(3)-〃(4)<[(g-:)，…，/?(»-1)-/?(»)<77(—[----1)，

122122312n-2n-\

113

累加得：M2)-A(H)<—(1——-),而M2)=2-：ln2,/?(1)=1

12n-\2

7335

因为了士,所以版2)=2.时22,

ii3

贝ij_〃(〃)<—(1--------)-2+-ln2(n>3),

12n—\2

3ii3ii5

所以〃(1)一〃5)<己皿2—1+—(1-------)<-ln2-l+—<-,故〃(〃)>己(〃N3)；

212n-121266

综上，j<A(»)<l,即：<ln(”!)-〃+一In(/?)+/?<1.

662

【点睛】关键点点睛：第三问，作差法研究〃5)=1口(〃!)-ln(〃)+〃单调性证右侧不等关系，再构造

济馆…券暖且X>。，导数研究其函数符号得^^字恒成立，结合放缩、累加得到

311

/z(l)-/i(n)<—ln2-l+—(1—)为关键.

212n

2.(2021.全国•统考高考真题)设函数/(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=^(x)的极值点.

(1)求。；

Y4-f(X)

(2)设函数g(x)=乂；)•证明：g(x)<L

【答案】(1)a=l；(2)证明见详解

【分析】(1)由题意求出力，由极值点处导数为0即可求解出参数

(2)由(1)得g(x)=GJ瑞二T，x<l且NO,分类讨论xe(O,l)和可等价转化为要证g(x)<l,

即证x+ln(l-x)>xln(l-x)在xe(O,l)和x«—,0)上恒成立，结合导数和换无法即可求解

1V-

【详解】(1)由/(x)=ln(a-x)n/(x)=----,y=xf(x)=>y'=ln(a-x)+-----,

x—Clx—Cl

又x=0是函数y=4(x)的极值点，所以y'(O)=lna=O,解得a=l；

(2)［方法一］:转化为有分母的函数

由(1)知，83)=%：吁-?=+L其定义域为(f),0)1(0,1).

xln(l-x)In(Jl-x)x

要证即证而%即证而匕<1一:二早

(i)当xe(0,l)时，-1—<0,土4<0,即证ln(l-x)>二一.令F(x)=ln(l-幻-——,因为

In(l-x)xx-1x-\

-1―1x

l——7_=;_E>0,所以"X)在区间(0,1)内为增函数，所以尸(外>尸(0)=0.

\-x(x-1)(x-1)

1

(ii)当xw(—,0)时，—~->0,x匚—\>0,即证ln(l-x)>——X，由(i)分析知尸(x)在区间(-8,0)

In(l-x)xx-\

内为减函数，所以尸(x)>尸(0)=0.

综合(i)(ii)有g(x)<l.

［方法二］【最优解】：转化为无分母函数

由。)得〃x)=ln(l-)8(*)=)鬻=郊号，x<l且NO,

,、x+ln(l-x)

当臼。,1)时，要证g(X)=<x>0,ln(l-x)<0,/.xln(l-x)<0,B|JiiEx+ln(l-x)>xln(l-x),

化简得x+(>x)ln(l-x)>0；

/、x+ln(l-x),、，、

同理，当X«F0)时，要证g(x)=E7Fl'、<°'皿1)>°,."皿7)<°,即证

x+ln(l-x)>xln(l-x),化简得工+(1_工)皿1_力>0；

令〃(x)=x+(l-x)ln(l-x),再令［=1一x,则.£(0,1)(1,-KO),x=l-t,

令=+rlnf,^(f)=-l+lnr+l=Inf,

当/w(o,i)时，"(，)<(),单减，故夕(。>9(1)=0：

当，时，9。)单增，故O(r)>9(1)=0;

综上所述，g。)="；：；｝；)<1在x«-oo,0)(0,1)恒成立.

［方法三］:利用导数不等式中的常见结论证明

11—Y

令9(x)=lnx-(x-l),g|^^(x)=--l=—,所以奴x)在区间(0,1)内是增函数，在区间(1,钟)内是减函

XX

数，所以Mx)MdD=O,即InxVx-l(当且仅当x=l时取等号).故当x<l且xwo时，"一>0且J—H1,

1-xl-x

11XX

In——<------1,即—ln(l—x)<——,所以ln(l-x)>一一.

