专题01 A（双A）字型（解析版）（北师大版）

专题01A（双A）字型【基本模型】①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．②模型拓展（反A字型）：斜交A字型条件：，图2结论：；【例题精讲】例1．（基本模型）如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（）

A．24 B．12 C．6 D．10【答案】B【分析】过P作平行于，由与平行，得到平行于，可得出四边形与都为平行四边形，进而确定出与面积相等，与面积相等，再由为的中位线，利用中位线定理得到为的一半，且平行于，得出与相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出的面积，而面积＝面积+面积，即为面积+面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．【详解】解：过P作交BC于点Q，由，得到，

∴四边形与四边形都为平行四边形，∴，，∴，，∵为的中位线，∴，，∴，且相似比为1：2，∴，，∴，故选：B．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．例2．（作平行构造A字型）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．【答案】【分析】过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出，即可得出答案；【详解】如图，过点D作BN的平行线交AC于点H．在中，因为M为AD的中点，，所以N为AH的中点，即．在中，因为D为BC的中点，，所以H为CN的中点，即，所以．所以．例3．（A字型实际应用）一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．【答案】乙木匠的加工方法符合要求．说明见解析．【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出两种加工方式中正方形的边长，边长最大就符合要求；由已知三角形的面积和一条直角边的边长可求出其余两边的边长，根据乙加工方案中的平行关系得到相似三角形，根据相似三角形对应变成比例，可求出正方形的边长；根据甲加工方案中，根据相似三角形的高的比等于边长比，可求出正方形的边长，对比两方案的边长即可知谁符合要求．【详解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如图∵，∴∵，∴，∴又∵DE∥AC，∴，∴，解得设正方形的边长为x米，如图乙，∵DE∥AB，∴，∴，解得∵，∴乙木匠的加工方法符合要求．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析、解决问题的能力，正确理解题意，建立数学模型，把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．例4．（最值问题）如图，∠MPN=90°，边长为6的正方形ABCD的顶点A、B分别在边PM、PN上移动，连接PC，Q为PC上一点，且PQ=2QC，则线段BQ长度的最小值为．【答案】/【分析】根据题意，取的中点，连接,，过点作，过点作，当三点共线时，取得最小值，勾股定理求得，根据求解即可．【详解】如图，取的中点，连接,，过点作，过点作，，，，，，四边形是正方形，，，，，，，的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，添加辅助线是解题的关键．例5．（与函数综合）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点的顶点、的坐标分别为，．顶点在轴的正半轴上，，．（1）求的长度．（2）动点从出发，沿轴负方向以每秒个单位的速度运动，设的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示，并直接写出相应的取值范围．（3）在（2）的条件下，在射线上取一点，使，过作交直线于点，当时，求值和点坐标．【答案】（1）10；（2）①时，；②t>10时，；（3）当时，，；当t>10时，，．【分析】（1）由勾股定理解得AO的长，即可求得AC的长；（2）分两种情况讨论：当时或当t>10时，根据三角形面积公式解题即可；（3）分两种情况讨论，当时，作作，交DG于N，交BC于M，由等腰三角形三线合一的性质，解得，进而证明，根据相似三角形对应边成比例的性质，设DN=m，解得AD=，OD=，当时根据勾股定理解得BH、DH的长，在中，由勾股定理得，即可解得m的值，从而解得AD的长，即可求得t的值，最后由，结合面积比等于相似比的平方，即可解得点G的坐标；当t>10时，方法同上．【详解】（1）在中（2）由于D在x轴上，故以CD为底边，高h=OB=6①当时，CD=AC-AD=10-t，；②当t>10时，CD=AD-AC=t-10,；（3）如图：当时，作，交DG于N，交BC于M，．又设DN=m，则AD=OD=，当时BH=，同理在中，即解得(舍去)或当t>10时，如图：作，交DG于N，交BC于M，，．又，，，，，设DN=m，则AD=，OD=，当时，BH=，同理在中，，即，解得，或(舍去)，，，，，，综上所述，当时，，；当t>10时，，．【点睛】本题考查一次函数综合，其中涉及相似三角形的判定与性质、勾股定理、分类讨论、三角形面积等知识，是重要考点，难度一般，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键．【变式训练】1．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为A． B． C． D．