2022-2023学年北京市大兴区高一年级上册期中考试数学试卷含详解

2022北京大兴高一（上）期中

数学

2022.11

1.本试卷共4页，共两部分，21道小题.满分150分.考试时间120分钟.

2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号.

3试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.

4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一

项.

L己知集合4={-21，。，1，2},8

=<x<2,则A13=（）

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1}

C.{-1,1}D.{0,1}

2.命题“VxeR,Ve2x—1”的否定是（）

A.BxCR,x2<2x-\B.3XGR,x2<2x-l

C.Vx£R,x2W2x—1D.HreR，/w2x-1

x2,x>0

己知函数〃X）=12若/⑴=，"，则实数加的值为（

3.)

一,x<0

A.B.—1或1C.1或2D.2

4.下列函数中，定义域和值域不相同的是（)

%—1,x<0

B.y=y/x1

A.y=-x+lC.y=-D.

Xx+1,x>0

5.如果且Q+Z?+C=0,那么下列不等式中一定正确的是（)

A.—<y-B.ab>bcC.ab>acD.ac>hc

ab

6.“/>0”是“+的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.己知人r）=N—（加+2）x+2在区间［1,3］上是单调函数，则实数加的取值范围是（）

A.y,o)B.[4,+co)C.(-oo,0)(4,+8)D.(-oo,0][4,+oo)

8.给出下列4个不等式：①xVl；®O<X<1；③-2<x<0；@-1<X<1,其中，可以使好<1成立的一个充分条

件的所有序号为（）

A.①B.②③C.②④D.①④

9.已知“X）为定义在R上的奇函数，且"x）=/（2-x）,当xe［0,l］时，〃x）=x,则当xe［-3,5］时，

/（x）=g的所有解的和为（）

9「11

A.4B.-C.5D.—

22

10.有加米长的钢材，要做成如图所示窗户的窗框：上半部分为四个全等的扇型组成的半圆，下半部分为四个全

等的小矩形组成的矩形，则窗户面积的最大值为（）

m2〃12兀22m2

B.--------C.-m±-trTD.

兀+54423兀+108

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数/（x）=Y亘的定义域为.

x—2

12.设集合A={x,y},B=10,x2},若A=3，则2x+y=.

13若avb,dvc,并且(C-Q)(C-力<0,(d-a)(d-Z?)>0,则a,0,c、,d由小到大顺序排列是,

14.设函数/⑴的定义域为［0』］,能说明“若函数/"）在［。川上的最大值为41）,则函数/*）在［0』上单调递增

“为假命题的一个函数是.

,C，、2

15己知非空集合A,B满足：AB=R,Ac3=0.对于函数j（x）=〈X-1,XGA,给出下列结论:

2x-l,xeB.

①存在非空集合对A，B,使得f（x）没有最小值；

②不存在非空集合对4,3,使得"X）为奇函数；

③存在唯一非空集合对使得〃x）为偶函数；

④存在无穷多非空集合对A，8,使得方程/（%）=0无解.

其中，所有正确结论的序号为.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知集合A={x|-2WxW7},B={x[m+lWxW〃?+3,〃?eR},且3x0.

(1)当〃2=5时，求ADB;

(2)若Ac为B=A,求机的取值范围.

17.已知函数/(%)=21一幺，且/(g)=3.

(1)求实数。的值；

(2)判断F(x)的奇偶性，并说明理由；

(3)判断，x)在区间(1,+8)上的单调性，并用单调性定义证明.

18.一公司某年用98万元购进一台生产设备，使用x年后需要维护费总计2/+10X万元，该设备每年创造利润

50万元.

(1)求使用设备生产多少年，总利润最大，最大是多少？

(2)求使用设备生产多少年，年平均利润最大，最大是多少？

19.已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2-2x-1.

(1)作出函数〃x)图象(不用列表)，并指出它的单调递增区间；

(2)求当x<0时，/(x)的解析式；

(3)讨论关于x的方程/(x)=Z(AwR)的解的个数.(直接写出结论)

20.已知函数—aeR.

(1)若/(x)是偶函数，求〃取值；

(2)求关于x的不等式〃x)>0的解集.

21.已知含有限个元素的集合A是正整数集的子集，且A中至少含有两个元素.若8是由A中的任意两个元素之和

构成的集合，则称集合B是集合A的衍生集.