1—X1—X\—XX—1

Y1r-1111

(i)当xe(0,l)时，0>ln(l-x)>-所以77^一—=1一一，即丁7^―?+一<1，所以g*)<L

x-1ln(l-x)xxln(l-x)x

x

(ii)当％£(F,0)时,ln(l-x)>——>0,同理可证得g(%)〈L

x-\

x+ln(l-x)

综合(i)(ii)得，当x<l且xwO时,即g(x)<l.

xln(l-x)

x

【整体点评】(2)方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当工£(0,1)时，转化为证明ln(l-%)>一,

x-1

X

当X€(YO,0)时，转化为证明ln(l-x)>=\,然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利

用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当x«0,l)时，x+(l-x)ln(1-x)>o成立和当xe(Y>,0)时,

x+(l-x)ln(l-x)>0成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；

方法三先构造函数。(x)=lnx-(x-l),利用导数分析单调性，证得常见常用结论InxWx-l(当且仅当x=l

时取等号).然后换元得到InQ-x)〉*,分类讨论，利川不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定

x-1

的巧合性.

3.(2021.全国.统考高考真题)已知函数/(x)=x(l-lnx).

(1)讨论〃x)的单调性；

(2)设。，b为两个不相等的正数，且从na-aln〃=a-〃，证明：2<1+1<e.

ab

【答案】(1)/(X)的递增区间为(0,1),递减区间为(1,+8)；(2)证明见解析.

【分析】(1)首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.

(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令1=九：=〃，命题转换为证明：2</n+〃<e,然后构造对称差

ab

函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论.

【详解】(1)〃X)的定义域为(0，”).

由〃x)=x(l-lnx)得，/,(x)=-lnx,

当x=l时，/'(x)=0；当xe(O,l)时广(司>0；当xe(l,y)时，/,(x)<0.

故f(x)在区间(0,1]内为增函数，在区间内为减函数，

(2)[方法一]:等价转化

由61na_alnA=a_b得』=，(1—In，)，即/(—)=/(—).

aabbab

_11

由山b,得一工不.

ab

由(1)不妨设LeOU#e.+a)),则，(3>0,从而/J)>0,得:w(1,e)

ababb

①令g(x)=〃2-x)-.f(x),

则g'(x)=ln(2-x)+lnx=ln(2x-x2)=ln[l-(x-l)2],

当xe(0,l)时，g[x)<0,g(x)在区间(0,1)内为减函数,g(x)>g⑴=0,

从而f(2-x)>f(x),所以/(2-少>心=心,

由(1)得2-工<:即2<1+1.①

abab

令力(x)=x+/(x),则A'(x)=1+尸(x)=1-lnx,

当xe(l,e)时，〃'(x)>0,〃(x)在区间(l,e)内为增函数，h[x)<h[e}=e,

从而x+/(x)<e,所以q+/(：)<e.

又由，e(O,l),可得=/(，)=/(：),

aaaaab

所以*9,中+*,•②

由①②得2<—+y<6?.

ab

、.、」__,■=八、e■.f、？InciInb11”，।Ina+1lnZ?+l

[方法一]【最优解】：blna-alnb=a-b变形为-------=-----,所以------

abbaab

令，==〃.则上式变为m(1-=一In")，

于是命题转换为证明：2<m+n<e.

令/(x)=x(l—lnx),则有/(加)=/(〃)，不妨设力<”

由(1)知Ocmvl/VMve,先证m+〃>2.

令g(x)=/(x)—/(2—x),x«0,l),

则g'(x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[M2-x)]N-lnl=0,

・•.gG)在区间(0,1)内单调递增,所以g(%)〈g⑴=0,即加+〃>2.

再证加+〃<e.

因为〃?(l-ln〃2)=〃(l—ln〃)>〃2,所以需证〃(1-In〃)+〃<e=>.

令/z(x)=x(l-lnx)+x,xe(l,e),

所以故M6在区间(Le)内单调递增.

所以v〃(e)=e.故Zz(〃)<e,BPm+n<e.