【答案】C【分析】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先证明△BCE≌△ACF，再证明△CDG∽△CAF，进而即可求解．【详解】解：如图，分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC．∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF．在△BCE与△ACF中，∵∠EBC=∠ACF，BC=AC，∠BCE=∠CAF，∴△BCE≌△CAF（ASA）．∴CF=BE=3，CE=AF=4．在Rt△ACF中，∵AF=4，CF=3，∴，∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF．∴，解得．在Rt△BCD中，∵，BC=5，∴．故选C．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质，列出比例式是关键．2．如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为．【答案】．【分析】延长BE交AC于点F，过D点作，由可得此时为等腰直角三角形，E为CD的中点且，则，在等腰中，根据勾股定理求得，长度，由可得,即，由，可得，即，,求得，．【详解】如下图，延长BE交AC于点F，过D点作，∵，，∴，，为等腰．由题意可得E为CD的中点，且，∴，在等腰中，，，又∵，在，∴（AAS）∴，∵，，∴，∴，∴，，．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理求对应边的长度，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，综合运用以上性质是解题的关键．3．如图，中，点D在边上，且．（1）求证：；（2）点E在边上，连接交于点F，且，，求的度数．（3）在（2）的条件下，若，的周长等于30，求的长．【答案】（1）见解析；（2）＝60°；（3）AF＝11【分析】（1）根据三角形内角与外角之间的关系建立等式，运用等量代换得出，证得；（2）作CH＝BE，连接DH，根据角的数量关系证得，再由三角形全等判定得△BDH≌△ABE，最后推出△DCH为等边三角形，即可得出＝60°；（3）借助辅助线AO⊥CE，构造直角三角形，并结合平行线构造△BFE∽△BDH，建立相应的等量关系式，完成等式变形和求值，即可得出AF的值．【详解】（1）证明：∵∠BDC＝90°＋∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A，∴

∠A＝90°－∠ABD．∵∠BDC＋∠BDA＝180°，∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－∠ABD．∴

∠A＝∠BDA＝90°－∠ABD．∴DB＝AB．解：（2）如图1，作CH＝BE，连接DH，∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，∴∠BAE＝∠DBC．∵由（1）知，∠BAD＝∠BDA，又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，∴∠CAE＝∠C．∴AE＝CE．∵BE＝CH，∴BE＋EH＝CH＋EH．即BH＝CE＝AE．∵AB＝BD，∴△BDH≌△ABE．∴BE＝DH．∵BE＝CD，∴CH＝DH＝CD．∴△DCH为等边三角形．∴∠ACB＝60°．（3）如图2，过点A作AO⊥CE，垂足为O．∵DH∥AE，∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°．∴△ACE是等边三角形．设AC＝CE＝AE＝x，则BE＝16－x，∵DH∥AE，∴△BFE∽△BDH．∴．∴，．∵△ABF的周长等于30，即AB＋BF＋AF＝AB＋＋x－=30，解得AB＝16－．在Rt△ACO中，AC＝，AO＝，∴BO＝16－．在Rt△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，即．解得（舍去）．∴AC＝．∴AF＝11．【点睛】本题考查了三角形角的性质、等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是能熟练掌握三角形的性质与全等判定并借助辅助线构造特殊三角形的能力，．4．如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝．【答案】2【分析】过D作垂直于H点，过D作交BC于G点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用求出的长，最后得出答案．【详解】解：如图：过D作垂直于H点，过D作交于G点，∵在中，，∴，又∵，∴，∴在等腰直角三角形中，，∴，在中，，∵，∴，，∴，