（1）当人={2,5,7}时，写出集合A的衍生集B；

（2）若A是由4个正整数构成的集合，求其衍生集B的元素个数的最小值；

（3）判断是否存在5个正整数构成的集合A,使其衍生集8={4,6,8,10,12,14,18},并说明理由.

2022北京大兴高一（上）期中

数学

2022.11

1.本试卷共4页，共两部分，21道小题.满分150分.考试时间120分钟.

2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号.

3试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.

4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一

项.

1.己知集合4={一2，-1，°，1，2},B=W-1-X<2},则（）

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1}

c.{-1,1}D.{051}

【答案】B

【分析】利用交集的定义可求得集合AcB.

【详解】由已知可得AB={-1,0,1).

故选：B.

2.命题“VxwR,X222X-1”的否定是(

A.玉/R,x2<2x-\B.BxeR,x2<2x-l

C.X/xeR,dw2x—lD.HxeR,x2<2JV-1

【答案】B

【分析】根据全称量词命题的否定即可直接求解.

【详解】由题意知，

命题“VxeR,/22X—1”的否定为“IceR,/<2x-l”.

故选：B.

x2,x>0

3.已知函数〃x）=<2若/⑴="?,则实数加的值为（）

一,x<0

A.1B.一1或1C.1或2D.2

【答案】A

【分析】根据分段函数解析式求解即可.

【详解】由题知：/(1)=1=加.

故选：A

4.下列函数中，定义域和值域不相同的是()

x—1,x<0

A.y=—X4-1B.y=>J~xC.y=-D,y=<

x+1,x>0

【答案】D

【分析】根据一次函数，基函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案.

【详解】对于A,y=-%+1的定义域和值域都为R,该函数的定义域与值域相同.

对于B,y=J7的定义域为xe[0,+8),值域为ye[0,+8),该函数的定义域与值域相同.

对于C，丫=:的定义域为xe{xeR|xwO},值域为ye{yeR|yN0},该函数的定义域与值域相同.

对于D,y=\,八的定义域为xeR,值域为丁£(-8,-1u(l,+8),该函数的定义域与值域不相同.

x+1,x>0\J7

故选：D

5.如果a>b>c,且a+/?+c=0,那么下列不等式中一定正确的是()

A.—<-J-B.ab>bcC.ab>acD.ac>hc

ab

【答案】C

【分析】分析可知。>0>c,而人的符号不确定，结合不等式的基本性质可判断各选项的正误.

【详解】因为。>b>c,则3Q>Q+6+C=0>3C,HP(7>0>c,而〃的符号不确定，

对于A选项，若力<0,则A错；

ab

对于B选项，若匕<0,则。匕<6c,B错；

对于C选项，因为。>0,由不等式的基本性质可得">呢，C对；

对于D选项，因为c<0,由不等式的基本性质可得ac<8c,D错.

故选：C.

6.“f>0”是“1+122”的

()

A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】c

【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】r，=2，+1zoo«_1）20of>0

ttt

二“t>（）”是'n+!22”的充分必要条件.

t

故选c

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键.

7.已知|x）=%2—（s+2）x+2在区间［I,3］上是单调函数，则实数机的取值范围是（）

A.（F,0）B.［4,+00）C.（-oo,0）一（4,+8）D.（-oo,0］［4,+oo）

【答案】D

【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，结合二次函数的图象即可求解.

【详解】因为函数/（刈=/一（加+2）x+2,开口向上，对称轴为、=等，

又因为函数在区间［1,3］上是单调函数，

m+2

当函数在区间［1,3］上单调递增时，则有-----<1,解得：m<0；

2

>714-2

当函数在区间［1,3］上单调递减时，则有----->3,解得：m>4；

2

综上可知：实数”？取值范围是（-8,0］/4,+8）,

故选：D.

8.给出下列4个不等式：①x<l;®0<x<l；③-2<xV0；其中，可以使「VI成立的一个充分条

件的所有序号为（）

A.①B.②③C.②④D.①④

【答案】C

【分析】根据/<1和一元二次不等式的解法可得一1<X<1,结合①②③④，然后根据充分，必要条件进行判定.

【详解】X2<1

...②④是f<1的充分条件；①是必要不充分条件：③是不必要不充分条件.

故选：C.