综合可知2<—-<e.

ab

[方法三]:比值代换

证明上+，>2同证法2.以下证明%+X2<e.

ab

不妨设犬2=囱，则/='>1，

百

由Xj(1-InXj)=x2(1-Inx2)Xj(1-In^1)=rx,[1-ln(Zx,)],1Hxi=1-^^,

/—1

要证X1+W<e，只需证(l+f)F<e,两边取对数得ln(l+，)+ln*<1,

即ln(l+f)+l-也<1,

t-\

ln(l+r)Inr

即证------<---.

tt-\

、-1/\ln(l+s)1--------ln(l+s)

记g(s)=^,se(0,a),m则g(s)=l±^

1

记版s)=———ln(l+s),则h'(s)=———<0

1+s(1+5)21+5)

所以，Ms)在区间(0,一)内单调递减./1(5)</7(0)=0,则g'(s)<0,

所以g(s)在区间(0,一)内单调递减.

由fe(l,+oo)得f-lw(0,+oo),所以g(f)<g«T),

tt-\

【方法四］:构造函数法

.-k,Ina\nb1111

由己1知z得r-------=----，令A-=X］,：=x>

abbaab

不妨设％<w,所以/(%)=〃£).

由(I)知，0<^1<1<x2<e,只需证2<x+z<e.

证明为+X?>2同证法2.

e

A1I-2H----FInx

再证明M+M<e.令、1-Inx、、

i2q〃(x)=------(G<x<e),h(x)=

x-e

p\px—e

令e(x)=\nx+——2(0<x<e),则"(x)=----=——<0.

xxx7x"

所以0(x)>O(e)=0,〃(x)>0,同力在区间(0,e)内单调递增.

，八一1-InX.1-Inx,1-Inx.x.-e

因为0—e,所以=<=’即匚忌

又因为/&)=/(&),所以*

!•Ill八i人［人］人oV

即可-e^〈片一络,(％—+x2-e)>0.

因为玉所以M+x°<e,gp-+-<^.

ab

综上，有结论得证.

【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想,

这些都是导数问题必备的知识和技能.

方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.

方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明

题中的不等式即可.

方法四：构造函数之后想办法出现关于玉+迎-6<0的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.

☆即时检测

1.(2023・河北・统考模拟预测)已知函数〃x)=-In(㈤+以-2(«0).

⑴讨论的极值；

(2)当a>0时，证明：/(x)>lnx-Ae,+l+sinx+l.

【答案】(l)〃x)的极小值为-1，无极大值.

(2)证明见解析

ax—I

【分析】(1)求得/'(6;言2,分a<0和。>0,两种情况讨论，结合函数的单调性和极值点、极值的概

念，即可求解；

(2)令g(x)=x—sinx,利用单调性得到g(x)>g⑼，得至b>sinx,转化为证明不等式

-ln(ax)+ar-2>lnx-xet+l+x+\,再由〃(x)=lnx—x+l,”>0,利用导数得至！］lnx-x+lWO,进而得至U

\nax<ax-\,转化为e"*“*>l+x+1+lnx，令x+l+lnx=r,

设8(x)=e*T—l,利用导数证得e*Nx+l,得到e、*"'Nl+x+l+lnx，进而证得结论.

【详解】(1)解：由函数〃x)=—ln(or)+G：—2,可得:(x)=-巴+a=—工+。=竺二1,

当a<0时，可得or>0,解得x<0,即函数的定义域为(-8,0),

令尸(x)=0,解得x=L

a

当X€(-X」)时，r(x)<o,/(X)单调递减；

a

当xe(：O)时，f\x)>0,f(x)单调递增，

所以当x=g时，函数取得极小值_/■(：)=-1；

当。>0时・，可得依>(),解得x>0,即函数的定义域为(0,+8),

令/'(力=0,解得x=L

a

当xe(0,，)时，r(x)<0,/(X)单调递减；

当xe(g,+oo)时，/S^x)>0,/(x)单调递增，

所以当x=：时，函数〃x)取得极小值/(，)=-1,

综上可得，函数.f(x)的极小值为八：)=-1,无极大值.

(2)证明：因为。>0,所以方>0,解得x>0,即函数的定义域为(0,转)，

令g(x)=x-sinx,可得g，(x)=l-cosxNO,所以g(x)在(0,+8)单调递增，

所以g(x)>g(O)=O,即x>sinx,

要证不等式+sinx+l,

只需证明—In(czx)+ctx—2.>Inx—xe11+x+1,

又由函数/!(x)=lnx—x+l,x>0,可得/?'(力=^-1=、~^,

当xe(0,l)时，〃(x)>0,〃(x)单调递增：

当xe(l,+a))时，"(x)<0,〃(x)单调递减，

所以⑴=0,Bplnx-x+1<0,即lnx4x-l,当且仅当x=l时，等号成立,

所以，当。>0时，\nax<ax-\,

只需证明：一奴+1+以一2>Inx-xe*”+x+l，即lnx-祀*"+x+2<0，

即jcer+l-x-lnx-2>0.即ex+'+lnx>1+x+l+lnx，

令x+l+lnx=f,可得e'>l+f，

设S(x)=e*-x-l,可得9'(x)=e*-l,令d(x)=0,可得x=0,

当xw(0,+o。)时,d(x)>0,9(x)单调递增;