又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，又，∴，∴，故答案为：2．【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．5．（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：；（2）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证MN2=DM·EN．【答案】（1）证明见解析；（2）①；②证明见解析．【分析】（1）易证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出；（2）①根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长．从而，由△AMN∽△AGF和△AMN的MN边上高，△AGF的GF边上高，GF=，根据MN：GF等于高之比即可求出MN；②可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又DG=GF=EF，得GF2=CF•BG，再根据（1），从而得出结论．【详解】解：（1）在△ABQ和△ADP中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴，同理在△ACQ和△APE中，，∴；（2）①作AQ⊥BC于点Q．∵BC边上的高AQ=，∵DE=DG=GF=EF=BG=CF∴DE：BC=1：3又∵DE∥BC∴AD：AB=1：3，∴AD=，DE=，∵DE边上的高为，MN：GF=：，∴MN：=：，∴MN=．故答案为：．②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，∴∠B=∠CEF，又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC，∴，∴DG•EF=CF•BG，又∵DG=GF=EF，∴GF2=CF•BG，由（1）得，∴，∴，∵GF2=CF•BG，∴MN2=DM•EN．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大．【课后训练】1．如图，在三角形中，点D为边的中点，连接，将三角形沿直线翻折至三角形平面内，使得B点与E点重合，连接、，分别与边交于点H，与交于点O，若，，，则点A到线段的距离为．【答案】【分析】如图，过点作交的延长线于．利用勾股定理求出，利用三角形重心的性质求出，再利用勾股定理求出，利用相似三角形的性质求出即可．【详解】解：如图，过点作交的延长线于．由翻折的性质可知，垂直平分线段，，∵，，∴，∵，点D为边的中点，点是的重心，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质以及重心的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．2．如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△DEC≌△EDA；（2）求DF的值；（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，顶点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）PE=时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为3．【分析】（1）根据图形的折叠可得：AB=AE,BC=CE,由矩形的性质可得：AD=BC,CD=AB,等量代换可得AD=CE,AE=CD,又DE=DE,所以用SSS可证明△DEC≌△EDA；（2）设DF=x，根据条件可证AF=CF，在Rt△ADF中，利用勾股定理可求出x的值；（3）设PE=x（0＜x＜3），矩形PQMN的面积为S，首先根据勾股定理求出AC的长，然后利用△EPQ∽△ECA的性质，用x表示出PQ的长，过E作EG⊥AC于G，利用Rt△AEC的面积求出EG的长，然后利用△CPN∽△CEG的性质，用x表示出PN的长，从而得出S与x的函数关系式，最后利用二次函数的性质可确定x的值以及S的最大值．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD=BC，AB=CD∵折叠∴BC=CE，AB=AE∴AD=CE，DC=EA在与中∴．（2）解：∵矩形ABCD中，，∴∵折叠，∴∴∴AF=CF，设DF=x，则AF=CF=4﹣x，在中，解得；，即．（3）如图2，由矩形PQMN的性质得，∴△EPQ∽△ECA∴∵矩形ABCD中，AB=4，AD=3∴设PE=x（0＜x＜3），则，即过E作于G，则，∴△CPN∽△CEG∴又∵在Rt△AEC中，，解得∴，即设矩形PQMN的面积为S∵∴当时，即PE=时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为3．【点睛】本题主要考查矩形和折叠的性质，相似三角形的判定和性质，利用勾股定理求线段长度，以及利用二次函数求最值；能够利用相似三角形的比例关系表示线段，列出二次函数表达式是解决本题的关键．3．如图，把边长为，且的平行四边形对折，使点和重合，求折痕的长．【答案】【分析】先证明，得到，求出BE和BF，然后得到BD，DG和MG的长度，再利用全等三角形的性质，即可得到答案．【详解】解：如图，连接与交于点，并补全矩形为．∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵且，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴．【点睛】此题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用所学的性质定理得到，从而求出所需边的长度．4．矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．【答案】（1）；（2）BF＝3．【分析】（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．证明△POM∽△DCP，利用相似三角形的性质求解即可．（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．