9.已知“X）为定义在R上的奇函数，且〃x）=/（2—x）,当xe［0,l］时，〃x）=x,贝熠xe卜3,5］时，

=g的所有解的和为（）

9L11

A.4B.-C.5D.—

22

【答案】A

【分析】分析函数/(X)的周期性和对称性，作出函数“X)与y=g在［-3,5］上的图象，数形结合可求得结果.

【详解】因为已知/(x)为定义在R上的奇函数，且"》)=/(2-力，则/(x)=-f(x—2),

所以，f(x+4)=-/(x+2)=/(x),故函数/(x)为周期函数，且周期为4，

且函数/(x)的图象关于直线％=1对称，故函数“X)在［-3,5］上的图象关于直线％=1对称,

当xe[l,2]时，2-xe[0[],则/(x)=42一同=2-x,

作出函数/(x)与y=g在［-3,5］上的图象如下图所示:

由图可知，直线>=(与函数/(x)在［-3,5］上的图象有四个交点，分别为

设a<b<c<d,由图可知I,点(兄；)、关于直线元=1对称，

点关于直线x=l对称，则a+0+c+d=2x2xl=4.

故选：A.

10.有加米长的钢材，要做成如图所示窗户的窗框：上半部分为四个全等的扇型组成的半圆，下半部分为四个全

等的小矩形组成的矩形，则窗户面积的最大值为()

•>

-12兀22m2

B.-^―C.-trr+—m-D.

兀+54423兀+108

【答案】D

【分析】设小矩形的长为X米，宽为y米，窗户的面积为S平方米，根据图形可得9x+乃x+6y=〃z,进而求出面

积S的关系式，结合二次函数的性质即可求解.

【详解】设小矩形的长为X米，宽为y米，窗户的面积为s平方米，

则9x+;rx+6y=，〃，所以6y=加一(9+万)x,

所以S=~x2+4xy=+|^x[m-(9+^)x]

36+万,236+万/2m、,2M

------x~+—mx=--------(x--------)-+---------

63636+乃3(36+〃)

rn

由6y>0,得加一(9+4)%>0,解得0<x<------

9+7

「、，八2mm

因为0<-------<--------

36+79+7

2/779/77"

所以当尤=一一时，窗户的面积取得最大，且最大值为—

36+乃34+108

故选：D.

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数1的=也二1的定义域为.

x—2

【答案】卜|北1且x02}

【分析】

由分母不能为。和根式内部的代数式大于等于0联立不等式组，解得即可.

【详解】由题意得：\,C，解得%21月//2,所以定义域为{X|XN1且无。2}.

x—2W0

故答案为：{乂121且%02}

【点睛】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题.

12.设集合4={%,»,B=10,x2},若A=8，则2x+y=,

【答案】2

【分析】根据集合相等可得出关于x、y的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解.

2

x=X(

【详解】由集合元素的互异性可知了2工0,则XH0,因为A=8,则Iy=0，解得」

因此，2x+y=2.

故答案为：2.

13.若a<b,d<c,并且(c—a)(c—《)<0,(d-a)(d—»>0,则a，b，c"由小到大的顺序排列是

【答案】d<a<c<b.

【分析】根据已知条件分别解关于c和d的一元二次不等式，从而可得结论.

【详解】由(c-a)(c-b)<09得。<cvh,

由〃</?,(d-a)(d-b)>0,得dva或〃>人，

因为dvc,所以舍去，

所以d<a<c<bf

故答案为：d<a<c<b.

14.设函数/(x)的定义域为［0』］,能说明“若函数f(x)在［0,1］上的最大值为了⑴，则函数Ax)在［0』上单调递增

“为假命题的一个函数是.

【答案】/(x)=(x—+1,xe［0,l］,(答案不唯一)

【分析】根据题意，可以构造在定义域为［0,1］上，先减后增的函数，满足最大值为I,即可得答案.

【详解】根据题意，要求函数F(x)的定义域为［0,1］,在［0』上的最大值为/。)，但f(x)在［0,1］上不是增函数,

可以考虑定义域为［0,1］上，先减后增的函数的二次函数,

函数/(x)=(x—]3

H—，xe[0,l]符合,

4

(1YQ

故答案为：f(x)=X--(答案不唯一).

、2)4

6已知非空集合A，8满足：A8=R,AcB=0.对于函数/(X)=<-'’给出下列结论:

2x-\,xeB.