当xe(-8,0)时，8(x)单调递减,

所以S(x)N4(0)=0,所以e*Nx+l,所以e'""n'21+x+l+lnx，

当且仅当x+l+lnx=0时，等号成立，

又由以上不等式的等号不能同时成立，所以/'(x)>lnx-xeM+sinx+l.

【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系;

3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

2.(2023•河北•统考模拟预测)已知函数/(x)=ln(x+l)-oe*-x(awR).

⑴当a>0时，证明：/(力<0恒成立；

⑵当4=0时，证明：fl+rA：yfl+T—•1+/1<e(〃eN)

Ilx2JV2x3J(+、7

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)分两种情况x>0和02x>-1求出函数最值证明不等式；

(2)构造函数证明ln(x+l)Mx,结合对数运算及裂项相消证明不等式

【详解】(1)函数/(x)=ln(x+l)-四*一工(4€咫,工«-1,+00)时,/'卜)=5^-枇*-1(“>0),单调递减,

当x>0j'(x)<r(0)=l-a-l=-a<0J(x)单调递减，

/(x)</(0)=lnl-iz-0=-«<(),

令g(x)=ln(x+l)-x,xe(-l,O).g'(x)=-^-l=-->0,g(x)=ln(x+l)-x,xe(-l,0)单调递增，

O>x>-l,g(x)<^(O)=lnl-O=O,ln(x+l)-x<Otlj^jZ,

当02x>-l,「.ln(x+l)-xW0,-a6’<0,.,./(%)=In(x4-l)-tze'-x<0

所以a〉0时，/(x)<0恒成立；

(2)g(x)=ln(x+l)-x,x£(0,+oo),g'(x)=-^y—l=--^<0,g(x)=ln(x+l)-%,x£(0,田)单调递减，

x>0,g(x)<晨0)=1!11-0=0111(1+1)-犬<0恒成立

g+i)=令x=卜七

令.白，可得In(达+1卜达

令'=£,可得E+1<£

3^4

,可得q嬴扁]

令工二+1<

〃x(〃+1)

两边相加可得

Ini1++ln1+++In1+

〃(〃+1)

1

<-----+

1x22x3〃(72+1)

11

++

n〃+1

=1—<1

n+1

1_

・1+<l(neN')

M〃+i),

14-<e(neN‘

〃(〃+1),

i3

3.（2023,江苏扬州•扬州中学校考模拟预测）已知函数/。）=。11+5/-3+1比+5（。。0）.

⑴求函数/（x）的单调区间；

⑵当。=1时,若/&）+〃引=0,求证：Xt+x2>2.

(3)求证：对于任意“eN*都有21n(〃+1)+>n.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)求出函数的定义域，求导，再分类讨论。，根据导函数的符号即可求出函数的单调区间；

(2)令g(x)=/(x)+/(2-x)=ln(l—(x—l)2)+(x—l)2,由InxWx—1,可证得8。)=/。)+/(2-幻40恒成

立，即〃百)+/(2-5)40,结合/(x)可证得用+々22；

对21n(〃+1)+进行放缩,即可证明不等

式成立.

【详解】(1)函数/(x)的定义域是(0,+8).

X2~(a+\)x+a(x-l)(x-a)

由已知得，f'(x)=—+x-a-1=--------------------=-----------------.

xx

①当a<0时，当0<x<l时，/'(x)<0,Ax)单调递减；

当x>l时，/'(x)>0,/(x)单调递增；

②当0<“<1时，当0<x<a时，>0,/(x)单调递增；

当a<x<l时，r(x)<0,Ax)单调递减：当x>l时，/'(x)>0,f(x)单调递增；

③当a=l时，当x>0时，/,(x)>0,单调递增；

④当a>l时，当()vx<l时，f'(x)>0,f(x)单调递增；

当l<x<a时，r(x)<0,/(x)单调递减；当时，f'(x)>0,/(x)单调递增.