设EG=x，则BG=4-x．证明△EGP∽△PHD，推出，推出PG=2EG=3x，DH=AG=4+x，在Rt△PHD中，由PH2+DH2=PD2，可得（3x）2+（4+x）2=122，求出x，再证明△EGP∽△EBF，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠C＝90°，由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，在Rt△EPD中，∵EM＝MD，∴PM＝EM＝DM，∴∠3＝∠MPD，∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，∵∠ADP＝2∠3，∴∠1＝∠ADP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DPC，∴∠1＝∠DPC，∵∠MOP＝∠C＝90°，∴△POM∽△DCP，∴，∴．（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴，∴PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，∴（3x）2+（4+x）2＝122，解得：x＝（负值已经舍弃），∴BG＝4﹣＝，在Rt△EGP中，GP＝，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，∴，∴，∴BF＝3．【点睛】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．5．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G．（1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG；（2）当α≠60°时，①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG；②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长．【答案】（1）证明见详解；（2）①证明见详解；②EG的长为或．【分析】（1）AD＝AC，∠ADC＝60°，可证△ACD为等边三角形，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AB=CD=BC=AD，∠B=∠ADC=60°，AD∥BC，可得∠HAD=∠B=60°=∠GCD，由∠GDH=∠CDA=60°，可证∠HAD=∠CDG，即可证△ADH≌△CDG（ASA）；（2）①根据AD＝AC，∠ADC＝α，可得∠ACD=∠ADC＝α，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AD∥BC，可得∠HAD=∠ADC=α=∠GCD，由∠GDH=α=∠ADC，可得∠ADH=∠CDG即可；②根据点E的位置分两种情况，当点E在AB上时，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，根据四边形ABCD为平行四边形，AB∥DC，AB=DC=9，AD=BC=12，可证△AGE∽△CGD，得出AG=3，CG=AC-AG=12-3=9，根据等腰三角形三线合一性质可得AN=BN=，根据勾股定理CN=，由GM∥CN，再证△AMG∽△ANC，可求,，EM=AE-AM=，根据勾股定理EG=，当点E在BA延长线上，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，由AE∥CD，△GAE∽△GCD，可求GA=6，由GM∥CN，可证△GMA∽△CNA，可得，，EM=AE-AM=3-，根据勾股定理EG=．【详解】（1）证明：∵AD＝AC，∠ADC＝60°，∴△ACD为等边三角形，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD=BC=AD，∠B=∠ADC=60°，AD∥BC，∴∠HAD=∠B=60°=∠GCD，∵∠GDH=∠CDA=60°，∴∠HDA+∠ADG=∠CDG+∠ADG=60°，∴∠HDA=∠CDG，在△ADH和△CDG中△ADH≌△CDG（ASA）；（2）①证明：∵AD＝AC，∠ADC＝α，∴∠ACD=∠ADC＝α，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠HAD=∠ADC=α=∠GCD，∵∠GDH=α=∠ADC，∴∠ADH+∠ADG=∠CDG+∠ADG=α，∴∠ADH=∠CDG，∴△ADH∽△CDG；②解：当点E在AB上时，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，∵四边形ABCD为平行四边形，AB∥DC，AB=DC=9，AD=BC=12，∴∠EAG=∠DCG，∠AEG=∠CDG，∴△AGE∽△CGD，∴，∴，∵AD=AC=12，∴AG+CG=AG+3AG=4AG=12，∴AG=3，∴CG=AC-AG=12-3=9，∵AC=AD=BC，CN⊥AB，∴AN=BN=，在Rt△BCN中，根据勾股定理CN=，∴GM∥CN，∴△AMG∽△ANC，∴，∴,，∴EM=AE-AM=，在Rt△MGE中，根据勾股定理EG=，当点E在BA延长线上，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，∵AE∥CD，∴∠GAE=∠GCD，∠GEA=∠GDC，∴△GAE∽△GCD，∴，∴，∵AC=GC-GA=3GA-GA=2GA=12,∴GA=6，∵AC=AD=BC，CN⊥AB，∴AN=BN=，在Rt△BCN中，根据勾股定理CN=