①存在非空集合对A，B,使得/(x)没有最小值；

②不存在非空集合对A,8,使得f(x)为奇函数；

③存在唯一非空集合对A,B,使得/(x)为偶函数；

④存在无穷多非空集合对A,B,使得方程f(x)=0无解.

其中，所有正确结论的序号为.

【答案】①②④

【分析】当A=(-8,—1］,3=(—1,+8)时，f(x)此时无最小值，可以判断①正确；该分段函数上下均不是奇函数，

故不存在集合对符合题意，②正确；通过举例可以找到多个集合对使得Ax)为偶函数，则③错：当集合满足

一1史A,且上eB时，④正确.

2

【详解】当A=(-8,-1］,3=(-1,+8)时，Ax)此时无最小值，可以判断①正确;若xeA,—xeA,则

/(x)=x2-l,f(-x)=x2-l/(x)^/(-x),为偶函数，

若xw8,-xe8则〃x)=2%_l,/(-x)=-2x-l/(-x)^-/(x)；

若xeA,—xeB,则/(x)=x~—1/(—x)=—2x—1,/(—x)H—/(x)

若XGB,-xeA,则/(一x)=%2_i,/(x)=2x-l,/(-x)^-/(x)

综上不存在非空集合对，使得/(x)为奇函数，②正确；

当3={0},A=(T»,0)_(0,+8)时，/(X)为偶函数,当8={1},A=(T»,1)L(1,+»)时，/(X)为偶函数，故不

唯一，③错误；/(x)=0时，解得x=i,x=-i,x=；,则当集合满足-leAlwA且3任8时，方程无解，又

AB=R,AB#0,所以存在无数多非空集合对，使得方程/(x)=0无解，④正确.

故答案为：①②④

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知集合A={x|-2WxW7},B=+m+3,/%ER},且BW0.

(1)当m=5时，求AuB；

(2)若Ac为5=A,求机的取值范围.

【答案】(1)Aufi={x|-2<x<8};

(2){加|利<-5或一>6}.

【分析】(1)先求出集合8,然后利用并集的定义直接求解即可，

(2)先求出48,然后由Ac38=A,得AlaB,则可列出关于加的不等式，从而可求得结果.

【小问1详解】

当加=5时，3={x|6WxW8},

因为A={x|-2〈xW7},

所以Au8={x卜2<x<8}；

【小问2详解】

因为B={x|/%+1WxW〃?+3,加£R},

所以条5=k|%v根+1或x>加+3},

因为Ac08=A,所以

因为A={x|-2WxW7},

所以加+1>7或根+3<-2,

得加>6或m<一5,

所以加的取值范围为9%M<—5或相>6}.

17.已知函数/(%)=2x——，且/(一)=3.

X2

(1)求实数〃的值；

(2)判断/(x)的奇偶性，并说明理由；

(3)判断/(x)在区间(1，+8)上的单调性，并用单调性定义证明.

【答案】(1)-1:

(2)奇函数，理由见解析；

(3)增函数，证明见解析.

【分析】(1)将x=!代入函数解析式计算即可求。；

(2)根据函数解析式求出/(一幻，结合奇偶函数定义即可判断；

(3)VX1,%2€(1,+8)且玉</，根据函数解析式求得了(%)一/(%2)<0,结合增减函数的定义即可下结论.

【小问1详解】

由/(x)=2x---,f(―)=3,

x

得"5)=1一1=3,解得a=—l.

2

所以实数。的值为-1；

【小问2详解】

函数/(x)为奇函数.

由⑴知，/(x)=2x+f函数/(x)的定义域为何户0},

f(-x)=-2x--=~(2x+-)=-f(x),即.f(-x)=-fix),

XX

所以函数/(尤)为奇函数；

【小问3详解】

函数fM在(1,+oo)上为增函数.

由⑴知，f(x)=2x4—,

X

Vxpx2G(l,+co),且不<々，

x

f(])~f-2(Xj—x2)+----—=(%)一为)(2--—),

玉x2中2

又芯一工2<°，°<---<1，所以2------>0,

所以/(%)一/(无2)=(王一々)(2-，即/(王)</(无2),

故函数/(X)在(1,+A)上为增函数.