综上，①当a<0时，函数/*)在(0,1)上单调递减，(1,+«0上单调递增；

②当0<a<l时，函数/(X)在(0,。)单调递增(a,1)上单调递减，(1,y)上单调递增；

③当a=l时，函数f(x)在(0,+«))单调递增；

④当“>1时，函数/Xx)在(0,1)单调递增，(1,。)上单调递减，(a,*o)上单调递增.

(2)a=1时，f(x)=lnxH—x~-2.x+—.

22

由(1)知，函数〃工)在(0,e)单调递增且/(D=0；

1313

令g(x)=f(x)+f(2—x)=Inx+5k—2x+a+ln(2—x)+5(2—x)~—2(2—x)+—

=Inx(2-x)+x2-2x+l=+，

令F(x)=lnx-x+l(x>0),Fr(x)=--1=——-,

令9(x)>0,解得0<x<l；令尸'(尤)<0,解得x>l,

所以F(x)在(0,1)上单调递增，在(1,故)上单调递减,

所以*x)4F⑴=0,所以InxMx-l,所以In(l-f)M

令(x-l)2=Ze(0,l],则ln(l-7)+f41-f-l+f=0,

所以g(x)=/(x)+f(2—x)V。恒成立，

不妨设0"<1〈三，则〃%)+〃2-占)40,

所以-/(与丝〃2-4)，所以『(上"/(2->),

所以多22-王，所以玉+X2N2.

(3)由(2)知，x>l时，/(x)=\nx+-x2-2x+->/(I)=0,

即2Inx+J-4x+3=2Inx+(x-2)2-1>0,

故21nx+(x-2>>l在x>l时恒成立，

所以21n：+(2-2)2=2ln：+(9)>1,

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为

不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的

单调性、极（最）值问题处理.

4.（2023•浙江•校联考三模）已知函数〃x）=e：aeR.

⑴令g（x）=??,讨论g（x）的单调性；

⑵证明：（力+1）+…+]£|

2/（2向，、，、

（3）若“=1,对于任意的犯〃eR,不等式1J+任（ln〃>f（M+220恒成立,求实数匕的取值范围.

f\n）

【答案】（1）答案见解析

（2）证明见解析

(3)[0,2e]

【分析】(1)求导后，分。=0、。>0、“<0三种情况讨论即可；

(2)由(1)得^。+1,当且仅当x=0,等号成立.令x得至从而有_L/口”万)，

2n2〃2n⑺

_2

即,结合等比数列的前〃项和公式即可证明.

(3)衅R+"(ln〃)・.f(〃?)+2N0n2e2"f+b〃e"'+220刍6<0,可验证不满足题意；当方=0,显然成

立；当、>0,令g(〃)=2e2"'e"+加~〃+2,求导后判断单调性求得最小值为

(?ewbh

g5)min=g[In—j—J=Z?•e"’+勿勿•e/M-b-e'"ln—+2,令ew=t(t>0),贝ij。=从+bt\nt-bt\n—+2,求导后判

断单调性求得最小值为〃(/)min=人(、^)=^^+^^("^-2]-。皿3.，^+2=-^^+220,从而可解.

【详解】(1)g(x)=©=E(xH-l),而g，(x)=e"a(x+'T,

v'x+]x+V'&、'(x+1)2

①当a=0时，8'("=一1三<0恒成立，

所以g(x)在(YO,T)上递减,(T,”)上递减;

②当。>0时，令g'(x)<0,得x<-l或T<x<，-1；令g'(x)>0,^x>--\.

aa

所以g(x)在(F,-1)上递减，在1上递减，在1-1,+8)上递增；

③当4<0时，令g'(x)<。，得—l<x<—1或x>—1；令g'(x)>0,得x<—1.

aa

所以g(x)在上递减，在(-1,e)上递减，在卜上递增.

综上所述，当〃=0时，8(月在(-00,-1)上递减，(-1,物)上递减；

当4>0时，g(x)在上递减，在上递减，在1-1,+8)上递增：

当。<0时・，g(x)在弓-1,-1)上递减，在(T,y)上递减，在,8,^-1)上递增.

(2)由(1)得：当。=1时，当此时e—x+1,

x+\

又当xs-ie>x+i,

.,.e'Nx+1,当且仅当x=0,等号成立.

令'=»得到大脸$＜以机

++=

•••I))+(i|+M£|—((HI})-H_4e)X~~A~

2/(2⑸

(3)fi〃)+好,(ln〃)•/(机)+220n2e2"-"+hnem+2>0

®b＜0,当〃—-0时，不等式显然＜0,所以此时不成立;

②匕=0,不等式显然成立.

③b＞0,令g5)=2e2"'e-"+/je""+2,则g'(〃)=-2e2"'e-"+6e"',

/、9pw7p,n

令g'5)=0,贝Ij6=2e".e-"=e"=^n〃=ln丝.

bb

所以当〃<ln竺时，g'(〃)〈0,g伍)单调递减；

b

当田＞如竺时,短(〃)＞。R(〃)单调递增・

b

所以g(〃)min=b-e"'+bm-e"'-b-em\n-+2

2

令e"=t(t>0),则力="+从Im—初lng+2,则/?'(/)=/?+/?(1+ln/L)-Z?ln^,

令"(r)=0,Bpi+l+ln/-ln1=0,则/=二,

所以当0＜，＜白，〃⑺＜o,〃⑺单调递减；当£＞白，⑺单调递增

bb2b2b4-bbcb2

则+^r|In--2\-bln--—^-^2=+2>0,

2e22e22e2222e:

所以b<2e.

综上所述，0V〃V2e.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：

(1)构造差函数版x)=/(x)-g(x),根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关

系，进而证明不等式；

(2)根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、

等量代换将多元函数转化为一元函数.

5.(2023・福建厦门・厦门外国语学校校考模拟预测)已知函数"x)=e",aeR.

⑴令g(力=/⑷，讨论g(力在(0,+巧的单调性；

X+1

⑵证明：0+(品+目’<而4"2

(3)若a=l,对于任意的犯〃eR,不等式—+妙(ln〃>〃.)+220恒成立，求实数6的取值范围.

f\n)

【答案】(1)答案见详解.

(2)证明见详解.

(3)0</?<2e.

【分析】(1)求导后，分。=0、。<0、Ovavl、讨论即可；

(2)由(1)得e，2x+l,当且仅当x=0,等号成立.令x—得至味?一’>」-,从而有,

2〃2n2n

I

,结合等比数列的前〃项和公式即可证明.

(3)%^+"(ln〃>/(〃z)+2±0=2e22"+加e"'+220.当人<(),可验证不满足题意；当6=(),显然成

f\n)

立；当方>0,令g5)=2e2m.e-"+*".〃+2,求导后判断单调性求得最小值为

(?ewhh

(n)min=I,n\=e,M-b-e,nln-4-2,令e〃'>0)，则力⑴=初+/，1皿一次ln,+2,求导后判

断单调性求得最小值为/?(。而“=《白)=卷？+弥1n2-2)-bln*9+2=-9+2N0,从而可解.

【详解】(1)g(x)=3=£(xr-l),而8，(力』[“可_1],

①当a=0时，g'(x)=0恒成立，所以g(x)在(0,y)上递减；

②当a>0时，令g<x)<0,得x<-l或令g<x)>(),得

aa

所以当1-140,即aZl时，8(力在(0,+")上递增，当工-1>0,即0<“<1时，g(x)在上递减,

在(/一1,+°0)上递增；

③当4Vo时，令g'(x)<0,得—l〈x<—1或x>—1；令g'(x)>0,得x<—1.

aa

所以g")在(0,+回上递减.

综上所述，当时，8(力在(0,+8)上递减；

当时，g(x)在(0,+8)上递增：

当0<a<1时，g(x)在上递减,在上递增：

(2)由(1)得：当。=1且x之一1时，>/(0)=1,此时e*Wx+l,

X+1

又当xK-l,e*>x+l,

/.eA>x+l,当且仅当x=0,等号成立.

令x=；-1,得到向」,.」<(耳焉，

2〃2n2"ve/

2〃2加)

(3)+t>f(In/?)-f(m)+2>0=>2e2m-"+bnem+2>0,

“〃)

@b<0,当”时，显然2e"""+6,源"+2<0，所以此时不成立;

②匕=0,不等式显然成立.

③A>0,令g㈤=2e23”+/叫〃+2,则g'(〃)=—2e2"'e"+g"，

令g'(〃)=0,则匕=2e"'ef=>小=竺=>〃=11