18.一公司某年用98万元购进一台生产设备，使用X年后需要的维护费总计2x2+10%万元，该设备每年创造利涧

50万元.

(1)求使用设备生产多少年，总利润最大，最大是多少？

(2)求使用设备生产多少年，年平均利润最大，最大是多少？

【答案】(1)10年，102万元；(2)7年，12万元.

【分析】(1)设该设备使用x年后获得总利润为y万元，则y=—25-10)2+102,结合二次函数的性质即可求解;

(2)由(1)可得上V=-2(》+4二9-20),结合基本不等式计算即可求解.

xx

【小问1详解】

设该设备使用x年后获得总利润>万元，

贝ijy=50x-98-(2x2+1Ox)=-2x2+40x-98=-2(x-10)2+102,

该二次函数为开口向下、对称轴为x=10的抛物线，

所以当x=10时，函数y即总利润取得最大，且最大值为102万元；

【小问2详解】

由(1)可知，年平均利润为

y—2.x^+40x—9849I49

—=-------------=-2(xH-----20)«-2(2Jx----20)=12,

xxxVx

49

当且仅当了=—即x=7时，等号成立，

x

所以使用设备7年后的年平均利润最大，旦最大值为12万元.

19.已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2-2x-1.

ky

(1)作出函数/(X)的图象(不用列表)，并指出它的单调递增区间;

(2)求当x<0时，的解析式；

(3)讨论关于x的方程/*)=%(%eR)的解的个数.(直接写出结论)

【答案】(1)图象见解析，单调递增区间为(—8,—1),(1,+8)

(2)/(%)=-f—2x+l

(3)答案见解析

【分析】(1)根据奇函数的性质/(0)=0,再求出x<()时函数的解析式，即可得到函数在R上的解析式，从而画

出函数图象，结合图象得到函数的单调递增区间；

(2)由(1)可得函数在x<0时的解析式；

(3)方程/(》)=%(%eR)的解的个数，即函数)，=/(%)与丁=左的交点个数，结合图象即可判断.

【小问1详解】

解：因为/(x)是R上的奇函数，所以/(0)=0,

又当x>0时，f(x)=x2-2x-\,

当x<0时则—x>0,/(-%)=(-%)2-2(-x)-1=x2+2x-1,因为/(*)是R上的奇函数，

所以〃—x)=—/(x),所以/(x)=-f-2x+l,

x~—2x—1,x>0

综上可得〃x)=<0,x=0,所以函数图形如下所示：

~x~—2.x+1,x<0

由函数图象可得函数的单调递增区间为。,+8)；

【小问2详解】

解：由(1)可得当x<0时/(%)=-/-2工+1；

【小问3详解】

解：当x>0时，/(x)=x2-2x-l=(x-l)--2.

所以〃1)=-2,

当x<0时/(x)=—f—2x+1=—(x+l)~+2,所以/(—1)=2,

因为关于x的方程/(x)=&(&eR)的解的个数，即函数y=/(x)与y=k的交点个数，

由图可得当2>2或攵<—2时有且仅有一个交点，即方程只有1个解；

当攵=±2或0<A41或一14左<0时有两个交点，即方程有2个解；

当％=0或1<左<2或一2<攵<一1时有三个交点，即方程有3个解；

综上可得：当4>2或左<—2时方程只有1个解，当人=±2或0<k41或一1«人<0时方程有2个解，当％=0或

1<左<2或一2<4<一1时方程有3个解.

20.已知函数/(x)=ax2+(2a-l)x-2,tzeR.

(1)若/(x)是偶函数，求〃的取值；

(2)求关于x不等式〃x)>0的解集.

【答案】(1)a——

2

(2)答案见解析

【分析】(1)利用偶函数的定义可求得实数。的值；

(2)由已知可得/(x)=(6-1)(》+2)>0,对实数”的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法

解原不等式，可得其解集.

【小问1详解】

解：因为函数/(X)为偶函数，则VxwR,/(-%)=/(%),

所以，cv3一(2a—l)x—2=izx~+(2a—l)x—2,所以，2(2a—l)x=0恒成立，

所以，2a-1=0,解得〃=

2

【小问2详解】

解：/(x)=ax24-(26f-l)x-2=(ax-l)(x+2)>0.

①当。=0时，原不等式即为x+2<0,解得xv—2；

②当。工0时，方程/(x)=0